模糊数学方法在数学建模中的应用课件

模糊数学建模方法于 鹏 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法法.众所周知，经典数学是以精确性为特征的众所周知，经典数学是以精确性为特征的.然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的没有价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好要好.例如例如,要你某时到某地去迎接一个要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.”.尽管这里只提供了一个精确信息尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他男人，而其他信息信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人脑的综合分析判断，就可以接到这个人.第一部分第一部分 模糊数学基本概念模糊数学基本概念1.1 模糊集合的基本定义模糊集合的基本定义 1.2 模糊集合的截集模糊集合的截集1.3 模糊关系模糊关系1.4 模糊等价关系与经典等价模糊等价关系与经典等价关系关系y1.1 模糊子集及其运算模糊子集及其运算模糊子集与隶属函数模糊子集与隶属函数 设设U是论域，称映射是论域，称映射A(x)：U0,1确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集A，映射，映射A(x)称为称为A的的隶属函数隶属函数，它表示，它表示x对对A的隶属程度的隶属程度.当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，模糊子集时，模糊子集A就是经就是经典子集，而典子集，而A(x)就是它的特征函数就是它的特征函数.可见经典子可见经典子集就是模糊子集的特殊情形集就是模糊子集的特殊情形.例例1 设论域设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：单位：cm)表示人的身高，表示人的身高，那么那么U上的一个模糊集上的一个模糊集“高个子高个子”(A)的隶属函数的隶属函数A(x)可定义为可定义为也可用也可用Zadeh表示法：表示法：例2 古代史的分期（指划分奴隶社会和封建社会的界限）是模糊的，可表示为模糊集模糊集的运算模糊集的运算相等相等：A=B A(x)=B(x)；包含包含：A B A(x)B(x)；并并：AB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余余：Ac的隶属函数为的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).1.2 模糊集的基本定理模糊集的基本定理(A)=A=x|A(x)-截集：截集：模糊集的模糊集的-截集截集A 是一个经典集合，由隶属是一个经典集合，由隶属度不小于度不小于 的成员构成的成员构成.例：论域例：论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(学生集学生集)，他们的成绩依次为他们的成绩依次为50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，A=“学习学习成绩好的学生成绩好的学生”的隶属度分别为的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.950.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则，则A0.9 (90分以上者分以上者)=u5,u6,A0.6 (60分以上者分以上者)=u2,u3,u4,u5,u6.1.3 模糊关系模糊关系 与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广系是普通关系的推广.设有论域设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集的一个模糊子集 R 称称为从为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系.模糊子集模糊子集 R 的隶属函数为映射的隶属函数为映射R:X Y 0,1.并称隶属度并称隶属度R(x,y)为为(x,y)关于模糊关系关于模糊关系 R 的的相关程度相关程度.特别地，当特别地，当 X=Y 时，时，称之为称之为 X 上各元素之上各元素之间的间的模糊关系模糊关系.模糊关系的运算模糊关系的运算 由于由于模糊关系模糊关系 R就是就是X Y 的一个模糊子集，的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质的运算及性质.设设R，R1，R2均为从均为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系.相等相等：R1=R2 R1(x,y)=R2(x,y)；包含包含：R1 R2 R1(x,y)R2(x,y)；并并：R1R2 的隶属函数为的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；交交：R1R2 的隶属函数为的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；余余：Rc 的隶属函数为的隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).(R1R2)(x,y)表示表示(x,y)对模糊关系对模糊关系“R1或者或者R2”的相关程度，的相关程度，(R1R2)(x,y)表示表示(x,y)对模糊对模糊关系关系“R1且且R2”的相关程度，的相关程度，Rc(x,y)表示表示(x,y)对对模糊关系模糊关系“非非R”的相关程度的相关程度.模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示 对于有限论域对于有限论域 X=x1,x2,xm和和Y=y1,y2,yn，则，则X 到到Y 模糊关系模糊关系R可用可用mn 阶模糊阶模糊矩阵表示，即矩阵表示，即R=(rij)mn，其中其中rij=R(xi,yj)0,1表示表示(xi,yj)关于模糊关系关于模糊关系R 的相关程度的相关程度.模糊关系的合成模糊关系的合成 设设 R1 是是 X 到到 Y 的关系的关系,R2 是是 Y 到到 Z 的关系的关系,则则R1与与 R2的合成的合成 R1 R2是是 X 到到 Z 上的一个关系上的一个关系.(R1R2)(x,z)=R1(x,y)R2(y,z)|yY 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成矩阵的合成.设设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn，且，且X 到到Y 的的模糊模糊关系关系R1=(aik)ms，Y 到到Z 的的模糊模糊关系关系R2=(bkj)sn，则，则X 到到Z 的的模糊模糊关关系可表示为系可表示为模糊模糊矩阵的合成：矩阵的合成：R1 R2=(cij)mn，其中其中cij=(aikbkj)|1ks.1.4 模糊等价关系与经典等价关系模糊等价关系与经典等价关系模糊等价关系模糊等价关系 若模糊关系若模糊关系R是是X上上各元素之间的各元素之间的模糊关系，模糊关系，且满足：且满足：(1)(1)自反性：自反性：R(x,x)=1；(2)(2)对称性：对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)(3)传递性：传递性：R2 R,则称则称模糊关系模糊关系R是是X上上的一个的一个模糊等价关系模糊等价关系.I R(rii=1)RT=R(rij=rji)R2R.模糊相似关系模糊相似关系 若模糊关系若模糊关系 R 是是 X 上各元素之间的上各元素之间的模糊关模糊关系，且满足：系，且满足：(1)自反性：自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：对称性：R(x,y)=R(y,x)；则称则称模糊关系模糊关系 R 是是 X 上的一个上的一个模糊相似关系模糊相似关系.当论域当论域X=x1,x2,xn为有限时，为有限时，X 上的一上的一个个模糊相似关系模糊相似关系 R 就是模糊相似矩阵，即就是模糊相似矩阵，即R满足：满足：(1)自反性：自反性：I R(rii=1)；(2)对称性：对称性：RT=R(rij=rji).模糊等价关系与经典等价关系的联系模糊等价关系与经典等价关系的联系第二部分第二部分 模糊数学的基本应用模糊数学的基本应用2.1 模糊聚类分析基础模糊聚类分析基础 2.2 模糊模式识别基础模糊模式识别基础2.3 模糊综合评判基础模糊综合评判基础2.4 模糊线性规划模糊线性规划y2.1 模糊聚类分析模糊聚类分析数据标准化数据标准化 设论域设论域X=x1,x2,xn为被分类对象为被分类对象,每个每个对象又由对象又由m个指标表示其形状个指标表示其形状:xi=xi1,xi2,xim,i=1,2,n于是于是,得到原始数据矩阵为得到原始数据矩阵为平移平移 标准差变换标准差变换其中其中平移平移 极差变换极差变换模糊相似矩阵建立方法模糊相似矩阵建立方法相似系数法相似系数法-夹角余弦法夹角余弦法相似系数法相似系数法-相关系数法相关系数法其中其中距离法距离法rij=1 c d(xi,xj)其中其中c为适当选取的参数为适当选取的参数.海明距离海明距离欧氏距离欧氏距离切比雪夫距离切比雪夫距离d(xi,xj)=|xik-xjk|,1km具体的聚类过程具体的聚类过程 在模糊聚类分析中，对于各个不同的在模糊聚类分析中，对于各个不同的 0,10,1，可得到不同的分类，从而形成，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的情况是比较形象和直观的.(1)(1)已知类别已知类别DNA序列的模糊分类序列的模糊分类 提取已知类别的提取已知类别的20个个DNA序列的序列的A,T,C,GA,T,C,G的百的百分含量构成如下矩阵：分含量构成如下矩阵：X=(xij)204,其中其中xi1,xi2,xi3,xi4分别表示第个分别表示第个DNA系列中的系列中的A,T,C,GA,T,C,G的百分含量的百分含量.采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵,然后用然后用传递闭包法进行聚类传递闭包法进行聚类,动态聚类图如下动态聚类图如下.(2)(2)确定最佳分类确定最佳分类将将20个已知个已知DNA序列分成如下序列分成如下3类为最佳：类为最佳：A1 1=1,2,3,5,6,7,8 9,10,=1,2,3,5,6,7,8 9,10,A2 2=4,17,=4,17,A3 3=11,12,13,14,15,16,18,19,20.=11,12,13,14,15,16,18,19,20.建立标准模型库：建立标准模型库：A1,A2,A3.(3)(3)未知未知DNADNA序列的模糊识别序列的模糊识别 采用格贴近度公式：采用格贴近度公式：0(A,B)=A B+(1-A B)/2,将隶属于将隶属于A1的的DNADNA序列序列归为归为A A类类,隶属于隶属于A3的的DNADNA序序列列归为归为B B类类,隶属于隶属于A2的的DNA序列序列归为非归为非A,BA,B类类.2.2 模糊模型识别模糊模型识别模型识别模型识别 已知某类事物的若干标准模型，现有这类事已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别就是模型识别.模糊模型识别模糊模型识别 所谓模糊模型识别所谓模糊模型识别,是指在模型识别中是指在模型识别中,模型模型是模糊的是模糊的.也就是说也就是说,标准模型库中提供的模型是标准模型库中提供的模型是模糊的模糊的.模糊模型识别模糊模型识别的类型的类型 （1 1）具体元素对模糊模型的识别问题。给定）具体元素对模糊模型的识别问题。给定了标准模型库了标准模型库A1,A2,Am？问对象问对象x x属于上述模型库的哪一类属于上述模型库的哪一类?（2）模糊元素对模糊模型的识别问题。给定）模糊元素对模糊模型的识别问题。给定了标准模型库了标准模型库A1,A2,Am中的哪一类？中的哪一类？问对象问对象x属于上述模型库的哪一类属于上述模型库的哪一类?其中对象其中对象 X本身就是模糊的。本身就是模糊的。最大隶属原则最大隶属原则 最大隶属原则最大隶属原则 设论域设论域X=x1,x2,xn 上有上有m个模糊子集个模糊子集A1,A2,Am(即即m个模型个模型),),构构成了一个标准模型库成了一个标准模型库,若对任一若对任一x0X,有有k1,2,m,使得使得Ak(x0)=A1(x0),A2(x0),Am(x0)，则认为则认为x0相对隶属于相对隶属于Ak.最大隶属原则最大隶属原则 设论域设论域X上有一个标准模上有一个标准模型型A,待识别的对象有待识别的对象有n个：个：x1,x2,xnX,如果如果有某个有某个xk满足满足A(xk)=A(x1),A(x2),A(xn),则应优先录取则应优先录取xk.例例 细胞染色体形状的模糊识别细胞染色体形状的模糊识别 细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图形而几何图形常常化为若干个三角图形,故设论域为三角形全体故设论域为三角形全体.即即X=(A,B,C)|A+B+C=180,ABC 标准模型库标准模型库=E(正三角形正三角形),),R(直角三角形直角三角形),),I(等腰三角形等腰三角形),),IR(等腰直角三角形等腰直角三角形),),T(任意三任意三角形角形).).某人在实验中观察到一染色体的几何形状，某人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得其三个内角分别为测得其三个内角分别为94,50,36,94,50,36,即待识别对象即待识别对象为为x0=(94,50,36).=(94,50,36).问问x0应隶属于哪一种三角形？应隶属于哪一种三角形？先建立标准模型库中先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数各种三角形的隶属函数.直角三角形的隶属函数直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足条件：应满足条件：(1)(1)当当A=90时时,R(A,B,C)=1;(2)(2)当当A=180时时,R(A,B,C)=0;(3)(3)0R(A,B,C)1.因此，不妨定义因此，不妨定义R(A,B,C)=1-|A-90|/90.则则R(x0)=0.955.或者或者其中其中 p=|A 90|则则R(x0)=0.54.正三角形的隶属函数正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足：应满足：(1)当当A=B=C=60时时,E(A,B,C)=1;(2)当当A=180,B=C=0时时,E(A,B,C)=0;(3)0E(A,B,C)1.因此，不妨定义因此，不妨定义E(A,B,C)=1 (A C)/180.则则E(x0)=0.677.或者或者其中其中 p=A C 则则E(x0)=0.02.等腰三角形的隶属函数等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足：应满足：(1)(1)当当A=B 或者或者 B=C时时,I(A,B,C)=1;(2)(2)当当A=180,B=60,C=0时时,I(A,B,C)=0;(3)(3)0I(A,B,C)1.因此，不妨定义因此，不妨定义I(A,B,C)=1 (A B)(B C)/60.则则I(x0)=0.766.或者或者 p=(A B)(B C)则则I(x0)=0.10.等腰直角三角形的隶属函数等腰直角三角形的隶属函数(IR)(A,B,C)=I(A,B,C)R(A,B,C);(IR)(x0)=0.7660.955=0.766.任意三角形的隶属函数任意三角形的隶属函数T(A,B,C)=IcRcEc=(IRE)c.T(x0)=(0.7660.9550.677)c=(0.955)c=0.045.通过以上计算通过以上计算,R(x0)=0.955最大最大,所以所以x0应隶应隶属于直角三角形属于直角三角形.或者或者(IR)(x0)=0.10;T(x0)=(0.54)c=0.46.仍仍然是然是R(x0)=0.54最大最大,所以所以x0应隶属于直角三角形应隶属于直角三角形.第二类模糊模式识别第二类模糊模式识别 设在论域设在论域X=x1,x2,xn上有上有m个模糊子集个模糊子集A1,A2,Am(即即m个模型个模型),),构成了一个标准模型构成了一个标准模型库库.被识别的对象被识别的对象B也是也是X上一个模糊集上一个模糊集,它与标它与标准模型库中那一个模型最贴近？这是第二类模糊准模型库中那一个模型最贴近？这是第二类模糊识别问题识别问题.先将模糊向量的内积与外积的概念扩充先将模糊向量的内积与外积的概念扩充.设设A(x),B(x)是论域是论域X上两个模糊子集的隶属上两个模糊子集的隶属函数函数,定义定义 内积：内积：A B=A(x)B(x)|xX；外积：外积：AB=A(x)B(x)|xX.择近原则择近原则 设在论域设在论域X=x1,x2,xn上有上有m个模糊子集个模糊子集A1,A2,Am构成了一个标准模型库构成了一个标准模型库,B是待识别是待识别的模型的模型.若有若有k1,2,m,使得使得 (Ak,B)=(Ai,B)|1im,则称则称B与与Ak最贴近最贴近,或者说把或者说把B归于归于Ak类类.这就是这就是择择近原则近原则.蠓的分类蠓的分类 左图给出了左图给出了9只只Af和和6只只Apf蠓的触角长和翼长蠓的触角长和翼长数据数据,其中其中“”“”表示表示Apf,“”,“”表示表示Af.根据触角长根据触角长和翼长来识别一个标本是和翼长来识别一个标本是Af还是还是Apf是重要的是重要的.给给定定一一只只Af族族或或Apf族族的的蠓蠓,如如何何正正确确地地区区分分它它属属于哪一族？于哪一族？将将你你的的方方法法用用于于触触角角长长和和翼翼长长分分 别别 为为(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)三个标本三个标本.模糊判别方法模糊判别方法 先将已知蠓重新进行分类先将已知蠓重新进行分类.当当 =0.919时时,分为分为3 3类类 1,2,3,6,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15,三类的中心向量分别三类的中心向量分别为为(1.395,1.770),(),(1.560,2.080),(),(1.227,1.927).).用平移极差变换用平移极差变换将它们分别变为将它们分别变为A1=(0.200,0.637)(Af 蠓蠓),A2=(0.390,1.000)(Af 蠓蠓),A3=(0.000,0.821)(Apf 蠓蠓),再将三只待识别的蠓用上述变换分别变为再将三只待识别的蠓用上述变换分别变为B1=(0.015,0.672),B2=(0.062,0.719),B3=(0.203,0.953).采用贴近度采用贴近度 3(A,B)=计算得：计算得：3(A1,B1)=0.89,3(A2,B1)=0.65,3(A3,B1)=0.92.3(A1,B2)=0.89,3(A2,B2)=0.69,3(A3,B2)=0.92.3(A1,B3)=0.84,3(A2,B3)=0.88,3(A3,B3)=0.83.s 根据择近原则及上述计算结果根据择近原则及上述计算结果,第一只待识第一只待识别的蠓别的蠓(1.24,1.80)属于第三类属于第三类,即即Apf 蠓蠓；第二只；第二只待识别的蠓待识别的蠓(1.28,1.84)属于第三类属于第三类,即即Apf 蠓蠓；第；第三只待识别的蠓三只待识别的蠓(1.40,2.04)属于第二类属于第二类,即即Af 蠓蠓.DNA序列分类与模糊识别序列分类与模糊识别 2000 2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题：生网易杯全国大学生数学建模竞赛题：生物学家发现物学家发现DNA序列是由四种碱基序列是由四种碱基A,T,C,GA,T,C,G按一按一定顺序排列而成定顺序排列而成,其中既没有其中既没有“断句断句”,”,也没有标也没有标点符号点符号,同时也发现同时也发现DNADNA序列的某些片段具有一定序列的某些片段具有一定的规律性和结构的规律性和结构.由此人工制造两类序列由此人工制造两类序列(A(A类编类编号为号为1 11010；B B类编号为类编号为111120).20).网址：网址：.现在的问题是如何找出比较满意的方法来识现在的问题是如何找出比较满意的方法来识别未知的序列别未知的序列(编号为编号为212140),40),并判断它们那些并判断它们那些属于属于A A类类,那些属于那些属于B B类类,那些既不属于那些既不属于A A类又不属类又不属于于B B类类.(1)(1)已知类别已知类别DNA序列的模糊分类序列的模糊分类 提取已知类别的提取已知类别的20个个DNA序列的序列的A,T,C,GA,T,C,G的百的百分含量构成如下矩阵：分含量构成如下矩阵：X=(xij)204,其中其中xi1,xi2,xi3,xi4分别表示第个分别表示第个DNA系列中的系列中的A,T,C,GA,T,C,G的百分含量的百分含量.采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵,然后用然后用传递闭包法进行聚类传递闭包法进行聚类,动态聚类图如下动态聚类图如下.(2)(2)确定最佳分类确定最佳分类将将20个已知个已知DNA序列分成如下序列分成如下3类为最佳：类为最佳：A1 1=1,2,3,5,6,7,8 9,10,=1,2,3,5,6,7,8 9,10,A2 2=4,17,=4,17,A3 3=11,12,13,14,15,16,18,19,20.=11,12,13,14,15,16,18,19,20.建立标准模型库：建立标准模型库：A1,A2,A3.(3)(3)未知未知DNADNA序列的模糊识别序列的模糊识别 采用格贴近度公式：采用格贴近度公式：0(A,B)=A B+(1-A B)/2,将隶属于将隶属于A1的的DNADNA序列序列归为归为A A类类,隶属于隶属于A3的的DNADNA序序列列归为归为B B类类,隶属于隶属于A2的的DNA序列序列归为非归为非A,BA,B类类.经典的综合评判决策经典的综合评判决策 在实际的工作中，对一个事物的评价，常常在实际的工作中，对一个事物的评价，常常涉及多个因素或多个指标，这时就要求根据多涉及多个因素或多个指标，这时就要求根据多个因素对事物做出综合评价，而不能只从某一个因素对事物做出综合评价，而不能只从某一因素的情况去评价事物，这就是综合评价因素的情况去评价事物，这就是综合评价 经典综合评判方法经典综合评判方法（1）评总分法）评总分法 （2）加权评分法）加权评分法 2.3 模糊综合评判模型模糊综合评判模型 模糊映射与模糊变换模糊映射与模糊变换 模糊映射与模糊关系之间的联系模糊映射与模糊关系之间的联系（2）若给定矩阵）若给定矩阵可令可令模糊变换模糊变换模糊线性变换模糊线性变换模糊变换与模糊关系间的关系模糊变换与模糊关系间的关系令令模糊综合评判决策的数学模型模糊综合评判决策的数学模型 模糊综合评判决策是多受多种因素影响的事物模糊综合评判决策是多受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法，做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法，模糊综合评判决策也称为模糊综合决策或模糊多模糊综合评判决策也称为模糊综合决策或模糊多元决策。元决策。由于各种由于各种U中各种因素所处地位不同，作用也中各种因素所处地位不同，作用也就不一样，评判结果就不同。如此一来人们对就不一样，评判结果就不同。如此一来人们对m种评判的认识就具有不确定性，这种不确定性是种评判的认识就具有不确定性，这种不确定性是由人们认识的不确定性产生的，是模糊的，从而由人们认识的不确定性产生的，是模糊的，从而我们所做的综合评判是我们所做的综合评判是V上的模糊集。记为上的模糊集。记为 从以上分析我们可以得到模糊综合决策的数学从以上分析我们可以得到模糊综合决策的数学模型及其模型及其操作步骤操作步骤由命题可诱导如下模糊矩阵由命题可诱导如下模糊矩阵 称（称（U,V,R)构成一个模糊综合决策模型，其构成一个模糊综合决策模型，其中中U,V,R是这个模型的三要素是这个模型的三要素 综合评判综合评判 例例 服装评价服装评价 人们对服装的评价（喜欢的程度）是受花色、式样等多个因素影响，且往往又受人的主观因素影响。这就是俗语所说的“萝卜青菜各有所爱”，因此可选取如下的因素集与评集。类似可以得到其它的单因素评判类似可以得到其它的单因素评判由此，可以得到如下单因素评判矩阵由此，可以得到如下单因素评判矩阵 由最大隶属度原则可知对这种服装顾客一不由最大隶属度原则可知对这种服装顾客一不欢迎，顾客二比较喜欢欢迎，顾客二比较喜欢 例例 确定产品的级别确定产品的级别 设某乡镇企业生产一种产品设某乡镇企业生产一种产品，其质量由，其质量由9个指标个指标u1,u2,u9确定，产品级别可确定，产品级别可以分为一级、二级、等外、废品以分为一级、二级、等外、废品4各等级于是因素各等级于是因素集集U=u1,u2,u9评判集评判集V=V1,V2,V3,V4请请有关专家、质检员、用户组组成单因素评判小组，有关专家、质检员、用户组组成单因素评判小组，得单因素评判矩阵得单因素评判矩阵多层次模型多层次模型由此得到综合评判为