水文统计基本原理与方法教材课件

第三章第三章水文统计基本原理与方法水文统计基本原理与方法3.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念3.2 3.2 统计参数与抽样误差统计参数与抽样误差3.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线3.4 3.4 水文频率计算方法水文频率计算方法3.5 3.5 相关分析相关分析1813.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念一、水文统计一、水文统计水水文文现现象象是是自自然然现现象象的的一一种种，在在其其发发生生和和演演变变过过程程中中，包包含含着着必必然然性性的的一一面面，也也包包着着偶偶然然性性的一面。的一面。必必然然现现象象是是在在一一定定条条件件下下，必必然然出出现现或或不不出出现现的的现现象象。偶偶然然现现象象是是在在一一定定条条件件下下，可可能能出出现现也可能不出现的现象，也称也可能不出现的现象，也称随机现象随机现象。281 随机随机现象象所遵循的规律称为所遵循的规律称为统计规律统计规律，研究统计规律的学科称为研究统计规律的学科称为概率论概率论，而由随机，而由随机现象的一部分试验资料去研究全体现象的数现象的一部分试验资料去研究全体现象的数量特征和规律的学科称为量特征和规律的学科称为数理统计学数理统计学。一些水文一些水文现象具有一定的随机性，用数象具有一定的随机性，用数理统计方法来分析研究这些现象称为理统计方法来分析研究这些现象称为水文统水文统计学计学。381水文统计的基本任务水文统计的基本任务 利利用用所所获获得得的的水水文文、气气象象资资料料，研研究究和和分分析析随随机机水水文文现现象象（如如河河川川径径流流）的的统统计计变变化化规规律律，并并以以此此为为基基础础，对对其其未未来来的的长长期期变变化化作作出出概概率率意意义义下下的的定定量量预预估估，为为水水利利工工程程的的规规划划、设设计计、施施工工和运行管理提供水文依据。和运行管理提供水文依据。譬譬如如：某某流流域域修修建建一一个个水水库库，其其规规模模取取决决于于水水库库运运行行期期间间(未未来来100100年年)的的径径流流和和洪洪水水的的大大小小。但但是是，未未来来100100年的径流和洪水有多大？必须做出估计。年的径流和洪水有多大？必须做出估计。481水文统计的基本方法和内容水文统计的基本方法和内容根根据据已已有有的的资资料料（样样本本），进进行行频频率率计计算算，推求指定频率的水文特征值；推求指定频率的水文特征值；研研究究水水文文现现象象之之间间的的统统计计关关系系，应应用用这这种种关系延长、插补水文特征值和作水文预报。关系延长、插补水文特征值和作水文预报。581水文统计对水文资料的要求：水文统计对水文资料的要求：1.1.可靠性可靠性 以实测水文数据为资料，一般可直接应用。以实测水文数据为资料，一般可直接应用。2.2.一致性一致性 指指同同一一系系列列水水文文资资料料属属于于同同一一类类型型、同同一一条条件件下下产产生的。如：日平均流量和月平均流量。生的。如：日平均流量和月平均流量。3.3.代表性代表性 水水文文统统计计分分析析是是利利用用已已知知水水文文资资料料推推求求可可能能水水文文情情势，资料实测系列越长，代表性越好。势，资料实测系列越长，代表性越好。6813.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念二、事件与随机变量二、事件与随机变量1.1.事件事件事件是指随机试验的结果。事件是指随机试验的结果。必然事件：必然事件：如果可以断定某一事件在试验中必然发生，如果可以断定某一事件在试验中必然发生，称此事件必然事件。称此事件必然事件。不可能事件：不可能事件：可以断定试验中不会发生的事件称为不可可以断定试验中不会发生的事件称为不可能事件。能事件。随机事件：随机事件：某种事件在试验结果中可以发生也可以不发某种事件在试验结果中可以发生也可以不发生，这样的事件就称为随机事件。生，这样的事件就称为随机事件。7813.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念二、事件与随机变量二、事件与随机变量2.2.随机变量随机变量 随随机机事事件件的的每每次次试试验验结结果果可可用用一一个个变变量量X的的数数值值来来表表示示，称称为为随随机机变变量量。可可分分为为离离散散型型的的和和连连续型的随机变量续型的随机变量两类。两类。水水文文现现象象中中的的随随机机变变量量指指水水文文特特征征值值，如如流流量量，降雨量、水位等。降雨量、水位等。881连连续续型型随随机机变变量量在在一一定定的的概概率率区区间间内内取取得得任任何值何值。自记水位过程自记水位过程 Z(t)Z(t)t t 自记雨量过程自记雨量过程 P(t)P(t)t t离离散散型型随随机机变变量量在在一一定定的的概概率率区区间间内内取取得得某某些些间断值间断值。年降雨量年降雨量X=x1，X=x2，X=xn-1，X=xn年径流量年径流量W=W1，W=W2，W=Wn-1，W=Wn9813.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念三、总体、个体与样本三、总体、个体与样本将将随随机机变变量量所所能能取取值值的的全全体体称称为为总总体体。总总体体中中的的一一个个单单体体称称作作个个体体。总总体体是是所所有有个个体体的的集集合合。从从总总体体中中随随机机抽抽取取一一部部分分个个体体称称为为样样本本。样样本本所所含含个个体体的的数数目称为目称为样本容量样本容量(大小大小)。水水文文变变量量的的总总体体是是指指自自古古迄迄今今以以至至未未来来的的水水文文系系列列，现有的水文观测系列可以当作总体的一个样本。现有的水文观测系列可以当作总体的一个样本。10813.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念四、概率与频率四、概率与频率1.1.概率概率随随机机事事件件A在在试试验验结结果果中中可可能能出出现现也也可可能能不不出出现现，但但其其出现可能性的大小的数量标准就是出现可能性的大小的数量标准就是概率概率。古典概率表达式古典概率表达式古古典典概概率率通通常常又又叫叫事事前前概概率率，是是指指当当随随机机事事件件中中各各种种可可能能发发生生的的结结果果及及其其出出现现的的次次数数都都可可以以由由演演绎绎或或外外推推法法得得知知，而而无无需经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。需经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。古典概率满足古典概率满足“随机等可能，独立同分布随机等可能，独立同分布”。11813.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念四、概率与频率四、概率与频率2.2.频率频率 水文事件不属古典概型事件，只能通过试验来估算概率。水文事件不属古典概型事件，只能通过试验来估算概率。设事件设事件A在在次试验中出现了次试验中出现了k次，则称次，则称为事件为事件A的频率。的频率。当当nn时时，W W(A A)稳稳定定并并趋趋于于概概率率值值，概概率率论论中中和和实实践践已已严严格证明。水文上，将计算的频率作为概率的近似值。格证明。水文上，将计算的频率作为概率的近似值。12813.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念五、随机变量概率分布五、随机变量概率分布 随随机机变变量量的的取取值值x与与其其概概率率P 的的对对应应关关系系，称称为为随随机机变变量量的的概率分布概率分布。离散型的离散型的用随机变量的分布序列表示，即用随机变量的分布序列表示，即P（X=xi）=Pi （i=1,2,n）其概率分布满足两个条件：其概率分布满足两个条件：0Pi1，且，且，Pi=1连续型的连续型的用随机变量用随机变量X大于某值大于某值xp的概率的概率p表示，即表示，即F(X)=P(Xxp)=p1381五、随机变量概率分布五、随机变量概率分布水水文文学学习习惯惯研研究究事事件件Xx的的概概率率及及其其分分布布。称称F(X)=P(Xx)为为随随机机变变量量的的分分布布函函数数，代代表表随随机机变变量量大大于于等于某一取值的概率。等于某一取值的概率。其其几几何何图图形形称称为为随随机机变变量量的的概概率率分分布布曲曲线线，也也称称作作水水文文频频率率曲曲线线或或累累积积频频率率曲曲线线。见见后后图图（b）14811581 0.20.40.60.81.0 1100 1000 900 800 700 P（X x x）x x某雨量站的年雨量分布曲线某雨量站的年雨量分布曲线（1 1）年雨量超过）年雨量超过900mm900mm的概率的概率 P P（X X900900）=0.2=0.2（2 2）年雨量小于）年雨量小于800mm800mm的概率的概率P P（X X800800）=0.52=0.52P P（X X800800）=1=1.52=0.48.52=0.48（3 3）P P（X Xx x）=0.1=0.1的设计值的设计值x xx x=995mm=995mm（4 4）P P（X X x x）=0.1=0.1的设计值的设计值x xP P（X X x x）=1-0.1=0.9=1-0.1=0.9x x=720mm=720mm1681函数函数 f(x)F(x)dF(x)/dx为概率密为概率密度函数，简称为度函数，简称为密度函数或密度曲线密度函数或密度曲线。表示随机变。表示随机变量落入区间的概率与区间长度之比值。量落入区间的概率与区间长度之比值。f（x）xdx f（x）dx 概率密度函数概率密度函数1781 f（x）xxp F（xp）P（Xxp）密度函数密度函数1881xf（x）F（x）xF（xP）P（XxP）xP F（xP）概率密度函数与分布函数关系概率密度函数与分布函数关系19813.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念六、累积频率与重现期六、累积频率与重现期 1.1.累积频率累积频率 可可理理解解为为等等量量值值和和超超量量值值累累积积出出现现的的次次数数(m)与与总总观观测次数测次数(n)之比值，以百分数或小数表示。之比值，以百分数或小数表示。实实际际工工程程规规划划和和设设计计并并不不需需要要知知道道等等于于某某一一特特征征值值的的频频率率，而而需需要要知知道道大大于于或或等等于于某某一一特特征征值值的的频频率率，此此即即累累积频率积频率。20813.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念六、累积频率与重现期六、累积频率与重现期 2.2.重现期重现期 频率比较抽象，为便于理解，常采用频率比较抽象，为便于理解，常采用重现期重现期。所谓重现期是指在许多试验中，某一事件重复出现所谓重现期是指在许多试验中，某一事件重复出现的时间间隔的平均数。在水文中，重现期用字母的时间间隔的平均数。在水文中，重现期用字母T 表表示，一般以年为单位。示，一般以年为单位。在江河水利工程水文计算中，重现期是频率的倒数。在江河水利工程水文计算中，重现期是频率的倒数。2181当研究当研究暴雨洪水问题暴雨洪水问题时时,P（Xx）是）是暴雨洪水暴雨洪水事件发生的频率，其重现期为事件发生的频率，其重现期为例如，当暴雨或洪水频率为例如，当暴雨或洪水频率为1 1%时，重现时，重现期期T100100年，称此暴雨为百年一遇的暴雨年，称此暴雨为百年一遇的暴雨或洪水。或洪水。一般设计频率一般设计频率P50%2381所所谓谓百百年年一一遇遇的的暴暴雨雨或或洪洪水水，是是指指大大于于或或等等于于这这样样的的暴暴雨雨或或洪洪水水在在长长时时期期内内平平均均100年年发发生生一一次次，而而不不能能认认为为每每隔隔100年必然遇上一次。年必然遇上一次。24813.2 3.2 统计参数与抽样误差统计参数与抽样误差 一、统计参数一、统计参数 概概率率分分布布曲曲线线完完整整地地刻刻画画了了随随机机变变量量的的变变化化规规律律。但但随随机机变变量量特特别别是是水水文文随随机机变变量量，其其概概率率分分布布的的确确定定是是十十分分困困难难的的。实实际际上上，我我们们有有时时仅仅需需要要知知道它的一些数字特征即道它的一些数字特征即统计参数统计参数就足够了。就足够了。水水文文水水利利计计算算中中常常用用离离散散特特征征参参数数(均均值值、均均方方差、变差系数、偏态系数差、变差系数、偏态系数等等)。2581 对水文随机变量，设有实测系列值：对水文随机变量，设有实测系列值：x1,x2,x3,xn，则则1.1.均值均值2.2.均方差均方差 意意义义：为为系系列列值值分分布布的的中中心心，表表示示对对象象的的平平均均情情况况，即总体水平的高低。即总体水平的高低。意意义义：表表示示分分布布函函数数的的绝绝对对离离散散程程度度。均均方方差差越越大大，分布函数越分散，其值变化幅度越大；反之，亦然。分布函数越分散，其值变化幅度越大；反之，亦然。2681均方差对频率曲线的影响均方差对频率曲线的影响1 2 2 1f（x）x27813.3.变差系数变差系数 意义：意义：表示分布函数的相对离散程度。表示分布函数的相对离散程度。Cv越大，越大，分布函数越分散；反之，亦然。分布函数越分散；反之，亦然。式中：式中：为模比系数。为模比系数。2881例例1.1.计算均方差并比较它们的离散程度。计算均方差并比较它们的离散程度。序列序列1 1：5 5，1010，15 15 序列序列2 2：1 1，1010，19 19 例例2.2.计算变差系数（计算变差系数（CvCv）并比较它们的离散程度。）并比较它们的离散程度。序列序列1 1：5 5，1010，15 15 序列序列2 2：995995，10001000，10051005答案：答案：1 1：1 1=4.08 =4.08 2 2=7.35=7.35 2 2：X X1 1=10 =10 1 1=4.08 Cv=4.08 Cv1 1=0.48=0.48 X X2 2=1000 =1000 2 2=4.08 Cv=4.08 Cv2 2=0.0048=0.0048 29814.4.偏态系数偏态系数 意义：意义：表示分布函数的对称程度。表示分布函数的对称程度。Cs=0分布函数分布函数对称对称；随机变量大于均值与小于；随机变量大于均值与小于均值出现机会相等均值出现机会相等 Cs00分布函数分布函数正偏正偏；随机变量大于均值比小于；随机变量大于均值比小于均值出现的机会小均值出现的机会小 Cs00分布函数分布函数负偏负偏；随机变量大于均值比小于；随机变量大于均值比小于均值出现的机会大均值出现的机会大3081Cs 0Cs0Cs 0Cs 对密度曲线的影响对密度曲线的影响 31813.2 3.2 统计参数与抽样误差统计参数与抽样误差 二、抽样误差二、抽样误差 用用一一个个样样本本的的统统计计参参数数来来估估计计总总体体的的统统计计参参数数是是存存在在误误差差的的，称称之之为为抽抽样样误误差差。这这种种误误差差是是由由于于从总体中随机抽取的样本与总体有差异而引起的。从总体中随机抽取的样本与总体有差异而引起的。样样本本抽抽样样误误差差的的均均方方值值称称为为均均方方误误，是是衡衡量量抽抽样误差的大小的常用指标样误差的大小的常用指标。3281皮尔逊皮尔逊型分布参数矩法估计的均方误公式：型分布参数矩法估计的均方误公式：绝绝对对误误差差3381样本参数的均方误（相对误差，样本参数的均方误（相对误差，%）由表中可见，当由表中可见，当n100时，时，CS的误差在的误差在40126%之之间。水文水文资料一般都很短（料一般都很短（n100），按矩法公式算得的），按矩法公式算得的CS值，值，抽样误差太大。抽样误差太大。EX C V C S 参数 n Cv 100 50 25 10 100 50 25 10 100 50 25 10 0 1 1 1 2 3 7 50 14 22 126 178 252 390 0 3 3 4 6 10 7 10 15 23 51 72 102 162 0 5 5 7 10 12 8 11 16 25 41 58 82 130 0 7 7 10 14 22 9 12 17 27 40 56 80 126 1 0 10 14 20 23 10 14 20 32 42 60 85 134 34813.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线 一、经验频率及其计算公式一、经验频率及其计算公式 1.1.经验频率经验频率 用用根根据据水水文文实实测测系系列列(样样本本)计计算算出出来来的的频频率率分分布布近近似似代代替替总总体体概概率率分分布布，这这种种意意义义上的累积频率称为上的累积频率称为经验经验(累积累积)频率频率。3581 x 1200 1000 800 0 20 40 60 80 100 W（%）某地年降雨量经验频率曲线某地年降雨量经验频率曲线P（X xi）m/n36813.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线 一、经验频率及其计算公式一、经验频率及其计算公式 2.2.经验频率计算公式经验频率计算公式 如如果果用用P（Xxi）m/n 的的经经验验分分布布曲曲线线估估计计总总体体分分布布曲曲线线，存存在在不不合合理理现现象象。当当mn时时，最最末末项项的的频频率率为为100%，样本末项值为总体中的最小值，不符合事实。，样本末项值为总体中的最小值，不符合事实。水文上用水文上用数学数学期望公式期望公式(维泊尔公式维泊尔公式)估计频率：估计频率：式式中中：P为为大大于于等等于于xi的的经经验验频频率率；m为为水水文文变变量量从从大大至至小小排列的序号；排列的序号；n为样本容量。为样本容量。37813.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线 二、经验频率曲线二、经验频率曲线 1.1.经验频率曲线的绘制：经验频率曲线的绘制：1）将实测水文数据列表，并由大到小，重新排序；将实测水文数据列表，并由大到小，重新排序；2）根据经验频率公式计算经验频率；根据经验频率公式计算经验频率；3）以以实实测测水水文文变变量量xi为为纵纵坐坐标标，经经验验频频率率Pi为为横横坐坐标标，在在概概率率格格纸纸(或或普普通通坐坐标标上上)上上点点绘绘经经验验频频率率点点，然然后后用用目估法过经验频率点群绘制一条光滑的曲线；目估法过经验频率点群绘制一条光滑的曲线；4）根根据据工工程程设设计计标标准准，在在曲曲线线上上查查出出所所对对应应的的水水文文变变量值。量值。38813981正态分布频率曲线：正态分布频率曲线：纵横坐标均匀划分，在纵横坐标均匀划分，在50对称的对称的S形曲线形曲线；P-III型型概概率率格格纸纸：将将横横坐坐标标按按标标准准正正态态频频率率曲曲线线转转换换成成“中中间间较较密密，两两端端稀疏稀疏”不均匀划分，在不均匀划分，在50对称的直线对称的直线。40813.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线 二、经验频率曲线二、经验频率曲线 2.2.经验频率曲线的延长经验频率曲线的延长 问问题题：一一般般实实测测河河流流径径流流量量n100年年，最最多多推推求求百百年年一一遇遇的的洪洪峰峰量量，若若推推求求0.1%、0.01%频频率率下下的的洪洪峰峰量量，则则运用经验累积曲线外延人为性太大，误差大。运用经验累积曲线外延人为性太大，误差大。解解决决办办法法：理理论论频频率率公公式式用用实实测测数数据据拟拟合合理理论论频频率率曲曲线线，然然后后运运用用理理论论频频率率公公式式外外推推。常常用用的的有有皮皮尔尔逊逊III型型公式。公式。41813.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线 三、理论频率曲线三、理论频率曲线 1.1.曲线的数学方程式及其特点曲线的数学方程式及其特点 皮皮尔逊尔逊型曲线（见图）为一端有限一端无限的不型曲线（见图）为一端有限一端无限的不对称单峰曲线，概率密度函数对称单峰曲线，概率密度函数式中，参数式中，参数，a0 0，且有：，且有：4281f（x）x 皮皮尔逊尔逊型曲线型曲线4381皮皮尔逊尔逊型型分布的积分无解析解，实用分布的积分无解析解，实用中制表查用。中制表查用。已知已知x、CV、CS，由由f(x)推求推求F(x)4481被积函数只含一个参数被积函数只含一个参数CS。只要给定。只要给定CS就可就可以算出以算出P和和p的对应值，最终制定出的对应值，最终制定出PCsp 的对应数值表。的对应数值表。取标准化变量取标准化变量（离均系数）（离均系数）4581P(%)Cs【例例】已知某地年平均雨量已知某地年平均雨量EX1000mm、CV 0.5、CS1.0，求，求p1%的设计年雨量。的设计年雨量。由由CS1.0，p1%查得得 P3.02x1%（P Cv1）x（3.020.51）1000 2510（mm）46813.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线 三、理论频率曲线三、理论频率曲线 2.2.理论频率曲线的绘制理论频率曲线的绘制 给给定定P和和Cs，从从值值表表查查得得p，再再将将已已知知的的 x 和和Cv代入式代入式即即可可求求出出相相应应的的xp 值值。取取不不同同的的P值值，从从而而可可绘绘出出理理论论频率曲线。频率曲线。47813.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线四、统计参数对频率曲线形状的影响四、统计参数对频率曲线形状的影响为为了了避避免免配配线线时时调调整整参参数数的的盲盲目目性性，必必须须了了解解皮皮尔尔逊逊型型分分布布的的统统计计参参数数对对频频率率曲曲线线的的影响。影响。固固定定皮皮尔尔逊逊型型频频率率曲曲线线的的两两个个参参数数，改改变变第第三三个个统统计计参参数数，可可以以使使频频率率曲曲线线发发生生很很大大的变化。的变化。48813.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线1.均值均值x的影响的影响当当Cv、Cs相相同同时时，均均值值大大的的曲曲线线位位于于均均值值小小的的曲曲线线之之上上；均均值值大大的的曲曲线线较较均均值值小小的曲线陡。的曲线陡。49813.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线2.变差系数变差系数Cv的影响的影响 为为消消除除均均值值影影响响，用用模模比比系系数数K为为纵纵坐坐标标绘绘制制频频率率曲曲线线。当当Cv0时时，K1，频频率率曲曲线线为为一一条条水水平平线线；且且Cv越越大大，频频率率曲曲线越陡。线越陡。50813.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线3.偏态系数偏态系数Cs的影响的影响 正正偏偏情情况况下下，当当Cv相相同同时时，Cs越越大大，频频率率曲曲线线中中部部向向左左偏偏，上上部部越越陡陡，下部变平缓。下部变平缓。51813.4 3.4 水文频率计算方法水文频率计算方法 一、统计参数初估方法一、统计参数初估方法 水水文文频频率率分分析析计计算算中中，常常将将EX，Cv，Cs的的估估值值式式称称为为矩矩法法公公式式，但但由由于于具具有有抽抽样样误误差差，还还不不能能作作为为总总体体统统计计参参数数。在在水水文文频频率率计计算算(xp)中中，常常以以矩矩法估计值作为初估值，采用适线法确定。法估计值作为初估值，采用适线法确定。参参数数初初估估方方法法包包括括：矩矩法法、经经验验关关系系法法、三三点点法、权函数法和概率权重法。法、权函数法和概率权重法。52813.4 3.4 水文频率计算方法水文频率计算方法一、统计参数初估方法一、统计参数初估方法1.矩法矩法矩法是用样本矩估计总体矩，并通过矩和参数之间矩法是用样本矩估计总体矩，并通过矩和参数之间的关系，来估计频率曲线参数的一种方法。的关系，来估计频率曲线参数的一种方法。一阶原点矩一阶原点矩的计算式就是的计算式就是均值均值，均方差，均方差的计算式的计算式为为二阶中心矩开方二阶中心矩开方，偏态系数，偏态系数Cs计算式中的分子则为计算式中的分子则为三阶中心矩三阶中心矩。由此，得到计算参数的公式。前述各系。由此，得到计算参数的公式。前述各系数的无偏估计值式称为数的无偏估计值式称为矩法公式矩法公式。53813.4 3.4 水文频率计算方法水文频率计算方法一、统计参数初估方法一、统计参数初估方法2.权函数法权函数法 当当样样本本容容量量较较小小时时，用用矩矩法法估估计计参参数数，产产生生一一定定的的计计算算误误差差，其其中中尤尤以以 Cs的的计计算算误误差差较较大大。为为提提高高Cs计计算算精精度度，近近年年来来提提出出了了不不少少方方法法，其其中中以以 权权函函数数法法比比较较有有效效。（马马秀秀峰峰于于1984年年提出）提出）54813.4 3.4 水文频率计算方法水文频率计算方法 二、适线法二、适线法原原理理：根根据据经经验验频频率率点点据据，找找出出配配合合最最佳佳之之频频率率曲线，相应的分布参数为总体分布参数的估计值。曲线，相应的分布参数为总体分布参数的估计值。分分为为目目估估适适线线法法（简简称称适适线线法法）和和优优化化适适线线法法。55815681 （1 1）绘绘制制经经验验点点据据 将将实实测测资资料料由由大大到到小小排排列列，计计算算各各随随机机变变量量的的经经验验频频率率，点点绘绘于于概概率率格格纸纸上上(纵纵坐标为变量取值，横坐标为对应的经验频率坐标为变量取值，横坐标为对应的经验频率)；（2 2）初估统计初估统计参数参数 用矩法公式的估算用矩法公式的估算EX和和CV，并假定并假定CS与与CV的比值的比值K估算估算CS；（3）选定理论频率曲线线型选定理论频率曲线线型 一般选用皮尔逊一般选用皮尔逊型曲线；型曲线；目估适线法计算步骤：目估适线法计算步骤：5781 （4）计计算算频频率率曲曲线线根根据据假假定定的的均均值值、Cv、Cs，查查皮皮尔尔逊逊型型曲曲线线离离均均系系数数值值表表(附附表表B),得得到到对对应应频频率率Pi的的Pi值值；按按前前式式列列表表计计算算xPi，得得到到计计算算理理论论频率曲线的纵坐标；频率曲线的纵坐标；（5）目目估估适适线线将将理理论论频频率率曲曲线线画画在在绘绘有有经经验验点点据据的的图图上上，若若两两者者相相吻吻合合，则则统统计计参参数数即即为为对对总总体体的的估估计计值值，从从图图上上可可查查出出设设计计频频率率的的水水文文特特征征值值；否否则则调整参数，重新适线。调整参数，重新适线。目估适线法计算步骤：目估适线法计算步骤：5881 【例例】某站共有实测降水量资料某站共有实测降水量资料2424年年(见见表表)，求，求频率为频率为10%和和90%的年降水量的年降水量。1.将原始将原始资按大小次序排列，列入表按大小次序排列，列入表(4)栏。栏。计算步骤：计算步骤：2.计算算经验频率率Pm=m/(n+1)列入表列入表(5)栏，栏，并与并与xm 对应点点绘于概率格于概率格纸上。上。5981某某站站年年降降水水量量频频率率计计算算表表6081 3.3.用矩法用矩法计算系列的多年平均降水量算系列的多年平均降水量和和离差系数。离差系数。61814.选定选定CV0.25，假，假定定CS0.50。查表得。查表得P，求得，求得 xP（PCV1）根根据据表表中中（1）、（3）两两栏栏的的对对应应数数值值点点绘绘曲曲线线，发发现现曲曲线线头头部部和和尾尾部部都都偏偏于于经经验验频频率点据之下。率点据之下。62816381 5.改变参数，选定改变参数，选定CV0.30，CS0.75，查表计算出各查表计算出各xP值。值。绘制频率曲线，该绘制频率曲线，该线与经验点据配合较好，线与经验点据配合较好，取为最后采用的频率曲取为最后采用的频率曲线。线。6481P P10%10%=933mm=933mm P P90%90%=433mm433mm 6581 适适线法得到的成仍具有法得到的成仍具有抽样误差抽样误差，而这，而这种误差目前还难以精确估算，因此对于工程种误差目前还难以精确估算，因此对于工程上最终采用的频率曲线及相应的统计参数，上最终采用的频率曲线及相应的统计参数，不仅要从水文统计方面分析，而且还要密切不仅要从水文统计方面分析，而且还要密切结合水文现象的物理成因及地区规律进行综结合水文现象的物理成因及地区规律进行综合分析。合分析。66813.4 3.4 水文频率计算方法水文频率计算方法 三、优化适线法三、优化适线法 优优化化适适线线法法是是在在一一定定的的适适线线准准则则（即即目目标标函函数数）下下，求求解解与与经经验验点点据据拟拟合合最最优优的的频频率率曲曲线线的的统统计计参参数数的的方方法法。优化适线法按不同的适线准则分为三种，即优化适线法按不同的适线准则分为三种，即 离差平方和最小准则（离差平方和最小准则（OLS）离差绝对值和最小准则（离差绝对值和最小准则（ABS）其中以离差平方和最小准则（其中以离差平方和最小准则（OLS）最为常用。）最为常用。67813.4 3.4 水文频率计算方法水文频率计算方法 离离差差平平方方和和准准则则的的适适线线法法又又称称最最小小二二乘乘估估计计法法。频频率率曲曲线线统统计计参参数数的的最最小小二二乘乘估估计计是是使使经经验验点点据据和和同同频频率率的频率曲线纵坐标之差的平方和达到极小的频率曲线纵坐标之差的平方和达到极小。对于皮尔逊对于皮尔逊型曲线，使下列目标函数型曲线，使下列目标函数取极小值，即取极小值，即式中式中参数（参数（EX，Cv，Cs）；）；参数参数的最小二乘估计；的最小二乘估计；f（Pi，）频率曲线的纵坐标。频率曲线的纵坐标。68813.5 3.5 相关分析相关分析 一、概述一、概述1.相关现象广泛存在相关现象广泛存在 2.研究两个或多个随机变量之间的联系。例如：研究两个或多个随机变量之间的联系。例如：P R ZQ。3.相关分析在水文上的应用相关分析在水文上的应用 a.水文预报；水文预报；b.水文资料查补延长水文资料查补延长 注意：注意：必须先分析变量在成因上是否有联系。必须先分析变量在成因上是否有联系。4.两个变量间的关系有三种情况两个变量间的关系有三种情况 a.完全相关（函数关系）（右图）完全相关（函数关系）（右图）b.零相关（相互独立）零相关（相互独立）6981c.相关关系（统计相关）相关关系（统计相关）简相关简相关：研究两个变量之间的相关关系，在水文计算中：研究两个变量之间的相关关系，在水文计算中应用较多。应用较多。复相关复相关：研究：研究3个或个或3个以上变量的相关关系，在水文预个以上变量的相关关系，在水文预报中应用较多报中应用较多 也可分为：也可分为：直线相关直线相关和和非直线相关非直线相关。如上图所示。如上图所示。70813.5 3.5 相关分析相关分析 二、线性相关二、线性相关 1.1.直线回归方程直线回归方程 将将(xi，yi)点点绘绘在在方方格格纸纸上上，根根据据点点群群分分布布趋趋势势配配线线型型。若若点点群群分分布布近近似似直直线线，该该直直线线回回归归方方程程可可表表示示为为y=a+bx (1)(1)图解法图解法 通通过过目目测测确确定定出出相相关关直直线线的的方方法法。图图上上量量出出截截距距a和斜率和斜率b。7181【例例】：用相关图解法作出下表中降雨与径用相关图解法作出下表中降雨与径流的相关直线流的相关直线72817381(2)相关分析法相关分析法 若点较分散，则采用该法对参数若点较分散，则采用该法对参数 a、b进行估计进行估计。采用最小二乘法采用最小二乘法(LSM)估计。观测点与配合的直线在纵轴方估计。观测点与配合的直线在纵轴方向的离差为：向的离差为：要使直线拟合要使直线拟合“最佳最佳”，须使离差，须使离差yi的平方和为的平方和为“最小最小”，即使即使 为极小值。为极小值。欲使上式取得极小值，可分别对欲使上式取得极小值，可分别对 a 和和 b 求一阶导数，并使其求一阶导数，并使其等于零，即令等于零，即令:7481式中，式中，r为相关系数，表示为相关系数，表示x、y间关系的密切程度。间关系的密切程度。75817681将将a、b代入代入y=a+bx，得：，得：其其中中，为为回回归归线线的的斜斜率率，称称为为y倚倚x的的回回归归系系数数，记记为为 ，即，即 2.回回归方程的方程的误差差 y倚倚x的回归线的均方误：的回归线的均方误：y倚倚x回归线的误差范围回归线的误差范围7781 3.相关系数及其相关系数及其误差差 (1)相关系数：相关系数：r2=1，y与与x完全相关完全相关；r2=0，y与与x零零相相关关或或非非直线相关直线相关；0r2 0，正相关；，正相关；r 0.8，且，且Sy (10%15%)y；（4）水文统计分析通常取）水文统计分析通常取=0.05或或0.01，做，做显著性检验。显著性检验。7981三、曲线相关三、曲线相关(1)幂函数幂函数 y=axb (2)指数函数指数函数 y=aebx 两边取对数，并令两边取对数，并令Y=lgy，A=lga，B=blge，X=x，则有：，则有：Y=A+BX 两边取对数，并令两边取对数，并令Y=lgy，A=lga，X=lgx，则有：则有：Y=A+bX当当实实测测数数据据呈呈某某种种曲曲线线形形态态时时，可用以曲化直进行相关计算。可用以曲化直进行相关计算。8081作作业（业（2）1.P823-82.P823-93.P823-108181