第二章-矢量分析课件

第一章第一章 矢量分析矢量分析主主 要要 内内 容容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 6 6学时学时0.矢量及其运算矢量及其运算1.标量场和矢量场标量场和矢量场2.矢量场的散度矢量场的散度3.矢量场的旋度矢量场的旋度4.标量场的梯度标量场的梯度5.亥姆霍姿定理亥姆霍姿定理05 七月 20241第一章第一章 矢量分析主矢量分析主 要要 内内 容容0.矢量及其矢量及其1.0 1.0 矢量及其运算矢量及其运算 直角坐标系直角坐标系 矢量表示矢量表示 矢量代数矢量代数 矢量微积分矢量微积分 05 七月 202421.0 矢量及其运算矢量及其运算 直角坐标系直角坐标系 13 八月八月 20232直直 角角 坐坐 标标 系系三变量三变量 x y z 坐标表示坐标表示线元线元 面元面元 体积元体积元 05 七月 20243直直 角角 坐坐 标标 系三变量系三变量 x y z 标量标量 一个只用它的大小就能完整的描述的物理量称为标量。如：时间、质量、温度、功、速率等。矢量矢量 一个有大小和方向的物理量称为矢量。如：力、速度、力矩等。矢矢 量量 表表 示示05 七月 20244 标量矢标量矢 量量 表表 示示13 八月八月 20234几何法几何法代数表示代数表示矢矢 量量 表表 示示单位矢量（单位矢量（unit vectorunit vector）：）：的模值：的模值：方向余旋：方向余旋：05 七月 20245几何法矢几何法矢 量量 表表 示单位矢量（示单位矢量（unit vector）矢量加减法矢量加减法 矢矢 量量 代代 数数05 七月 20246矢量加减法矢量加减法 矢矢 量量 代代 数数13 八月八月 20236矢量乘积矢量乘积 数数 乘乘 标量积标量积 矢矢 量量 代代 数数05 七月 20247矢量乘积矢量乘积 矢矢 量量 代代 数数13 八月八月 20237标量积结论标量积结论单位矢量单位矢量交换率交换率分配率分配率两矢量垂直的充分必要条件：两矢量垂直的充分必要条件：标标量积等于零量积等于零。矢矢 量量 代代 数数05 七月 20248标量积结论矢标量积结论矢 量量 代代 数数13 八月八月 20238矢量乘积矢量乘积数数 乘乘标量积标量积矢量积矢量积矢矢 量量 代代 数数05 七月 20249矢量乘积矢矢量乘积矢 量量 代代 数数13 八月八月 20239矢量积结论矢量积结论 单位矢量单位矢量交换率交换率 分配率：分配率：两矢量平行的充分必要条件：两矢量平行的充分必要条件：矢量矢量积等于零积等于零。矢矢 量量 代代 数数05 七月 202410矢量积结论矢量积结论 矢矢 量量 代代 数数13 八月八月 202310l矢量函数矢量函数 矢矢 量量 微微 积积 分分l矢量函数的导数矢量函数的导数 对空间坐标的导数对空间坐标的导数 05 七月 202411矢量函数矢量函数 矢矢 量量 微微 积积 分矢量函数的导数分矢量函数的导数 对空间对空间矢矢 量量 微微 积积 分分l矢量函数的导数矢量函数的导数 对空间坐标的导数对空间坐标的导数 对时间的导数对时间的导数 l矢量函数的积分矢量函数的积分 05 七月 202412矢矢 量量 微微 积积 分矢量函数的导数分矢量函数的导数 对空间坐标的导数对空间坐标的导数1.1 1.1 矢量场和标量场矢量场和标量场 场的概念场的概念 标量场的等值线标量场的等值线 矢量场的矢量线矢量场的矢量线 05 七月 2024131.1 矢量场和标量场矢量场和标量场 场的概念场的概念13 八月八月 20231场的概念场的概念1.1.场的概念场的概念 任何物理过程总是在一定空间上发生，对应的物理量在空间区域按特定的规律分布。如：电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布地球上太阳及其他原因激发温度的分布在空间区域上每一点有确定物理量与之对应，在空间区域上每一点有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了称在该区域上定义了该物理量的场该物理量的场05 七月 202414场的概念场的概念1.场的概念场的概念13 八月八月 202314l标量场：若所研究的物理量是标量，这样的场称为标量场。如温度场、密度场、电位场等；l矢量场：若所研究的物理量是矢量，这样的场称为矢量场。如速度场、引力场、电场、磁场等。标量场与矢量场标量场与矢量场05 七月 202415标量场：若所研究的物理量是标量，这样的场称为标量场。如温度场标量场：若所研究的物理量是标量，这样的场称为标量场。如温度场台湾海峡表面海水盐度分布福建省台湾岛05 七月 202416台湾海峡表面海水盐度分布福建省台湾岛台湾海峡表面海水盐度分布福建省台湾岛13 八月八月 20231605 七月 20241713 八月八月 202317l场场（fieldfield）是描述空间中所有点上的是描述空间中所有点上的某一物理量的函数。某一物理量的函数。静态场 动态场 Static field Time-varying field 标量场 矢量场 静态场与动态场静态场与动态场05 七月 202418场（场（field）是描述空间中所有点上的某一物理量的函数。静态）是描述空间中所有点上的某一物理量的函数。静态l等值面等值面 空间内标量值相等的点的集空间内标量值相等的点的集合所形成的曲面。合所形成的曲面。l等值面方程等值面方程 u u（x,y,zx,y,z）=C =C （C C 为任意常数）为任意常数）标量场的等值面标量场的等值面05 七月 202419等值面等值面 空间内标量值相等的点的集合所形成的曲面。标量场的等空间内标量值相等的点的集合所形成的曲面。标量场的等矢量场的矢量线矢量场的矢量线为描述矢量场的方向和数值，除直接用矢量的数为描述矢量场的方向和数值，除直接用矢量的数值和方向来表示矢量场外，还用矢量线来描述矢值和方向来表示矢量场外，还用矢量线来描述矢量场分布。量场分布。所谓矢量线是这样的所谓矢量线是这样的曲线，其上每一点的曲线，其上每一点的切线方向为该点矢量切线方向为该点矢量的方向。的方向。05 七月 202420矢量场的矢量线为描述矢量场的方向和数值，除直接用矢量的数值和矢量场的矢量线为描述矢量场的方向和数值，除直接用矢量的数值和l矢量线是这样的一些曲线，线上矢量线是这样的一些曲线，线上每一点的切线方向都代表该点的每一点的切线方向都代表该点的矢量场的方向。矢量场的方向。矢量线的意义矢量线的意义（矢量线的任一点的切向和（矢量线的任一点的切向和平行）平行）矢量线方程：05 七月 202421矢量线是这样的一些曲线，线上每一点的切线方向都代表该点的矢量矢量线是这样的一些曲线，线上每一点的切线方向都代表该点的矢量1.2 1.2 矢量场的散度矢量场的散度 通通 量量 散散 度度 高斯通量定理高斯通量定理 05 七月 2024221.2 矢量场的散度矢量场的散度 通通 量量 13 八月八月 202l矢量在场中某一个曲面上的面积分，矢量在场中某一个曲面上的面积分，称为该矢量场通过此曲面的通量。称为该矢量场通过此曲面的通量。通通 量量 flow of flux 05 七月 202423矢量在场中某一个曲面上的面积分，称为该矢量场通过此曲面的通量矢量在场中某一个曲面上的面积分，称为该矢量场通过此曲面的通量l通通量量可可认认为为是是穿穿过过1 1S S1 1面面的的矢矢量量线线的的总总数数，故故矢矢量量线线又又叫叫通通量量线线；模模1 1F F1 1等等于于在在某某点点与与1 1F F1 1垂垂直直的的单单位位面面积积上上通通过过的的矢矢量量线线的的数数目目，1 1F F1 1又又称称为为通通量面密度矢量。量面密度矢量。0 0(有正源)0 0(有负源)=0=0(无源)通通 量量 flow of flux 05 七月 202424通量可认为是穿过通量可认为是穿过1S1面的矢量线的总数，故矢量线又叫通量线；面的矢量线的总数，故矢量线又叫通量线；l通通量量是是由由1 1S S1 1内内的的通通量量源源决决定定，而而通通量量是是一一个个积积分分量量，仅仅能能说说明明较较大大范范围围内内的的源源分分布布情情况况，而而不不能能说说明明每每一点的性质。引入散度概念。一点的性质。引入散度概念。散散 度度 divergence定义：定义：散度是通量对体积的变化率（单位体积内所穿散度是通量对体积的变化率（单位体积内所穿出的通量），所以散度又称为通量源密度。出的通量），所以散度又称为通量源密度。05 七月 202425通量是由通量是由1S1内的通量源决定，而通量是一个积分量，仅能说明较内的通量源决定，而通量是一个积分量，仅能说明较计算：计算：散散 度度 divergence哈密顿（Hamilton）算子,05 七月 202426计算：散计算：散 度度 divergence哈密顿（哈密顿（Hamill 散度的物理意义散度的物理意义 矢量的散度是一个标量，是空间坐标矢量的散度是一个标量，是空间坐标 点的函数；点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。散度代表矢量场的通量源的分布特性。A A=0=0(无源）无源）A=A=0(0(负负源源)A=A=0 (0 (正源正源)在矢量场中，若在矢量场中，若 A=A=0 0，称之为有源场，称之为有源场，称为称为(通量通量)源密度；若矢量场中处处源密度；若矢量场中处处 A=0A=0，称之为无源场。，称之为无源场。散散 度度 divergence05 七月 202427 散度的物理意义散度的物理意义 矢量的散度是一个标量，是空间坐标矢量的散度是一个标量，是空间坐标 A=高斯通量定理高斯通量定理已知：已知：因为：因为：为为的体密度的体密度所以：所以：高斯通量定理高斯通量定理故：故：因为：因为：为为的体密度的体密度05 七月 202428高斯通量定理已知：因为：为的体密度所以：高斯通量定理故：因为高斯通量定理已知：因为：为的体密度所以：高斯通量定理故：因为例例1.2-1 1.2-1 点电荷位于坐标原点，在离其处产生的点电荷位于坐标原点，在离其处产生的电通量密度为：电通量密度为：其中，其中，求任意点处电通量密度的散度；求任意点处电通量密度的散度；并求穿出以并求穿出以为半径的球面的电通量为半径的球面的电通量 。解解 同理可得同理可得所以所以05 七月 202429例例1.2-1 点电荷位于坐标原点，在离其处产生的电通量密度点电荷位于坐标原点，在离其处产生的电通量密度l 可见，除点电荷所在源点（可见，除点电荷所在源点（）外，）外，空间各点的空间各点的D D的散度均为的散度均为0 0。接接 例例1.2-1 1.2-1 所以所以05 七月 202430 可见，除点电荷所在源点（）外，空间各点的可见，除点电荷所在源点（）外，空间各点的D的散度均为的散度均为0。接。接 矢量场的环量矢量场的环量 旋旋 度度 斯托克斯定理斯托克斯定理 1.3 1.3 矢量场的旋度矢量场的旋度05 七月 202431 矢量场的环量矢量场的环量 1.3 矢量场的旋度矢量场的旋度13 八月八月 2旋涡05 七月 202432旋涡旋涡13 八月八月 202332该环量表示绕线旋转趋势的大小。该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方水流沿平行于水管轴线方向流动向流动=0=0，无涡旋运动，无涡旋运动流体做涡旋运动流体做涡旋运动 0 0，有产生涡旋的源，有产生涡旋的源环量环量 矢量矢量F F 沿空间有向闭合曲线沿空间有向闭合曲线L L 的线积分的线积分环环 量量 circulation例：例：流速场流速场05 七月 202433该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方流体做涡该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方流体做涡l 环量密度环量密度过点过点P作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界曲线，它的边界曲线记为记为 L，面的法线方与曲线绕向成右手，面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当螺旋法则。当 S点点P时，存在极限时，存在极限环量密度环量密度取不同的路径，其环量密度不同。取不同的路径，其环量密度不同。旋旋 度度 rotation05 七月 202434 环量密度过点环量密度过点P作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为 L，面的，面的l 定定 义义旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。大值；方向为最大环量密度的方向。它与环量密度的关系为：它与环量密度的关系为：在直角坐标系下在直角坐标系下旋旋 度度 rotationl 计计 算算05 七月 202435 定定 义旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大义旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大l 旋度的物理意义旋度的物理意义 1 1 旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数；旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数；某点旋度的大小是该点环量密度的最某点旋度的大小是该点环量密度的最 大值；大值；某点旋度的方向是该点最大环量密度某点旋度的方向是该点最大环量密度 的方向；的方向；在矢量场中，若在矢量场中，若 ,称之为称之为 旋度场旋度场 (或涡旋场或涡旋场)，J J 称为称为旋度源旋度源 (或涡旋源或涡旋源)；若矢量场处处若矢量场处处 称之为无称之为无旋场。旋场。旋旋 度度 rotation05 七月 202436 旋度的物理意义旋度的物理意义 1 旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数；旋旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数；旋旋旋 度度 rotationl 旋度的物理意义旋度的物理意义 2 2 扽可得：若可得：若那么存在一个那么存在一个A使得使得（矢量磁位（矢量磁位A）；）；扽扽可得：可得：若若那么存在一个那么存在一个u使得使得（标量电位（标量电位u）。）。05 七月 202437旋旋 度度 rotation 旋度的物理意义旋度的物理意义 2 扽可得：扽可得：斯托克斯定理斯托克斯定理(Stockes Theorem)矢量函数的线积分与面积分的相互转化。矢量函数的线积分与面积分的相互转化。图图 斯托克斯定理斯托克斯定理斯托克斯斯托克斯定理定理 在电磁场理论中，在电磁场理论中，高斯高斯定理定理 和和 斯托克斯斯托克斯定理定理 是两个非常重要的公式。是两个非常重要的公式。05 七月 202438斯托克斯定理斯托克斯定理(Stockes Theorem)矢量函矢量函1.4 1.4 标量场的梯度标量场的梯度 方向导数方向导数 梯梯 度度 05 七月 2024391.4 标量场的梯度标量场的梯度 方向导数方向导数 13 八月八月 202339l研究的是标量在某点沿某一方向的研究的是标量在某点沿某一方向的变化率问题变化率问题(directional derivative)(directional derivative)。方方 向向 导导 数数lM0U计算：计算：定义：定义：05 七月 202440研究的是标量在某点沿某一方向的变化率问题研究的是标量在某点沿某一方向的变化率问题(directionl在这无穷多个方向中哪个方向的变化率在这无穷多个方向中哪个方向的变化率最大？最大？定义：定义：梯梯 度度 gradient 05 七月 202441在这无穷多个方向中哪个方向的变化率最大？在这无穷多个方向中哪个方向的变化率最大？定义：梯定义：梯 度度 l表表明明gradu在在L方方向向上上的的投投影影正正好好等等于于函函数数u(x,y,z)在在该该方方向向上上的的方方向向导导数数，当当gradu与与L方向一致时，即：方向一致时，即：方向导数方向导数:。梯梯 度度 gradient l 那么，梯度那么，梯度 gradu 就是就是 u(M)变化率变化率 最大的方向。最大的方向。05 七月 202442表明表明gradu在在L方向上的投影正好等于函数方向上的投影正好等于函数u(x,y,z)在在l哈密顿（Hamilton）算子 梯 度 gradient 05 七月 202443哈密顿（哈密顿（Hamilton）算子）算子 梯梯 度度 gradie l 梯度的物理意义 1 标量场的梯度是一个矢量标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标是空间坐标 点的函数；点的函数；梯度的大小为该点标量函数梯度的大小为该点标量函数 的最大变的最大变 化率，即该点最大方向导数；化率，即该点最大方向导数；梯度的方向为该点最大方向导数的方向梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指即与等值线（面）相垂直的方向，它指 向函数的增加方向。向函数的增加方向。梯 度 gradient 05 七月 202444 梯度的物理意义梯度的物理意义 1 标量场的梯度是一个矢量标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标是空间坐标例例1 1 三维高度场的梯度三维高度场的梯度例例2 2 电位场的梯度电位场的梯度高度场的梯度高度场的梯度 与过该点的等高线垂直；与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最数值等于该点位移的最 大变化率；大变化率；指向地势升高的方向。指向地势升高的方向。电位场的梯度电位场的梯度 与过该点的等位线垂直；与过该点的等位线垂直；指向电位增加的方向。指向电位增加的方向。数值等于该点的最大方向导数；数值等于该点的最大方向导数；三维高度场的梯度三维高度场的梯度电位场的梯度电位场的梯度梯梯 度度 gradient l 梯度的物理意义梯度的物理意义 2 205 七月 202445例例1 三维高度场的梯度例三维高度场的梯度例2 电位场的梯度高度场的梯度电位场的梯度高度场的梯度 与与例例1.4-1 1.4-1 求求 在在M0（1，0，1）点沿点沿 的方向导数。的方向导数。梯梯 度度 gradient 解：解：05 七月 202446例例1.4-1 求求 在在M0（1，0，例例1.4-2 1.4-2 求求 在在M0（2，-1，1）点沿点沿 的方向导数。的方向导数。梯梯 度度 gradient 解：解：或者：或者：05 七月 202447例例1.4-2 求求 在在M0（2，-11.5 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 矢量场的分类矢量场的分类 亥姆霍兹定理的意义亥姆霍兹定理的意义05 七月 2024481.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理13 八月八月 20234亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。边界条件惟一地确定。（矢量（矢量F惟一地确定）惟一地确定）电荷密度电荷密度 电流密度电流密度J 场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中已知：已知：矢量矢量A的通量源密度的通量源密度矢量矢量A的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件05 七月 202449亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：（矢量亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：（矢量F惟一地确定）电荷密度惟一地确定）电荷密度在电在电矢量场的分类矢量场的分类1.1.无旋场无旋场 或或 2.2.无源场无源场 或或3.3.有旋场有源场有旋场有源场 对于一个既有源又有旋的矢量场，可以看认为是一对于一个既有源又有旋的矢量场，可以看认为是一个有旋无源场个有旋无源场 和一个有源无旋场和一个有源无旋场 的叠加；的叠加；05 七月 202450矢量场的分类无旋场矢量场的分类无旋场13 八月八月 202350以上两式的含义：以上两式的含义：矢量场矢量场 是由场的源所引起的，已知了散度源是由场的源所引起的，已知了散度源 和旋度源和旋度源 就可以唯一确定就可以唯一确定续前续前05 七月 202451以上两式的含义：续前以上两式的含义：续前13 八月八月 202351例例 试判断下列各图中矢量场的性质。试判断下列各图中矢量场的性质。0 00 00005 七月 202452例例 试判断下列各图中矢量场的性质。试判断下列各图中矢量场的性质。00000013 八八亥姆霍兹定理的意义亥姆霍兹定理的意义亥姆霍兹定理：亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。边界条件惟一地确定。从微分形式入手：从微分形式入手：需研究其散度和旋需研究其散度和旋度度从积分形式入手：从积分形式入手：需研究其通量和环需研究其通量和环量量研究手段研究手段05 七月 202453亥姆霍兹定理的意义亥姆霍兹定理：从微分形式入手：从积分形式入亥姆霍兹定理的意义亥姆霍兹定理：从微分形式入手：从积分形式入梯度、散度与旋度小结梯度、散度与旋度小结梯度梯度 结果为矢量结果为矢量方向导数方向导数散度散度 结果为标量结果为标量通量通量高斯定理高斯定理旋度旋度 结果为矢量结果为矢量环量环量斯托克斯定理斯托克斯定理本章作业：本章作业：1-11-21-41-51-71-9尝试思考：尝试思考：1-3、1-605 七月 202454梯度、散度与旋度小结梯度梯度、散度与旋度小结梯度 本章作业：尝试思考：本章作业：尝试思考：13 八月八月 2第一章第一章 矢量分析矢量分析主主 要要 内内 容容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 6 6学时学时0.0.矢量及其运算标量场和矢量场矢量场的散度矢量场的旋度标量场的梯度 亥姆霍姿定理05 七月 202455第一章第一章 矢量分析主矢量分析主 要要 内内 容容0.矢量及其矢量及其柱柱 坐坐 标标 系系三变量 坐标表示 线元 面元 体积元 05 七月 202456柱柱 坐坐 标标 系三变量系三变量 13 八月八月 202356球球 坐坐 标标 系系三变量 坐标表示 线元 面元 体积元 05 七月 202457球球 坐坐 标标 系三变量系三变量 13 八月八月 202357三种坐标系的关系三种坐标系的关系05 七月 202458三种坐标系的关系三种坐标系的关系13 八月八月 202358三变量 x y z 三变量 三变量 三坐标系三坐标系05 七月 202459三变量三变量 三变量三变量 三变量三变量 三坐标系三坐标系13 八月八月 202359