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第一节第一节 数学期望数学期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质课堂练习课堂练习 小结小结 布置作业布置作业 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望数学期望、方差、协方差和相关系数方差、协方差和相关系数一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入：、概念的引入：我们来看一个引例我们来看一个引例.例例1 某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情况进行考察.车工车工小张每天生产的废品数小张每天生产的废品数X是一个随机变量是一个随机变量.如何定如何定义义X的平均值呢？的平均值呢？我们先观察小张我们先观察小张100天的生产情况天的生产情况若统计若统计100天天,32天没有出废品天没有出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品;17天每天出两件废品天每天出两件废品;21天每天出三件废品天每天出三件废品;可以得到这可以得到这100天中天中 每天的平均废品数为每天的平均废品数为这个数能否作为这个数能否作为X的平均值呢？的平均值呢？（假定小张每天至多出（假定小张每天至多出现三件废品现三件废品）可以想象，若另外统计可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般天一般不会完全相同，这另外不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不天每天的平均废品数也不一定是一定是1.27.n0天没有出废品天没有出废品;n1天每天出一件废品天每天出一件废品;n2天每天出两件废品天每天出两件废品;n3天每天出三件废品天每天出三件废品.可以得到可以得到n天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出假定小张每天至多出三件废品三件废品)一般来说一般来说,若统计若统计n天天,这是这是以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均 当当N很大时，频率接近于概率，很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数所以我们在求废品数X的平均值时，用的平均值时，用概率代替概率代替频率频率，得平均值为，得平均值为这是这是以概率为权的加权平均以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变我们就用这个数作为随机变量量X 的平均值的平均值.定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布率是是离散型随机变量，它的分布率是:PX=xk=pk,k=1,2,请注意请注意:离散型随机变量的数学期望是一个绝对收离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。数学期望简称期望，又称为均值。若级数若级数绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数即的和为的和为随机变量随机变量X的数学期望的数学期望，记为，记为 ,例例1 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.60.3 0.1例例2到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望.例例3 按规定按规定,某车站每天某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的但到站时刻是随机的,且两者且两者到站的时间相互独立。其规律为：到站的时间相互独立。其规律为：X 10 30 50 70 90 二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在在数轴上取很密的分点数轴上取很密的分点x0 x1x2,则则X落在小区落在小区间间xi,xi+1)的概率是的概率是小区间小区间xi,xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为 由于由于xi与与xi+1很接近很接近,所以区间所以区间xi,xi+1)中的值中的值可以用可以用xi来近似代替来近似代替.这正是这正是的渐近和式的渐近和式.近似近似,因此因此X与以概率与以概率取值取值xi的离散型的离散型r.v 该离散型该离散型r.v 的数学的数学期望期望是是小区间小区间xi,xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为由此启发我们引进如下定义由此启发我们引进如下定义.定义定义2 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f(x),如果积分如果积分绝对收敛绝对收敛,则称此积分值为则称此积分值为X的数学期望的数学期望,即即请注意请注意:连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分的积分.例例4 例例5若将这两个电子装置串联连接组成整机若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机求整机寿命寿命(以小时计以小时计)N 的数学期望的数学期望.的分布函数为的分布函数为三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 1.问题的提出：问题的提出：设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比如说的某个函数的期望，比如说g(X)的期望的期望.那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来.一旦一旦我们知道了我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来.那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的.使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的的分布，一般是比较复杂的分布，一般是比较复杂的.(1)当当X为离散型时为离散型时,它的分布率为它的分布率为P(X=xk)=pk;(2)当当X为连续型时为连续型时,它它的密度函数为的密度函数为f(x).若若定理定理 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数:Y=g(X)(g是连续函数是连续函数)该公式的重要性在于该公式的重要性在于:当我们求当我们求Eg(X)时时,不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了.这这给求随机变量函数的期望带来很大方便给求随机变量函数的期望带来很大方便.上述定理还可以推广到两个或两个以上随上述定理还可以推广到两个或两个以上随上述定理还可以推广到两个或两个以上随上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变机变机变机变量的函数的情况。量的函数的情况。量的函数的情况。量的函数的情况。例例例例6 6例例例例7 7例例例例7 7例例5 5 设X N(0,1),Y N(0,1),X,Y 相互独立，求E(max(X,Y).解解D1D2例5解解(1)设整机寿命为 N,五个独立元件,寿命分别为都服从参数为 的指数分布，若将它们 (1)串联；(2)并联成整机，求整机寿命的均值.（P.142 例6）例例4 4例4即 N E(5),(2)设整机寿命为 可见,并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.四、数学期望的性质四、数学期望的性质 1.设设C是常数，则是常数，则E(C)=C;4.设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);2.若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（诸（诸Xi相互独立时）相互独立时）请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立五、数学期望性质的应用五、数学期望性质的应用例例8 求二项分布的数学期望求二项分布的数学期望若若 XB(n,p)，则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数.现在我们来求现在我们来求X的数学期望的数学期望.可见，服从参数为可见，服从参数为n和和p的二项分布的随机变量的二项分布的随机变量X的数学期望是的数学期望是 n p.XB(n,p),若设若设则则 X=X1+X2+Xn=npi=1,2，n因为因为 P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以所以 E(X)=则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数.E(Xi)=p例例9 把把数数字字1,2,n任任意意地地排排成成一一列列，如如果果数数字字k恰恰好好出出现现在在第第k个个位位置置上上，则则称称为为一一个个巧巧合合，求求巧巧合合个数的数学期望个数的数学期望.由于由于 E(Xk)=P(Xk=1)解解:设巧合个数为设巧合个数为X,k=1,2,n则则故故引入引入例例10 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出,旅客旅客有有10个车站可以下车个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车如到达一个车站没有旅客下车就不停车就不停车.以以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求E(X).(设每位旅设每位旅客在各个车站下车是等可能的客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车并设各旅客是否下车相互独立相互独立)按题意按题意按题意按题意 本题是将本题是将本题是将本题是将X X分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和,然后利用随然后利用随然后利用随然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的数学期望的数学期望的数学期望的,此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义.六、课堂练习六、课堂练习1 某某人人的的一一串串钥钥匙匙上上有有n把把钥钥匙匙,其其中中只只有有一一把把能能打打开开自自己己的的家家门门,他他随随意意地地试试用用这这串串钥钥匙匙中中的的某某一一把把去去开开门门,若若每每把把钥钥匙匙试试开开一一次次后后除除去去,求求打打开开门门时时试试开次数的数学期望开次数的数学期望.2 2 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为1 解解 设试开次数为设试开次数为X,于是于是 E(X)2 2 解解解解Y Y是随机变量是随机变量是随机变量是随机变量X X的函数的函数的函数的函数,P(X=k)=1/n,k=1,2,n应用据统计65岁的人在10年内正常死亡解解应用应用1 1的概率为0.98,因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳保险费100元.若10 年内因事故死亡公司赔偿 a 元,应如何定 a,才能使公司可期望获益;若有1000人投保,公司期望总获益多少?设Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得的收益,i=11000.则Xi 0.98 0.02100 100应用1由题设 公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.公司期望总收益为若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.为普查某种疾病,n 个人需验血.验血方案有如下两种：(1)分别化验每个人的血,共需化验 n 次；(2)分组化验,k 个人的血混在一起化验,若(3)结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则(4)对 k 个人的血逐个化验,找出有病者,此时(5)k 个人的血需化验 k+1 次.(6)设每人血液化验呈阳性的概率为 p,且(7)每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪(8)一方案较经济.验血方案的选择验血方案的选择应用应用2 2应用2解解 只须计算方案(2)所需化验次数的期望.为简单计,不妨设 n 是 k 的倍数，共分成 n/k 组.设第 i 组需化验的次数为X i,则Xi P 1 k+1 若则E(X)n例如,当 时,选择方案(2)较经济.市场上对某种产品每年需求量为 X 吨，X U 2000,4000,每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？解解设每年生产 y 吨的利润为 Y 显然，2000 y 4000应用应用3 3应用3显然，故 y=3500 时,E(Y)最大,E(Y)=8250万元例例:设某企业生产线上合格品率为设某企业生产线上合格品率为0.96,不合格品中不合格品中只有只有3/4的产品可以再加工的产品可以再加工,且再加工的合格率为且再加工的合格率为0.8,其余为废品其余为废品.已知每件合格品可获利已知每件合格品可获利80元元,每件废品每件废品亏损亏损20元元,为保证企业每天平均利润不低于为保证企业每天平均利润不低于2万元万元,问问企业每天至少应生产多少件产品企业每天至少应生产多少件产品?解解:则每件产品的平均利润为则每件产品的平均利润为 设由自动线加工的某种零件的内径 X(mm)N(,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径 X 有如下的关系：问平均直径 为何值时,销售一个零件的平均利润最大？(P.171习题四15题)应用应用4 4应用4解解即可以验证，零件的平均利润最大.故时,销售一个例:倒扣多少分?经常,有些考生做选择题时,乱选一通,为了惩罚这些考生,唯一的办法,就是对每一个错误答案倒扣若干分.假设每条选择题有五个答案，只有一个是正确的。在某次考试中，李老师共出20题，每题5分，满分是100分。他决定每一个错误答案倒扣若干分，但应倒扣多少分才合理呢？倒扣太多对学生不公平，但倒扣太少又起步了杜绝乱选的作用。倒扣的分数，应该恰到好处，使乱选一通的学生一无所获。换句话说，如果学生完全靠运气的话，他的总分的数学期望应该是0。假定对一个错误答案倒扣x分，而正确答案得5分。随意选一个答案，选到错误答案的概率是4/5，选到正确答案的概率是1/5，所以总分的数学期望是 ,要它是0，由此 ，即是对每一个错误答案应该倒扣 1.25 分。要是这样，对一个只答对六成的学生（但不是乱选一通之流）来说，他的总分仍然有 ,并不算不公平吧？七、小结七、小结 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征.接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：量另一个重要的数字特征：方差方差xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！
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