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2024年一般高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医科）第卷说明：2024年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾难，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷一、选择题：（）1若集合，则（）A B C D解析：选B.2复数（）A4 B4 C4 D4解析：选A3（）A B C D解析：原式，选D 4直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位后所得的直线为（）A B C D解析：本题有新意，审题是关键旋转则与原直线垂直，故旋转后斜率为再右移1得选A本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则辅以平几背景之旋转变换5若，则的取值范围是（）ABCD解析：，即，即，即；又由，得；综上，即选C本题考到了正弦函数的正负区间除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间3，4，5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方6从包括甲、乙共10人中选4人去参与公益活动，要求甲、乙至少有1人参与，则不同的选法有（）A70 B112 C140 D168解析：审题后针对题目中的至少二字，首选解除法选C本题应留意解题策略7已知等比数列中，则该数列前三项和的取值范围是（）ABC D解析：由双勾函数的图象知，或，故本题选D本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多8设、是球的半径上的两点，且，分别过、作垂直于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（） A3：5：6 B3：6：8 C5：7：9 D5：8：9解析：由题知，、是的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比在球的轴载面图中易求得：，故三个圆的半径的平方之比为：，故本题选D本题着意考查空间想象实力9设直线平面，过平面外一点且与、都成角的直线有且只有（）A1条B2条 C3条 D4条 解析：所求直线在平面内的射影必与直线平行，这样的直线只有两条，选B本题考查空间角的概念和空间想象实力10设，其中，则函数是偶函数的充分必要条件是（）ABCD解析：本题考查理性思维和综合推理实力函数是偶函数，则，故解除A，B又，选D此为一般化思路也可走特别化思路，取，验证11定义在上的函数满意：，则（）A B C D解析：由，知，所以，即是周期函数，周期为4所以选C题着意考查抽象函数的性质赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不行或缺的三招本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了12设抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，点在上且，则的面积为（）A4B8C16D32解析：解几常规题压轴，不怕边读题边画图的焦点，准线，设，由，得，即化简得：，与联立求解，解得：，选B2024年一般高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）第卷二、填空题：（）13的绽开式中项的系数是 答案：解析：二项式定理再现，难度高于文科项的系数是这是中档略偏难的常规题中差生在精确性和快捷性上有缺陷14已知直线，圆，则圆上各点到直线的距离的最小值是 答案：解析：由数想形，所求最小值圆心到到直线的距离圆的半径圆心到直线的距离故最小值为15已知正四棱柱的一条对角线长为，且与底面所成的角的余弦值为，则该正四棱柱的体积是 答案：2解析：由题意，16设等差数列的前项和为，则的最大值是 .答案：4解析：由题意，即，这是加了包装的线性规划，有意思建立平面直角坐标系，画出可行域（图略），画出目标函数即直线，由图知，当直线过可行域内点时截距最大，此时目标函数取最大值本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想驾驭线性规划问题画移求答四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本这是本题的命题意图因约束条件只有两个，本题也可走不等式路途设，由解得，由不等式的性质得： ，即，的最大值是4从解题效率来看，不等式路途为佳，尽管命题者的意图为线性规划路途本题解题策略的选择至关重要三、解答题：（）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17求函数的最大值和最小值解析：，解析：，点评：一考三角恒等变换，二考三角函数与二次函数相结合，意在避开前几年固定套路由此观之，一味追前两年高考试题套路之风有踏空之嫌，立足考点回来教材方为根本18设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立（）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）设是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求的分布列及期望解析：题目这么简单，估计今年的评分标准要偏严了（）（）（）可取0，1，2，3 的分布列为01230.0080.0960.3840.512点评：返朴归真，教材难度，审题无障碍平和中正之风宜大力提倡BACDEF19如图，面面，四边形与都是直角梯形，（）求证：、四点共面；（）若，求二面角的大小解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题（）面面，面以为原点，以，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系不妨设，则，、四点共面（）设，则，设平面的法向量为，由，得，设平面的法向量为由，得，由图知，二面角为锐角，其大小为点评：证共面就是证平行，求二面角转为求法向量夹角，时间问题是本题的困惑处心浮气燥会在计算、书写、时间上丢分因建系简单，提倡用向量法本时耗时要超过17题与18题用时之和20设数列满意：（）当时，求证：是等比数列；（）求通项公式解析：由题意，在中，令，得，由得两式相减得：即（）当时，由知，于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列（）变：当时，求的通项公式解法如下：解：当时，由知，两边同时除以得 是等差数列，公差为，首项为（，是等比数列，首项为1，公比为2）（）当时，由（）知，即当时，由：两边同时除以得可设绽开得，与比较，得，是等比数列，公比为，首项为点评：这是第一道考查会不会的问题如若不会，对不起，请先绕道走对大多数考生而言，此题是一道拦路虎可能比压轴题还让人头痛缘由是两个小题分别考到了两种重要的递推方法递推数列中对递推方法的考查，有30年历史了，现在只是陈题翻新而已不过此题对考生有不公允之嫌大中城市参与过竞赛培训的优生占便宜了解题有套方为高啊21设椭圆的左、右焦点分别是、，离心率，右准线上的两动点、，且（）若，求、的值；（）当最小时，求证与共线解析：数列和解几位列倒数第三和其次，意料之中起先挤牙膏吧（）由已知，由，又，：，延长交于，记右准线交轴于，由平几学问易证，即，（）另解：，又联立，消去、得：，整理得：，解得但解此方程组要考倒不少人（），当且仅当或时，取等号此时取最小值此时与共线（）另解：，设，的斜率分别为，由，由当且仅当即，时取等号即当最小时，此时与共线点评：本题第一问又用到了平面几何看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊留意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的探讨本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点22已知是函数的一个极值点（）求的值；（）求函数的单调区间；（）当直线与函数的图像有3个交点，求的取值范围解析：似曾相识通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分本卷后三难中，压轴题最熟最易入手（）是函数的一个极值点（）由（），令，得，和随的改变状况如下：增极大值减微小值增的增区间是，；减区间是（）由（）知，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，又时，；时，；可据此画出函数的草图（图略），由图可知，当直线与函数的图像有3个交点时，的取值范围为点评：压轴题是这种难度吗？与前两年相比档次降得太多了太常规了，难度尚不及20题和21题天上掉馅饼了吗？此题当为漏掉定义域者戒2024年一般高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医科）第卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：假如事务互斥，那么球的表面积公式 其中表示球的半径假如事务相互独立，那么 球的体积公式 其中表示球的半径 一、选择题：1. 设集合则.已知函数连续，则常数的值是. . . . .复数的值是. . . .4.已知函数，下面结论错误的是 A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上是增函数C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数5.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是. .平面 C. 直线平面 .6.已知为实数，且。则“”是“”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C充要条件 D. 既不充分也不必要条件7.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=A. B. C .0 D. 4 8.如图，在半径为3的球面上有三点，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是A. B. C. D. 9.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2 B.3 C. D. 10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 360 B. 228 C. 216 D. 96 12.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对随意实数都有，则的值是 A.0 B. C.1 D. 2024年一般高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）第卷考生留意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13.的绽开式的常数项是 （用数字作答） 14.若与相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线相互垂直，则线段AB的长度是 15.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 16设是已知平面上全部向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满意：对全部及随意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：设是平面上的线性变换，则 对，则是平面上的线性变换； 若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；设是平面上的线性变换，若共线，则也共线。其中真命题是 （写出全部真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分12分）在中，为锐角，角所对应的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。18. （本小题满分12分）为振兴旅游业，四川省2024年面对国内发行总量为2000万张的熊猫实惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。19（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面相互垂直，是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角的大小。20（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。21. （本小题满分12分）已知函数。（I）求函数的定义域，并推断的单调性；（II）若（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。22. （本小题满分14分）设数列的前项和为，对随意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对随意正整数都有；（III）设数列的前项和为。已知正实数满意：对随意正整数恒成立，求的最小值。参考答案一、 选择题：本体考察基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。（1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B(7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A二、填空题：本题考查基础学问和基本运算。每小题4分，满分16分。 （13） -20 （14）4 （15） （16）三、解答题（17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础学问及基本运算实力。解：（）、为锐角，又， 6分（）由（）知,. 由正弦定理得，即， ， ， 12分（18）本小题主要考察相互独立事务、互斥事务、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的实力。 解：（）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事务为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事务为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事务为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。6分（）的可能取值为0，1，2，3 , ， 所以的分布列为0123 所以， 12分 （19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础学问，考察空间想象实力、逻辑推理实力和数学探究意识，考察应用向量学问解决数学问题的实力。解法一：（）因为平面平面,平面，平面平面，所以平面所以.因为为等腰直角三角形， ，所以又因为，所以，即,所以平面。 4分 （）存在点,当为线段AE的中点时，PM平面 取BE的中点N，连接AN,MN，则MNPC 所以PMNC为平行四边形，所以PMCN 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内， 所以PM平面BCE 8分 （）由EAAB,平面ABEF平面ABCD，易知，EA平面ABCD作FGAB,交BA的延长线于G，则FGEA。从而，FG平面ABCD作GHBD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BDFH因此，AEF为二面角F-BD-A的平面角因为FA=FE, AEF=45,所以AFE=90，FAG=45.设AB=1,则AE=1,AF=.FG=AFsinFAG=在RtFGH中，GBH=45,BG=AB+AG=1+=,GH=BGsinGBH=在RtFGH中，tanFHG= = 故二面角F-BD-A的大小为arctan. 12分解法二:()因为ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AEAB.又因为平面ABEF平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因为FA=FE, AEF = 45,所以AFE= 90.从而，.所以,.,.所以EFBE, EFBC.因为BE平面BCE,BCBE=B ,所以EF平面BCE. ()存在点M,当M为AE中点时,PM平面BCE. M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ). 从而=,于是=0 所以PMFE,又EF平面BCE，直线PM不在平面BCE内， 故PMM平面BCE. 8分()设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）. ， 即 取y=1，则x=1，z=3。从而。取平面ABD的一个法向量为。故二面角FBDA的大小为arccos。12分（20）本小题主要考查直线、椭圆、平面对量等基础学问，以及综合运用数学学问解决问题及推理运算实力。 解：（）有条件有，解得。 。 所以，所求椭圆的方程为。4分（）由（）知、。 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1. 将x=-1代入椭圆方程得。 不妨设、， . ,与题设冲突。 直线l的斜率存在。 设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。设、，联立，消y得。由根与系数的关系知，从而，又，。 。化简得解得（21）本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础学问、考查分类整合思想、推理和运算实力。解：（）由题意知当当当.（4分）（）因为由函数定义域知0,因为n是正整数，故0a对一切大于1的奇数n恒成立只对满意的正奇数n成立，冲突。另一方面，当时，对一切的正整数n都有事实上，对随意的正整数k，有 当n为偶数时，设则 当n为奇数时，设则对一切的正整数n，都有综上所述，正实数的最小值为4.14分2024年一般高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）第卷一 选择题：（1）是虚数单位，计算（A）1 （B）1 （C） （D）解:原式故选A（2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是（A） （B） （C） （D）解:由图明显选D（8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则（A）0 （B） （C） 1 （D）2解:由已知可得是以为首项,2为公比的等比数列,故选B（9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满意线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是解：连接BM、BN，则，由三角形的面积相等，得，得到，那么M、N两点间的球面距离是（12）设，则的最小值是（A）2 （B）4 （C） （D）5解：原式，（当且仅当）原式（当且仅当）选B2024年一般高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）第卷一、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.（13）的绽开式中的第四项是 .（17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“嘉奖一瓶”或“感谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“嘉奖一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（）求中奖人数的分布列及数学期望E.解：明显甲、乙、丙三位同学是否中奖独立，所以甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是：（2）0123PE=（18）（本小题满分12分）已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是对角线的中点.（）求证：为异面直线和的公垂线；（）求二面角的大小；（）求三棱锥的体积.（1） 证明：连接AC，MO/AC，,而B、C所在直线过F点，所以存在。（21）（本小题满分12分）已知数列满意，且对随意都有（）求；（）设证明：是等差数列；（）设，求数列的前项和.此题是错题（22）（本小题满分14分）
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