材力弯曲变形课件

材料力学第6章 弯曲变形 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 简单超静定梁简单超静定梁 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程第第第第6 6章章章章 弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施 返回返回6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 起起重重机机大大梁梁如如果果变变形形过过大大，将将使使梁梁上上小小车车行行走走困困难难，出出现现爬爬坡坡现现象象，还会引起振动等。还会引起振动等。工程中对某些受弯杆件除强度要求外，往工程中对某些受弯杆件除强度要求外，往工程中对某些受弯杆件除强度要求外，往工程中对某些受弯杆件除强度要求外，往往还有刚度要求，即要求它变形不能过大。往还有刚度要求，即要求它变形不能过大。往还有刚度要求，即要求它变形不能过大。往还有刚度要求，即要求它变形不能过大。实例实例1 1 机机械械传传动动机机构构中中的的齿齿轮轮轴轴，变变形形过过大大时时，会会影影响响齿齿轮轮之之间间的的啮啮合合，加加大大齿齿轮轮磨磨损损，同同时时将在转动的过程中产生很大的噪声。将在转动的过程中产生很大的噪声。此此外外，轴轴的的变变形形很很大大时时，轴轴在在支支承承处处也也将将产产生生较较大大的的转转角角，从从而而使使轴轴和和轴轴承承的的磨磨损损大大大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。增加，降低轴和轴承的使用寿命。实例实例2 2 在在车车床床上上车车削削外外圆圆时时，如如果果工工件件变变形太大，将影响加工精度。形太大，将影响加工精度。实例实例3 3 叠叠板板弹弹簧簧应应有有较较大大变变形形，才才能能更更好地起到缓冲减振作用。好地起到缓冲减振作用。工程中有时需利用弯曲变形以达到某种要求。工程中有时需利用弯曲变形以达到某种要求。工程中有时需利用弯曲变形以达到某种要求。工程中有时需利用弯曲变形以达到某种要求。实例实例4 4返回返回6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程一、弯曲变形一、弯曲变形一、弯曲变形一、弯曲变形梁的轴线变形后的曲线。梁的轴线变形后的曲线。对称弯曲时是一条平面曲线。对称弯曲时是一条平面曲线。挠曲线挠曲线挠曲线方程挠曲线方程挠度挠度w横截面形心沿横截面形心沿y 方向的位移方向的位移向上为正向上为正转角转角 横截面相对其原位置转过的角度横截面相对其原位置转过的角度逆时针为正逆时针为正因因 在工程中，一般很小在工程中，一般很小二、挠曲线微分方程二、挠曲线微分方程二、挠曲线微分方程二、挠曲线微分方程略去剪力对弯曲变形的略去剪力对弯曲变形的影响，上一章得到：影响，上一章得到：由由高等数学高等数学公式：公式：因为因为二、挠曲线微分方程二、挠曲线微分方程二、挠曲线微分方程二、挠曲线微分方程考虑符号考虑符号考虑符号考虑符号挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程返回返回6-3 6-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程积分一次，得积分一次，得再次积分，得再次积分，得式中，式中，C、D为积分常数，为积分常数，由梁上的由梁上的边界、连续条件边界、连续条件确定。确定。一、积分法求弯曲变形一、积分法求弯曲变形一、积分法求弯曲变形一、积分法求弯曲变形即即转角方程转角方程转角方程转角方程挠度方程挠度方程挠度方程挠度方程二、二、二、二、边界、连续条件边界、连续条件边界条件边界条件挠曲线上一些转角挠曲线上一些转角与挠度已知的条件。与挠度已知的条件。如：如：w w D D=0=0；D D D D0 0 0 0w wA A=0 0；w w C C=0=0连续条件连续条件挠曲线是一条连续光滑的曲线挠曲线是一条连续光滑的曲线如：如：w wB B左左左左=w wB B右右右右；B B B B左左左左 B B B B右右右右一般，边界连续条件的个数等于积分常数的个数。一般，边界连续条件的个数等于积分常数的个数。（边界条件、连续条件应用举例）（边界条件、连续条件应用举例）ADBE10kNm 20kNm(-)(+)E 2m2mq=10kN/mADB2mP20kN 弯矩图：三段；弯矩图：三段；积分常数：积分常数：6个。个。边界和连续条件：边界和连续条件：6个个例题例题例题例题 6-16-16-16-1一般，边界连续条件的个数一般，边界连续条件的个数等于积分常数的个数。等于积分常数的个数。三、三、三、三、梁的梁的梁的梁的刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件 梁的刚度条件，就是根据需要，将最大梁的刚度条件，就是根据需要，将最大梁的刚度条件，就是根据需要，将最大梁的刚度条件，就是根据需要，将最大挠度和转角挠度和转角挠度和转角挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角或者指定截面处的挠度和转角或者指定截面处的挠度和转角或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即：限制在一定范围内，即：限制在一定范围内，即：限制在一定范围内，即：已知：已知：均布载荷集度为均布载荷集度为q，梁的弯曲刚度为，梁的弯曲刚度为EI、长度为、长度为l。求：求：梁的挠度与转角方程，以及最梁的挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。大挠度和最大转角。例题例题例题例题 6-26-26-26-2x解：解：解：解：1.1.1.1.确定支座反力确定支座反力确定支座反力确定支座反力qlql2/22.2.2.2.建立微分方程并积分建立微分方程并积分建立微分方程并积分建立微分方程并积分积分一次积分一次,得得再次积分再次积分,得得3.3.3.3.由边界条件确定积分常数由边界条件确定积分常数由边界条件确定积分常数由边界条件确定积分常数解：解：解：解：4 4 4 4 确定挠度与转角方程确定挠度与转角方程确定挠度与转角方程确定挠度与转角方程解：解：解：解：5 5 5 5 确定最大转角与最大挠度确定最大转角与最大挠度确定最大转角与最大挠度确定最大转角与最大挠度 从挠曲线可以看出，在悬臂梁自由端从挠曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。处，挠度和转角均为最大值。最大转角最大转角最大挠度最大挠度例题例题例题例题 6-36-36-36-3已知：已知：EI=常数常数 求：求：1)挠度、挠度、转角方程；转角方程；2)wmax,max。3.列挠曲线近似微分方程并积分列挠曲线近似微分方程并积分2.分段列弯矩方程分段列弯矩方程1.求支反力求支反力解：解：AC 段段CB 段段例题例题例题例题 6-36-36-36-3解：解：4.由边界连续、条件确定由边界连续、条件确定积分常数积分常数例题例题例题例题 6-36-36-36-3解：解：5.挠度与转角方程挠度与转角方程AC 段段CB 段段6.确定最大转角确定最大转角若若a b，则，则max=B 例题例题例题例题 6-36-36-36-3解：解：7.确定最大挠度确定最大挠度若若ab，则，则wmax 在在AC段段 8.比较最大挠度与梁跨度中点挠度比较最大挠度与梁跨度中点挠度当当P 接近端点接近端点B，即，即b0时，时，0.5l此时此时结论结论:可用中点挠度近似代替最大挠度。可用中点挠度近似代替最大挠度。返回返回6-4 6-4 用用叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形梁在简单载荷作用下的变形图表，梁在简单载荷作用下的变形图表，梁在简单载荷作用下的变形图表，梁在简单载荷作用下的变形图表，P188-190P188-190。一、求弯曲变形的叠加法一、求弯曲变形的叠加法当当弯曲变形很小弯曲变形很小，且，且材料服从胡克定律材料服从胡克定律时，梁时，梁上同时作用多个载荷时的变形等于每一载荷单独作上同时作用多个载荷时的变形等于每一载荷单独作用下引起的变形的叠加。用下引起的变形的叠加。在内力不变的前提下，将梁分解为在内力不变的前提下，将梁分解为几段，求出各段的变形，然后进行几段，求出各段的变形，然后进行叠加。叠加。二、叠加法求弯曲变形的基础二、叠加法求弯曲变形的基础三、叠加法的类型三、叠加法的类型将载荷分解为几个简单载荷，分别将载荷分解为几个简单载荷，分别求解后，进行叠加；求解后，进行叠加；1.载荷叠加法载荷叠加法2.几何叠加法几何叠加法例题例题例题例题 6-46-46-46-4求求求求：wC；B已知：已知：q,l,EI=常数。常数。解：解：解：解：1.分解分解梁上载荷梁上载荷(载荷叠加载荷叠加)2.查表得查表得三三种情形下种情形下C截面截面 挠度和挠度和B截面的转角截面的转角解：解：解：解：3.叠加叠加已知：已知：已知：已知：P P、a、b b、EIEI，求：求：求：求：wB例题例题例题例题 6-56-56-56-5(几何叠加几何叠加)解解解解:1.将梁分割成两段将梁分割成两段2.CB 段段将将AC段刚化，段刚化，C端视为固定端端视为固定端3.AC段段将将CB 段刚化成直线段刚化成直线4.wBxPbABCwB1xPaACPbwB2 C2xPabABCwB已知：已知：已知：已知：q、l、EI，求：求：求：求：C 、wC 例题例题例题例题 6-66-66-66-6解：解：1.将载荷转变成有将载荷转变成有 表可查的情形表可查的情形解：解：2.查表得查表得两两种情形下种情形下 C截面截面转角和转角和挠度挠度解：解：3.叠加得叠加得C C点转角与挠度点转角与挠度返回返回6-5 6-5 简单超静定梁 超静定次数超静定次数超静定次数超静定次数未知力个数与独立平衡方程数之差未知力个数与独立平衡方程数之差未知力个数与独立平衡方程数之差未知力个数与独立平衡方程数之差静定梁静定梁静定梁静定梁用静力平衡方程可确定所有未知力用静力平衡方程可确定所有未知力用静力平衡方程可确定所有未知力用静力平衡方程可确定所有未知力超静定超静定超静定超静定(静不定静不定静不定静不定)梁梁梁梁未知力个数多于独立的未知力个数多于独立的未知力个数多于独立的未知力个数多于独立的 平衡方程数平衡方程数平衡方程数平衡方程数多余约束多余约束多余约束多余约束保持结构静定保持结构静定保持结构静定保持结构静定多余的约束多余的约束多余的约束多余的约束 一、超静定梁与多余约束一、超静定梁与多余约束一、超静定梁与多余约束一、超静定梁与多余约束二、二、二、二、求解简单超静定梁的方法和步骤求解简单超静定梁的方法和步骤求解简单超静定梁的方法和步骤求解简单超静定梁的方法和步骤 1.1.1.1.解除多余约束，代以相应的反力，将超静解除多余约束，代以相应的反力，将超静解除多余约束，代以相应的反力，将超静解除多余约束，代以相应的反力，将超静 定梁转化为静定梁；定梁转化为静定梁；定梁转化为静定梁；定梁转化为静定梁；2.2.2.2.根据多余约束对位移或变形的限制，建立根据多余约束对位移或变形的限制，建立根据多余约束对位移或变形的限制，建立根据多余约束对位移或变形的限制，建立变形协调方程；变形协调方程；变形协调方程；变形协调方程；3.3.3.3.根据变形协调方程，建立补充方程，解出根据变形协调方程，建立补充方程，解出根据变形协调方程，建立补充方程，解出根据变形协调方程，建立补充方程，解出部分未知力；部分未知力；部分未知力；部分未知力；4.4.4.4.再由平衡方程解出全部未知力。再由平衡方程解出全部未知力。再由平衡方程解出全部未知力。再由平衡方程解出全部未知力。求求:梁的支座反力。梁的支座反力。梁的支座反力。梁的支座反力。已知：已知：F F，a a，l l，EIEI。例题例题例题例题 6-76-76-76-7解：解：1.1.1.1.解解解解除除除除多多多多余余余余约约约约束束束束 B B，代代代代反反反反力力力力 F FB B，将将将将梁梁梁梁转转转转化化化化为静定梁为静定梁为静定梁为静定梁2.2.2.2.变形协调方程变形协调方程变形协调方程变形协调方程3.3.3.3.补充方程补充方程补充方程补充方程即即解：解：3.3.3.3.补充方程补充方程补充方程补充方程补充方程补充方程补充方程补充方程5.5.5.5.由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程求求求求 A A 端反力端反力端反力端反力由梁平衡：由梁平衡：三、多余约束的解除方法不是唯一的三、多余约束的解除方法不是唯一的三、多余约束的解除方法不是唯一的三、多余约束的解除方法不是唯一的例题例题例题例题 6-86-86-86-8已知：已知：已知：已知：EIEI、l l,解：解：1.1.1.1.去除多余约束去除多余约束去除多余约束去除多余约束B B,代反代反代反代反力力力力F FB B ,将梁转化为静定梁将梁转化为静定梁将梁转化为静定梁将梁转化为静定梁2.2.2.2.变形协调方程变形协调方程变形协调方程变形协调方程3.3.3.3.补充方程补充方程补充方程补充方程查表得查表得查表得查表得:补充方程：补充方程：补充方程：补充方程：求求求求:装配应力。装配应力。装配应力。装配应力。解：解：4.4.由平衡方程求由平衡方程求由平衡方程求由平衡方程求A A、C C处的反力处的反力处的反力处的反力5.5.作梁的弯矩作梁的弯矩作梁的弯矩作梁的弯矩图图6.6.装配装配装配装配应应力力力力返回返回6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施 由挠曲线的近似微分方程及其积分可由挠曲线的近似微分方程及其积分可知，弯曲变形与弯矩大小、梁截面的惯性知，弯曲变形与弯矩大小、梁截面的惯性矩、材料的弹性模量，梁长等因素有关。矩、材料的弹性模量，梁长等因素有关。提高弯曲刚度应从考虑上述因素入手。提高弯曲刚度应从考虑上述因素入手。一、一、一、一、提高弯曲刚度的途径提高弯曲刚度的途径提高弯曲刚度的途径提高弯曲刚度的途径 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程二、二、二、二、提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施1.1.1.1.改善结构形式改善结构形式改善结构形式改善结构形式,减小弯矩的数值减小弯矩的数值减小弯矩的数值减小弯矩的数值例如：例如：例如：例如：在结构允许的条件下在结构允许的条件下在结构允许的条件下在结构允许的条件下,将齿轮、带轮将齿轮、带轮将齿轮、带轮将齿轮、带轮等靠近支座；将集中力分散成分布力等。等靠近支座；将集中力分散成分布力等。等靠近支座；将集中力分散成分布力等。等靠近支座；将集中力分散成分布力等。二、二、二、二、提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 当梁的长度无法减小时，则可增加支座，当梁的长度无法减小时，则可增加支座，采用超静定结构以提高梁的刚度。采用超静定结构以提高梁的刚度。2.2.2.2.减小梁的跨度减小梁的跨度减小梁的跨度减小梁的跨度 l l例如：例如：例如：例如：二、二、二、二、提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施3.3.3.3.选择合理的截面形状，增大截面惯性矩选择合理的截面形状，增大截面惯性矩选择合理的截面形状，增大截面惯性矩选择合理的截面形状，增大截面惯性矩 I I I I 不同的截面形状，尽管面积相等，不同的截面形状，尽管面积相等，但惯性矩却不一定相等。但惯性矩却不一定相等。竖放：竖放：平放：平放：二、二、二、二、提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 面积相同的工字形和矩面积相同的工字形和矩形截面，工字形截面的惯性形截面，工字形截面的惯性矩大于矩形截面。矩大于矩形截面。3.3.3.3.选择合理的截面形状，增大截面惯性矩选择合理的截面形状，增大截面惯性矩选择合理的截面形状，增大截面惯性矩选择合理的截面形状，增大截面惯性矩 I I I I 不同的截面形状，尽管面积相等，不同的截面形状，尽管面积相等，但惯性矩却不一定相等。但惯性矩却不一定相等。注注注注意意意意：对对对对于于于于各各各各种种种种钢钢钢钢材材材材，弹弹弹弹性性性性模模模模量量量量的的的的数数数数值值值值相相相相差差差差甚甚甚甚微微微微，因因因因而而而而与与与与一一一一般般般般钢钢钢钢材材材材相相相相比比比比，选选选选用用用用高强度钢材并不能提高梁的刚度。高强度钢材并不能提高梁的刚度。高强度钢材并不能提高梁的刚度。高强度钢材并不能提高梁的刚度。二、二、二、二、提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施4.4.4.4.选用弹性模量选用弹性模量选用弹性模量选用弹性模量 E E 较高的材料较高的材料较高的材料较高的材料