近世代数图形的对称变换群课件

近世代数近世代数第二章第二章群论群论11图形的对称变换群、群的应用图形的对称变换群、群的应用 7/3/2024 22:06近世代数第二章群论8/12/2023一、图形的对称变换群一、图形的对称变换群定义定义1:使图形不变形地变到与它重合的变使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换换称为这个图形的对称变换.定义定义2：图形的一切对称变换关于变换的乘图形的一切对称变换关于变换的乘法构成群，称为这个图形的法构成群，称为这个图形的对称变换群对称变换群.7/3/2024 22:06一、图形的对称变换群定义1:使图形不变形地变到与它重合例例1正三角形的对称变换群正三角形的对称变换群.设正三角形的三个顶点分别为设正三角形的三个顶点分别为1、2、3.显然，正三角形的每一对称变换都导致正三显然，正三角形的每一对称变换都导致正三角形的三个顶点的唯一一个置换角形的三个顶点的唯一一个置换.反之，反之，由由正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正三角形的唯一一个对称变换，从而可用三角形的唯一一个对称变换，从而可用表示正三角形的对称变换群表示正三角形的对称变换群.7/3/2024 22:06例1正三角形的对称变换群.设正三角形的三个顶点其中其中(1)为恒等变换为恒等变换,(12),(13),(23)分分别表示关于正三角形的三个对称轴的反射变换别表示关于正三角形的三个对称轴的反射变换,(123),(132)分别表示关于正三角形的中分别表示关于正三角形的中心按逆时针方向旋转心按逆时针方向旋转120度、度、240度的旋转变度的旋转变换换.7/3/2024 22:06其中(1)为恒等变换,(12),(13),(23例例2正方形的对称变换群正方形的对称变换群.正方形的四个顶点分别可用正方形的四个顶点分别可用1、2、3、4来表示来表示.于是正方形的每一对称变换可用一于是正方形的每一对称变换可用一个个4次置换来表示次置换来表示.显然，显然，不同的对称变换不同的对称变换所对应的置换也不同，而对称变换的乘积对所对应的置换也不同，而对称变换的乘积对应了置换的乘积应了置换的乘积.这说明，正方形的对称变这说明，正方形的对称变换换群可用一置换群来表示群可用一置换群来表示.7/3/2024 22:06例2正方形的对称变换群.正方形的四个顶点分别可容易看出容易看出,正方形的对称变换有两类正方形的对称变换有两类:第一类第一类:绕中心的分别旋转绕中心的分别旋转90度，度，180度，度，270度，度，360度的旋转，度的旋转，这对应于置换这对应于置换(1234)，(13)(24)，(1432)，(1).第二类第二类:关于正方形的关于正方形的4条对称轴的反射条对称轴的反射,(12)(34)，(24)，(14)(23)，(13).这对应于置换这对应于置换所以所以,正方形的对称变换群有上述正方形的对称变换群有上述 8个元素个元素.这是四次对称群的一个子群这是四次对称群的一个子群.7/3/2024 22:06容易看出,正方形的对称变换有两类:第一类:绕中心S(K)=(1),(1234),(13)(24),(1432),(14)(23),(12)(34),(24),(13)平面上正方形平面上正方形ABCD的对称变换群的对称变换群 7/3/2024 22:06S(K)=(1),(1234),(13)(24),(：7/3/2024 22:06：8/12/202306:18：7/3/2024 22:06：8/12/202306:18：7/3/2024 22:06：8/12/202306:18：7/3/2024 22:06：8/12/202306:18：7/3/2024 22:06：8/12/202306:18：7/3/2024 22:06：8/12/202306:18：7/3/2024 22:06：8/12/202306:18：7/3/2024 22:06：8/12/202306:18定理定理1 正正n边形的对称变换群阶为边形的对称变换群阶为2n.这种群称这种群称为为2n 元二面体群元二面体群.记为记为Dn 7/3/2024 22:06定理1正n边形的对称变换群阶为2n.这种群称8/1D6123456 7/3/2024 22:06D61234568/12/2023二、置换类型二、置换类型个个2-循环，循环，个个n-循环循环组成，则称组成，则称型置换，型置换，其中其中例：例：中中是一个是一个型置换型置换是一个是一个型置换型置换是一个是一个型置换型置换是一个是一个一个一个n次置换次置换，如果其循环置换分解式，如果其循环置换分解式是由是由个个1-循环，循环，7/3/2024 22:06二、置换类型个2-循环，个n-循环组成，则称型置换，其中例：三、项链问题三、项链问题问题的提法：问题的提法：用用n种颜色的珠子做成有种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链，颗珠子的项链，问可做成多少种不同类型的项链？问可做成多少种不同类型的项链？这里所说的不同类型的项链，指两个这里所说的不同类型的项链，指两个项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。7/3/2024 22:06三、项链问题这里所说的不同类型的项链，指两个数学上的确切描述数学上的确切描述 设由设由设由设由mm颗珠子做成一个项链，可用一个正颗珠子做成一个项链，可用一个正颗珠子做成一个项链，可用一个正颗珠子做成一个项链，可用一个正mm边形边形边形边形来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。12354678 沿逆时针方向给珠子标号，沿逆时针方向给珠子标号，由于每一颗珠子的颜色有由于每一颗珠子的颜色有n种选种选择，因而用乘法原理，这些有标择，因而用乘法原理，这些有标号的项链共有号的项链共有nm种。种。但其中有一些可以通过旋转一个角但其中有一些可以通过旋转一个角度或翻转度或翻转180度使它们完全重合，度使它们完全重合，我们称为是本质相同的，我们要考我们称为是本质相同的，我们要考虑的是无论怎么旋转、翻转都不能虑的是无论怎么旋转、翻转都不能使它们重合的项链类型数。使它们重合的项链类型数。7/3/2024 22:06数学上的确切描述设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正 设设X=1，2，m,代表代表m颗珠子的集合，颗珠子的集合，它们逆时针排列组成一个项链，由于每颗珠子它们逆时针排列组成一个项链，由于每颗珠子标有标号，我们称这样的项链为有标号的项链标有标号，我们称这样的项链为有标号的项链.为n种种颜色的集合色的集合.则每一个映射每一个映射代表一个有标号代表一个有标号的项链的项链.，它是全部有，它是全部有令令标号号项链的集合，的集合，显然有然有，是全部有，是全部有标号号项链的数目的数目.7/3/2024 22:06设X=1，2，m,代表m颗珠子的集合，为n种设，其中，其中现在考虑二面体群现在考虑二面体群对集合对集合的作用：的作用：7/3/2024 22:06设，其中现在考虑二面体群对集合的作用：8/12/2023定义定义则则，所以，所以.对对的作用为的作用为 7/3/2024 22:06定义则，所以.对的作用为8/12/2023其直观意义是，其直观意义是，对对的作用就是的作用就是使使对项链的点号作一个旋转变换或翻转变换，因而对项链的点号作一个旋转变换或翻转变换，因而与与是同一类型的是同一类型的属于同一轨道属于同一轨道.与与因此，每一类型的项链对应一个轨道，因此，每一类型的项链对应一个轨道，不同不同类型项链数目就是类型项链数目就是对对，可用，可用Burnside引理求解引理求解.作用下的作用下的轨道数目轨道数目 7/3/2024 22:06其直观意义是，对的作用就是使对项链的点号作一个旋转变换或翻下一个关键问题是下一个关键问题是：如何求如何求在在上的不动点数上的不动点数的循环置换分解式可表为的循环置换分解式可表为 对应式（对应式（1）中同一循环置换）中同一循环置换（1）中的珠子有相同的颜色中的珠子有相同的颜色.，这与，这与的置换类型有关的置换类型有关.是一个是一个型置换型置换.设设 7/3/2024 22:06下一个关键问题是：如何求在上的不动点数的循环置换分解式可表为例如，设例如，设，则，则 故故是是的一个不动点的一个不动点.7/3/2024 22:06例如，设，则故是的一个不动点.8/12/20反之，若对应反之，若对应，则，则 故故不是不是的不动点的不动点.的循环置换分解式中某个的循环置换分解式中某个循环置换中号码的珠子有不同的颜色，例如循环置换中号码的珠子有不同的颜色，例如 7/3/2024 22:06反之，若对应，则故不是的不动点.的循环置换分解式下面我们来进一步计算不动点数下面我们来进一步计算不动点数而满足而满足的的，对应于，对应于的同一循环置换中的珠子的颜色必须相同，的同一循环置换中的珠子的颜色必须相同，因而，每一个循环置换中的珠子颜色共有因而，每一个循环置换中的珠子颜色共有n种选择种选择.而而所含的循环置换个数为所含的循环置换个数为所以满足条件所以满足条件的项链颜色有的项链颜色有种选择种选择 7/3/2024 22:06下面我们来进一步计算不动点数而满足的，对应于的同一循环置换中故故将它代入将它代入Burnside公式，就得项链的种类数为公式，就得项链的种类数为其中和式是对其中和式是对进一步表示为进一步表示为其中其中和式是对所有可能的不同置换类型求和和式是对所有可能的不同置换类型求和.中每一个置换求和中每一个置换求和.为同一类型的群元素个数，为同一类型的群元素个数，7/3/2024 22:06故将它代入Burnside公式，就得项链的种类数为其中和式是例例用用3种颜色做成有种颜色做成有6颗珠子的项链，可做多少种？颗珠子的项链，可做多少种？解解123456 7/3/2024 22:06例用3种颜色做成有6颗珠子的项链，可做多少种？解123456按类型计算每一个群元素的不动点数：按类型计算每一个群元素的不动点数：型置换有型置换有1 1个，每一个元素的不动点数为个，每一个元素的不动点数为型置换有型置换有3 3个，每一个元素的不动点数为个，每一个元素的不动点数为型置换有型置换有4 4个，每一个元素的不动点数为个，每一个元素的不动点数为型置换有型置换有2 2个，每一个元素的不动点数为个，每一个元素的不动点数为型置换有型置换有2 2个，每一个元素的不动点数为个，每一个元素的不动点数为所以所以.7/3/2024 22:06按类型计算每一个群元素的不动点数：型置换有1个，每一个元素的作业：作业：用黑白两种颜色的用黑白两种颜色的用黑白两种颜色的用黑白两种颜色的珠子，串成有珠子，串成有珠子，串成有珠子，串成有5 5个珠子个珠子个珠子个珠子的项链。问有多少种不的项链。问有多少种不的项链。问有多少种不的项链。问有多少种不同类型的项链？同类型的项链？同类型的项链？同类型的项链？12345(1)15 25(12345)51 2(13524)51(14253)51(15432)51(25)(34)11 22 23(13)(45)11 22(15)(24)11 22(14)(23)11 22 (12)(35)11 22 7/3/2024 22:06作业：用黑白两种颜色的珠子，串成有5个珠子的项链