计量经济学第三章多元线性回归方程课件

计量经济学Econometrics经济计量学1计量经济学Econometrics经济计量学1第三章多元线性回归模型多元线性回归模型多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的预测回归模型的其他形式回归模型的参数约束2第三章 多元线性回归模型多元线性回归模型 23.1多元线性回归模型一、多元线性回归模型二、多元线性回归模型的基本假定33.1多元线性回归模型 一、多元线性回归模型 3一、多元线性回归模型多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。一般表现形式：其中:k为解释变量的数目，i称为回回归参数参数（regression coefficient）。习惯上上：把常常数数项看成为一虚虚变量量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样：模型中解模型中解释变量的数目量的数目为（k k+1+1）4i=1,2,n一、多元线性回归模型 多元线性回归模型:表现在线性回归模型中一、多元线性回归模型总体回归函数的随机表达形式。它 的非随机表达式为:方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化;或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。5一、多元线性回归模型 总体回归函数的随机表达形式。5总体回归模型总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为个随机方程的矩阵表达式为 其中其中一、多元线性回归模型 总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为 其中一、多元线性回归一、多元线性回归模型样本回归函数：用来估计总体回归函数其随机表示式:ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项i的近似替代。样本回归函数的矩阵表达:7或或其中：其中：一、多元线性回归模型 样本回归函数：用来估计总体回归函数7或二、多元线性回归模型的基本假定假设2，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。假设3，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即n时，其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量的离差为元素组成的nk阶矩阵 假设1，回归模型的设定是正确的 或二、多元线性回归模型的基本假定 假设2，解释变量是非随机的或二、多元线性回归模型的基本假定假设4，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性假设5，解释变量与随机项不相关假设6，随机项满足正态分布 二、多元线性回归模型的基本假定 假设4，随机误差项具有零均值上述假设的上述假设的矩阵符号表示矩阵符号表示 式：式：假设2，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。假设4 假设5，E(X)=0，即 二、多元线性回归模型的基本假定 上述假设的矩阵符号表示 式：假设2，n(k+1)矩阵X是非3.2 多元线性回归模型的参数估计一、普通最小二乘估计*二、最大或然估计*三、矩估计四、参数估计量的性质五、样本容量问题六、估计实例113.2 多元线性回归模型的参数估计 11对于随机抽取的n组观测值如果样本函数样本函数的参数估计值已经得到，则有：i=1,2n根据最小二乘原理最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解 其中一、普通最小二乘估计对于随机抽取的n组观测值如果样本函数的参数估计值已经得到，则于是得到关于待估参数估计值的正规方程组正规方程组：一、普通最小二乘估计于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：一、普通最小二乘估正规方程组正规方程组的矩阵形式矩阵形式即由于XX满秩，故有 一、普通最小二乘估计正规方程组的矩阵形式即由于XX满秩，故有 一、普通最小二乘将上述过程用矩阵表示矩阵表示如下：即求解方程组：得到：于是：将上述过程用矩阵表示如下：即求解方程组：得到：于是：例例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入家庭收入-消费支出消费支出例中，可求得 于是 例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，可求对于正规方程组正规方程组 一、普通最小二乘估计于是 或(*)或（*）是多元线性回归模型正规方程组正规方程组的另一种写法(*)(*)对于正规方程组 一、普通最小二乘估计于是 或(*)或（*i=1,2n其矩阵形式矩阵形式为 其中：在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为 一、普通最小二乘估计样本回归函数的离差形式样本回归函数的离差形式 i=1,2n其矩阵形式为 其中：在离差形式下，参数的最小一、普通最小二乘估计随机误差项随机误差项的方差的方差的无偏估计的无偏估计 可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为 一、普通最小二乘估计随机误差项的方差的无偏估计 可以 对于多元线性回归模型易知 Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率即为变量Y的或然函数或然函数*二、最大或然估计 对于多元线性回归模型易知 Y的随机抽取的n组样本观测对数或然函数为对对数或然函数求极大值，也就是对 求极小值。因此，参数的最大或然估计为最大或然估计为结果与参数的普通最小二乘估计相同结果与参数的普通最小二乘估计相同*二、最大或然估计对数或然函数为对对数或然函数求极大值，也就是对 求极小值。*三、矩估计（三、矩估计（Moment MethodMoment Method）OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正正规方程组规方程组并对它进行求解而完成的。该正规方程组该正规方程组 可以从另外一种思路来导:求期望:*三、矩估计（Moment Method）OLS称为原总体回归方程的一组矩条件矩条件，表明了原总体回归方程所具有的内在特征。由此得到正规方程组正规方程组 解此正规方程组即得参数的MM估计量。易知MM估计量与与OLS、ML估计量等价。称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原总体回归方程所具有的矩方法是工具变量方法矩方法是工具变量方法(Instrumental Variables,IV)和广义矩估计方法和广义矩估计方法(Generalized Moment Method,GMM)的基础的基础在矩方法中关键是利用了 E(X)=0 如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是IV。如果存在k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含k+1方程的矩条件。这就是GMM。矩方法是工具变量方法(Instrumental Variab在满足基本假设的情况下，其结构参数 的普通普通最小二乘估最小二乘估计、最大或然估最大或然估计及矩估矩估计仍具有：线性性无偏性有效性同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性渐近有效性一致性 四、参数估计量的性质在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计、最大四、参数估计量的性质1、线性性其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定的X X有关的行向量 2、无偏性这里利用了假设:E(X)=026 四、参数估计量的性质 1、线性性26四、参数估计量的性质3、有效性（最小方差性）27 四、参数估计量的性质 3、有效性（最小方差性）27其中利用了 和 四、参数估计量的性质其中利用了 和 四、参数估计量的性质五、样本容量问题最小最小样本容量本容量所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即n k+1因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+129 五、样本容量问题 最小样本容量29 2 2、满足基本要求的样本容量、满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度：n30 时，Z检验才能应用；n-k8时,t分布较为稳定 一般经验认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明 2、满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度：六、多元线性回归模型的参数估计实例六、多元线性回归模型的参数估计实例 例例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中国居中国居民人均消费民人均消费一元线性模型。这里我们再考虑建立多元线性模型。解释变量：解释变量：人均GDP：GDPP 前期消费：CONSP(-1)估计区间估计区间：19792000年 六、多元线性回归模型的参数估计实例 例3.2.2Eviews软件估计结果 Eviews软件估计结果 3.3 多元线性回归模型的统计检验一、拟合优度检验二、方程的显著性检验(F检验)三、变量的显著性检验（t检验）四、参数的置信区间333.3 多元线性回归模型的统计检验 一、拟合优度检验33一、拟合优度检验 1、可决系数、可决系数(R2)与调整的可决系数与调整的可决系数(调整的调整的R2)总离差平方和的分解离差平方和的分解34则 一、拟合优度检验 1、可决系数(R2)与调整的可决系数(调由于=0所以有：注意：一个有趣的现象注意：一个有趣的现象由于=0所以有：注意：一个有趣的现象该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。一、拟合优度检验该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。在应用过程中发现，调整的可决系数（调整的可决系数（adjusted coefficient of determination）在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。一、拟合优度检验调整的可决系数（adjusted coefficient o自由度是指变量可以自由取值的个数。例如我们要测量学生的身高X，随机抽取10名学生，如果没有任何限制，则X可以自由取值10个值，自由度为10；但是如果我们限定10各同学的平均身高，那么随机抽取9名后，最后一名的身高则不能随意取值了，此时自由度减少一个，为10-1=9。这也是为什么我们在统计学里说修正的样本方差（除以n-1）为总体方差的无偏估计量。在计量经济学中，对于一个包含k个解释变量的回归方程而言，待估计的参数个数为k+1（包括常数项），在我们根据最小残差平方和求偏导的过程中，会得到（k+1）个方程构成的方程组，这k+1个方程实际上构成了对残差的k+1个限制条件所以凡是涉及到残差构成的统计量，自由度就会减少k+1个，例如显著性检验中的t检验和f检验的自由度等。什么是自由度？自由度是指变量可以自由取值的个数。例如我们要测量学生的身高X 一、拟合优度检验 一、拟合优度检验 *2、赤池信息准则和施瓦茨准则、赤池信息准则和施瓦茨准则 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有:赤池信息准则赤池信息准则（Akaike information criterion,AIC）施瓦茨准则施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）这两准则均要求这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少仅当所增加的解释变量能够减少AICAIC值或值或ACAC值时才在原模型中增加该解释变量值时才在原模型中增加该解释变量。*2、赤池信息准则和施瓦茨准则 为了比较所含解 Eviews的估计结果显示：中国居民消费一元例中：AIC=7.09 AC=7.19 中国居民消费二元例中：AIC=6.68 AC=6.83问题：前期人均居民消费问题：前期人均居民消费CONSP(-1)是否应包是否应包括在模型中？括在模型中？答：应该，因为答：应该，因为AIC和和AC值都降低了，这说明增加的变值都降低了，这说明增加的变量具有解释能力，应该包括在模型中量具有解释能力，应该包括在模型中 Eviews的估计结果显示：问题：前期人均居民消费CONS 二、方程的显著性检验(F检验)方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。成立作出推断。1、方程显著性的、方程显著性的F检验检验 即检验模型 Yi=0+1X1i+2X2i+kXki+i i=1,2,n中的参数j是否显著不为0。可提出如下原假设与备择假设：H0：0=1=2=k=0 H1：j不全为0 二、方程的显著性检验(F检验)方程的显著性检验 F F检验的思想检验的思想来自于总离差平方和的分解式：TSS=ESS+RSS 如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。因此因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断断。F检验的思想来自于总离差平方和的分解式：如果 根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量 服从自由度为(k,n-k-1)的F分布 给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过 F F(k,n-k-1)或 FF(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上总体上的线性关系是否显著成立。根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计对于中国居民人均消费支出的例子：一元模型：F=285.92 二元模型：F=2057.3给定显著性水平=0.05，查分布表，得到临界值：一元例：F(1,21)=4.32 二元例：F(2,19)=3.52显然有 F F(k,n-k-1)即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。对于中国居民人均消费支出的例子：给定显著性水平=0.05 2 2、拟合合优度度检验与方程与方程显著性著性检验的关系的关系二者原理不同：拟合优度是检验估计模型对样本观测值的拟合程度F检验是从样本观测值出发检验模型总体线性相关关系的显著性二者方法不同：拟合优度检验直接构造了统计量F检验采用的是数理统计中的假设检验二者有具有相关性：模型对样本观测值的拟合程度高，模型总体线性关系的显著性就强。46 2、拟合优度检验与方程显著性检验的关系二者原理不同：46 2 2、拟合合优度度检验与方程与方程显著性著性检验的关系的关系可推出：与或由 2、拟合优度检验与方程显著性检验的关系可推出：与或由例题多多项选择题：根据可决系数R2与F统计量之间的关系，下列哪个选项是正确的？p76A、R2=1时，F无穷大B、R2=1时，F=1C、0时，F=1D、0时，F无穷大48答案：A C例题多项选择题：48答案：A C例题判断判断题：1、可决系数R2衡量的是样本回归线对样本观测值的拟合程度（）2、F统计量是对模型总体线性相关性的检验（）49答案：对答案：对例题判断题：49答案：对答案：对在中国居民人均收入在中国居民人均收入-消费消费一元模型一元模型中，中，在在中国居民人均收入中国居民人均收入-消费消费二元模型二元模型中中，R2要多大才算模型显著在中国居民人均收入-消费一元模型中，在中国居民人均收入-消费 三、变量的显著性检验（t检验）方程的总体线性总体线性关系显著 每个解释变量每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的 因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。这一检验是由对变量的这一检验是由对变量的 t t 检验完成的。检验完成的。三、变量的显著性检验（t检验）方程的总体线 1 1、t t统计量统计量 根据前面估计量有效性证明结论，有：以cii表示矩阵(XX)-1 主对角线上的第i个元素，于是参数估计量的方差为：其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替:1、t统计量 根据前面估计量有效性证明结论，有：以ci因此，可构造如下t统计量 因此，可构造如下t统计量 2 2、t t检验检验 设计原假设与备择假设：H1：i0 给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，通过|t|t/2(n-k-1)或|t|t/2(n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变判定对应的解释变量是否应包括在模型中。量是否应包括在模型中。H0：i=0 （i=1,2k）2、t检验 设计原假设与备择假设：H1：i0 注意：注意：一元线性回归中，一元线性回归中，t t检验与检验与F F检验一致检验一致 一方面一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0：1=0=0 进行检验;另一方面另一方面，两个统计量之间有如下关系：注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致 一方面，t检验在中中国国居居民民人人均均收收入入-消消费费支支出出二二元元模模型型例中，由应用软件计算出参数的t值：给定显著性水平=0.05，查得相应临界值：t0.025(19)=2.093。可见，计计算算的的所所有有t值值都都大大于于该该临临界界值值，所以拒绝原假设。即:包包括括常常数数项项在在内内的的3个个解解释释变变量量都都在在95%的的水水平下显著，都通过了变量显著性检验。平下显著，都通过了变量显著性检验。在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中，由应用软件计算出参 四、参数的置信区四、参数的置信区间 参数的置置信信区区间间用来考察：在一次抽样中所估计的参数值离参数的真实值有多“近”。在变量的显著性检验中已经知道：容易推出容易推出：在(1-)的置信水平下i的置信区间是 其中，t/2为显著性水平为、自由度为n-k-1的临界值。四、参数的置信区间 参数的置信区间用来考察：在一 在中国居民人均收入中国居民人均收入-消费支出二元模型消费支出二元模型例中,给定=0.05，查表得临界值：t0.025(19)=2.093计算得参数的置信区间：0：(44.284,197.116)1：(0.0937,0.3489)2：(0.0951,0.8080)从回归计算中已得到：在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中,计算得参数如何才能缩小置信区间？如何才能缩小置信区间？增大样本容量n，因为在同样的样本容量下，n越大，t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。提高样本观测值的分散度,一般情况下，样本观测值越分散，(XX)-1的分母的|XX|的值越大，致使区间缩小。如果其他情况不变，缩小置信区间，就只能降低对置信度如果其他情况不变，缩小置信区间，就只能降低对置信度的要求。的要求。如何才能缩小置信区间？增大样本容量n，因为在同样的样本容量THE END60THE END60