晶格动力学说课讲解课件

晶格动力学粒子并非静止不动而是在平衡位粒子并非静止不动而是在平衡位置附近振动，即所谓的晶格振动置附近振动，即所谓的晶格振动原子比热：原子比热：杜隆珀替定杜隆珀替定律律电阻率：电阻率：金属的电阻率随温度升高而增大金属的电阻率随温度升高而增大红外吸收与喇漫散射红外吸收与喇漫散射经典理论经典理论温度有关的原子比热正是晶格振动的最直接反映温度有关的原子比热正是晶格振动的最直接反映温度有关的电阻率则是由于晶格振动使得电子运动受到散射温度有关的电阻率则是由于晶格振动使得电子运动受到散射红外吸收与喇漫散射等则是由于光子与声子相互作用的结果红外吸收与喇漫散射等则是由于光子与声子相互作用的结果运动规律如何？运动规律如何？运动规律如何？运动规律如何？振幅小振幅小振幅小振幅小:AB:AB:AB:AB间间间间 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动振幅振幅振幅振幅:CD:CD:CD:CD间间间间 非简谐振动非简谐振动非简谐振动非简谐振动振幅振幅振幅振幅a,a,a,a,长程序破坏长程序破坏长程序破坏长程序破坏 熔化熔化熔化熔化 Liquid Liquid Liquid Liquid粒粒子子是是运运动动的的，但但不不能能乱乱动动，有有一一个个平平衡衡位位置置，即即在在平平衡衡位置附近运动位置附近运动振动振动r0=a0fABCD晶格动力学晶格动力学格点运动及其规律的描述格点运动及其规律的描述晶格热力学晶格热力学简谐振动简谐振动平衡态平衡态比热物态方程比热物态方程非简谐振动非简谐振动非平衡态非平衡态热膨胀、热传热膨胀、热传导导衍射实验衍射实验衍射实验衍射实验粒子不动粒子不动粒子不动粒子不动红外吸收与喇漫散射红外吸收与喇漫散射红外吸收与喇漫散射红外吸收与喇漫散射粒子运动粒子运动粒子运动粒子运动4.2 4.2 一维单原子链的振动一维单原子链的振动一维单原子链的振动一维单原子链的振动每个原子都具有相同的质量每个原子都具有相同的质量m，平衡，平衡时原子间距为时原子间距为a，平衡位置时两个相平衡位置时两个相邻原子的相互作用能为邻原子的相互作用能为U(a)由于热运动，各原子离开自身的平衡位由于热运动，各原子离开自身的平衡位置，用置，用xn表示第表示第n个原子离开平衡位置个原子离开平衡位置的位移，则第的位移，则第n个原子和第个原子和第n+1个原子个原子的相对位移为的相对位移为=xn+1-xn常数常数平衡位置势能极小平衡位置势能极小由一种原子组成的一维无限周期性阵列由一种原子组成的一维无限周期性阵列1.运动方程运动方程相对位移后相互作用势能变成相对位移后相互作用势能变成U(a+)，将，将U(a+)在平衡位置附近展开：在平衡位置附近展开：对微小振动，即对微小振动，即 很小时很小时恢复力常数恢复力常数恢复力恢复力xn-1xn+1xnxO第第n个原子的受力：个原子的受力：来自右边原子来自右边原子来自左边原子来自左边原子第第n个原子所受到个原子所受到的合作用力的合作用力可见在这样的力的作用下粒子在平衡位置可见在这样的力的作用下粒子在平衡位置附近作简谐运动，相应的近似叫简谐近似附近作简谐运动，相应的近似叫简谐近似第第n个原子的运个原子的运动方程可写成动方程可写成如果第如果第n个和第个和第n个原子的相位差个原子的相位差为为2 的整数倍，即的整数倍，即qna是第是第n个原子个原子振动的初相位振动的初相位意味着，位相差为意味着，位相差为2 整数倍的原子振动的位移相同整数倍的原子振动的位移相同2.方程的解方程的解对谐振子对谐振子写成复写成复数形式数形式两者比较，可以看到，方程两者比较，可以看到，方程描述的是振幅为描述的是振幅为A、角频率、角频率为为 的简谐振动，其解为：的简谐振动，其解为：可见晶格中各原子间振动相互间均有固定的位相关系可见晶格中各原子间振动相互间均有固定的位相关系解为解为通过上面的分析可以看到，晶格通过上面的分析可以看到，晶格中各原子间振动相互间均有固定中各原子间振动相互间均有固定的位相关系的位相关系格波波矢格波波矢波速波速(相相速速)格波波长格波波长n是波传播方是波传播方向的单位矢量向的单位矢量3.格波格波意味着：意味着：在晶格中存在着角频率在晶格中存在着角频率为为 的平面波，这种波称为的平面波，这种波称为格波格波（频率为（频率为 的平面波的平面波），是一个），是一个简谐平面波。简谐平面波。代入代入4.色散关系色散关系得到得到格波的波速与波长有关系，格波的波速与波长有关系，p是是 的函数。的函数。由于波速与波长有关，不由于波速与波长有关，不同频率的波在介质中的传同频率的波在介质中的传播就会不同，发生所谓的播就会不同，发生所谓的色散现象色散现象色散现象色散现象。一维布喇菲格子中一维布喇菲格子中格波的色散关系格波的色散关系一维布喇菲格子的振动频谱一维布喇菲格子的振动频谱当当q甚小（甚小（q0)，即波长很长，即波长很长，sin(qa/2)qa/2,波速波速=a(/m)1/2是常数是常数线性关系！线性关系！长波极限情况长波极限情况5、讨论、讨论如果将一维单原子晶格看成连续介质，相应的波为弹性波如果将一维单原子晶格看成连续介质，相应的波为弹性波对弹性波，波速为对弹性波，波速为K为弹性模量为弹性模量 为介质密度为介质密度弹性模量密度弹性模量密度对一维原子链对一维原子链格波和弹性波格波和弹性波的速度相同的速度相同上述的结果可以理解为，在长波上述的结果可以理解为，在长波近似下，一个波长内包含许多原子，如图近似下，一个波长内包含许多原子，如图因此，晶格可以看成是连续介质因此，晶格可以看成是连续介质短波极限情况短波极限情况此时，此时，sin(qa/2)=1，有最大值，有最大值，格波的波长格波的波长即在短波近似下，一个波长内包含三个原即在短波近似下，一个波长内包含三个原子，如图，两个相邻原子的振动位相相反子，如图，两个相邻原子的振动位相相反1)注意到这个关系中没有注意到这个关系中没有n，即所有的原子的运动方程都可以，即所有的原子的运动方程都可以导出色散关系，也可以说导出色散关系，也可以说一维单原子链只存在一个格波一维单原子链只存在一个格波一维单原子链只存在一个格波一维单原子链只存在一个格波。2)从方程的解：从方程的解：可以看出一维单原子振动是一种简谐波，称其为可以看出一维单原子振动是一种简谐波，称其为简简简简正模式的格波。正模式的格波。正模式的格波。正模式的格波。3)色散关系表明了其周期性，即：色散关系表明了其周期性，即：是等价的。为了保证是等价的。为了保证 一一对应，限定：一一对应，限定：一维简约布里渊区一维简约布里渊区一维简约布里渊区一维简约布里渊区关于格波的讨论关于格波的讨论1 1、一维单原子链只存在一个格波。、一维单原子链只存在一个格波。、一维单原子链只存在一个格波。、一维单原子链只存在一个格波。2 2、一维单原子振动是简正模式的格波。、一维单原子振动是简正模式的格波。、一维单原子振动是简正模式的格波。、一维单原子振动是简正模式的格波。一维原子链的振动一维原子链的振动3 3、色散关系及色散图、色散关系及色散图、色散关系及色散图、色散关系及色散图小结小结4.3 4.3 一维双原子链的振动一维双原子链的振动一维双原子链的振动一维双原子链的振动NaCl由由质质量量较较大大(M)、质质量量较较小小(m)的的两种不同原子构成的一维原子链两种不同原子构成的一维原子链1.运动方程运动方程质量为质量为m的原子位于的原子位于2n-3,2n-1,2n+1,2n+3各点各点相相邻邻同同种种原原子子间间的的距距离离为为2a（复式格子的晶格常数）（复式格子的晶格常数）质量为质量为M的原子位于的原子位于2n-2,2n,2n+2,2n+4各点各点类似于单原子的讨论，对每类似于单原子的讨论，对每种原子，可写出其运动方程种原子，可写出其运动方程2、方程的解、方程的解类类似似于于前前面面的的讨讨论论，可可以以将将方方程程的的解解写写成角频率为成角频率为 的简谐振动的形式，即的简谐振动的形式，即两种原子振动的振幅两种原子振动的振幅一般来说是不同的一般来说是不同的3、色散关系、色散关系得到得到代入代入A、B非非0解解的的条条件件是是系系数行列式必须为数行列式必须为0，即，即由此得到由此得到两个独立的振动两个独立的振动模式或者格波模式或者格波单一原子单一原子单一原子单一原子-一个格波一个格波一个格波一个格波复式格子复式格子复式格子复式格子-两个格波两个格波两个格波两个格波 2qa=0:-取最小值，而取最小值，而 +取最大值取最大值2qa=:-取最大值，取最大值，而而+取最小值取最小值4.4 4.4 声学波和光学波声学波和光学波 +的最小值比的最小值比的最小值比的最小值比 -的最大值还要大的最大值还要大的最大值还要大的最大值还要大意味着意味着意味着意味着 +支的格波频率总比支的格波频率总比支的格波频率总比支的格波频率总比 -支的频率高支的频率高支的频率高支的频率高 +支格波可以用光来激发，故称支格波可以用光来激发，故称支格波可以用光来激发，故称支格波可以用光来激发，故称为光频支格波，简称光学波为光频支格波，简称光学波为光频支格波，简称光学波为光频支格波，简称光学波 -支格波可以用超声波来激发，支格波可以用超声波来激发，支格波可以用超声波来激发，支格波可以用超声波来激发，故称为声频支格波，简称声学波故称为声频支格波，简称声学波故称为声频支格波，简称声学波故称为声频支格波，简称声学波光频支格波光频支格波光频支格波光频支格波声频支格波声频支格波声频支格波声频支格波下面通过对频率和振幅的分析下面通过对频率和振幅的分析讨论声学波和光学波的意义讨论声学波和光学波的意义先来看看声学波先来看看声学波先来看看声学波先来看看声学波在实际的复式格子里：在实际的复式格子里：总是成立的总是成立的频频 率率-/2a/2a类似类似说明由一种原子构成的格子说明由一种原子构成的格子只有声学波！而复式格子中只有声学波！而复式格子中也有一个格波类似。也有一个格波类似。声学波的频率声学波的频率-最大值为最大值为；最小值为；最小值为0。频频 率率再来看再来看再来看再来看看光学波看光学波看光学波看光学波利用利用当当q0时候时候当当q0时候，声学波时候，声学波结论：结论：结论：结论：（1）声学波的频率）声学波的频率-最大值为最大值为；最小值为；最小值为0。q=/2aq=0（2）光学波的频率）光学波的频率+最大值为最大值为；最小值为；最小值为光学波和声学波的色散关系光学波和声学波的色散关系一维布喇菲格子有一个格波一维布喇菲格子有一个格波一维复式格子有两个格一维复式格子有两个格波：波：声学波和光学波声学波和光学波光学波光学波光学波光学波声学波声学波声学波声学波振振 幅幅（1）声学波）声学波相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或负号，相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或负号，相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或负号，相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或负号，即对声学波，相邻原子都是沿同一方向振动的。即对声学波，相邻原子都是沿同一方向振动的。即对声学波，相邻原子都是沿同一方向振动的。即对声学波，相邻原子都是沿同一方向振动的。当波长相当长时，一个周期内的当波长相当长时，一个周期内的当波长相当长时，一个周期内的当波长相当长时，一个周期内的原子很多，相邻的两个原子具有原子很多，相邻的两个原子具有原子很多，相邻的两个原子具有原子很多，相邻的两个原子具有相同的振动方向，因此，声学波相同的振动方向，因此，声学波相同的振动方向，因此，声学波相同的振动方向，因此，声学波实际上代表的是实际上代表的是实际上代表的是实际上代表的是原胞质心的振动原胞质心的振动原胞质心的振动原胞质心的振动（2）光学波）光学波相邻两种不同原子的振动方向是相反的相邻两种不同原子的振动方向是相反的相邻两种不同原子的振动方向是相反的相邻两种不同原子的振动方向是相反的对长光学波，即对长光学波，即对长光学波，即对长光学波，即q q q q0 0 0 0当当当当波波波波长长长长相相相相当当当当长长长长时时时时(长长长长光光光光学学学学波波波波)，mA+MB=0,mA+MB=0,mA+MB=0,mA+MB=0,即即即即原原原原胞胞胞胞的的的的质质质质心心心心保保保保持持持持不不不不变变变变，由由由由此此此此可可可可以以以以认认认认为为为为，光光光光学学学学波波波波是是是是代代代代表表表表原原原原胞中两个原子的相对振动胞中两个原子的相对振动胞中两个原子的相对振动胞中两个原子的相对振动2 2 2 2、一维复式格子的情形、一维复式格子的情形、一维复式格子的情形、一维复式格子的情形1 1 1 1、一维布喇菲格子的情形、一维布喇菲格子的情形、一维布喇菲格子的情形、一维布喇菲格子的情形只有一个格波，简正模式的格波只有一个格波，简正模式的格波。有两个格波，光频支格波和声频支格波有两个格波，光频支格波和声频支格波可以用光波来激发可以用光波来激发可以用超声波来激发可以用超声波来激发实际上代表的是实际上代表的是实际上代表的是实际上代表的是-质心的振动质心的振动质心的振动质心的振动声频支格波声频支格波声频支格波声频支格波代表的是两个原子的代表的是两个原子的代表的是两个原子的代表的是两个原子的相对振动相对振动相对振动相对振动。光频支格波光频支格波光频支格波光频支格波结论：结论：为了保持波函数的单值性，考虑了波矢的取值范围为了保持波函数的单值性，考虑了波矢的取值范围对于一维双原子的复式格子对于一维双原子的复式格子对于一维双原子的复式格子对于一维双原子的复式格子对于一维布喇菲格子对于一维布喇菲格子对于一维布喇菲格子对于一维布喇菲格子q q的取值是连续还是分立的？的取值是连续还是分立的？的取值是连续还是分立的？的取值是连续还是分立的？实际情况是，在上述取值范围内实际情况是，在上述取值范围内实际情况是，在上述取值范围内实际情况是，在上述取值范围内q q q q的取值是分立的，的取值是分立的，的取值是分立的，的取值是分立的，其原因是由边界条件所决定的其原因是由边界条件所决定的其原因是由边界条件所决定的其原因是由边界条件所决定的4.5 Born-Karman4.5 Born-Karman边界条件边界条件体内原子体内原子边界原子边界原子边界原子边界原子Na考虑由考虑由N个原子构成的一维晶体个原子构成的一维晶体很显然，边界上原子的振动状态不同于体内原子的振动状态很显然，边界上原子的振动状态不同于体内原子的振动状态为了消除边界原子的影响，玻恩卡门作了如下假设：为了消除边界原子的影响，玻恩卡门作了如下假设：在一个长度为在一个长度为Na的有限晶体外仍然有无限多个相同的晶体，的有限晶体外仍然有无限多个相同的晶体，且各块晶体内相对应的原子的运动情况相同且各块晶体内相对应的原子的运动情况相同Na.Na.Na.不同于理想晶体，实不同于理想晶体，实际晶体有边界的存在际晶体有边界的存在对于一维布喇菲格子对于一维布喇菲格子Na.Na.Na.因此，第因此，第j个原子和第个原子和第sN+j个原子的运动情况相同个原子的运动情况相同可见，可见，可见，可见，l l只能取只能取只能取只能取N N N N个不同的值，因此个不同的值，因此个不同的值，因此个不同的值，因此,晶晶晶晶格振动的波矢格振动的波矢格振动的波矢格振动的波矢q q也也也也只能取只能取只能取只能取N N N N个不同的分个不同的分个不同的分个不同的分立值，注意：这里的立值，注意：这里的立值，注意：这里的立值，注意：这里的N N N N就是原胞的数目就是原胞的数目就是原胞的数目就是原胞的数目玻恩卡门玻恩卡门边界条件边界条件l l 为整数为整数为整数为整数若将若将q限制在限制在则则l限制在限制在=Na尽管边界的原子和体内原子的情况仍然有区别，但我们注意尽管边界的原子和体内原子的情况仍然有区别，但我们注意尽管边界的原子和体内原子的情况仍然有区别，但我们注意尽管边界的原子和体内原子的情况仍然有区别，但我们注意到，原子之间的作用里是短程力，也就是说实际上只有边界到，原子之间的作用里是短程力，也就是说实际上只有边界到，原子之间的作用里是短程力，也就是说实际上只有边界到，原子之间的作用里是短程力，也就是说实际上只有边界上少数几个原子会受到这个假想晶体的影响，绝大部分的原上少数几个原子会受到这个假想晶体的影响，绝大部分的原上少数几个原子会受到这个假想晶体的影响，绝大部分的原上少数几个原子会受到这个假想晶体的影响，绝大部分的原子并没有受到影响。子并没有受到影响。子并没有受到影响。子并没有受到影响。周期性边界条件也可以采用如下的图像周期性边界条件也可以采用如下的图像对于一维复式格子对于一维复式格子设设设设N N个原胞，由边界条件个原胞，由边界条件个原胞，由边界条件个原胞，由边界条件：l l为整数为整数为整数为整数若将若将q限制在限制在则则l限制在限制在显然，一维复式格子中显然，一维复式格子中显然，一维复式格子中显然，一维复式格子中q q q q也只也只也只也只能取能取能取能取N N N N个值，等于原胞的数目个值，等于原胞的数目个值，等于原胞的数目个值，等于原胞的数目结论结论晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目=晶体原胞数目晶体原胞数目晶格振动频率的数目晶格振动频率的数目=晶体的自由度数晶体的自由度数一维复式格子中原胞的数目是一维复式格子中原胞的数目是一维复式格子中原胞的数目是一维复式格子中原胞的数目是N N，每个原，每个原，每个原，每个原子有一个自由度，所以自由度数为子有一个自由度，所以自由度数为子有一个自由度，所以自由度数为子有一个自由度，所以自由度数为2N2N。但在一维复式格子中每一个振动有一个光但在一维复式格子中每一个振动有一个光但在一维复式格子中每一个振动有一个光但在一维复式格子中每一个振动有一个光学角频率和一个声学角频率，故有学角频率和一个声学角频率，故有学角频率和一个声学角频率，故有学角频率和一个声学角频率，故有2N2N个振个振个振个振动频率。动频率。动频率。动频率。实际一维格子中的波矢只能取一些分立的值。实际一维格子中的波矢只能取一些分立的值。实际一维格子中的波矢只能取一些分立的值。实际一维格子中的波矢只能取一些分立的值。注意注意2 2、一维复式格子的情形：、一维复式格子的情形：、一维复式格子的情形：、一维复式格子的情形：有两种格波，光频支有两种格波，光频支有两种格波，光频支有两种格波，光频支格波和声频支格波格波和声频支格波格波和声频支格波格波和声频支格波1 1、一维布喇菲格子的情形：只有一种格波，、一维布喇菲格子的情形：只有一种格波，、一维布喇菲格子的情形：只有一种格波，、一维布喇菲格子的情形：只有一种格波，简正模式的格波。简正模式的格波。简正模式的格波。简正模式的格波。声频支格波：声频支格波：声频支格波：声频支格波：实际上代表的是实际上代表的是实际上代表的是实际上代表的是-质心的振动质心的振动质心的振动质心的振动光频支格波：光频支格波：光频支格波：光频支格波：代表的是两个原子的相对振动代表的是两个原子的相对振动代表的是两个原子的相对振动代表的是两个原子的相对振动。小小结结晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目=晶体原胞数目晶体原胞数目晶体原胞数目晶体原胞数目晶格振动频率的数目晶格振动频率的数目晶格振动频率的数目晶格振动频率的数目=晶体的自由度数晶体的自由度数晶体的自由度数晶体的自由度数3 3、实际一维格子中的波矢只能取一些分立的值、实际一维格子中的波矢只能取一些分立的值、实际一维格子中的波矢只能取一些分立的值、实际一维格子中的波矢只能取一些分立的值（波恩（波恩（波恩（波恩-卡门）。卡门）。卡门）。卡门）。一维布喇菲格子：一维布喇菲格子：一维布喇菲格子：一维布喇菲格子：q q (-(-/a a,/a a)，N N个值个值个值个值一维复式格子：一维复式格子：一维复式格子：一维复式格子：q q (-(-/2/2a a,/2/2a a)，N N个值个值个值个值N N 个原胞，每个原胞中有个原胞，每个原胞中有个原胞，每个原胞中有个原胞，每个原胞中有n n 个个个个原子，每个原子有原子，每个原子有原子，每个原子有原子，每个原子有3 3个自由度个自由度个自由度个自由度推广到三维多原子晶体推广到三维多原子晶体:因此，晶体的自由度为因此，晶体的自由度为因此，晶体的自由度为因此，晶体的自由度为3 3nNnN三维多原子晶体振动波矢数目为三维多原子晶体振动波矢数目为三维多原子晶体振动波矢数目为三维多原子晶体振动波矢数目为晶格振动频率的数目晶格振动频率的数目晶格振动频率的数目晶格振动频率的数目3 3nNnN晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目=晶体原胞数目晶体原胞数目晶体原胞数目晶体原胞数目晶格振动频率的数目晶格振动频率的数目晶格振动频率的数目晶格振动频率的数目=晶体的自由度数晶体的自由度数晶体的自由度数晶体的自由度数每个每个每个每个q q有有有有3n3n个个个个 ，因此，有，因此，有，因此，有，因此，有3n3n个格波个格波个格波个格波三维多原子晶体有三维多原子晶体有三维多原子晶体有三维多原子晶体有3 3nNnN个格波个格波个格波个格波晶格振动是晶体中所有原子或离子集体在晶格振动是晶体中所有原子或离子集体在晶格振动是晶体中所有原子或离子集体在晶格振动是晶体中所有原子或离子集体在作振动，其结果表现为晶格中的格波。作振动，其结果表现为晶格中的格波。作振动，其结果表现为晶格中的格波。作振动，其结果表现为晶格中的格波。例如：两种原子构成的一维复式格子例如：两种原子构成的一维复式格子例如：两种原子构成的一维复式格子例如：两种原子构成的一维复式格子两个格波：声学波和光学波两个格波：声学波和光学波两个格波：声学波和光学波两个格波：声学波和光学波晶格振动的量子化意晶格振动的量子化意晶格振动的量子化意晶格振动的量子化意指格波能量的量子化指格波能量的量子化指格波能量的量子化指格波能量的量子化4.6 4.6 声子声子独立振动模式：忽略掉格波间的相独立振动模式：忽略掉格波间的相独立振动模式：忽略掉格波间的相独立振动模式：忽略掉格波间的相互作用，以至于将格波的存在视为互作用，以至于将格波的存在视为互作用，以至于将格波的存在视为互作用，以至于将格波的存在视为相互独立的。相互独立的。相互独立的。相互独立的。由于晶格的周期性，给格波或简谐波以一定的边界条件的限由于晶格的周期性，给格波或简谐波以一定的边界条件的限由于晶格的周期性，给格波或简谐波以一定的边界条件的限由于晶格的周期性，给格波或简谐波以一定的边界条件的限制，使得独立的振动模式是分立的，表现在能量上，即格波制，使得独立的振动模式是分立的，表现在能量上，即格波制，使得独立的振动模式是分立的，表现在能量上，即格波制，使得独立的振动模式是分立的，表现在能量上，即格波的能量是量子化的。的能量是量子化的。的能量是量子化的。的能量是量子化的。晶格振动中的简谐振子的能量量子，称为声子晶格振动中的简谐振子的能量量子，称为声子或者或者格波的能量量子称为声子格波的能量量子称为声子声子的能量或者格波的能量量子声子的能量或者格波的能量量子一般而言，晶格振动是复杂的，并非是简谐振动，因此，晶格一般而言，晶格振动是复杂的，并非是简谐振动，因此，晶格一般而言，晶格振动是复杂的，并非是简谐振动，因此，晶格一般而言，晶格振动是复杂的，并非是简谐振动，因此，晶格中的格波不一定是简谐波，但可以展开成简谐平面波的迭加。中的格波不一定是简谐波，但可以展开成简谐平面波的迭加。中的格波不一定是简谐波，但可以展开成简谐平面波的迭加。中的格波不一定是简谐波，但可以展开成简谐平面波的迭加。当振动微弱时，振动可看成是简谐振动，格波也就是简谐波当振动微弱时，振动可看成是简谐振动，格波也就是简谐波当振动微弱时，振动可看成是简谐振动，格波也就是简谐波当振动微弱时，振动可看成是简谐振动，格波也就是简谐波每一个独立模式对应每一个独立模式对应每一个独立模式对应每一个独立模式对应一个波矢为一个波矢为一个波矢为一个波矢为q q的格波的格波的格波的格波声子的定义声子的定义光波光波 能量量子能量量子光子光子(photon)格波格波 能量量子能量量子声子声子(phonon)从数学的角度，由于晶格振动是晶体中大量原子或离子的从数学的角度，由于晶格振动是晶体中大量原子或离子的从数学的角度，由于晶格振动是晶体中大量原子或离子的从数学的角度，由于晶格振动是晶体中大量原子或离子的集体运动，系统的总哈米顿量是所有原子的坐标和速度的集体运动，系统的总哈米顿量是所有原子的坐标和速度的集体运动，系统的总哈米顿量是所有原子的坐标和速度的集体运动，系统的总哈米顿量是所有原子的坐标和速度的函数，因此，哈米顿量中包含两两原子坐标的交叉项函数，因此，哈米顿量中包含两两原子坐标的交叉项函数，因此，哈米顿量中包含两两原子坐标的交叉项函数，因此，哈米顿量中包含两两原子坐标的交叉项例如：个原子构成的一维布喇菲格子例如：个原子构成的一维布喇菲格子势能函数势能函数两两原子坐两两原子坐两两原子坐两两原子坐标的交叉项标的交叉项标的交叉项标的交叉项通过正则变换，将原来的坐标系变换成正则坐标系，通过正则变换，将原来的坐标系变换成正则坐标系，消除哈米顿量中两两原子坐标的交叉项，从而将晶消除哈米顿量中两两原子坐标的交叉项，从而将晶格振动的总能量表述为独立简单振子能量之和格振动的总能量表述为独立简单振子能量之和4.7 4.7 晶格振动量子化的数学处理晶格振动量子化的数学处理处理思路处理思路 简正振动回顾对弹簧或单摆简正振动回顾对弹簧或单摆.引入简正坐标和正则动量引入简正坐标和正则动量正则方程及其解正则方程及其解一维布喇菲格子一维布喇菲格子一维布喇菲格子一维布喇菲格子第第n个原子总的位移个原子总的位移由于周期性边界条件，波矢由于周期性边界条件，波矢q取分立的不同值，所取分立的不同值，所以，每一个原子的振动是一些独立振动模式的迭加以，每一个原子的振动是一些独立振动模式的迭加第第q个格波引起的位移个格波引起的位移考虑第考虑第n个原子个原子动能动能势能势能晶格振动的总能量（哈米顿量）晶格振动的总能量（哈米顿量）引入简正坐标引入简正坐标原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来代入代入得到得到q代表前进的简谐波代表前进的简谐波q代表后退的简谐波代表后退的简谐波代入代入哈米顿量哈米顿量哈米顿量哈米顿量代表一个谐代表一个谐振子能量振子能量包含有项，因此，总能量包含有项，因此，总能量是个独立谐振子的能量之和是个独立谐振子的能量之和能量本征值能量本征值本征态函数本征态函数量子力学量子力学一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为当这种振动模处于当这种振动模处于 时，说明有时，说明有 个声子个声子类比于电子，声子也可以从一个能类比于电子，声子也可以从一个能类比于电子，声子也可以从一个能类比于电子，声子也可以从一个能态到达另一个能态。态到达另一个能态。态到达另一个能态。态到达另一个能态。反之，由反之，由反之，由反之，由 状态跃迁到状态跃迁到状态跃迁到状态跃迁到 态，需要态，需要态，需要态，需要减少一个量子减少一个量子减少一个量子减少一个量子 ，这是湮没一个声子。，这是湮没一个声子。，这是湮没一个声子。，这是湮没一个声子。格波从格波从格波从格波从 的状态跃迁到的状态跃迁到的状态跃迁到的状态跃迁到 的状态时的状态时的状态时的状态时能量增加一个量子能量增加一个量子能量增加一个量子能量增加一个量子 这是产生一个声子这是产生一个声子这是产生一个声子这是产生一个声子的过程。的过程。的过程。的过程。声子是一种准粒子声子是一种准粒子声子是一种准粒子声子是一种准粒子!能量能量能量能量再论声子再论声子再论声子再论声子历史上爱因斯坦最先引入声子概念。在当时没历史上爱因斯坦最先引入声子概念。在当时没历史上爱因斯坦最先引入声子概念。在当时没历史上爱因斯坦最先引入声子概念。在当时没有格波的概念，他直接认为晶体中每个原子都以有格波的概念，他直接认为晶体中每个原子都以有格波的概念，他直接认为晶体中每个原子都以有格波的概念，他直接认为晶体中每个原子都以同一同一同一同一 频率振动，借用普朗克光量子的概念，频率振动，借用普朗克光量子的概念，频率振动，借用普朗克光量子的概念，频率振动，借用普朗克光量子的概念，提出原子振动的量子为提出原子振动的量子为提出原子振动的量子为提出原子振动的量子为 ，这就是爱因斯坦，这就是爱因斯坦，这就是爱因斯坦，这就是爱因斯坦的模型的模型的模型的模型声子是玻色子，服从玻色统计分布。在温声子是玻色子，服从玻色统计分布。在温声子是玻色子，服从玻色统计分布。在温声子是玻色子，服从玻色统计分布。在温度度度度T T T T处于热平衡晶格中，声子处于热平衡晶格中，声子处于热平衡晶格中，声子处于热平衡晶格中，声子 的平均的平均的平均的平均数目为数目为数目为数目为:玻色统计玻色统计玻色统计玻色统计费米统计费米统计费米统计费米统计晶格的振动表现为声子晶格的振动表现为声子晶格的振动表现为声子晶格的振动表现为声子电子、中子、光子与晶格振动的相互电子、中子、光子与晶格振动的相互电子、中子、光子与晶格振动的相互电子、中子、光子与晶格振动的相互作用都可用这些粒子与晶体中声子的作用都可用这些粒子与晶体中声子的作用都可用这些粒子与晶体中声子的作用都可用这些粒子与晶体中声子的相互作用来描写，它们吸收或产生声相互作用来描写，它们吸收或产生声相互作用来描写，它们吸收或产生声相互作用来描写，它们吸收或产生声子改变粒子本身的能量和动量。然而，子改变粒子本身的能量和动量。然而，子改变粒子本身的能量和动量。然而，子改变粒子本身的能量和动量。然而，必须注意声子不是真实的粒子，只是必须注意声子不是真实的粒子，只是必须注意声子不是真实的粒子，只是必须注意声子不是真实的粒子，只是一种一种一种一种准粒子准粒子准粒子准粒子，它的能量为，它的能量为，它的能量为，它的能量为 动量为动量为动量为动量为 。声子仅仅是晶格原子集体运动形式。声子仅仅是晶格原子集体运动形式。声子仅仅是晶格原子集体运动形式。声子仅仅是晶格原子集体运动形式的格波的能量激发单元，是一种的格波的能量激发单元，是一种的格波的能量激发单元，是一种的格波的能量激发单元，是一种元激元激元激元激发发发发。4.8 固体比热固体比热固体的定容热容固体的定容热容 固体的平均内能固体的平均内能固体内能包括固体内能包括晶格振动的能量晶格振动的能量电子热运动的能量电子热运动的能量温度不是太低的情况，温度不是太低的情况，忽略电子对比热的贡忽略电子对比热的贡献，观察到的比热主献，观察到的比热主要来自晶格的振动要来自晶格的振动与温度有关与温度有关与温度有关与温度有关4.8.1 比热的定义比热的定义铝铝金刚石金刚石铅铅高温比热趋向于常数高温比热趋向于常数低温随温度而快速趋向于零低温随温度而快速趋向于零4.8.2经典理论经典理论 一个简谐振动平均能量一个简谐振动平均能量N个原子，总的平均能量个原子，总的平均能量摩尔固体热容摩尔固体热容 杜隆杜隆 珀替定律珀替定律 实验表明在低温时，实验表明在低温时，热容量随温度迅速趋于零热容量随温度迅速趋于零!能量均分定律能量均分定律动能和势动能和势能各占能各占1/2频率为频率为 j的的振动模由一系列量子能级为振动模由一系列量子能级为 组成组成 子体系子体系子体系处于量子态子体系处于量子态 的概率的概率4.8.3量子理论量子理论 根据前面的讨论，晶格振动的能量是量子化的根据前面的讨论，晶格振动的能量是量子化的一个振动模的平均能量一个振动模的平均能量 与晶格振动频率和温度有关系与晶格振动频率和温度有关系 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献振动模的平均能量振动模的平均能量高温极限高温极限 与杜隆与杜隆 珀替定律相符珀替定律相符 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献 忽略不计忽略不计低温极限低温极限 与实验结果相符与实验结果相符 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献晶体中有晶体中有3N个振动模，总的能量个振动模，总的能量晶体总的热容晶体总的热容4.8.4 爱因斯坦模型爱因斯坦模型 N个原子构成的晶体，所有的原子以相同的频率个原子构成的晶体，所有的原子以相同的频率 0振动振动 一个振动模式的平均能量一个振动模式的平均能量晶体热容晶体热容总能量总能量爱因斯坦温度爱因斯坦温度 选选取取合合适适的的 E值值，在在较较大大温温度度变变化化的的范范围围内内，理理论论计计算的结果和实验结果相当好地符合算的结果和实验结果相当好地符合 大多数固体大多数固体 爱因斯坦热容函数爱因斯坦热容函数金刚石金刚石理论计算和实验结果比较理论计算和实验结果比较 温度较高时温度较高时 与杜隆与杜隆 珀替定律相符珀替定律相符晶体热容晶体热容温度非常低时温度非常低时 按温度的指数形式降低按温度的指数形式降低实验测得结果实验测得结果 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别晶体热容晶体热容4.8.5 德拜模型德拜模型 1912年德拜提出以年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布喇连续介质的弹性波来代表格波，将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质菲晶格看作是各向同性的连续介质 有有1个纵波和个纵波和2个独立的横波个独立的横波 不同不同q的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模 不同的振动模，能量不同不同的振动模，能量不同色散关系色散关系三维晶格，态密度三维晶格，态密度 V:晶体体积晶体体积 受受边边界界条条件件限限制制波波矢矢q分分立立取取值值，允允许许的的取取值值在在q空空间间形成了均匀分布的点子形成了均匀分布的点子体积元体积元态的数目态的数目 q是近连续变化的是近连续变化的振动数目振动数目频率在频率在 之间振动模式的数目之间振动模式的数目 各向同性的介质各向同性的介质 频率也近似于连续取值频率也近似于连续取值 振动频率分布函数，或者振动模的态密度函数振动频率分布函数，或者振动模的态密度函数 一个振动模的热容一个振动模的热容 晶体总的热容晶体总的热容 振动频率分布函数振动频率分布函数 和和 m的计算的计算频率在频率在 之间，纵波数目之间，纵波数目频率在频率在 之间，格波数目之间，格波数目频率在频率在 之间，横波数目之间，横波数目波矢的数值在波矢的数值在 之间的振动方式的数目之间的振动方式的数目频率分布函数频率分布函数格波总的数目格波总的数目频率在频率在 间，格波数目间，格波数目晶体总的热容晶体总的热容 德拜温度德拜温度晶体总的热容晶体总的热容 令令德拜热容函数德拜热容函数在高温极限下在高温极限下晶体总的热容晶体总的热容 与杜隆珀替定律一致与杜隆珀替定律一致德拜热容函数德拜热容函数低温极限低温极限 T3成正比成正比 德拜定律德拜定律晶体热容晶体热容 晶体热容晶体热容 4.9 4.9 非谐效应非谐效应4.9.1 4.9.1 非谐效应非谐效应意味着在原子的相互作用势能表达式中只保留了意味着在原子的相互作用势能表达式中只保留了 2项，项，而忽略了而忽略了 的三次方以上的高次项的三次方以上的高次项在这样的近似下，晶格的原子振动可以描述成一系列独立的在这样的近似下，晶格的原子振动可以描述成一系列独立的谐振子，由于振动是线性独立的，相应的振子之间不发生相谐振子，由于振动是线性独立的，相应的振子之间不发生相互作用，因此，不能交换能量，意味着晶体中某种声子一旦互作用，因此，不能交换能量，意味着晶体中某种声子一旦被激发出来，其数目就一直保持不变，它既不能把能量传递被激发出来，其数目就一直保持不变，它既不能把能量传递给其它频率的声子，也不能使自身处于热平衡分布给其它频率的声子，也不能使自身处于热平衡分布在前面的讨论中我们均作了简谐近似，即认为当原在前面的讨论中我们均作了简谐近似，即认为当原子离开其平衡位置发生位移时，它所受到的相邻原子离开其平衡位置发生位移时，它所受到的相邻原子作用力，即恢复力，与该原子的位移成正比子作用力，即恢复力，与该原子的位移成正比困难困难:不能解释不能解释 (1)热传导热传导,热扩散热扩散 格波独立格波独立,无相互作用无相互作用,能量无法传播能量无法传播 (2)声子与其它声子与其它”粒子粒子”的相互作用的相互作用 声子无相互作用声子无相互作用,不产生不产生,不湮不湮灭灭实际情况是，原子间的相互作用力实际情况是，原子间的相互作用力（恢复力）并非严格地与该原子的（恢复力）并非严格地与该原子的位移成正比位移成正比当考虑到原子的相互作用势能表达当考虑到原子的相互作用势能表达式中式中 3及以上的高次项时，及以上的高次项时，由非谐项引起的效应称为非谐效应由非谐项引起的效应称为非谐效应0r0rU(r)则则晶格的原子振动就不能再描述成一系列严格独立的线性谐振子晶格的原子振动就不能再描述成一系列严格独立的线性谐振子0=2=0=项称为非谐项项称为非谐项一般情况下，原子的位移很小，一般情况下，原子的位移很小，因此可以将因此可以将 看成微扰项看成微扰项由于微扰项的存在，谐振子之间不再是相互独立的，彼此由于微扰项的存在，谐振子之间不再是相互独立的，彼此由于微扰项的存在，谐振子之间不再是相互独立的，彼此由于微扰项的存在，谐振子之间不再是相互独立的，彼此间会发生相互作用，即声子与声子间将相互交换能量间会发生相互作用，即声子与声子间将相互交换能量间会发生相互作用，即声子与声子间将相互交换能量间会发生相互作用，即声子与声子间将相互交换能量这样，如果开始时只存在某种频率的声子，由于声子间的这样，如果开始时只存在某种频率的声子，由于声子间的这样，如果开始时只存在某种频率的声子，由于声子间的这样，如果开始时只存在某种频率的声子，由于声子间的相互作用，这种频率的声子转换成另一种频率的声子相互作用，这种频率的声子转换成另一种频率的声子相互作用，这种频率的声子转换成另一种频率的声子相互作用，这种频率的声子转换成另一种频率的声子即一种频率的声子要湮灭，而另一种频率的声子会产生即一种频率的声子要湮灭，而另一种频率的声子会产生即一种频率的声子要湮灭，而另一种频率的声子会产生即一种频率的声子要湮灭，而另一种频率的声子会产生经过一定的弛豫时间后，各种声子的分布就能达到热平衡，经过一定的弛豫时间后，各种声子的分布就能达到热平衡，经过一定的弛豫时间后，各种声子的分布就能达到热平衡，经过一定的弛豫时间后，各种声子的分布就能达到热平衡，意味着非谐项是使晶格振动达到热平衡的最主要原因意味着非谐项是使晶格振动达到热平衡的最主要原因意味着非谐项是使晶格振动达到热平衡的最主要原因意味着非谐项是使晶格振动达到热平衡的最主要原因声子间存在相互作用是由于存在非谐项声子间存在相互作用是由于存在非谐项声子间存在相互作用是由于存在非谐项声子间存在相互作用是由于存在非谐项其过程相当于两个声子相互碰撞，最后变成为第三个声子其过程相当于两个声子相互碰撞，最后变成为第三个声子其过程相当于两个声子相互碰撞，最后变成为第三个声子其过程相当于两个声子相互碰撞，最后变成为第三个声子两个声子通过两个声子通过两个声子通过两个声子通过非谐项的作用非谐项的作用非谐项的作用非谐项的作用产生第三个声子产生第三个声子产生第三个声子产生第三个声子4.9.2 非谐相互作用动力学非谐相互作用动力学非谐相互作用动力学非谐相互作用动力学0r0rU(r)不是常数不是常数非简谐非简谐1.1.相互作用模式相互作用模式相互作用模式相互作用模式一维单原子链一维单原子链一维单原子链一维单原子链:最紧邻近似最紧邻近似:2.运动方程及其解运动方程及其解 试探解试探解:N个方程个方程3.两点讨论两点讨论:与与 a 无关无关与晶格常数与晶格常数a无关无关,即与即与 无关无关 简谐简谐:(1)非谐项对频率非谐项对频率 的影响的影响 两边取对数两边取对数:表明表明:非谐项对振动有影响非谐项对振动有影响非谐非谐:enharmonic与与a有关有关(2)声子散射的正声子散射的正(Normal)过程与倒逆过程与倒逆(umklapp)过程过程(Process)非谐作用非谐作用 微扰微扰 基本基本简谐简谐 独立振动独立振动 声子声子 微扰微扰非谐非谐 声子相互作用声子相互作用产生第三个声子产生第三个声子能量与动量守恒能量与动量守恒三声子散射三声子散射!存在两种散射过程存在两种散射过程:(1)正常过程正常过程(normal process)(2)倒逆过程倒逆过程(umklapp process)解决解决:由由 在倒空间的周期性在倒空间的周期性:一般一般4.9.3 状态方程状态方程如果已知晶格的自由能函数如果已知晶格的自由能函数如果已知晶格的自由能函数如果已知晶格的自由能函数F(T,V)F(T,V)，V V为晶体的体积，为晶体的体积，为晶体的体积，为晶体的体积，就可由就可由就可由就可由 得到晶格的状态方程得到晶格的状态方程得到晶格的状态方程得到晶格的状态方程自由能函数一般表示为自由能函数一般表示为自由能函数一般表示为自由能函数一般表示为能量能量能量能量E Ei i除包括原子处于格点位置时的平衡晶格的能量除包括原子处于格点位置时的平衡晶格的能量除包括原子处于格点位置时的平衡晶格的能量除包括原子处于格点位置时的平衡晶格的能量U(V)U(V)外，还有各格波的振动能外，还有各格波的振动能外，还有各格波的振动能外，还有各格波的振动能配分函数配分函数配分函数配分函数由此得到自由能表达式为由此得到自由能表达式为由此得到自由能表达式为由此得到自由能表达式为j j标志各不同格波，标志各不同格波，标志各不同格波，标志各不同格波，n nj j为相应的量子数为相应的量子数为相应的量子数为相应的量子数简谐简谐:与温度无关与温度无关非简谐非简谐:物态方程中包含了各振动频率对体积的物态方程中包含了各振动频率对体积的物态方程中包含了各振动频率对体积的物态方程中包含了各振动频率对体积的依赖关系，显示出复杂的行为依赖关系，显示出复杂的行为依赖关系，显示出复杂的行为依赖关系，显示出复杂的行为状态方程状态方程状态方程状态方程作为近似，格临爱森（作为近似，格临爱森（作为近似，格临爱森（作为近似，格临爱森（Gruneisen ）假设）假设）假设）假设 对所有对所有对所有对所有振动相同，由此得到格临爱森的近似状态方程振动相同，由此得到格临爱森的近似状态方程振动相同，由此得到格临爱森的近似状态方程振动相同，由此得到格临爱森的近似状态方程格临爱森格临爱森格临爱森格临爱森常数常数晶格的平均振动能晶格的平均振动能 其中其中 4.9.4非谐项对非平衡态的影响非谐项对非平衡态的影响1.热膨胀热膨胀热膨胀是没有压力下晶体体积随温度的变化，热膨胀系数热膨胀是没有压力下晶体体积随温度的变化，热膨胀系数定义为：定义为：，其中，其中V0是没有晶格振动时晶体的是没有晶格振动时晶体的体积，体积，V=V-V0是没有压力下温度引起晶体体积的变化是没有压力下温度引起晶体体积的变化在状态方程中令在状态方程中令p=0，则有，则有当体积变化不大时，当体积变化不大时，体弹性摸量体弹性摸量由此得到热膨胀系数由此得到热膨胀系数晶格比热晶格比热CV2.热传导热传导如果晶体内存在温度梯度如果晶体内存在温度梯度dT/dx，则在晶体内将有能流密，则在晶体内将有能流密度度Q（单位时间内通过单位面积的热能单位时间内通过单位面积的热能）流过：）流过：是晶体的热导系数，负号表示热传输总是从高温流向低温是晶体的热导系数，负号表示热传输总是从高温流向低温金属中主要通过电子运动导热，而半导体和绝缘体中主要金属中主要通过电子运动导热，而半导体和绝缘体中主要通过格波的传播导热通过格波的传播导热热传输的载体热传输的载体价电子价电子格波格波电子热导电子热导晶格热导晶格热导晶格热导晶格热导若若忽忽略略掉掉电电子子对对热热传传导导的的贡贡献献，则则晶晶体体中中的的热热传传导导主主要要依依靠靠声子来完成声子来完成设设晶晶体体的的单单位位体体积积热热容容量量为为C，晶晶体体一一端端温温度度为为T1（高高温温端端），另另一一端端温温度度为为T2（低低温温端端），则则温温度度高高的的一一端端晶晶格格的的振振动动将将具具有有较较多多的的振振动动模模式式和和较较大大的的振振动动幅幅度度，即即有有较较多多的的声声子子被被激激发发，当当这这些些格格波波传传至至晶晶体体的的另另一一端端，使使那那里里的的晶晶格格的的振振动动趋趋于于具具有有同同样样多多的的振振动动模模式式和和幅幅度度，这这样样就就将将热热量量从从晶晶体体的一端传到另一端的一端传到另一端在简谐近似下，晶格的振动被描述成一系列独立的谐振子，由在简谐近似下，晶格的振动被描述成一系列独立的谐振子，由于振动是线性独立的，相应的振子或声子之间不存在相互作用，于振动是线性独立的，相应的振子或声子之间不存在相互作用，则热导系数为无穷大，即在晶体中不可能建立起温度梯度则热导系数为无穷大，即在晶体中不可能建立起温度梯度而实际情况是，由于非谐项（而实际情况是，由于非谐项（微扰项微扰项微扰项微扰项）的存在，声子之间存在）的存在，声子之间存在相互作用，因此，当它们从一端移向另一端时，相互间会发生相互作用，因此，当它们从一端移向另一端时，相互间会发生碰撞，另外一方面，晶体中的缺陷是难免的，声子也会与晶体碰撞，另外一方面，晶体中的缺陷是难免的，声子也会与晶体中的缺陷发生碰撞，因此，声子在晶体中移动时有一个自由程中的缺陷发生碰撞，因此，声子在晶体中移动时有一个自由程l（定义为两次碰撞之间声子所走过的路程定义为两次碰撞之间声子所走过的路程）假设晶体内存在温度梯度假设晶体内存在温度梯度dT/dx，则在晶体内距离相差，则在晶体内距离相差 l 的两的两个区域间的温度差可写成个区域间的温度差可写成声子移动声子移动l后，把热量后，把热量C T从距离从距离l的一端携带到另一端，若声的一端携带到另一端，若声子在晶体中沿子在晶体中沿x方向的移动速率为方向的移动速率为vx，则单位时间内通过单位，则单位时间内通过单位面积的热量，即热能密度面积的热量，即热能密度Q，可表示成，可表示成利用利用（为为驰豫时驰豫时间）间）由能量均分原理可知由能量均分原理可知应是对所有声子的平均值应是对所有声子的平均值由此得到晶格热导系数由此得到晶格热导系数和气体的热导系数形式相同和气体的热导系数形式相同低温下晶格比热低温下晶格比热意味着低温下晶体的热导将按意味着低温下晶体的热导将按T3规律变化规律变化1、对一维双原子分子链，原子质量均为、对一维双原子分子链，原子质量均为m，原子统一编号，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同，力常数分别为任一原子与两最近邻的间距不同，力常数分别为 1和和 2，晶，晶格常数为格常数为a，求原子的运动方程以及色散关系，求原子的运动方程以及色散关系。作业作业5、按德拜模型试计算晶体中的声子数目，并对高温和、按德拜模型试计算晶体中的声子数目，并对高温和很低温度两种情况分别进行讨论。很低温度两种情况分别进行讨论。3、（、（1）温度一定时，问一个光学波的声子数目和一个）温度一定时，问一个光学波的声子数目和一个 声学波的声子数目哪个多？声学波的声子数目哪个多？（2）对同一个振动模式，问温度高时的声子数目和）对同一个振动模式，问温度高时的声子数目和 温度低时的声子数目哪个多？温度低时的声子数目哪个多？2、问长光学支格波与长声学支格波在本质上有何区别？、问长光学支格波与长声学支格波在本质上有何区别？4 4、晶体振动某一个频支格波色散关系晶体振动某一个频支格波色散关系 ，分别求，分别求3D3D，2D2D，1D1D情况下的情况下的 6、设一长度为、设一长度为L的一维简单晶格，原子质量为的一维简单晶格，原子质量为m，原子间，原子间距距为为a，原子间的相互作用势可表示成，原子间的相互作用势可表示成试由简谐近似求试由简谐近似求（1）色散关系；）色散关系；（2）模式密度）模式密度D（）；）；（3）晶格比热。）晶格比热。7、设有一个一维简单格子、设有一个一维简单格子,晶格常数为晶格常数为a,原子质量为原子质量为M,在平在平衡