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第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型一、引言一、引言数学模型数学模型:描述系统动态特性的数学表达式描述系统动态特性的数学表达式时域数学模型：时域数学模型：微分方程微分方程(连续系统连续系统)差分方程差分方程(离散系统离散系统)状态方程状态方程复域数学模型：复域数学模型：传递函数传递函数(连续系统连续系统)Z传递函数传递函数(离散系统离散系统)频域数学模型：频域数学模型：频率特性频率特性数学建模的一般方法：数学建模的一般方法：1.1.分析法：分析法：根据系统或元件所遵循的有关定律来建模根据系统或元件所遵循的有关定律来建模2.2.实验法：实验法：根据实验数据整理拟合数模根据实验数据整理拟合数模1连续系统的微分方程的一般形式：连续系统的微分方程的一般形式：分别为系统输出和输入分别为系统输出和输入;为微分方程系数为微分方程系数若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微分方程表示的系统为分方程表示的系统为线性系统线性系统；否则，系统为；否则，系统为非线性系统非线性系统。对线性系统，若系数为常数则为对线性系统，若系数为常数则为线性定常系统线性定常系统。线性定常系统线性定常系统线性时变系统线性时变系统非线性系统非线性系统2线性系统的叠加原理线性系统的叠加原理3列写微分方程的一般方法：列写微分方程的一般方法：1.1.确定系统的输入量和输出量。确定系统的输入量和输出量。注意：输入量包括给定输入量和扰动量注意：输入量包括给定输入量和扰动量2.2.按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵 循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。注意：负载效应，非线性项的线性化。注意：负载效应，非线性项的线性化。3.3.消除中间变量，得到消除中间变量，得到只包含输入量和输出量只包含输入量和输出量的微分方程。的微分方程。4.4.整理微分方程。整理微分方程。输出输出有关项放在方程有关项放在方程左侧左侧，输入输入有关有关项项 放在方程放在方程右侧，右侧，各阶导数项降阶排列。各阶导数项降阶排列。二、系统微分方程二、系统微分方程4Fv2v1bFv2v1mv2v1Fk质量质量弹簧弹簧阻尼阻尼一）机械系统一）机械系统电路元件两端电位差电路元件两端电位差U21二）电网络二）电网络电感电感电阻电阻电容电容两端相对速度两端相对速度v215例例1 1：图示机械系统：图示机械系统 m-c-km-c-k，列写微分方程。，列写微分方程。1.1.明确：明确：2.2.牛顿第二定律牛顿第二定律 列写原始微分方程：列写原始微分方程：3.3.整理：整理：系统输入系统输入 f(t)系统输出系统输出 x(t)6例例2 2：图示电网络，列写微分方程。：图示电网络，列写微分方程。1.1.明确系统的输入与输出：明确系统的输入与输出：输入输入u u(t t)，输出电量，输出电量q q2.2.列写原始微分方程：列写原始微分方程：3.3.消除中间变量，并整理消除中间变量，并整理 (请同学们推导！请同学们推导！)7例例3 3：列写微分方程：列写微分方程1.1.明确：输入明确：输入T，输出，输出x(t)2.2.微分方程：微分方程：3.3.消除中间变量消除中间变量 ，并整理：，并整理：q08例例4 4：图示电网络，列写微分方程。：图示电网络，列写微分方程。1.明确系统的输入与输出：明确系统的输入与输出：输入输入u1，输出，输出u22.列写微分方程：列写微分方程：3.消除中间变量消除中间变量 i1、i2，并整理：，并整理：9例例5 5 直流电动机直流电动机1.1.明确输入与输出：明确输入与输出：输入输入ua 和和ML，输出，输出w w2.2.列写原始微分方程：列写原始微分方程：3.3.消除中间变量，并整理：消除中间变量，并整理：电机的反电势电机的反电势ed反电势常数反电势常数kd电磁力矩电磁力矩M电磁力矩常数电磁力矩常数km得得10设平衡点设平衡点设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型当偏离平衡点时，有当偏离平衡点时，有则则增量化增量化即有即有1.1.增量化方程与实际坐标方程形式相同增量化方程与实际坐标方程形式相同2.2.当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。11线性化的条件线性化的条件：1.1.非线性函数是连续函数非线性函数是连续函数(即不是本质非线性即不是本质非线性)。2.2.系统在预定工作点附近作小偏差运动系统在预定工作点附近作小偏差运动线性化的方法：线性化的方法：1.1.确定预定工作点。确定预定工作点。2.2.在工作点附近将非线性方程展开成在工作点附近将非线性方程展开成TaylorTaylor级数形式。级数形式。3.3.忽略高阶小项。忽略高阶小项。4.4.表示成增量化方程的形式。表示成增量化方程的形式。非线性方程的线性化非线性方程的线性化12例例6 6 液压伺服机构液压伺服机构 1.明确明确 输入输入 x，输出，输出y2.2.列写原始微分方程列写原始微分方程液压油流量液压油流量设设滑阀特性滑阀特性13例例6 6 液压伺服机构液压伺服机构3.3.非线性函数线性化：非线性函数线性化：(1)(1)确定系统预定工作点确定系统预定工作点(2)(2)二元泰勒公式展开二元泰勒公式展开(3)(3)增量方程增量方程4.4.代入原方程代入原方程整理得整理得已略去高阶小量已略去高阶小量141.1.非线性项线性化后微分方程是非线性项线性化后微分方程是增量形式增量形式的微分方程。的微分方程。2.2.线性化的结果与系统的线性化的结果与系统的预定工作点预定工作点有关。有关。3.3.非线性项线性化必须满足非线性项线性化必须满足连续性连续性和和小偏差小偏差条件。条件。线性化特点：线性化特点：如：本例中，不同预定点的如：本例中，不同预定点的k kq q、k kc c不同不同15 三、相似系统三、相似系统数学模型形式相同数学模型形式相同组成系统的组成系统的物理元件不同物理元件不同相似系统：相似系统：具有相同形式数学模型的不同物理构成的系统。具有相同形式数学模型的不同物理构成的系统。相似量：相似量：质量元件质量元件弹簧元件弹簧元件阻尼元件阻尼元件电感元件电感元件电阻元件电阻元件电容元件电容元件16课外作业课外作业p75-76v2.3；2.4 17数学基础数学基础(补充补充)n复数的基本概念复数的基本概念nLaplace变换变换18一、复数与复变函数一、复数与复变函数1.复数与复变数复数与复变数a、b为常数为常数2.复变函数复变函数3.复数的代数表示法复数的代数表示法4.复数的模与幅角复数的模与幅角192021v设函数设函数 若满足：若满足：v（1）当）当 时，时，v（2）当）当 时，实函数时，实函数 的积分的积分v在在s的的某某一一域域内内收收敛敛，则则定定义义的的 的的Laplace变换为变换为v并记作，并记作，二、二、Laplace变换变换1.拉普拉斯变换的定义：拉普拉斯变换的定义：其中其中,s是一复数是一复数.称为称为 的像函数；的像函数；称为称为 的原函数的原函数.222.Laplace反变换反变换Laplace变换与变换与Laplace反变换一一对应反变换一一对应A）阶跃函数）阶跃函数3.常用函数的拉氏变换式常用函数的拉氏变换式B）指数函数）指数函数23C）正弦函数和余弦函数）正弦函数和余弦函数D D）t的幂函数的幂函数当当n=1时，时，当当n=2时，时，24A)叠加定理叠加定理3.Laplace变换的主要运算定理变换的主要运算定理B)比例定理比例定理 25C)微分定理微分定理一般情况下：一般情况下：初始条件初始条件=0时时26D)积分定理积分定理一般情况下：一般情况下：各重积分在各重积分在t=0时的值均为时的值均为0时时27E）延迟定理）延迟定理 若若 ，则，则 F）初值定理）初值定理G）终值定理）终值定理条件：条件：sF(s)的所有极点都在的所有极点都在S左半平面左半平面H）卷积定理）卷积定理 28A)F(s)只只有不相同的极点有不相同的极点4.Laplace4.Laplace反变换的部分分式法及其应用反变换的部分分式法及其应用其中其中 而而 29例例1：求求 的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：求求30B）F(s)有重极点有重极点,假若假若F(s)有有L重极点重极点 ,而其余极点均不相同。而其余极点均不相同。3132 四、系统传递函数四、系统传递函数连续系统的微分方程的一般形式：连续系统的微分方程的一般形式：在零初始条件下，对方程两边拉氏变换，得：在零初始条件下，对方程两边拉氏变换，得：系统固有特性系统固有特性系统与外界联系系统与外界联系传递函数传递函数传递函数定义：传递函数定义：零初始条件下零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。的拉氏变换之比。33传递函数特点：传递函数特点：1.1.传递函数是关于复变量传递函数是关于复变量s s的复变函数，为的复变函数，为复域数学模型复域数学模型；2.2.传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性，传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性，传传递函数的分子反映系统与外界的联系；递函数的分子反映系统与外界的联系；3.3.在零初始条件下，当输入确定时，系统的输出完全取决于系在零初始条件下，当输入确定时，系统的输出完全取决于系 统的传递函数统的传递函数4.4.物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数(相似系统相似系统)传递函数方框传递函数方框34零点：零点：影响瞬态响应曲线的形状，不影响稳定性。影响瞬态响应曲线的形状，不影响稳定性。极点：极点：决定系统瞬态响应的收敛性，决定稳定性。决定系统瞬态响应的收敛性，决定稳定性。放大系数放大系数(增益增益)：设阶跃信号输入设阶跃信号输入对系统的研究可以转化为对系统传递函数零点、极点、放大系数的研究。对系统的研究可以转化为对系统传递函数零点、极点、放大系数的研究。系统的稳态输出系统的稳态输出传递函数的零极点模型传递函数的零极点模型 微分方程的特征根微分方程的特征根35例例1 1：求图示系统的传递函数：求图示系统的传递函数1.1.确定系统输入与输出：确定系统输入与输出：2.2.列写原始微分方程：列写原始微分方程：3.3.在零初始条件下，进行拉氏变换：在零初始条件下，进行拉氏变换：364.4.消除中间变量，并整理得：消除中间变量，并整理得：3.3.在零初始条件下，进行拉氏变换：在零初始条件下，进行拉氏变换：5.5.传递函数传递函数37系统传递函数往往是高阶的，高阶传递函数可化为比例、惯性、系统传递函数往往是高阶的，高阶传递函数可化为比例、惯性、积分、微分、振荡等低阶典型环节传递函数的组合积分、微分、振荡等低阶典型环节传递函数的组合1.1.比例环节比例环节 proportionproportion 动力学方程：动力学方程：传递函数：传递函数：特点：输出量与输入量成正比；不失真，不延迟。特点：输出量与输入量成正比；不失真，不延迟。例：例：输出正比于输入输出正比于输入 五、典型环节传递函数五、典型环节传递函数38存在储能元件和耗能元件。存在储能元件和耗能元件。阶跃输入时，输出经过一段时间才到稳态值。阶跃输入时，输出经过一段时间才到稳态值。输出的导数与输出之和正比于输入输出的导数与输出之和正比于输入动力学方程：动力学方程：传递函数：传递函数：特点：特点：2.2.惯性环节惯性环节例例1：例例2：393.3.微分环节微分环节differentiationdifferentiation动力学方程：动力学方程：传递函数：传递函数：特点：一般不能单独存在特点：一般不能单独存在使输出提前；使输出提前；增加增加系统的系统的阻尼；阻尼；强化噪声强化噪声的作用的作用。输出正比于输入的变化率输出正比于输入的变化率例例1：微分运算电路微分运算电路40机械液压阻尼器机械液压阻尼器 缓冲，减小偏移幅度缓冲，减小偏移幅度油缸力平衡油缸力平衡节流阀流量节流阀流量例例2：若若414.4.积分环节积分环节integrationintegration动力学方程：动力学方程：传递函数：传递函数：若输入单位阶跃信号若输入单位阶跃信号 x xi i(t t)=1)=1,X,Xi i(s s)=1/)=1/s s特点：特点：输出正比于输入的累积量输出正比于输入的累积量则输出为则输出为1)1)输出反映输入量的累积输出反映输入量的累积2)2)输出滞后于输入输出滞后于输入,经过时间经过时间T T ，输出才等于输入，输出才等于输入3)3)输出具有记忆功能输出具有记忆功能 经过一段时间后，输入变为经过一段时间后，输入变为0 0，输出稳定不变，输出稳定不变42例例1：例例2：积分运算电路：积分运算电路式中，式中，凡有储存或积累特点的元件、环节、系统都有积分特性凡有储存或积累特点的元件、环节、系统都有积分特性如：水库、植物、水垢、黄土高原、海洋盐分如：水库、植物、水垢、黄土高原、海洋盐分435.5.振荡环节振荡环节无阻尼固有频率无阻尼固有频率w wn，时间常数，时间常数T=1/w wn,阻尼比阻尼比x x(1)0(1)0 x x 1 1 时，输出振荡。时，输出振荡。(2)(2)x x 1 1时，输出无振荡时，输出无振荡,不是振荡环节不是振荡环节且且x x越小，振荡越剧烈越小，振荡越剧烈 (3)(3)振荡环节一般含有两个储能元件和一个耗能元件振荡环节一般含有两个储能元件和一个耗能元件特点特点:例例1 1:44例例2 2 旋转运动的旋转运动的J-c-kJ-c-k系统系统例例3 3 L-R-CL-R-C电路电路456.6.延时环节延时环节特点：特点：输出滞后于输入，但不失真输出滞后于输入，但不失真延时环节与惯性环节和比例环节有区别延时环节与惯性环节和比例环节有区别惯性环节惯性环节比例环节比例环节延时环节延时环节动力学方程：动力学方程：传递函数：传递函数：例：轧钢厂钢板厚度检测例：轧钢厂钢板厚度检测46一个元件一个元件几种环节作用几种环节作用几个元件几个元件一个环节的作用一个环节的作用2.2.物理框图物理框图：说明物理过程和原理，：说明物理过程和原理，框图中，元器件或零部件框图中，元器件或零部件典型环节传递函数小结典型环节传递函数小结1.1.物理元件个数不一定等于系统的环节个数物理元件个数不一定等于系统的环节个数3.3.同一物理元件在不同系统中，可能作用不同，其同一物理元件在不同系统中，可能作用不同，其 传递函数也不同传递函数也不同,可能充当不同典型环节。可能充当不同典型环节。传函框图传函框图：表示信息传递关系框图中，各环节传递函数：表示信息传递关系框图中，各环节传递函数47 六、系统传递函数方框图六、系统传递函数方框图传递函数方框图将组成系统的各个环节用传递函数方框表示，传递函数方框图将组成系统的各个环节用传递函数方框表示，并将相应的变量按信息流动的方向连接起来构成的图形。并将相应的变量按信息流动的方向连接起来构成的图形。传递函数方框图三要素传递函数方框图三要素传递函数方框传递函数方框相加点相加点分支点分支点建立传递函数方框图的步骤建立传递函数方框图的步骤(1)(1)列写各元件微分方程列写各元件微分方程(2)(2)在零初始条件下，对上述微分方程进行拉氏变换在零初始条件下，对上述微分方程进行拉氏变换(3)(3)按因果关系，绘制各环节框图按因果关系，绘制各环节框图(4)(4)按信号流向，依次连接各环节框图按信号流向，依次连接各环节框图 左边输入，右边输出，反馈则左边输入，右边输出，反馈则“倒流倒流”48例例1 1：1.列写微分方程：列写微分方程：2.Laplace变换：变换：3.局部传递函数框图：局部传递函数框图：4.系统传递函数框图：系统传递函数框图：491.列写微分方程：列写微分方程：2.Laplace变换：变换：例例2 2：503.局部传递函数框图：局部传递函数框图：4.系统传递函数框图：系统传递函数框图：51变换前后输入输出间的数学关系保持不变变换前后输入输出间的数学关系保持不变1.1.串联环节的等效规则：串联环节的等效规则：七、传递函数方框图的等效简化七、传递函数方框图的等效简化2.2.并联环节的等效规则：并联环节的等效规则：523.3.反馈连接及其等效规则反馈连接及其等效规则前向通道传递函数前向通道传递函数反馈通道传递函数反馈通道传递函数以反馈量以反馈量B B(s s)为输出的开环传递函数为输出的开环传递函数闭环传递函数闭环传递函数 反馈回路闭合后反馈回路闭合后533.3.反馈连接及其等效规则反馈连接及其等效规则特别地，若特别地，若H(s)=1，则为，则为单位反馈单位反馈注意：注意：前向通道传递函数、反馈通道前向通道传递函数、反馈通道传递函数传递函数、开环、开环传递函数传递函数均为局部传递函数；均为局部传递函数；闭环传递函数才是系统传递函数闭环传递函数才是系统传递函数544.4.分支点的移动规则分支点的移动规则分支点前移分支点前移分支点后移分支点后移555.5.相加点的移动规则相加点的移动规则相加点后移相加点后移相加点前移相加点前移56特别提醒！v1、相加点和分支点规律、相加点和分支点规律相反。相反。分支点分支点相加点相加点前移前移后移后移57特别提醒！相加点和分支点相加点和分支点不能互移。不能互移。586.6.相邻相加点的移动规则：相邻相加点的移动规则：7.7.相邻分支点的移动规则：相邻分支点的移动规则：59例例1 1：简化步骤：简化步骤：消除交叉回路，对嵌套回路，从里到外逐步化简消除交叉回路，对嵌套回路，从里到外逐步化简60361例例2 2：62 63一条前向通道：一条前向通道：各反馈回路有公共传递函数方框各反馈回路有公共传递函数方框G G2 2反馈反馈回路回路 L1:L1:L2:L2:L3:L3:64各反馈回路有公共传递函数方框各反馈回路有公共传递函数方框G G2 2一条前向通道：一条前向通道：反馈反馈回路回路 L1:L1:L2:L2:L3:L3:一般地，当一个系统传递函数方框图满足如下两个条件：一般地，当一个系统传递函数方框图满足如下两个条件：1)1)只有一条前向通道；只有一条前向通道；2)2)各局部反馈回路中包含公共传递函数方框。各局部反馈回路中包含公共传递函数方框。则：系统传递函数可简化成则：系统传递函数可简化成（梅逊公式）（梅逊公式）65例例3 3：66课堂练习：课堂练习：系统结构图如图所示：系统结构图如图所示：1、写出闭环传递函数表达式；2、要使系统满足条件：,试确定相应的参数 ，6768八、考虑扰动的反馈控制系统的传递函数八、考虑扰动的反馈控制系统的传递函数只考虑给定输入时：只考虑给定输入时：只考虑干扰输入时：只考虑干扰输入时：线性系统总的输出量：线性系统总的输出量：69结论：结论：1.1.闭环系统可抑制干扰的幅度。闭环系统可抑制干扰的幅度。2.2.闭环系统输入、输出取法不同，则传函不同，闭环系统输入、输出取法不同，则传函不同，但传函分母不变但传函分母不变系统总的输出量：系统总的输出量：极小值极小值而开环系统却不然。而开环系统却不然。反映系统本身固有特性；反映系统本身固有特性；70例例1 1 已知已知RLCRLC电路，确定电路电路，确定电路 的状态变量和状态方程的状态变量和状态方程解：微分方程解：微分方程 模型模型选选i和和uc为状态变量为状态变量状态方程，一阶导状态方程，一阶导数数形式形式状态方程，矩阵形式状态方程，矩阵形式九、九、状态空间模型状态空间模型71状态方程，一阶导形式状态方程，一阶导形式状态方程，矩阵形式状态方程，矩阵形式输出方程输出方程矩阵形式矩阵形式状态向量状态向量状态空间：由状态空间：由x1轴、轴、x2轴轴 xn轴组成的轴组成的n维空间。维空间。系统任一时刻状态可用状态空间中的一点表示。系统任一时刻状态可用状态空间中的一点表示。状态向量状态向量Y72输入量输入量 un维状态向量维状态向量X输出向量输出向量 Y系统矩阵系统矩阵nn控制矩阵控制矩阵n1输出矩阵输出矩阵1n传递矩阵传递矩阵1173微分方程微分方程描述系统的描述系统的数学模型数学模型传递函数传递函数状态空间状态空间必有内在的一致性必有内在的一致性必可相互转换必可相互转换单位矩阵单位矩阵详细内容在详细内容在 研究生课程研究生课程现代控制理论现代控制理论课程中学习！课程中学习！74课外作业课外作业p77-81v2.4 2.7（1、4）2.12 v2.15 2.17 2.1875
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