电磁场与电磁波第一二章课件

电磁场与电磁波教程电磁场与电磁波教程2015.2奥斯特（奥斯特（HansChristianOersted，17771851）丹麦物理学家丹麦物理学家 1820年年7月月21日发表日发表关于磁针上电关于磁针上电流碰撞的试验流碰撞的试验的论文的论文.电磁理论的发展历程电磁理论的发展历程1717世纪初世纪初1919世纪初：电与磁割裂；世纪初：电与磁割裂；安培安培(Andre-MarieAmpere,1775-1836)法国物理学家，法国物理学家，是是近代物理学史上功绩显赫的科学近代物理学史上功绩显赫的科学家。特别在电磁学方面的贡献尤家。特别在电磁学方面的贡献尤为卓著。为卓著。Bi1820.9.18右手定则1820.9.25安培力1820.10.9安培力F21F12I1I2F21F12I1I2F21F12I1I2Or1r2R=aRRI1dl1I2dl2c1c21820.12.4安培力定律1822年出版年出版电动力学的观察汇编电动力学的观察汇编Bi1821.1分子电流假设1827年出版年出版电动力学现象的数学理论电动力学现象的数学理论法拉第法拉第(MichaelFaraday 17911867)-英国物理学家、化学家，英国物理学家、化学家，也是著名的自学成才的科学家。也是著名的自学成才的科学家。SNABK1831.8 伏打电感应1831.10 磁电感应麦克斯韦（麦克斯韦（JamesClerkMaxwell1831-1879)19世纪伟大的英国物世纪伟大的英国物理学家、数学家。理学家、数学家。论法拉第的力线论法拉第的力线1855.121856.2论物理力线论物理力线18611862电磁场的动力学理论电磁场的动力学理论1864电学与磁学论电学与磁学论1873赫兹（赫兹（Hertz,H.R.,18571894）德国物理学家，赫兹对人类最伟大的贡德国物理学家，赫兹对人类最伟大的贡献是用实验证实了电磁波的存在。献是用实验证实了电磁波的存在。电磁场与电磁波课程体系电磁场与电磁波课程体系麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组静静电电场场恒恒定定电电场场恒恒定定磁磁场场时时变变场场平平面面波波导导行行波波辐辐射射第第第第 一一一一 章章章章矢量分析矢量分析基基 本本 要要 求求深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的物理意义并熟深刻理解散度、旋度和梯度的物理意义并熟练计算这三个度；练计算这三个度；熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算矢量的微积分运算；了解唯一性定理亥姆霍兹定理的内容了解唯一性定理亥姆霍兹定理的内容重重 点点 要要 求求在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。分、面积分和体积分。又称数学场论，是研究各种类型场运动规律的数又称数学场论，是研究各种类型场运动规律的数学工具，它的数学公式是与场的物理概念紧密相学工具，它的数学公式是与场的物理概念紧密相关的。关的。场论是把各种物理的场在数学上抽象成矢量场论是把各种物理的场在数学上抽象成矢量场和标量场来研究的数学理论。场和标量场来研究的数学理论。矢量运算矢量运算矢矢 量量 分分 析析矢量加法矢量加法矢量乘法矢量乘法矢量微积分矢量微积分1.1 1.1 标标 量量 场场 和和 矢矢 量量 场场 场的重要属性场的重要属性：占有一个空间，且在该区域中，占有一个空间，且在该区域中，除开有限个点和某些表面外，场量是处处连续、除开有限个点和某些表面外，场量是处处连续、可微的。可微的。一一.什什 么么 是是 场场 如果在我们讨论的空间中的每一点都对应着某如果在我们讨论的空间中的每一点都对应着某个物理量（场量）的一个确定的值，就说在这个空个物理量（场量）的一个确定的值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个间里确定了该物理量的一个场场。在数学上在数学上，任何一个可以表示成空间和时间函，任何一个可以表示成空间和时间函数的量都可以称为数的量都可以称为场场。二二.场场 的的 分分 类类动态场动态场：场量与时间有关：场量与时间有关（时变场）（时变场）f(x,y,z,t)A(x,y,z,t)标量场标量场：场量是标量：场量是标量如：温度场如：温度场T(x,y,z)、密度场、密度场(x,y,z)静态场静态场：场量与时间无关：场量与时间无关（恒定场）（恒定场）f(x,y,z)A(x,y,z)矢量场矢量场：场量是矢量：场量是矢量如：速度场如：速度场v(x,y,z)、力场、力场F(x,y,z)2.图示法图示法u(x,y,z)：等值面、等值线等值面、等值线三三.场场 的的 表表 示示 方方 法法 标量场标量场1.数学法数学法：f=f(x,y,z)（A）等高线图）等高线图（B）色码图）色码图（C）四维图）四维图例例等值面方程等值面方程C1C3C2xyOC1C3C2手写体：手写体：三三.场场 的的 表表 示示 方方 法法 矢量场矢量场E(x,y,z)=axEx(x,y,z)+ayEy(x,y,z)+azEz(x,y,z)1.数学法数学法：矢量场的模值矢量场的模值单位方向单位方向aE是常矢量时，其导数为零是常矢量时，其导数为零aE是变矢时，本身也是矢量函数是变矢时，本身也是矢量函数2.图示法图示法A：场线图场线图切向切向场量的方向场量的方向疏密程度疏密程度场量的大小。场量的大小。三三.场场 的的 表表 示示 方方 法法 矢量场矢量场箭头方向箭头方向场量的方向场量的方向箭头颜色或长度箭头颜色或长度场量的大小。场量的大小。三三.场场 的的 表表 示示 方方 法法 矢量场矢量场2.图示法图示法B：矢量图矢量图2.图示法图示法C:纹理图纹理图(GrassSeeds)三三.场场 的的 表表 示示 方方 法法 矢量场矢量场纹理与场方向平行纹理与场方向平行1.2 1.2 矢矢 量量 运运 算算1.1.矢量加法：矢量加法：定义定义：按平行四边形或三角形法则相加：按平行四边形或三角形法则相加ABA+BAB-BA-BA-B-BBAAA+BB 运算法则运算法则：a.A+B=B+Ab.A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)c.A B=A+(-B)d.若若 A=ax Ax(x,y,z)+ay Ay(x,y,z)+az Az(x,y,z)B=ax Bx(x,y,z)+ay By(x,y,z)+az Bz(x,y,z)则则 AB=ax(AxBy)+ay(AyBy)+az(AzBz)A=ax(Ax)+ay(Ay)+az(Az)2.两个矢量的标量积两个矢量的标量积（点积，点乘点积，点乘）：结果是标量结果是标量 定义定义：A B=A B cos 其中其中为为A、B间的夹角间的夹角 运算法则运算法则：a.A B=B A (A+B)C=A C +B C b.A A=A 2直角坐标中直角坐标中，A A=Ax2+Ay2+Az2=A2A 在在B 方向上的投影方向上的投影 AB c.=AxBx+AyBy+AzBzd.A B=0 A B（可作为两矢量相互垂直的判据）（可作为两矢量相互垂直的判据）AB=(ax Ax+ayAy+azAz)(ax Bx+ayBy+azBz)直角坐标系中直角坐标系中3.两个矢量的矢量积两个矢量的矢量积（叉积、叉乘叉积、叉乘）：结果是矢量结果是矢量 定义定义：C=A B 模值模值 C=A B=A B sin方向方向 CA,CB，且且 A、B、C成右手螺旋关系成右手螺旋关系ABBsinC=A B 运算法则运算法则：a.AB=-BA A(B+C)=AB+ACb.A A =0 c.直角坐标系中直角坐标系中 d.A B=0 A B （可作为两矢量相互平行的判据）（可作为两矢量相互平行的判据）zxy4.三个矢量的混合积：三个矢量的混合积：AB C由行列式交换法则可得由行列式交换法则可得：(AB)C=(BC)A=(CA)B=-(BA)C=-(CB)A=-(AC)B 物理意义：物理意义：以以 A、B、C为邻边的平行六面体的体积为邻边的平行六面体的体积ABC三个矢量三个矢量A、B、C的二重矢量积定义为按照的二重矢量积定义为按照顺序或优先级别做两次叉乘运算，如顺序或优先级别做两次叉乘运算，如可以证明二重矢量积不满足结合律，但满足下可以证明二重矢量积不满足结合律，但满足下面的恒等式：面的恒等式：5.三个矢量二重矢量积：三个矢量二重矢量积：或习题习题：1-2、141.3 正交坐标系与微分元正交坐标系与微分元 正正 交交 曲曲 线线 坐坐 标标 系系 简简 介介常用的正交曲线坐标系有常用的正交曲线坐标系有13种：种：直角、圆柱、球、直角、圆柱、球、椭圆柱、抛物柱、抛物面、旋转抛物面、椭圆柱、抛物柱、抛物面、旋转抛物面、长旋转椭球、扁旋转椭球、椭球、双球、长旋转椭球、扁旋转椭球、椭球、双球、圆锥、环圆锥、环 坐标线坐标线（轴）（轴）：三张正交曲面两两相交而成的曲线三张正交曲面两两相交而成的曲线 坐标原点坐标原点（基准点）（基准点）：三条坐标线的交点三条坐标线的交点 坐标变量坐标变量：三个独立的自由度，用三个独立的自由度，用u1、u2、u3表示表示 坐标单位矢量坐标单位矢量：空间任一点与坐标线相切且指向空间任一点与坐标线相切且指向变量增加方向的三个单位矢量，用变量增加方向的三个单位矢量，用a1、a2、a3表示表示 u1、u2、u3呈右手螺旋关系呈右手螺旋关系右手系右手系u2u1u3一一.直直 角角 坐坐 标标xzyOaxxayyPrazz1 i=j0 i j ai aj=2.点乘关系点乘关系：1.叉乘关系叉乘关系：(ax)(ay)(az)P(x,y,z)xyOzz面y面x面r=ax x+ay y+azz 4.矢量线元矢量线元：dl=dr=ax dx+ay dy+azdz PQdzdydxdlazaxaydrr+drr3.位置矢量位置矢量：5.矢量面元：矢量面元：方向的定义：方向的定义：开表面开表面与面积外沿的绕向呈右手螺旋关系与面积外沿的绕向呈右手螺旋关系dS 闭合面闭合面外法线方向外法线方向dS=ax dSx+aydSy+azdSz dSx=dydz，dSy=dxdz，dSz=dxdy dSxdSydSzdzdydxaz dSzaxdSxay dSydzdydx6.体积元：体积元：d=dx dy dzdydzdx二二.圆圆 柱柱 坐坐 标标P(,z)P到到z轴垂直距离轴垂直距离 与与+x轴的夹角轴的夹角z xzyOzz面面面 轴 轴z 轴xzyOazaazPr1.位置矢量位置矢量：r=a+azz1 i=j0 i j ai aj=3.点乘关系点乘关系：4.换算关系换算关系：2.叉乘关系叉乘关系：(a)(a)(az)axyxyOa5.导数关系：导数关系：注意注意:a、a 模值虽为模值虽为1，但方向，但方向随随 变化，是变化，是 的函数，是变矢。的函数，是变矢。axyxyOa6.矢量线元矢量线元:ddzdrxzyOaazPazdrzxyOzdSdSzdSxyOzzdSxyOzzdSxyOzzdSzdS=d dzdS=ddzdSz=dd8.体积元：体积元：d=d d dzdS=a dS+adS+azdSz7.矢量面元：矢量面元：二球坐标二球坐标P(r，)r P到球心距离到球心距离 0 r与与+z轴的夹角轴的夹角 r在在xOy面上的面上的投影投影（）与与+x 轴的夹角轴的夹角zxyraaraOP 面r 面 面z1 i=j0 i j ai aj=3.点乘关系点乘关系：4.换算关系换算关系：2.叉乘关系叉乘关系：(ar)(a)(a)1.位置矢量位置矢量：r=arrxzyOazcosarasinzrxyasinaxsincosaysinsinxzyO-azsinaacoszrxyaxcoscosaycossinacos(a)ar的分解 (b)a 的分解 注意注意：ar(，）、a(，）、a(）均不均不是常是常矢量矢量5.导数关系：导数关系：6.矢量线元矢量线元:zxyarad d raOdrdr7.矢量面元：矢量面元：dS=ar dSr+adS+adSdS=rsinddr8.体积元：体积元：d=r2 sin drd ddSr=r2sin d ddS=rd drdrdSrdSdSrd rsin d 定义定义度量系数：度量系数：直角系中直角系中：hx=hy=hz=1球坐标中球坐标中：正交坐标系中微分元的一般表达正交坐标系中微分元的一般表达圆柱坐标中圆柱坐标中:一般地，在正交坐标系中一般地，在正交坐标系中矢量线元：矢量线元：dl=a1 dl1+a2dl2+a3dl3 =a1h1 du1+a2h2du2+a3h3du3矢量面元矢量面元：dS=a1 dS1+a2dS2 +a3dS3 =a1 dl2dl3+a2dl1dl3+a3dl1dl2 =a1h2h3 du2du3+a2h1 h3du1du3+a3h1h2du1du2体积元：体积元：d=dl1dl2dl3=h1h2h3du1du2du3dS3dS2dS11.4 1.4 标量场的方向导数和梯标量场的方向导数和梯度度 一一.方向导数方向导数 定义定义：标量场标量场(r)在在l方向上的变化率方向上的变化率在正交坐标系中，在正交坐标系中，dl du1、du2、du3，全微分：全微分：则则（r）在在dl 方向上的方向导数为方向上的方向导数为 沿沿x 方向的变化率方向的变化率例如：例如：二标量场的梯度二标量场的梯度在正交坐标系中在正交坐标系中dl=a1 dl1+a2dl2+a3dl3=a1h1 du1+a2h2du2+a3h3du3定义：定义：标量场标量场(r)的梯度（的梯度（gradient)矢量微分算子，称作汉密顿算符矢量微分算子，称作汉密顿算符则方向导数改写为则方向导数改写为在直角坐标系中在直角坐标系中在圆柱坐标系中在圆柱坐标系中在球坐标系中在球坐标系中计算场计算场f(r)=x y2 z 在在A=ax+2ay+2az 方向的方向导数方向的方向导数及在点及在点(2，1，0)处，在处，在B=2ax ay+2az 方向的方向导数。方向的方向导数。解：解：=ax y2 z+ay 2 x y z+az x y2例例三梯度的性质三梯度的性质1.一个标量场的梯度是一个矢量场。一个标量场的梯度是一个矢量场。矢量矢量2.在空间任何一点，梯度的方向总是与过该点的在空间任何一点，梯度的方向总是与过该点的等值面相垂直，即梯度的方向与等值面的法线方等值面相垂直，即梯度的方向与等值面的法线方向是一致的。向是一致的。证：若证：若dl 沿等值面，则沿等值面，则即即 等值面等值面0 0+ddl3.在空间任何一点，梯度的方向都指向标量场在空间任何一点，梯度的方向都指向标量场场量增加的方向。场量增加的方向。证：证：若若=0，即沿梯度方向位移，则即沿梯度方向位移，则若若=，即反梯度方向位移，则即反梯度方向位移，则0 0+ddl4.在空间任何一点，梯度的模都等于标量场在在空间任何一点，梯度的模都等于标量场在该点的方向导数可能取得的最大值。该点的方向导数可能取得的最大值。证：证：其中其中 为为 与与dl 之间的夹角之间的夹角最大最大即即当当=0 时，时，0 0+ddl5.一个单值标量场梯度的线积分仅与曲线的起止点一个单值标量场梯度的线积分仅与曲线的起止点有关，而与曲线的形状无关。即一个单值标量场有关，而与曲线的形状无关。即一个单值标量场的梯度是一个保守的矢量场。的梯度是一个保守的矢量场。证：证：得得若若P1、P2重合，则重合，则P1P2由由6.运算法则：运算法则：(fg)=(gf)=fg+gf(f+g)=(f+g)=f+g四四.梯度的物理意义梯度的物理意义 在空间任何一点，标量场梯度的在空间任何一点，标量场梯度的方向方向是该是该点标量场场量增加最快的方向；它的点标量场场量增加最快的方向；它的模模是由该是由该点向各个不同方向移动时场量可能有的最大增点向各个不同方向移动时场量可能有的最大增加率。加率。标量场的梯度是标量场的场量空间变化度。标量场的梯度是标量场的场量空间变化度。0 0+ddlu电位场的负梯度电位场的负梯度 与过该点的等位线垂直；与过该点的等位线垂直；指向电位降低的方向。指向电位降低的方向。数值等于该点的最小方向导数；数值等于该点的最小方向导数；距离矢量距离矢量R=r（x，y，z）-r(x,y ,z)设有标量场设有标量场f，求证：以，求证：以(x,y,z)为动点的梯度为动点的梯度f(R)与以与以（x，y，z）为动点时的梯度为动点时的梯度f(R)之间有如下关系：之间有如下关系：f(R)=-f(R)证：证：O rrR(x,y,z)(x,y,z)例例1.9同理同理O rrR(x,y,z)(x,y,z)习题：习题：1.17,1.181.17,1.181.5 1.5 矢量场的散度矢量场的散度散度定理散度定理一一.矢量场的通量和通量矢量场的通量和通量源源1.1.通量通量:2.源点源点:S内发出矢量线的起点内发出矢量线的起点S内汇聚矢量线的终点内汇聚矢量线的终点3.汇点：汇点：二二.矢量场的散度矢量场的散度1.1.散度的定义散度的定义:2.2.散度的数学计算式散度的数学计算式:PA3A1A2穿出左、右面的通量为：穿出左、右面的通量为：S3S2S1l1l2l3穿出上、下面的通量为：穿出上、下面的通量为：穿出前、后面的通量为：穿出前、后面的通量为：S3S2S1l1l2l3代入定义式得代入定义式得圆柱系中：圆柱系中：球系中：球系中：在直角系中在直角系中在正交系中在正交系中 考虑一个气筒考虑一个气筒,突然打开气门突然打开气门,被压缩的空气的被压缩的空气的流速将是越靠近气门越大。设流速将是越靠近气门越大。设v=ax k x，求求v。解：解：想象一个爆炸的气球，设某点处气体的流速同想象一个爆炸的气球，设某点处气体的流速同该点与源点的距离成正比，为该点与源点的距离成正比，为v(r)=ar k r，求v。解：解：表明气筒内各点都存在着密度为表明气筒内各点都存在着密度为k的气流。的气流。表明空间各点都存在着密度为表明空间各点都存在着密度为3k的气流。的气流。vx例例例例3.3.矢量场散度的性质：矢量场散度的性质：a.一个矢量场的散度在空间构成一个标量场。一个矢量场的散度在空间构成一个标量场。有矢量线从该点发出有矢量线从该点发出 源点源点 有矢量线在该点终止有矢量线在该点终止汇点汇点矢量线在该点仅仅是通过矢量线在该点仅仅是通过无源无源有有散散场场无无散散场场矢量场的散度反映了矢量场在空间各点的净通量状态。矢量场的散度反映了矢量场在空间各点的净通量状态。P QM（Q点）点）（M点）点）（P点）点）b.散度具有通量体密度的量纲。散度具有通量体密度的量纲。c.（A+B）=（B+A）=A+Bd.运算法则：运算法则：三三.散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理）1.定理内容定理内容：设在空间有一闭合曲面设在空间有一闭合曲面S，它所包围，它所包围的空的空间体积为间体积为，如果矢量场，如果矢量场A在在S和和上都是连上都是连续可导的，则续可导的，则 表明了矢量场通过闭合面发出的净通量与矢量表明了矢量场通过闭合面发出的净通量与矢量场在曲面内的通量源之间的关系。场在曲面内的通量源之间的关系。在数学上建立了面积分和体积分之间的关系。在数学上建立了面积分和体积分之间的关系。2.2.证明：证明：将将 分成许多个体积元分成许多个体积元 1、2 ，对，对每个每个 计算通量，再求和。由图可见：计算通量，再求和。由图可见：由散度定义：由散度定义：计算面积分计算面积分圆锥面在半径为圆锥面在半径为R的球面上割出的面积。的球面上割出的面积。解解：xyzOR其中其中S是半锥角为是半锥角为 的的例1-5已知矢量场已知矢量场 A=a(e-/)+az cosz，为常数。有一个以为常数。有一个以z轴为轴线，半径为轴为轴线，半径为2的单位长度圆柱面与的单位长度圆柱面与z=0，z=1的平面构成的的平面构成的闭合面闭合面S，求，求A穿过穿过S的通量。的通量。解：解：yzxO1Sz上Sz下S22例例A=a(e-/)+az cosz为什么？习题习题:1.20 1.22:1.20 1.221.6 1.6 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度斯托克斯定理斯托克斯定理一一.矢量场的环量和漩涡源矢量场的环量和漩涡源P1 P21.1.环量：环量：2.涡旋源：涡旋源：表明表明c包围涡旋源包围涡旋源表明表明c不包含涡旋源不包含涡旋源A涡旋源涡旋源涡旋面涡旋面矢量场矢量场二二.矢量场矢量场的旋度的旋度1.1.旋度的定义：旋度的定义：对对M点，仿照散度的定义，取点，仿照散度的定义，取（环流面密度）环流面密度）显然，上面的算式与积分路径的选取有关显然，上面的算式与积分路径的选取有关M Ac1c2c3n3n2n1定义：定义：其中其中ni 是环路是环路ci 所张面积的单位法线方向所张面积的单位法线方向分别是分别是rotA在在n3、n2、n1上的投影上的投影则则即即(rotation)正交系中，矢量场正交系中，矢量场A在任意点在任意点M点的旋度可定义为：点的旋度可定义为：式中式中S1、S2、S3分别是任意环路所围成的面在分别是任意环路所围成的面在a1坐标面坐标面、a2坐标面和坐标面和a3坐标面上的投影，其边界分别坐标面上的投影，其边界分别是是c1、c2和和c3。2.旋度的数学计算式：旋度的数学计算式：设设P点在环路点在环路A-B-E-F-G-D-A所所张的一个面上，该面在正交系张的一个面上，该面在正交系三个坐标面上的投影分别为三个坐标面上的投影分别为c2 PGDAP S2由图可知：由图可知：c3 PABEP S3c1 PEFGP S1PABEFGDu1u3l3l2l1u2C1C2C3CMA3A1A2PABEFGDu1u3l3l2l1u2C1C2C3C同理可得：同理可得：注意：行列式只能对第一行展开，对第三行元素求导注意：行列式只能对第一行展开，对第三行元素求导直角坐标中：直角坐标中：柱坐标：柱坐标：球坐标：球坐标：求求A=axx2+ayy2+azz2 沿着沿着 xy 面上的一个闭合回路面上的一个闭合回路C的的线积分线积分,如图所示如图所示。解：解：回路回路C在在xOy面上，面上，dz=0例例2y2=xOyx讨论：讨论：A=ax x2+ay y2+az z2=ar r2是辐射状的场，是辐射状的场，可以证明，可以证明，F=ar f(r)这类场必定是无旋的。这类场必定是无旋的。A=axx2+ayy2+azz2P(2,)2y2=xOyx3.旋度的性质：旋度的性质：a.一个矢量场的旋度构成一个新的矢量场。一个矢量场的旋度构成一个新的矢量场。c.旋度不为零的点有产生矢量场环流的能力旋度不为零的点有产生矢量场环流的能力(有旋场有旋场)。旋度等于零的点没有产生矢量场环流的能力旋度等于零的点没有产生矢量场环流的能力(无旋场无旋场)。b.旋度具有环流面密度的量纲。旋度具有环流面密度的量纲。d.(A+B)=A+B (A)=0 u=0三三.二二 阶阶 微微 分分 算算 子子二阶微分：二阶微分：(A)=0 u=0其中其中拉普拉斯二阶微分算子拉普拉斯二阶微分算子直角坐标直角坐标圆柱坐标圆柱坐标球坐标球坐标四四.斯托克斯斯托克斯（stockes)定定理理证明：证明：将将c 围成的面分成许多面元围成的面分成许多面元则有则有即即习题习题:1.23 1.24:1.23 1.241.71.7亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理若矢量场若矢量场F 在在无限区域无限区域中单值、连续可导，源中单值、连续可导，源分布在有限区域分布在有限区域 中，则当矢量场的旋度和散度中，则当矢量场的旋度和散度给定后，则矢量场给定后，则矢量场F 可表示为可表示为式中式中【证明略证明略】（1）任一矢量场均可表示为一个无旋场和一个无散场）任一矢量场均可表示为一个无旋场和一个无散场之和；之和；（2）无限空间矢量场的由其散度和旋度唯一的确定；）无限空间矢量场的由其散度和旋度唯一的确定；（3）有限区域中的矢量场由矢量场的散度、旋度和边）有限区域中的矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件唯一地确定。界条件唯一地确定。设边界面设边界面S=nS，则则是矢量场在边界面法线方向的分量；是矢量场在边界面法线方向的分量；是矢量场在边界面切线方向的分量。是矢量场在边界面切线方向的分量。亥姆霍兹定理表明亥姆霍兹定理表明：矢量场的基本方程矢量场的基本方程若已知若已知 F=F=J则则微分形式的基本方程微分形式的基本方程积分形式的基本方程积分形式的基本方程 三种特殊形式的场三种特殊形式的场1.1.平行平面场：平行平面场：如果在垂直某一轴线如果在垂直某一轴线(设为设为 z轴轴)的一族平行平面上，的一族平行平面上，场场 F F 的分布都相同，即的分布都相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。则称这个场为平行平面场。2.2.轴对称场：轴对称场：如果在经过某一轴线如果在经过某一轴线(设为设为 z 轴轴)的一族子午面上，的一族子午面上，场场 F 的分布都相同，即的分布都相同，即 F=f(r,)，则称这个场为轴对称场。则称这个场为轴对称场。3.3.球面对称场：球面对称场：如果在一族同心球面上如果在一族同心球面上(设球心在原点设球心在原点)，场，场 F F 的分布都相同，即的分布都相同，即 F=f(r)，则称这个场为球面对称场。，则称这个场为球面对称场。例例求矢量场求矢量场解解 将矢量场A代入球坐标的散度计算式，将得到 如果我们对如果我们对A取一个球心在原点、半径为取一个球心在原点、半径为b（b0）的球面的面积分，可得）的球面的面积分，可得注意：矢量场注意：矢量场A在在r=0处有一个奇点，在散度的计算式里并不包含这一点。处有一个奇点，在散度的计算式里并不包含这一点。（a为常数）的散度源分布。为常数）的散度源分布。为了使散度定理在全空间成立，我们引入 函数。由散度定理习题习题1.25第第 二二 章章静静 电电 场场基基 本本 要要 求求了解库仑定律的内容并了解库仑定律的内容并会计算两个点电荷间的作用力会计算两个点电荷间的作用力；掌握静电场各基本物理量的名称、单位和意义；掌握静电场各基本物理量的名称、单位和意义；了解介质极化的本质和模型，并了解介质极化的本质和模型，并会计算极化电荷会计算极化电荷；熟练使用静电场的基本方程和边界条件求解电场；熟练使用静电场的基本方程和边界条件求解电场；熟练使用电位方程求解一维、二维场；掌握直角坐标熟练使用电位方程求解一维、二维场；掌握直角坐标分离变量法和镜像法分离变量法和镜像法会计算常见会计算常见电容器的电容；电容器的电容；一般掌握静电能和静电力的计算一般掌握静电能和静电力的计算重重 点点 要要 求求熟练利用直接积分法、高斯定律、解电位方程等解熟练利用直接积分法、高斯定律、解电位方程等解决决源和场的互求问题源和场的互求问题，并计算常见，并计算常见电容器的电容电容器的电容。2.1 2.1 电场强度电场强度 库仑定律库仑定律 电场产生示意电场产生示意电场消失示意电场消失示意电荷作用力举例电荷作用力举例1（吸引力）（吸引力）电荷作用力举例电荷作用力举例2（排斥力）（排斥力）电荷作用力举例电荷作用力举例3（渐变力）（渐变力）一一.库仑定律库仑定律式中式中由点电荷由点电荷q1指向点电荷指向点电荷q2 真空中的电容率真空中的电容率Rq1 q2Orr二二.电场强度电场强度（Electric Field Intensity Electric Field Intensity)定义定义定义定义：单位单位单位单位：电场强度电场强度E 伏特伏特/米米（V/m)电场力电场力F 牛顿牛顿（N）电荷量电荷量q 库仑库仑（C）物理意义物理意义物理意义物理意义：若若1库仑的点电荷在电场中所受到的库仑的点电荷在电场中所受到的力为力为1牛顿，则定义该电场的电场强牛顿，则定义该电场的电场强度为度为1伏特伏特/米。米。库仑定律的重要结论库仑定律的重要结论呈球对称辐射状分布，呈球对称辐射状分布，2.Eq ,根据这种线性关系，可利用叠加原理根据这种线性关系，可利用叠加原理来计算各种电荷分布的电场：来计算各种电荷分布的电场：该性质决定了静电场的基本方程。该性质决定了静电场的基本方程。（1）N个点电荷：个点电荷：（2）体电荷分布：）体电荷分布：（3）面电荷密度：）面电荷密度：（4）线电荷密度：）线电荷密度：注意：注意：E 是场点的分布函数，在对源点（是场点的分布函数，在对源点（r）积分）积分的过程中，的过程中，r 作为常数，是定点。积分完成后，作为常数，是定点。积分完成后，E 是是r 的函数。的函数。半径为半径为a的孤立导体球，总电量为的孤立导体球，总电量为Q。求球内外的。求球内外的E。解：解：（1）选取适当的坐标系）选取适当的坐标系采用球坐标，令极轴通过场点采用球坐标，令极轴通过场点P(r,0,0)（2）根据电荷分布，写出）根据电荷分布，写出电场的计算式电场的计算式电荷均匀分布于球表面电荷均匀分布于球表面式中式中 dS=a2sin d daR=-asin+azcos例例2.12.1zrROaP(3)积分积分由由得得zrROaP结论：球外的电场与结论：球外的电场与Q在球心的电场是相同的。在球心的电场是相同的。结论：导体球内没有电场。结论：导体球内没有电场。习题习题 2.22.22.2 2.2 静电场的基本方程静电场的基本方程 一一.立体角的概念立体角的概念PSOR1R2S1S2 球面上的面积对球心所张立体角的定义：球面上的面积对球心所张立体角的定义：Sr（球面度球面度）任意面元任意面元dS对定点对定点O所张的立体角：所张的立体角：由由O指向指向dS的单位矢量的单位矢量O到到dS的距离的距离 任意曲面任意曲面S对定点对定点O所张的立体角：所张的立体角：注意：立体角有正负之分注意：立体角有正负之分常用的几个立体角：常用的几个立体角：（1）一个半锥角为）一个半锥角为 的圆锥面内区域的空间范围的圆锥面内区域的空间范围的立体角的立体角xyzOR利用前面的结果利用前面的结果（2）曲面曲面对表面对表面上侧上侧的点所张的立体角为的点所张的立体角为-2，曲面曲面对表面对表面下侧下侧的点所张的立体角为的点所张的立体角为2。（3）一个）一个闭合曲面闭合曲面对曲面对曲面外外的点所张的立体角为的点所张的立体角为零零；对对曲面包围曲面包围的点所张的立体角为的点所张的立体角为4。dSdSOdSOxyzOR二二.静电场的通量和散度静电场的通量和散度1.1.静电场的通量：静电场的通量：对点电荷对点电荷任取一闭合面积分：任取一闭合面积分：q在在S内内q在在S外外若若S内有内有N个点电荷个点电荷q1、q2、qN，则，则将点电荷的高斯定律推广到分布电荷将点电荷的高斯定律推广到分布电荷、S、l，可得可得注意注意：方程右边的被积：方程右边的被积函数及积分区域均是左函数及积分区域均是左边的闭合面所包围的。边的闭合面所包围的。当闭合面内充满体电荷当闭合面内充满体电荷时，时，的外包面即是的外包面即是S真空中的高斯定律真空中的高斯定律对上式可应用散度定理：对上式可应用散度定理：当当=时时说明：高斯定律适用于静止电荷及运动电荷的每一瞬间说明：高斯定律适用于静止电荷及运动电荷的每一瞬间举例举例1（运动的正电荷）（运动的正电荷）举例举例2（运动的负电荷）（运动的负电荷）2.2.静电场的散度：静电场的散度：在真空中，由一个闭合面内穿出的电通量等于在真空中，由一个闭合面内穿出的电通量等于闭合面所包围的全部体积内的净电荷量。闭合面所包围的全部体积内的净电荷量。适于解决：平面对称、轴对称、球对称的电场问题。适于解决：平面对称、轴对称、球对称的电场问题。+q+q注意：注意：E的通量仅与闭合面的通量仅与闭合面S 所包围的净电荷有关。所包围的净电荷有关。而而S面上的面上的E是由系统中是由系统中全部电荷产生的。全部电荷产生的。高斯定律的物理意义：高斯定律的物理意义：0E 真空中的电通密度真空中的电通密度 轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。高斯面应选择球面高斯面应选择球面(a)(b)(c)图图1.球对称场的高斯面球对称场的高斯面图图2.轴对称场的高斯面轴对称场的高斯面 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。高斯面应选择圆柱面高斯面应选择圆柱面 无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。(a)(b)(c)图图3.平行平面场的高斯面平行平面场的高斯面高斯面应选择底面平行于电荷面的柱面高斯面应选择底面平行于电荷面的柱面静电场的散度源是电荷，电荷密度不为零的点静电场的散度源是电荷，电荷密度不为零的点能发出或汇聚电力线。能发出或汇聚电力线。注意：注意：E 应在体积中连续应在体积中连续适于解决：由电场分布求解体积中的体电荷密度。适于解决：由电场分布求解体积中的体电荷密度。-q+q点电荷电场点电荷电场利用斯托克斯定理利用斯托克斯定理物理意义：物理意义：静电场是无旋场，在静电场中没有涡旋静电场是无旋场，在静电场中没有涡旋 现象，也就是说，电力线永远不会闭合。现象，也就是说，电力线永远不会闭合。三三.静电场的环量和旋度静电场的环量和旋度总结：真空中静电场的基本方程总结：真空中静电场的基本方程积分形式积分形式微分形式微分形式无限大平面均匀带电，电荷面密度为无限大平面均匀带电，电荷面密度为s，求电场强度。，求电场强度。解解：（：（1）电荷分布具有平面对称性）电荷分布具有平面对称性选取直角坐标选取直角坐标（2）电场垂直于带电平面）电场垂直于带电平面（3）以带电平面为对称面，作一平行六）以带电平面为对称面，作一平行六面体，设其侧面面积为面体，设其侧面面积为S。xs0结论：无限大均匀带电平面在两侧产生反向匀强电场结论：无限大均匀带电平面在两侧产生反向匀强电场-x O xS例例半径为半径为a的球中充满密度为的球中充满密度为(r)的电荷，已知电场为的电荷，已知电场为求电荷密度求电荷密度(r)。解：解：例例习题习题 2.3 2.3，2.4 2.4，2.72.72.3 2.3 电电 位位 由亥姆霍兹定理由亥姆霍兹定理可得静电场的解可得静电场的解电位的引入电位的引入显然，的积分计算式比E 的积分计算式简单电位的物理意义电位的物理意义E沿任意方向的投影为沿任意方向的投影为两点之间两点之间电位差电位差若取 B=0，则A点电位定义为电位的物理意义：电位的物理意义：将单位点电荷从当前点移到零电位点将单位点电荷从当前点移到零电位点电场力所作的功。电场力所作的功。E和和 的的积分关系积分关系面电荷：面电荷：线电荷：线电荷：c与零电位点的选取有关。与零电位点的选取有关。注意：在一个物理系统中，只能有一个零电位点。注意：在一个物理系统中，只能有一个零电位点。对各种电荷分布，场中任一点的电位计算式：对各种电荷分布，场中任一点的电位计算式：点电荷：点电荷：体电荷：体电荷：电力线与等位线（面）的性质电力线与等位线（面）的性质：E E 线不能相交线不能相交;E E 线愈密处，场强愈大线愈密处，场强愈大;E E 线与等位线（面）正交；线与等位线（面）正交；E E 线起始于正电荷，终止于负电荷线起始于正电荷，终止于负电荷;图图1 1 电偶极子的等位线和电力线电偶极子的等位线和电力线图图3 3 点电荷与不接地导体的电场点电荷与不接地导体的电场图图2 2 点电荷与接地导体的电场点电荷与接地导体的电场电荷按体密度电荷按体密度分布于一个半径为分布于一个半径为a的球形的球形区域内，其中区域内，其中0为常数。计算球内外的电场和电位函数。为常数。计算球内外的电场和电位函数。解：解：电荷分布具有球对称性，电荷分布具有球对称性，E(r)=ar Er(r)例例2.22.2电荷分布在有限区域的情形，通常取无穷远为零电位点电荷分布在有限区域的情形，通常取无穷远为零电位点取取 =0一对间距 l 很小的等值异号的点电荷q，称作电偶极子电偶极子。p=ql 定义为电偶极子的电偶极矩电偶极矩，其中l 由-q指向+q。试求其远场（r l）的电场分布。解：zP(r,)r1r2rOq-qpr l，将将 r1、r2 用二项式定理展开，并略去高阶项用二项式定理展开，并略去高阶项电偶极子电偶极子电偶极子远场电场的特点：电偶极子远场电场的特点：当当r 增大时，比点电荷的电场减小得更快增大时，比点电荷的电场减小得更快（2）E与与 角角无关无关，具有轴对称性具有轴对称性（1）p=0Ez电偶极子的电场也可直接计算电场强度得到，而由电位电偶极子的电场也可直接计算电场强度得到，而由电位计算电场，计算步骤虽多，但比直接计算电场要简单。计算电场，计算步骤虽多，但比直接计算电场要简单。电荷均匀分布具有轴对称性，电荷均匀分布具有轴对称性，E()=aE()解解：设内外导体圆柱单位长度带电量分别为设内外导体圆柱单位长度带电量分别为l，-labU高斯面取作半径为高斯面取作半径为 的同轴圆柱面的同轴圆柱面例例2-3-12-3-1无限长同轴导体圆柱，内半径为无限长同轴导体圆柱，内半径为a，外半径为，外半径为b，两圆，两圆柱间加电压柱间加电压U，求两圆柱间电场强度及单位长度电容。，求两圆柱间电场强度及单位长度电容。电力电缆220K伏XLPE交链聚乙烯高压电力电缆6K伏三相矿用橡套电缆（中间地线、右侧测量线）电力电缆对平行双线对平行双线l和和-l，零电位点应取在两柱（线）的对称面上，零电位点应取在两柱（线）的对称面上(1=2)解：解：+-例例2-3-22-3-2l的电场的电场l的电位的电位平行双线传输线可看作是两根单位带电量分别是平行双线传输线可看作是两根单位带电量分别是l和和-l的无限长细圆柱或直线，试求其电位分布。的无限长细圆柱或直线，试求其电位分布。总结总结 电位参考点的选择原则电位参考点的选择原则场中任意两点的电位差与参考点无关。场中任意两点的电位差与参考点无关。同一个物理问题，只能选取一个参考点。同一个物理问题，只能选取一个参考点。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如例如：点电荷产生的电场：点电荷产生的电场：表达式无意义表达式无意义电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；电荷分布延伸到无穷远区时，选择有限远处为参考点。电荷分布延伸到无穷远区时，选择有限远处为参考点。习题习题 2.82.82.4 2.4 介质中的静电场方程介质中的静电场方程一一.介质的极化介质的极化1.1.介质的分类介质的分类物质中带电粒子分类物质中带电粒子分类2.静电场中介质极化的微观机理：静电场中介质极化的微观机理：E 电子极化（原子极化）电子极化（原子极化）：E=0 离子极化离子极化：单原子分子单原子分子He、Ne共价键分子共价键分子H2、N2、CO2-+E 取向极化（分子极化）取向极化（分子极化）：固有电矩固有电矩P无极性分子无极性分子有极性分子有极性分子3.极化强度：极化强度：定义：定义：单位体积中电偶极矩的矢量和。单位体积中电偶极矩的矢量和。实验表明：实验表明：P=e 0 E C/m2式中式中 e 称为介质的电极化率，无量纲称为介质的电极化率，无量纲 P矢量线由负束缚电荷出发，终止于正束缚电荷矢量线由负束缚电荷出发，终止于正束缚电荷束缚电荷面密度束缚电荷面密度束缚电荷面密度束缚电荷面密度束缚电荷体密度束缚电荷体密度束缚电荷体密度束缚电荷体密度5.极化（束缚）电荷的性质：极化（束缚）电荷的性质：介质均匀且介质中无自由电荷介质均匀且介质中无自由电荷 介质不均匀或介质中有自由电荷介质不均匀或介质中有自由电荷体积内出现异性体束缚电荷体积内出现异性体束缚电荷p，表面出现同性面束缚电荷表面出现同性面束缚电荷ps体积内净电荷为零，体积内净电荷为零，p=0表面出现束缚电荷表面出现束缚电荷ps且且 Qp=-Qps 整块介质的极化电荷总量为零整块介质的极化电荷总量为零E-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+4.束缚电荷的电位：束缚电荷的电位：二二.介质中的高斯定律介质中的高斯定律1.高斯定律的微分形式高斯定律的微分形式（真空中）（真空中）（电介质中）（电介质中）定义定义电位移矢量电位移矢量（Displacement）则有则有电介质中高斯定律的微分形式电介质中高斯定律的微分形式 D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。代入代入D辅助矢量，又称电通密度，辅助矢量，又称电通密度，C/m22.介质中高斯定律的积分形式：介质中高斯定律的积分形式：介质中高斯定律的积分形式介质中高斯定律的积分形式 D 通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上的通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上的D是由高斯面内、外的系统所有自由电荷共同产生的。是由高斯面内、外的系统所有自由电荷共同产生的。点电荷点电荷q q分别置于金属球壳的内外分别置于金属球壳的内外图示平行板电容器中放入一块介质后，其图示平行板电容器中放入一块介质后，其D线、线、E 线和线和P 线的分布。线的分布。D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。E线由正电荷出发，终止于负电荷；线由正电荷出发，终止于负电荷；D线E线P线D D、E E与 P P 三者之间的关系3.D和和E的关系：的关系：D=0E+PP=e 0 ED=0 E+e 0 E=0(1+e)E =0 r E=E D=E介质的本构关系或组成关系介质的本构关系或组成关系 介质的电容率（介电常数）介质的电容率（介电常数）F/m r介质的相对电容率（相对介电常数）介质的相对电容率（相对介电常数）无量纲无量纲e、r 和和 的取值取决于媒质的特性的取值取决于媒质的特性 媒媒质质特特性性均匀：均匀：e,r,与位置无关，实常数，与位置无关，实常数，e,r,=c线性：线性：PE，e,r,与与E 无关无关线性、均匀、各向同性媒质线性、均匀、各向同性媒质简单媒质简单媒质非线性非线性：e(E),r(E),(E)是是E 的函数的函数 非均匀：非均匀：e,r,是位置的实函数是位置的实函数e(r),r(r),(r)各向同性：各向同性：PE D，e,r,是实数是实数介质存在时，静电场的基本方程为介质存在时，静电场的基本方程为总总 结结三三.极化问题举例极化问题举例无限大永久极化板内极化强度为无限大永久极化板内极化强度为zP=az P0 (C/m)(0zd)求该板产生的电场求该板产生的电场E 和电位移和电位移D。解（一）：解（一）：等效原则等效原则（z0，0zd）z=0 n=-az ps=Pnz=0=-P0z=d n=az ps=Pnz=d=P0D=0E+P=0000Ops=P0ps=-P0dzdOP00解（二）：解（二）：利用各矢量线的物理意义利用各矢量线的物理意义因为全空间没有自由电荷分布因为全空间没有自由电荷分布，D=0由由 D=0E+P=0 得得dOP00zdOE00z图图2球壳球壳内内的电场的电场图图1球壳球壳外外的电场的电场试分析图试分析图1与与2的电场能否直接用高斯定律来求解场的分布？的电场能否直接用高斯定律来求解场的分布？图图1点电荷点电荷q置于金属球壳内任意位置的电场置于金属球壳内任意位置的电场图图2点电荷点电荷q分别置于金属球壳分别置于金属球壳内的中心处与球壳外的电场内的中心处与球壳外的电场例例例-4-1解：解：r 0 0 R r=R 半径为R，介电常数为 的介质球球心处有一个点电荷q，求球内外的D、E、P及PS 与P分布。习题习题 2.10 2.11 2.12 2.10 2.11 2.12 2.152.152.5 2.5 静电场的边界条件静电场的边界条件 介质表面存在的束缚电荷：介质表面存在的束缚电荷：两种介质分界面上存在的束缚电荷：两种介质分界面上存在的束缚电荷：ps 的存在使的存在使E、D 发生突变，因而场量不连续发生突变，因而场量不连续 在界面上，矢量场基本方程的微分形式不再适用在界面上，矢量场基本方程的微分形式不再适用但积分形式仍然成立但积分形式仍然成立0n12nn介质的介质的外外法线方向法线方向n由由介质介质2指向介质指向介质1一不同介质分界面上法线方向的边界条件一不同介质分界面上法线方向的边界条件D1n-D2n=s或或完纯介质分界面上完纯介质分界面上，s=0，则则D1n=D2n或或n12h12D2D1D1nD2nS二不同介质分界面上切线方向的边界条件二不同介质分界面上切线方向的边界条件nsl-l写成矢量表达式：写成矢量表达式：n E1=n E2E1sin 1 =E2 sin 2或或E1t =E2t 12n12E2E1E1tE2tlch思考思考：Et 和 n E 关系如何关系如何？或或E1t =E2t 表明表明:在介质分界面上，电位是连续的。在介质分界面上，电位是连续的。设点设点1与点与点2分别位于分界面的两侧，其分别位于分界面的两侧，其间距为间距为d，d 0,则则表明表明:一般情况下，介质分界面上电位的导数是不连续的。一般情况下，介质分界面上电位的导数是不连续的。三用电位表示的介质分界面边界条件三用电位表示的介质分界面边界条件1.切向切向:2.法向法向:D1n-D2n=s总总 结结不同介质分界面上的边界条件（衔接条件）为不同介质分界面上的边界条件（衔接条件）为n E1=n E2D1n-D2n=sE1t =E2t D1n=D2n（s=0）n E1=n E2E1t =E2t（s=0）特别注意：下式中特别注意：下式中n 的方向为由的方向为由介质介质2指向介质指向介质11=21=2结论：结论：（1）导体表面是一等位面；电力线与导体表面垂直，电场仅）导体表面是一等位面；电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；有法向分量；（2）导体表面上任一点的）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度就等于该点的自由电荷密度s。当分界面为导体与电介质的交界面时，当分界面为导体与电介质的交界面时，由于导体内电场和电位移矢量均为零，由于导体内电场和电位移矢量均为零，所以分界面上的衔接条件变为：所以分界面上的衔接条件变为：四四.理想导体表面的边界条件理想导体表面的边界条件nD2=E2=0D解：解：下极板自由电荷密度下极板自由电荷密度h0U0+-DdQ，S-Q，SE1E2例例2-5-12-5-1平板电容面积为平板电容面积为S，带电量分别为，带电量分别为Q与与-Q，电容器的一，电容器的一部分用电容率为部分用电容率为 的介质填充，另一部分为空气，如图所示。的介质填充，另一部分为空气，如图所示。求电容器的求电容器的电容量电容量。讨讨 论论（2）若如图）若如图(b)所示，介质与空气的分界面与所示，介质与空气的分界面与电场矢量平行，电场平行于切向电场矢量平行，电场平行于切向(分界面上无分界面上无束缚电荷束缚电荷)，因此，因此，E1=E2（1）此例中，介质与空气的分界面与电场相）此例中，介质与空气的分界面与电场相垂直，电场平行于法向垂直，电场平行于法向(分界面上有束缚电荷分界面上有束缚电荷),因此，因此，D1=D2（3）介质与极板的分界面上，因电场总与极板垂直，即总在界）介质与极板的分界面上，因电场总与极板垂直，即总在界面的法向上，因此，界面上总有束缚电荷。面的法向上，因此，界面上总有束缚电荷。（4）图（）图（a）相当于两电容器的）相当于两电容器的串联串联图（图（b）相当于两电容器的）相当于两电容器的并联并联C=C1+C2 D1 D2图图(a)E1 E2图图(b)两同轴导体圆柱，半径分别为两同轴导体圆柱，半径分别为a 和和b，圆柱间在，圆柱间在 角部角部分填充电容率为分填充电容率为 的介质，其余部分为空气，外加电压的介质，其余部分为空气，外加电压U。求介。求介质和空气中的电场以及单位长度的电容。质和空气中的电场以及单位长度的电容。解