材料力学课件-3扭转

31 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 32 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图33 纯剪切纯剪切34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力35 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形36 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念第三章第三章 扭扭 转转 目录33-1 -1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例一、工程实例目录工工 程程 实实 例例汽车传动轴汽车传动轴目录工工 程程 实实 例例汽车方向盘汽车方向盘目录轴：轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。二、扭转的概念目录扭转角扭转角：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变剪应变：直角的改变量。：直角的改变量。目录直接计算直接计算33-2-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图1.1.外力偶矩外力偶矩3-23-2目录按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：轴转速轴转速n n 转转/分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩MeMe33-2-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图目录3-23-2目录 截截 面面 法法 求求 扭扭 矩矩3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：“T的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规那么为正，的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规那么为正，反之为负。反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T。2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTx目录3-23-2目录 扭扭 矩矩 的的 符符 号号 规规 定定4 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT目录例例1：一传动轴，：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入，主动轮输入 P1=500kW，从，从动轮输出动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩，试绘制扭矩图。图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩目录nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩扭矩按正方向设求扭矩扭矩按正方向设目录绘制扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.37目录3-23-2目录 圆圆 筒筒 变变 形形33 纯剪切纯剪切 3-23-2目录 圆圆 筒筒 单单 元元 体体薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。目录2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。3.结论：结论：圆筒外表的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒外表的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。目录 acddxbdy 无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4.与与 的关系：的关系：微小矩形单元体如下图：微小矩形单元体如下图：目录二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小：A0：平均半径所作圆的面积。目录三、剪应力互等定理：三、剪应力互等定理：上式称为剪应力互等定理。该定理说明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向那么共同指向或共同背离该交线。acddxb dy tz目录四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律：单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。目录 T=m 剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时时 p)，剪应力与剪应变成正比关系。，剪应力与剪应变成正比关系。目录五、剪切变形能由纯剪切单元体：目录 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是说明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在以下关系推导详见后面章节：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。目录34 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件 1.横截面变形后横截面变形后 仍为平面；仍为平面；2.轴向无伸缩；轴向无伸缩；3.纵向线变形后纵向线变形后仍为平行。仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：目录目录二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：变形几何关系：距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。扭转角沿长度方向变化率。目录2.物理关系：物理关系：虎克定律：代入上式得：目录3.静力学关系：静力学关系：令代入物理关系式 得：目录横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。目录单位：单位：mm4，m4。尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是只是Ip值不同。值不同。对于实心圆截面：目录对于空心圆截面：目录 应力分布应力分布实心截面空心截面工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。目录 确定最大剪应力：确定最大剪应力：由知：当Wt 抗扭截面系数抗扭截面模量，几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：目录四、圆轴扭转时的强度计算四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：(称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：设计截面尺寸：计算许可载荷：目录 例例2 2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴图，许用剪应力=30M Pa,试校核其强度。Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。D3=135D2=75 D1=70ABCmmx目录35 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式知：长为长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为目录二、单位扭转角二、单位扭转角 ：或三、刚度条件三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度截面的抗扭刚度。称为许用单位扭转角。目录刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度：设计截面尺寸：计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。目录 例例33长为长为 L=2m L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m m=20Nm/m 的作用，如图，假的作用，如图，假设杆的内外径之比为设杆的内外径之比为 =0.8 =0.8，G=80GPa G=80GPa，许用剪应力，许用剪应力 =30MPa=30MPa，试设计杆的外径；假设，试设计杆的外径；假设 =2/m=2/m，试校核此杆的，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径目录40NmxT代入数值得：D 0.0226m。由扭转刚度条件校核刚度目录40NmxT右端面转角为：目录 例例4 4 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n=500 r/minn=500 r/min，输入功率，输入功率N1=N1=500 500 马力，马力，输出功率分别输出功率分别 N2=200 N2=200马力及马力及 N3=300 N3=300马力，马力，：G=80GPa G=80GPa，=70M Pa=70M Pa，=1/m =1/m，试确定：，试确定：AB AB 段直径段直径 d1 d1和和 BC BC 段直径段直径 d2 d2？假设全轴选同一直径，应为多少？假设全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)目录由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)目录 综上：全轴选同一直径时目录 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如下图,此时,轴的最大直径才 为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814目录解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。四、圆轴扭转超静定问题四、圆轴扭转超静定问题目录 例例55长为长为 L=2m L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m m=20Nm/m 的作用，如图，假的作用，如图，假设杆的内外径之比为设杆的内外径之比为 =0.8 =0.8，外径，外径 D=0.0226m D=0.0226m，G=80GPaG=80GPa，试求固端反力偶。试求固端反力偶。解解：杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。平衡方程为：目录几何方程变形协调方程 综合物理方程与几何方程，得补充方程：由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。目录36 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。目录一一、自由扭转、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。二二、约束扭转：、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。三三、矩形杆横截面上的剪应力、矩形杆横截面上的剪应力:hbh 1T max 注意！b1.剪应力分布如图：角点、形心、长短边中点目录2.最大剪应力及单位扭转角hbh 1T max 注意！b其中：其中：It相当极惯性矩。目录注意！注意！对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。hbh 1T max 注意！b目录 例例8 8 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h=100 mm，b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的 作用，钢的G=80GPa，=100M Pa，=1/m，试校核 此杆的强度和刚度。解：查表求 、校核强度目录校核刚度综上,此杆满足强度和刚度要求。目录