有限元基本原理与概念课件

第六章 用有限单元法解平面问题 第五节第五节 单元的结点力列阵与劲度矩阵单元的结点力列阵与劲度矩阵第四节第四节 单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵 第三节第三节 单元的位移模式与解答的收敛性单元的位移模式与解答的收敛性第二节第二节 有限单元法的概念有限单元法的概念第一节第一节 基本量及基本方程的矩阵表示基本量及基本方程的矩阵表示概述概述第六节第六节 荷载向结点移置荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵单元的结点荷载列阵第六章 用有限单元法解平面问题 例题例题第十一节第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程应用变分原理导出有限单元法的基本方程 第十节第十节 计算实例计算实例 第九节第九节 计算成果的整理计算成果的整理 第八节第八节 解题的具体步骤解题的具体步骤 单元的划分单元的划分第七节第七节 结构的整体分析结点平衡方程组结构的整体分析结点平衡方程组习题的提示与答案习题的提示与答案教学参考资料教学参考资料第六章 用有限单元法解平面问题 第六章第六章 用有限单元法解平面问题用有限单元法解平面问题1.有限元法有限元法（Finite Element Method）FEM2.FEM的特点的特点 概述概述（1 1）具有）具有通用性和灵活性通用性和灵活性。首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。简称简称FEM，是弹性力学的一种是弹性力学的一种近似解法。近似解法。第六章 用有限单元法解平面问题 简史3.FEM简史简史 （2 2）对同一类问题，可以编制出）对同一类问题，可以编制出通用程序通用程序，应用计算机进行计算。应用计算机进行计算。（3 3）只要适当加密网格，就可以达到工程）只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。要求的精度。19431943年柯朗第一次提出了年柯朗第一次提出了FEMFEM的概念。的概念。FEMFEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展是上世纪中期才出现，并得到迅速发展 和广泛应用的一种数值解法。和广泛应用的一种数值解法。第六章 用有限单元法解平面问题 简史有限单元法的形成与发展有限单元法的形成与发展 在在寻寻找找连连续续系系统统求求解解方方法法的的过过程程中中，工工程程师师和和数数学学家家从从两两个个不不同同的的路路线线得得到到了了相相同同的的结结果果，即即有有限限元元法法。有有限限元元法法的的形形成成可可以以回回顾顾到到二二十十世世纪纪50年年代代，来来源源于于固固体体力力学学中中矩矩阵阵结结构构法法的的发发展展和和工工程程师师对对结结构构相相似似性性的的直直觉觉判判断断。从从固固体体力力学学的的角角度度来来看看，桁桁架架结结构构等等标标准准离离散散系系统统与与人人为为地地分分割割成成有有限限个个分分区区后后的的连连续续系系统统在在结构上存在相似性。结构上存在相似性。1956年年M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在在纽纽约约举举行行的的航航空空学学会会年年会会上上介介绍绍了了一一种种新新的的计计算算方方法法，将将矩矩阵阵位位移移法法推推广广到到求求解解平平面面应应力力问问题题。他他们们把把结结构构划划分分成成一一个个个个三三角角形形和和矩矩形形的的“单单元元”，利利用用单单元元中中近近似似位位移移函函数数，求求得得单单元元节节点点力力与与节点位移关系的单元刚度矩阵。节点位移关系的单元刚度矩阵。1954-1955年年，J.H.Argyris在在航航空空工工程程杂杂志志上上发发表表了了一一组组能能量量原理和结构分析论文。原理和结构分析论文。1960年年，Clough在在他他的的名名为为“The finite element in plane stress analysis”的的论论文文中中首首次次提提出出了了有有限限元元（finite element）这一术语。这一术语。第六章 用有限单元法解平面问题 简史 数数学学家家们们则则发发展展了了微微分分方方程程的的近近似似解解法法，包包括括有有限限差差分分方方法法，变分原理和加权余量法。变分原理和加权余量法。在在1963年年前前后后，经经过过J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.Pian（卞卞学学磺磺）等等许许多多人人的的工工作作，认认识识到到有有限限元元法法就就是是变变分分原原理理中中Ritz近近似似法法的的一一种种变变形形，发发展展了了用用各各种种不不同同变变分原理导出的有限元计算公式。分原理导出的有限元计算公式。1965年年O.C.Zienkiewicz和和Y.K.Cheung（张张佑佑启启）发发现现只只要要能能写写成成变变分分形形式式的的所所有有场场问问题题，都都可可以以用用与与固固体体力力学学有有限限元元法法的的相相同步骤求解。同步骤求解。1969年年B.A.Szabo和和G.C.Lee指指出出可可以以用用加加权权余余量量法法特特别别是是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。第六章 用有限单元法解平面问题 导出方法 我我国国的的力力学学工工作作者者为为有有限限元元方方法法的的初初期期发发展展做做出出了了许许多多贡贡献献，其其中中比比较较著著名名的的有有：陈陈伯伯屏屏（结结构构矩矩阵阵方方法法），钱钱令令希希（余余能能原原理理），钱钱伟伟长长（广广义义变变分分原原理理），胡胡海海昌昌（广广义义变变分分原原理理），冯冯康康（有有限限单单元元法法理理论论）。遗遗憾憾的的是是，从从1966年年开开始始的的近近十十年年期期间间，我国的研究工作受到阻碍。我国的研究工作受到阻碍。有有限限元元法法不不仅仅能能应应用用于于结结构构分分析析，还还能能解解决决归归结结为为场场问问题题的的工工程程问问题题，从从二二十十世世纪纪六六十十年年代代中中期期以以来来，有有限限元元法法得得到到了了巨巨大大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。第六章 用有限单元法解平面问题 简史算法与有限元软件算法与有限元软件 从从二二十十世世纪纪60年年代代中中期期以以来来，大大量量的的理理论论研研究究不不但但拓拓展展了了有有限限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：大大型型线线性性方方程程组组的的解解法法，非非线线性性问问题题的的解解法法，动动力力问问题题计计算算方方法。法。目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：软件名称软件名称简介简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最著名结构分析程序，最初由初由NASA研制研制MSC/Dytran动力学分析程序动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件通用结构分析软件ADINA非线性分析软件非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件非线性分析软件另另外外还还有有许许多多针针对对某某类类问问题题的的专专用用有有限限元元软软件件，例例如如金金属属成成形形分分析析软软件件Deform、Autoform，焊焊接接与与热热处处理理分分析析软软件件SysWeld等。等。第六章 用有限单元法解平面问题 简史有限元应用实例有限元应用实例有限元法已经成功地应用在以下一些领域：有限元法已经成功地应用在以下一些领域：固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；传热学；传热学；电磁场；电磁场；流体力学。流体力学。转向机构支架的强度分析（用转向机构支架的强度分析（用MSC/Nastran完成）完成）第六章 用有限单元法解平面问题 导出方法有限元应用实例有限元应用实例金属成形过程的分析（用金属成形过程的分析（用Deform软件完成）软件完成）分析金属成形过程中的各种缺陷。分析金属成形过程中的各种缺陷。型材挤压成形的分析。型材在挤型材挤压成形的分析。型材在挤压成形的初期，容易产生形状扭压成形的初期，容易产生形状扭曲。曲。螺旋齿轮成形过程的分析螺旋齿轮成形过程的分析 第六章 用有限单元法解平面问题 导出方法有限元应用实例有限元应用实例结构与焊缝布置结构与焊缝布置 焊接残余应力分析（用焊接残余应力分析（用Sysweld完完成）成）焊接过程的温度分布与轴向残余应力焊接过程的温度分布与轴向残余应力 第六章 用有限单元法解平面问题 导出方法有限元应用实例有限元应用实例淬火淬火3.06 min 时的时的马氏体分马氏体分布布 淬火淬火3.06 min 时的时的温度分布温度分布 第六章 用有限单元法解平面问题 6-1 基本量和基本方程的基本量和基本方程的 矩矩阵表示表示 本章无特别指明，均表示为本章无特别指明，均表示为平面应力平面应力 问题问题的公式。的公式。采用采用矩阵表示矩阵表示,可使公式统一、简洁，可使公式统一、简洁，且便于编制程序。且便于编制程序。第六章 用有限单元法解平面问题 基本物理量基本物理量：体力体力:基本物理量位移函数位移函数:应变应变:应力应力:结点位移列阵结点位移列阵:结点力列阵结点力列阵:面力面力:第六章 用有限单元法解平面问题 物理方程物理方程:FEM中应用的方程：中应用的方程：几何方程几何方程:应用的方程其中其中D D为弹性矩阵，对于平面应力问题是为弹性矩阵，对于平面应力问题是:第六章 用有限单元法解平面问题 -结点虚位移点虚位移;-对应的虚的虚应变。应用的方程ij虚功方程虚功方程:其中其中:在在FEMFEM中，用结点的平衡方程代替平衡中，用结点的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。微分方程，后者不再列出。第六章 用有限单元法解平面问题 3.3.整体分析。整体分析。6-2 6-2 有限有限单元法的概念元法的概念 FEMFEM的概念，可以简述为：的概念，可以简述为：采用有限自由度采用有限自由度 的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由 度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数 值计算方法。值计算方法。其理论基础是分片插值技术与变分原理。其理论基础是分片插值技术与变分原理。FEM的概念1.1.将连续体变换为离散化结构；将连续体变换为离散化结构；2.2.单元分析；单元分析；FEMFEM的分析过程：的分析过程：第六章 用有限单元法解平面问题 结构力学研究的构力学研究的对象象是是离散化结构离散化结构。如桁架，。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联 系（图（系（图（a a）。）。弹力研究的对象弹力研究的对象，是，是连续体连续体（图（图（b b）)。结构离散化1.结构离散化结构离散化将连续体变换为离散化将连续体变换为离散化结结构构第六章 用有限单元法解平面问题 将将连续体体变换为离散化离散化结构构（图（图（c c）：）：即将连续体划分为有限多个即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点并使这些单元仅在一些结点处处用绞连结起来，用绞连结起来，构构 成所谓成所谓离散化结构离散化结构。结构离散化第六章 用有限单元法解平面问题 图（图（c c）与图）与图(a a）相比，两者都是离）相比，两者都是离散散 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而 图（图（c c）的单元是三角形块体（注意：三角）的单元是三角形块体（注意：三角 形单元内部仍是连续体）。形单元内部仍是连续体）。结构离散化例如例如：将深梁划分为许多三角形单元，这将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用些单元仅在角点用铰铰连接起来。连接起来。第六章 用有限单元法解平面问题 2.2.单元分析单元分析 求解方法 每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。因单元内各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，部仍是连续体，应按弹性力学方法进行分析。应按弹性力学方法进行分析。取各结点位移取各结点位移 为基本未为基本未知量知量。然后对每个单元。然后对每个单元,分别求出各物理量分别求出各物理量,并均用并均用 来表示。来表示。第六章 用有限单元法解平面问题（1）应用插值公式应用插值公式,由单元结点位移由单元结点位移 ，求单元的位移函数，求单元的位移函数求解方法这个插值公式称为单元的这个插值公式称为单元的位移模式位移模式，为：，为：单元分析的主要内容：单元分析的主要内容：第六章 用有限单元法解平面问题（4 4）应用虚功方程，由单元的应力）应用虚功方程，由单元的应力 ，求出求出单元的结点力单元的结点力，表示为，表示为 （3 3）应用物理方程，由单元的应变）应用物理方程，由单元的应变 ，求出求出单元的应力单元的应力，表示为，表示为 （2 2）应用用几何方程几何方程，由单元的位移函数，由单元的位移函数d d，求出求出单元的应变单元的应变，表示为，表示为求解方法第六章 用有限单元法解平面问题 单元对结点的单元对结点的 作用力，与作用力，与 数数 值相同值相同,方向相反，方向相反，作用于结点。作用于结点。-结点点对单元的作用力，作用元的作用力，作用 于于单元，称元，称为结点力，以正点力，以正标向向为正。正。求解方法第六章 用有限单元法解平面问题（5 5）将每一单元中的各种外荷载，按虚）将每一单元中的各种外荷载，按虚功功 等效原等效原则移置到移置到结点上，化点上，化为结点荷结点荷 载，表示为，表示为 求解方法第六章 用有限单元法解平面问题 为已知值为已知值,是用结点位移表示的值。是用结点位移表示的值。通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求出各单元的应变和应力。出各单元的应变和应力。各单位移置到各单位移置到i i 结点上的结点荷载结点上的结点荷载 其中其中 表示对围绕表示对围绕i i 结点的单元求和；结点的单元求和；求解方法3.3.整体分析整体分析各单元对各单元对i i 结点的结点力结点的结点力 作用于结点作用于结点i i上的力有：上的力有：第六章 用有限单元法解平面问题 求解方法 3.3.整体分析整体分析 2.2.对单元进行分析对单元进行分析 1.1.将连续体变换为离散化结构将连续体变换为离散化结构 归纳起来，归纳起来，FEMFEM分析的主要步骤分析的主要步骤：（1 1）单元的位移模式）单元的位移模式（2 2）单元的应变列阵）单元的应变列阵（4 4）单元的结点力列阵）单元的结点力列阵（5 5）单元的等效结点荷载列阵）单元的等效结点荷载列阵建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。（3 3）单元的应力列阵）单元的应力列阵第六章 用有限单元法解平面问题 思考题 1.1.桁架的桁架的单元元为杆件，而平面体的杆件，而平面体的单元元为三角三角形形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性力学方法求解，为什么？力学方法求解，为什么？2.2.在平面问题中，是否也可以考虑其它的单在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？元形状，如四边形单元？第六章 用有限单元法解平面问题 应用插值公式，可由应用插值公式，可由 求出位移求出位移 。首先必须解决：首先必须解决：由由单元的结点位移单元的结点位移 来求出单元的位移函数来求出单元的位移函数 FEMFEM是取结点位移是取结点位移 为基本未知数的。问为基本未知数的。问题是如何求应变、应力。题是如何求应变、应力。这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，因此称为因此称为位移模式位移模式。6-3 单元的位移模式与单元的位移模式与 解答的收敛性解答的收敛性 位移模式第六章 用有限单元法解平面问题 插值公式（插值公式（a a）在结点）在结点 应等于结应等于结点位移值点位移值 。由此可求出。由此可求出 泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。所以所以三角形单元的位移模式三角形单元的位移模式，可取为：，可取为：三角形单元（a a）第六章 用有限单元法解平面问题 将式（将式（a a）按未知数）按未知数 归纳为归纳为:其中其中 包含包含 三角形单元或用矩阵表示为或用矩阵表示为:（b b）第六章 用有限单元法解平面问题 N 称为形（态）函数矩阵。称为形（态）函数矩阵。三角形单元（c c）第六章 用有限单元法解平面问题 A A为三角形为三角形 的面积（图示坐标系中，的面积（图示坐标系中，按逆时针编号），有：按逆时针编号），有：其中其中:三角形单元第六章 用有限单元法解平面问题 三三结点三角形点三角形单元的位移模式，略去了元的位移模式，略去了2 2次次以以 上的项，因而其上的项，因而其误差量级是误差量级是 且其中只包含且其中只包含 了了 的的1 1次项，所以在单元中次项，所以在单元中 的分布如图的分布如图 （a a）所示，）所示，的分布如图（的分布如图（b b）、（）、（c c）所示。）所示。三角形单元(a)(b)(c)1第六章 用有限单元法解平面问题 所以当单元趋于很小时，即所以当单元趋于很小时，即 时，为了使时，为了使FEMFEM之解逼近于真解。则为了之解逼近于真解。则为了保保证证FEMFEM收敛性收敛性,位移模式应满足下列条件：位移模式应满足下列条件：FEMFEM中以后的一系列工作，都是以位移中以后的一系列工作，都是以位移 模式为基础的。模式为基础的。收敛性条件第六章 用有限单元法解平面问题 因为当单元因为当单元 时，单元中的位移和时，单元中的位移和应变都趋近于基本量应变都趋近于基本量刚体位移和常量刚体位移和常量位移。位移。（1 1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。）位移模式必须能反映单元的刚体位移。收敛性条件（2 2）位移模式必须能反映单元的常量应变。）位移模式必须能反映单元的常量应变。第六章 用有限单元法解平面问题 收敛性条件可见刚体位移项在式（可见刚体位移项在式（a a）中均已反映。）中均已反映。与刚体位移相比，与刚体位移相比，将式（将式（a a）写成）写成 第六章 用有限单元法解平面问题（3 3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。位移模式应尽可能反映位移的连续性。即应尽可能反映原连续体的位移连续即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。在三角形单元内部，位移为连续；在两性。在三角形单元内部，位移为连续；在两单元边界单元边界ijij 上，上，之间均为线性变化，之间均为线性变化，也为连续。也为连续。对式（对式（a a）求应变，得：）求应变，得：收敛性条件可见常量应变也已反映。可见常量应变也已反映。第六章 用有限单元法解平面问题 （1）和（）和（2）是必要条件，）是必要条件，而加上（而加上（3）就为充分条件。）就为充分条件。收敛性条件 为了保证为了保证FEM的收敛性：的收敛性：第六章 用有限单元法解平面问题 6-4 6-4 单元的元的应变列列阵和和应力列力列阵 位移函数其中，单元中的位移函数单元中的位移函数用位移模式表示为 第六章 用有限单元法解平面问题 应用应用几何方程几何方程，求出，求出单元的应变列阵：单元的应变列阵：应变第六章 用有限单元法解平面问题 应变S称为应力转换矩阵应力转换矩阵，写成分块形式为再应用物理方程，求出单元的应力列阵：B 称为应变矩阵应变矩阵，用分块矩阵表示，第六章 用有限单元法解平面问题 对于线性位移模式，求导后得到的应变和对于线性位移模式，求导后得到的应变和应力，均成为常量，因此，称为应力，均成为常量，因此，称为常应变（应力）常应变（应力）单元单元。应变和应力的误差量级是。应变和应力的误差量级是 其精度比其精度比位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。应力第六章 用有限单元法解平面问题 6-5 6-5 单元的元的结点力列点力列阵与与劲度矩度矩阵 现在来考现在来考虑其中一个单虑其中一个单元：元：模型 在在FEMFEM中，首先将中，首先将连续体变换为离散化连续体变换为离散化结构的模型。结构的模型。第六章 用有限单元法解平面问题（2 2）单元与周围的单元在边界上已没有联）单元与周围的单元在边界上已没有联 系，只在结点系，只在结点 互相联系。互相联系。（1 1）将作用于）将作用于单元上的各种外荷载单元上的各种外荷载，按静，按静 力等效原则移置到结点上去，力等效原则移置到结点上去，化为等化为等 效结点荷载。效结点荷载。故单元内已没有外荷载。故单元内已没有外荷载。第六章 用有限单元法解平面问题 假想将单元与结点假想将单元与结点i i 切开，则：切开，则：其数值与其数值与 相同，而方向相反。相同，而方向相反。结点力以沿正坐标向为正。以沿正坐标向为正。对单元而言，这是作对单元而言，这是作 用于单元上的用于单元上的“外力外力”。结点作用于单元上的力结点作用于单元上的力，称为结点力结点力，单元作用于结点的力，单元作用于结点的力，为：为：第六章 用有限单元法解平面问题 按虚功方程，在虚位移上，外力的虚外力的虚功等于应力的虚功功等于应力的虚功。结点力而其内部有应力作用，考察已与结点切开后的单元 ，则此单元上作用有外力结点力，应用虚功方程，求单元的结点力：第六章 用有限单元法解平面问题 假设发生一组假设发生一组结点虚位移结点虚位移 则单元则单元内内 任一点（任一点（x x,y y）的虚位移为）的虚位移为 单元内单元内 任一点（任一点（x x,y y）的虚应变为）的虚应变为 代入虚代入虚 功方程：在单元中，功方程：在单元中，外力（结点力外力（结点力 ）在虚）在虚 位移（结点虚位移位移（结点虚位移 ）上的虚功，等于应）上的虚功，等于应 力力 在虚应变在虚应变 上的虚功，上的虚功，即：即：虚功方程第六章 用有限单元法解平面问题 其中其中 与与 无关，故式无关，故式(a)(a)成为成为 式式(b b)是是由应力求结点力的一般公式由应力求结点力的一般公式。因为因为 是独立的任意的虚位移，虚是独立的任意的虚位移，虚功方程对任意的功方程对任意的 均应满足，可得出均应满足，可得出 代入代入(b)第六章 用有限单元法解平面问题 式（式（c c）是）是由结点位移求结点力的一般公式，由结点位移求结点力的一般公式，称为单元的劲度矩阵称为单元的劲度矩阵 K其中：其中：再将应力公式代入上式，得再将应力公式代入上式，得 单元劲度矩阵（c）（d）第六章 用有限单元法解平面问题 对于三角形单元，对于三角形单元，B B 矩阵内均为常数，矩阵内均为常数，有有 代入代入 B B，D D，得出，得出 k k 如书中（如书中（6-376-37）及）及（6-386-38）所示。）所示。第六章 用有限单元法解平面问题（1 1）是是6 66 6的方阵，的方阵，中每一个元素都表示中每一个元素都表示 单元各结点沿坐标方向发生单位位移时所单元各结点沿坐标方向发生单位位移时所 引起的结点力。引起的结点力。（2 2）由反力互等定理，）由反力互等定理，所以所以 是对称是对称 矩阵，以对角线为对称轴。矩阵，以对角线为对称轴。单元劲度矩阵单元劲度矩阵k k的性质的性质：（3 3）当单元作刚体平移时，如）当单元作刚体平移时，如 三角形内不产生应力和应变，结点力也为三角形内不产生应力和应变，结点力也为0 0。第六章 用有限单元法解平面问题（4 4）由（）由（3 3）可导出行列式）可导出行列式 。（5 5）的元素与的元素与 单元的形状和方位等单元的形状和方位等 有关，但与单元的大小和刚体的平动以及作有关，但与单元的大小和刚体的平动以及作 度转动无关。度转动无关。即有：即有：中每一行（或列）的元素之和为零（其中每一行（或列）的元素之和为零（其中第中第1 1、3 3、5 5元素之和或元素之和或2 2、4 4、6 6元素之和也为元素之和也为0 0）。）。例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵NN。单元刚度矩阵的性质：单元刚度矩阵的性质：例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设1 1、求、求BB2 2、求求 DD3 3、求求 SS4 4、求求 连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向结点移置需把弹性体承受的任意分布的载荷都向结点移置(分解分解)，而成为结点载荷。如果弹性体受承受的载荷全都是集中力，而成为结点载荷。如果弹性体受承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为结点，就不存在移置的问题，则将所有集中力的作用点取为结点，就不存在移置的问题，集中力就是结点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和集中力就是结点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和体力，都不可能只作用在结点上。因此，必须进行载荷移体力，都不可能只作用在结点上。因此，必须进行载荷移置。如果集中力的作用点未被取为结点，该集中力也要向置。如果集中力的作用点未被取为结点，该集中力也要向结点移置。结点移置。将载荷移置到结点上，必须遵循静力等效的原则。静将载荷移置到结点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指原载荷与结点载荷在任意虚位移上做的虚功相力等效是指原载荷与结点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。合静力等效原则。6 66 6荷荷载向向结点移置点移置 单元的元的结点荷点荷载列列阵 第六章 用有限单元法解平面问题 在FEM中，须将作用于单元中的外荷载向结点移置，化为等效结点荷载等效结点荷载，第六章 用有限单元法解平面问题（2）变形体静力等效原则变形体静力等效原则在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等。1 1、等效原则等效原则（1）刚体静力等效原则刚体静力等效原则使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩也相同。移置原则 刚体静力等效原则只从运动效应来考虑，得出移置荷载不是唯一的解；变形体的静力等效原则考虑了变形效应，在一定的位移模式下，其结果是唯一的，且也满足了前者条件的。所以在FEM中，采用变形体的静力等效原则。6 单元载荷移置单元载荷移置集中荷载等效节点力假设各节点发生了虚位移：按照静力等效原则，节点荷载在节点虚位移上的虚功等于原荷载集中力在其作用点的虚位移上的虚功。分布体力的节点荷载移置分布面力的节点荷载移置第六章 用有限单元法解平面问题 3、单元边界单元边界 上面力上面力 的移置公式的移置公式 应用式 ，将 代之为 并在边界 上积分，得:对于任意的虚位移 ，虚功方程都必须满足，得：面力第六章 用有限单元法解平面问题 应用式 ，将 代之为 并对单 元域A 积分，得 4 4、单元内体力、单元内体力 的移置公式的移置公式 体力 当位移模式为线性函数时，由虚功方程得出的移置荷载，与按刚体静力等效原则得出的结点荷载相同。6 单元载荷移置单元载荷移置 例：例：总载荷的总载荷的2/32/3移置到结点移置到结点i i，1/31/3移置到结点移置到结点j j，与原载荷同向与原载荷同向6-7 整体分析整体分析 将各单元组合成结构，进行整体分析。将各单元组合成结构，进行整体分析。整体分析分整体分析分4 4个步骤个步骤1 1、建立整体刚度矩阵；、建立整体刚度矩阵；2 2、根据支承条件修改整、根据支承条件修改整体刚度矩阵；体刚度矩阵；3 3、解方程组，求出结点、解方程组，求出结点位移；位移；(消去法与叠加法消去法与叠加法)4 4、根据结点位移求出应、根据结点位移求出应力。力。6-7 整体分析整体分析 1 1、建立整体刚度矩阵、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵也叫作结构刚度矩阵)上图中的结构有六个结点，共有上图中的结构有六个结点，共有1212个结点位移分量和个结点位移分量和1212个个结点力分量。由结构的结点位移向量求结构的结点力向量时，结点力分量。由结构的结点位移向量求结构的结点力向量时，转换关系为：转换关系为：分块形式为：分块形式为：其中子向量其中子向量 和和 都是二阶向量，子矩阵都是二阶向量，子矩阵 是是二行二列矩阵。整体刚度矩阵二行二列矩阵。整体刚度矩阵KK是是12*12*1212阶矩阵。阶矩阵。6-7 整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 是单元刚度矩阵是单元刚度矩阵 的集成。的集成。1 1、刚度集成法的物理概念：、刚度集成法的物理概念：刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的结点力。结点力。由由2-82-8节的例题可见，与结点节的例题可见，与结点2 2和和3 3相关的单元有单元相关的单元有单元和和，当结点，当结点3 3发生单位位移时，相关单元发生单位位移时，相关单元和和同时在结点同时在结点2 2引引起结点力，将相关单元在结点起结点力，将相关单元在结点2 2的结点力相加，就得出结构在的结点力相加，就得出结构在结点结点2 2的结点力。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚的结点力。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块的集成。的集成。6-7 整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式 2 2、刚度矩阵的集成规则：、刚度矩阵的集成规则：先对每个单元求出单元刚度矩阵先对每个单元求出单元刚度矩阵 ，然后将其中的每，然后将其中的每个子块个子块 送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵之后即得出结构刚度矩阵KK的子块，从而得出结构刚度矩阵的子块，从而得出结构刚度矩阵KK。关键是如何找出关键是如何找出 中的子块在中的子块在KK中的对应位置。这需中的对应位置。这需要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关系。要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关系。6-7 整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式 2 2、刚度矩阵的集成规则：、刚度矩阵的集成规则：结构中的结点编码称为结构中的结点编码称为结点的总码，各个单元的三结点的总码，各个单元的三个结点又按逆时针方向编为个结点又按逆时针方向编为i,j,m,i,j,m,称为结点的局部码。称为结点的局部码。单元刚度矩阵中的子块单元刚度矩阵中的子块是按结点的局部码排列的，是按结点的局部码排列的，而结构刚度矩阵中的子块是而结构刚度矩阵中的子块是按结点的总码排列的。因此，按结点的总码排列的。因此，在单元刚度矩阵中，把结点在单元刚度矩阵中，把结点的局部码换成总码，并把其的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新中的子块按照总码次序重新排列。排列。7 整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式 以单元以单元为例，局部码为例，局部码i,j,mi,j,m对应于总码对应于总码5,2,45,2,4，因此，因此 中的子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵中的子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵 为：为：整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式 用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵 将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵KK：集成规则包含搬家和迭加两个环节：集成规则包含搬家和迭加两个环节：1 1、将单元刚度矩阵、将单元刚度矩阵 中的子块搬家，得出单元的扩中的子块搬家，得出单元的扩大刚度矩阵大刚度矩阵 。2 2、将各单元的扩大刚度矩阵、将各单元的扩大刚度矩阵 迭加，得出结构刚度迭加，得出结构刚度矩阵矩阵KK。(例题略例题略)6-7 支承条件的处理支承条件的处理 整体刚度矩阵整体刚度矩阵KK求出后，结构的结点力求出后，结构的结点力FF可表示为可表示为 在无支杆的结点处，结点力就等于已知的结点载荷。在在无支杆的结点处，结点力就等于已知的结点载荷。在有支杆的结点处，则求结点力时，还应把未知的支杆反力考有支杆的结点处，则求结点力时，还应把未知的支杆反力考虑在内。如果用虑在内。如果用PP表示结点载荷和支杆反力组成的向量，则表示结点载荷和支杆反力组成的向量，则结点的平衡方程为结点的平衡方程为 根据支承条件对平衡方程加以处理。先考虑结点根据支承条件对平衡方程加以处理。先考虑结点n n有水平有水平支杆的情况。与结点支杆的情况。与结点n n水平方向对应的平衡方程是第水平方向对应的平衡方程是第2n-12n-1个方个方程，程，根据支承情况，上式应换成根据支承情况，上式应换成 ，即在，即在KK中，第中，第2n-12n-1行的对角线元素行的对角线元素 应改为应改为1 1，该行全部非对角线元，该行全部非对角线元素应改为素应改为0 0。在。在PP中，第中，第2n-12n-1个元素个元素 应改为应改为0 0。此外，为了保持矩阵此外，为了保持矩阵KK的对称性，则第的对称性，则第2n-12n-1列全部非对列全部非对角线元素也改为角线元素也改为0 0。6-7 支承条件的处理支承条件的处理 同理，如果结点同理，如果结点n n有竖向支杆，则平衡方程的第有竖向支杆，则平衡方程的第2n2n个方程个方程应改为应改为 ，为此，在矩阵，为此，在矩阵KK中，第中，第2n2n行的对角线元素行的对角线元素改为改为1 1，该行全部非对角线元素改为，该行全部非对角线元素改为0 0，同时，第，同时，第2n2n列全部非列全部非对角线元素也改为对角线元素也改为0 0。在。在PP中，第中，第2n2n个元素改为个元素改为0 0。6-7 支承条件的处理支承条件的处理 2-82-8节中的结构，结点节中的结构，结点1 1有水平支杆，结点有水平支杆，结点2 2有两个支杆，有两个支杆，结点结点3 3有竖向支杆。对支承条件处理后，矩阵修改为：有竖向支杆。对支承条件处理后，矩阵修改为：6-7 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。1 1、对称性。、对称性。只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。2 2、稀疏性。、稀疏性。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。6-7 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 2 2、稀疏性。、稀疏性。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。结点结点5 5只与周围的六个结只与周围的六个结点点(2(2、3 3、4 4、6 6、8 8、9)9)用三角用三角形单元相连，它们是形单元相连，它们是5 5的相关的相关结点。只有当这七个相关结点结点。只有当这七个相关结点产生位移时，才使该结点产生产生位移时，才使该结点产生结点力，其余结点发生位移时结点力，其余结点发生位移时并不在该结点处引起结点力。并不在该结点处引起结点力。因此，在矩阵因此，在矩阵KK中，第中，第5 5行的行的非零子块只有七个非零子块只有七个(即与相关即与相关结点对应的七个子块结点对应的七个子块)。6-7 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 2 2、稀疏性。、稀疏性。一般，一个结点的相关结一般，一个结点的相关结点不会超过九个，如果网格中点不会超过九个，如果网格中有有200200个结点，则一行中非零个结点，则一行中非零子块的个数与该行的子块总数子块的个数与该行的子块总数相比不大于相比不大于9/2009/200，即在，即在5%5%以以下，如果网格的结点个数越多，下，如果网格的结点个数越多，则刚度矩阵的稀疏性就越突出。则刚度矩阵的稀疏性就越突出。利用矩阵利用矩阵KK的稀疏性，的稀疏性，可设法只存贮非零元素，从而可设法只存贮非零元素，从而可大量地节省存贮容量。可大量地节省存贮容量。6-7 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 3 3、带形分布规律。、带形分布规律。上图中，矩阵上图中，矩阵KK的非零元素分布在以对角线为中心的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中(包括对角包括对角线元素在内线元素在内)，每行具有的元素个数叫做半带宽，用，每行具有的元素个数叫做半带宽，用d d表示。表示。半带宽的一般计算公式是：半带宽的一般计算公式是：半带宽半带宽 d=(d=(相邻结点码的最大差值相邻结点码的最大差值 +1)*2+1)*2 上图中相邻结点码的最大差值为上图中相邻结点码的最大差值为4 4，故，故d=(4+1)*2=10d=(4+1)*2=10 利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的元素，叫半带存贮。元素，叫半带存贮。第六章 用有限单元法解平面问题 有限单元法的具体计算步骤：有限单元法的具体计算步骤：6 68 8解解题的具体步的具体步骤 单元的划分元的划分 1、划分单元网格，对单元和结点编号。2、选定直角坐标系，按程序要求填写和输入有关信息。单元内的ijm的局部编号应按书中规定的右手规则编号。否则会使三角形的面积出现负号等问题。第六章 用有限单元法解平面问题 3、使用已编好的程序进行上机计算。事先须将有限单元法的公式，计算方法和步骤都编入程序。4、对成果进行整理、分析。对第1和第4步的工作，也尽可能让计算机执行，以减少人工的工作量。如自动划分网格，整理成果等。第六章 用有限单元法解平面问题 关于单元的划分，注意几点：单元的划分，注意几点：（8）结构具有凹槽或孔洞等应力集中处等。（1）单元大小问题；（2）单元在不同部位的合理布置问题；（3）三角形三个内角最好较接近；（4）利用对称性和反对称性；（5）厚度突变之处和材料不同之处；（6）载荷作用（集中力或突变分布载荷）处；（7）水利闸坝工程问题；第六章 用有限单元法解平面问题 在有限单元法中，位移的精度较高，其误差量级是，即与单元尺度的二次幂成正比。应力的误差量级是，即与单元的大小成正比。6 69 9计算成果的整理算成果的整理 第六章 用有限单元法解平面问题 三结点三角形单元的应力的成果，不但应力的精度较低，而且还产生了所谓应应力的波动性力的波动性。对于结点位移的成果，可以直接采用。第六章 用有限单元法解平面问题 应力的波动性在三结点三角形单元中较为应力的波动性在三结点三角形单元中较为显著。显著。由于计算出的应力的精度较低。由于计算出的应力的精度较低。假设假设单元的应力成果为单元的应力成果为 ，其中，其中 为真解，为真解，为误差。差。则由于在由于在结点都列出了平衡方程并令点都列出了平衡方程并令其满足，从而使相邻的其满足，从而使相邻的单元的应力趋近于单元的应力趋近于 。这就产生了应力的波动性。这就产生了应力的波动性。原因是，第六章 用有限单元法解平面问题 为了提高应力的精度，解决应力波动性问题，可以采用两种应力成果的整理方法：一般地讲，两相邻单元平均法的精度较好，因为它涉及的区域范围较小。（1）两相邻单元平均法。（2）绕结点平均法。第六章 用有限单元法解平面问题 在受面力边界线附近，求得的应力误差较大。可采用向外插值的方法（例抛物线插值）来解决。第六章 用有限单元法解平面问题 为了提高应力的精度，可以采用两种方法。是加密网格，减少单元的尺寸，以提高应力的精度。是可以采用较多结点的单元，并使 位移模式中包含一些高幂次的项，从而提 高位移和应力的精度。二一第六章 用有限单元法解平面问题 书中应用三结点三角形单元，计算了下列例题：6 61010计算实例计算实例 1.楔形体受自重及齐顶水压力。2.简支梁受均布荷载。3.圆孔附近的应力集中。第六章 用有限单元法解平面问题 在整理应力成果时，读者应注意，应用三角形单元时，（1）采用两单元平均法和绕结点平均法的 应力成果比较接近，但前者的精度略 好于后者。（2）边界面的应力，宜采用向外插值的方 法求出。第六章 用有限单元法解平面问题 例题1 平面问题中采用的四结点矩阵单 元，如图所示。该单元的结点位移列阵是 第六章例题ba第六章 用有限单元法解平面问题 采用的位移模式是 其中的系数 ,由四个结点处的位 移值,应等于结点位 移值 的条件求出。ab第六章 用有限单元法解平面问题 读者试检查其收敛性条件是否满足？并估计位移和应力的误差量级。第六章例题第六章 用有限单元法解平面问题 例题2 平面问题中采用的六结点三角形单 元，如图所示。该单元的结点位移列阵为 其位移模式取为 第六章例题第六章 用有限单元法解平面问题 可以相似地表示。然后由六个结点处的条件求出 读者试检查其位移模式的收敛性，并估计其位移和应力的误差量级。