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第六章 一元微积分的应用本章学习要求：熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。一、曲线的凹凸性、拐点二、曲线的渐近线三、函数图形的描绘第六章 一元微积分的应用第三节 曲线的凹凸性、函数图形的描绘我们说一个函数单调增加,你能画出函数所对应的曲线的图形吗?!.一、曲线的凹凸性、拐点它的图形的形式不尽相同.一般说来,对于一个区间上单调的函数的图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线的“上方”或“下方”的问题.在数学分析中将这种问题称为曲线(函数)的凹凸性问题.简单地说,在区间 I 上:曲线弧段位于相应的弦线上方时,称之为凸的;曲线弧段位于相应的弦线下方时,称之为凹的.凸凹成立,则称曲线在区间 I 上是凸的;成立,则称曲线在区间 I 上是凹的.定义定义定义定义 凹凸性的一般性定义是凸凹成立,则称曲线在区间 I 上是凸的;成立,则称曲线在区间 I 上是凹的;1.曲线凹凸性的定义及其判别法例1分析分析有何体会？能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？判别可微函数的凸凹性主要是对进行比较.有什么公式能把以上的函数值与函数的二阶导数联系在一起呢?泰勒公式以上的讨论是对开区间进行的,但结论却出现了闭区间这正确吗?结论是正确的,我们是利用函数的连续性将开区间内的结论延伸到了闭区间上.以上过程实际上证明了下面的判别曲线凹凸性的一个方法.定理在运用该定理时要注意：但仅在个别孤立点处等于零,则定理仍然成立.该函数的图形 请自己绘出.例2解解例3解解只是使的孤立点,不是曲线凹凸性的分界点.例3解解 比较例3 和例4,发现使得曲线所对的分界点.我们的兴趣,因为它可能是曲线凹凸性应的函数的二阶导数等于零的点引起了拐 点连续曲线上凸弧与凹弧度分界点,称为曲线的拐点.2.曲线拐点的定义及判别法定理(判别拐点的必要条件)证证称为曲线的拐点可疑点.定理(判别拐点的充分条件)根据拐点的定义立即可证明该定理.定理(判别拐点的充分条件)证证你能由以上的几个定理归纳出 求曲线拐点的步骤吗？求拐点一般步骤拐点拐点拐点拐点例4解解例5解解例6解解例7 函数的凹凸性的判别以及函数的极值的判别都与函数的二阶导数有关.你清楚它们之间的联系吗?画画图就能搞清楚.现在我们还不能很好地作出函数的图形,因为还不知道如何求曲线的渐近线.中学就会求了.若动点 P 沿着曲线 y=f(x)的某一方向无限远离坐标原点时,动点 P 到一直线 L 的距离趋于零,则称此直线 L 为曲线 y=f(x)的一条渐近线.二、曲线的渐近线定义定义定义定义曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线斜渐近线水平渐近线这里的极限可以是垂直渐近线想想：怎么求 a,b?这里的极限过程可以是以上的极限实际是 斜渐近线 曲线可以穿过其渐近线.例8解解例9解解曲线无水平渐近线(函数间断)曲线有斜渐近线吗？例10解解请同学课后自己绘出此函数的图形.所以,该曲线无水平渐近线和垂直渐近线.例11解解现在给定一个函数,我们可以讨论它的：定义域、值 域、奇偶性、有界性、周期性、连续性、间断点、可微性、单调性、极 值、最 值、凹凸性、拐 点、渐近线、零点位置.用极限讨论函数的变化趋势.用泰勒公式将函数离散化.作函数图形的一般步骤如下：(1)确定函数的定义域,观察奇偶性、周期性.(2)求函数的一、二阶导数,(3)列表,确定函数的单调性、凹凸性、极值、拐点.(4)求曲线的渐近线.(5)作出函数的图形.三、函数图形的描绘确定极值可疑点和拐点可疑点.例12解解极大拐点曲线无水平渐近线.
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