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概率论与数理统计 6/30/20241 随 机 过 程2 2关键词：随机过程 状态和状态空间 样本函数 有限维分布函数 均值函数 方差函数 自相关函数 自协方差函数 互相关函数 互协方差函数 正态过程 独立增量过程 泊松过程 维纳过程第十章 随机过程及其统计描述31 随机过程的概念 随机过程随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。给定一随机试验E，其样本空间S=e，将样本空间中的每一元作如下对应，便得到一系列结果：4 一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。5 例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S=H,T，现定义：12346 7 8 9 例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：随机过程的分类：随机过程的分类：随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为四类，参数集T可分为离散集和连续集两种情况，任一时刻的状态分别为离散型随机变量和连续型随机变量两种：1.连续参数连续型的随机过程，如例2，例32.连续参数离散型的随机过程，如例1，例43.离散参数离散型的随机过程，如例54.离散参数连续型的随机过程，112 随机过程的统计描述12 例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：13 例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：123414 15(二二)随机过程的数字特征随机过程的数字特征1617 18 19 续续2021(三三)二维随机过程的分布函数和数字特征二维随机过程的分布函数和数字特征2223 243 泊松过程及维纳过程25 独立增量过程的性质：2627(一)泊松分布等间隔的不等间隔的2829续续30证毕证毕313233343536 定理一：强度为的泊松流(泊松过程)的点间间距是相互独立的随 机变量，且服从同一指数分布 定理二：如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相互独立，且服从同一个指数分布：这两个定理刻画出了泊松过程的特征，定理二告诉我们，要确定一个计数过程是不是泊松过程，只要用统计方法检验点间间距是否独立，且服从同一个指数分布。则质点流构成强度为的泊松过程37(二)维纳过程维纳过程维纳过程是布朗运动的数学模型 以W(t)表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t0的位移的横坐标，且设W(0)=0。由于微粒的运动是受到大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果，于是:(1)粒子在时段(s,t上的位移可看作是许多微小位移的 和，根据中心极限定理，假设位移W(t)-W(s)服从正态分布是合理的。(2)由于粒子的运动完全由液体分子不规则碰撞而引起的，这样，在不相重叠的时间间隔内，碰撞的次数、大小和方向可假设相互独立，即W(t)具有独立增量，同时W(t)的增量具有平稳性。38394041关键词：无后效性(马尔可夫性)齐次马尔可夫链 n步转移概率 n步转移概率矩阵 C-K方程 马氏链的有限维分布律 遍历性 极限分布(平稳分布)第十一章 马尔可夫链421 马尔可夫过程及其概率分布马尔可夫性(无后效性)过程(或系统)在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时刻tt0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处的状态无关。通俗地说，通俗地说，就是在已经知道过程“现在”的条件下，其“将来”不依赖于“过去”。证毕！证毕！44由上例知，泊松过程泊松过程是时间连续状态离散的马氏过程，维纳过程维纳过程是时间状态都连续的马氏过程。时间和状态都离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链马尔可夫链，简称马氏链，记为：Xn=X(n),n=0,1,2,参数集T=0,1,2,，记链的状态空间为：45 46的状态XmXm+1的状态47 例2：(0-1传输系统)如图所示，只传输数字0和1的串联系统中，设每一级的传真率为p，误码率为q=1-p。并设一个单位时间传输一级，X0是第一级的输入，Xn是第n级的输出(n1)，那么Xn,n=0,1,2是一随机过程，状态空间I=0,1，而且当Xn=i为已知时，Xn+1所处的状态的概率分布只与Xn=i有关，而与时刻n以前所处的状态无关，所以它是一个马氏链，而且还是齐次的，它的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为：n21X0X1X2XnXn-148 例3：一维随机游动一维随机游动。设一醉汉Q(或看作一随机游动的 质点)在直线上的点集I=1,2,3,4,5作随机游动，且仅在1秒、2秒等时刻发生游动，游动的概率规则 是：如果Q现在位于点i(1i0)表示经n次交换 后甲盒中的红球数.(1)求此马氏链的初始分布;(2)求一步转移概率矩阵;(3)计算 ;(4)判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。747576关键词：(宽)平稳过程 时间均值 时间相关函数 各态历经性 谱密度第十二章 平稳随机过程771 平稳随机过程的概念78798081 82 83 84 85续续86872 各态历经性 如何根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数呢？按照数学期望和自相关函数的定义，需要时，一个平稳过程重复进行大量观察，获得一族样本函数用统计实验方法，均值和自相关函数近似地为：88 平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，根据这一特点，能否通过在一个很长时间内观察得到的一个样本曲线来估计平稳过程的数字特征呢？本节给出的各态历经定理证实，只要满足某些条件，那么均值和自相关函数实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替。89909192 939495 96 979899续续100证毕！证毕！101102 见下页103104 各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证：一个平稳过程X(t)，若0t+，只要它满足各态历经性条件，便可以根据“以概率1成立”的含义，从一次试验所得到的样本函数x(t)来确定该过程的均值和自相关函数。1053 相关函数的性质 见下页106 见下页107108证毕证毕柯西施瓦兹不等式109 应用：应用：110 1114 平稳过程的功率谱密度(一一)平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度114115116117(二二)谱密度的性质谱密度的性质1181191 12 23 34 45 56 67 7表 12.1 121 122123 124125(三三)互谱密度及其性质互谱密度及其性质126127课件结束!6/30/2024
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