生物医学数学ppt课件

生物医学数学模型常常常常 向向向向 荣荣荣荣2012201220122012年年年年10101010月月月月生物医学数学课件1生物医学数学模型常向荣生物医学数学课件1教学要求教学要求 掌握生物医学数学的一些重要概念、公式与方法，掌握生物医学数学的一些重要概念、公式与方法，了解数学在生物医学中的应用。了解数学在生物医学中的应用。能够应用数学工具建立生物医学的数学模型能够应用数学工具建立生物医学的数学模型能初步掌握通过对模型的数学推理去研究生物医能初步掌握通过对模型的数学推理去研究生物医学领域相关问题的方法。学领域相关问题的方法。生物医学数学课件2教学要求掌握生物医学数学的一些重要概念、公式与方法，了解数一 生物医学数学的发展 1.1 1.1 1.1 1.1 数学和生物医学的结合数学和生物医学的结合数学和生物医学的结合数学和生物医学的结合现代生物医学发展趋势现代生物医学发展趋势现代生物医学发展趋势现代生物医学发展趋势 定性研究走向定量研究，经历着数定性研究走向定量研究，经历着数学化的发展进程学化的发展进程 。生物医学数学课件3一生物医学数学的发展1.1数学和生物医学的结合生物数学建模与当今医学数学建模与当今医学生物医学数学课件4数学建模与当今医学生物医学数学课件4生物医学数学课件5生物医学数学课件5数学发展史上的四大危机说数学发展史上的四大危机说第一次危机指初等数学智能反映简单的第一次危机指初等数学智能反映简单的数量关系不能反映变化率数量关系不能反映变化率第二次危机暴露了数学只能反映确定现象第二次危机暴露了数学只能反映确定现象及其规律而不能反映随即现象和统计规律及其规律而不能反映随即现象和统计规律第三次危机暴露了二值逻辑的局限性和反第三次危机暴露了二值逻辑的局限性和反映模糊现象的局限性映模糊现象的局限性第四次危机暴露了数学不能正确反映生命第四次危机暴露了数学不能正确反映生命现象和人脑思维规律现象和人脑思维规律生物医学数学课件6数学发展史上的四大危机说第一次危机指初等数学智能反映简单的数学模型数学模型(Mathematical Model)和和数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模生物医学数学课件7数学模型(MathematicalModel)和对于一1.1 1.1 数学化数学化一、什么是数学模型一、什么是数学模型数学模型就是对实际问题的一种数学表述。数学模型就是对实际问题的一种数学表述。即，根据现实世即，根据现实世界某对象特有的内在规律，进行必要的简化抽象，运用适当的数界某对象特有的内在规律，进行必要的简化抽象，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、数学公式，算法、表格、图示表格、图示等。等。二、建立模型的一般步骤二、建立模型的一般步骤 1.1.数学化数学化 2.2.建模建模 3.3.反馈反馈生物医学数学课件81.1数学化一、什么是数学模型生物医学数学课件8生物医学数学化的一般模式生物医学数学化的一般模式 医学实际问题医学实际问题数学化数学化(定量分析定量分析)数学模型数学模型(定量化公式或定性指标定量化公式或定性指标)计算机完成计算与论证计算机完成计算与论证反馈修正反馈修正(实践检验实践检验)定性理论定性理论生物医学数学课件9生物医学数学化的一般模式医学实际问题生物医学数学课件9数学化的方法数学化的方法首先是将物理问题用数学作定量描述，利用数学首先是将物理问题用数学作定量描述，利用数学方法计算推导建立模型，经过实践检验，求得新方法计算推导建立模型，经过实践检验，求得新理论，使物理学的研究从定性的、描述性的水平，理论，使物理学的研究从定性的、描述性的水平，通过数学引向定量的、精确的论述。科学研究的通过数学引向定量的、精确的论述。科学研究的这条数学化的途径，基本上是用于一切科学，它这条数学化的途径，基本上是用于一切科学，它的一般模式是：的一般模式是：实际问题实际问题数学化（定量分析）数学化（定量分析）数学模型数学模型（定量公式或定性指标）（定量公式或定性指标）反馈修正（实践检反馈修正（实践检验）验）定性理论定性理论生物医学数学课件10数学化的方法首先是将物理问题用数学作定量描述，利用数学方法计数学方法及应用数学方法及应用问题范畴问题范畴数学化方法数学化方法数学模型数学模型主要数学知识主要数学知识数学分支数学分支精确领域精确领域数学物理方法数学物理方法代数方程代数方程微分方程微分方程初等数学初等数学数学分析数学分析经典数学经典数学随机领域随机领域概率统计方法概率统计方法经验公式经验公式随机模型随机模型概率论概率论数理统计数理统计统计数学统计数学模糊领域模糊领域模糊方法模糊方法模糊数学模模糊数学模型型模糊集论模糊集论模糊数学模糊数学某些复杂系统某些复杂系统的最优解的最优解统筹方法统筹方法规划模型规划模型线性代数线性代数规划论规划论最优化理论最优化理论运筹学运筹学生命领域生命领域生命统计方法生命统计方法生态模型生态模型生物数学生物数学离散数学离散数学突变论突变论生物数学生物数学生物医学数学课件11数学方法及应用问题范畴数学化方法数学模型主要数学知识数学分支数学医学上的一些例子数学医学上的一些例子医学统计学（医学统计学（MedicalStatistics）数学与计算机的结合在生物技术和生物数学与计算机的结合在生物技术和生物医学工程方面的应用医学工程方面的应用数学是现代化医疗器械及医疗诊断方法数学是现代化医疗器械及医疗诊断方法的催化剂的催化剂数学模型在药物动力学上的应用数学模型在药物动力学上的应用数学在心血管生理病理方面的应用数学在心血管生理病理方面的应用生物医学数学课件12数学医学上的一些例子医学统计学（MedicalSt第一个运用数学方法研究生物第一个运用数学方法研究生物医学问题的人医学问题的人孟德尔孟德尔在植物杂交研究中采用数理统计方法来对实验结在植物杂交研究中采用数理统计方法来对实验结果进行统计分析，并用概率论来加以说明。在生物学史上，果进行统计分析，并用概率论来加以说明。在生物学史上，孟德尔是第一个运用数学方法来研究生物学问题的人。孟德尔是第一个运用数学方法来研究生物学问题的人。以后概率统计在医学的应用非常广泛，如显著性检验、以后概率统计在医学的应用非常广泛，如显著性检验、回归分析、全概率公式、回归分析、全概率公式、BayesBayes公式、计量诊断模型、最公式、计量诊断模型、最大似然模型、决策树概率分布，微生物检测等。大似然模型、决策树概率分布，微生物检测等。生物医学数学课件13第一个运用数学方法研究生物医学问题的人孟德尔在植物杂交研究生物统计学的创立生物统计学的创立1901年年Pearson创立生物统计学，开创创立生物统计学，开创了统计数学在生物医学上的应用研究，打了统计数学在生物医学上的应用研究，打破了数学在生物医学上的应用等于零的局破了数学在生物医学上的应用等于零的局面。面。生物医学数学课件14生物统计学的创立1901年Pearson创立生物统计学，生物数学的开创生物数学的开创 1931年，年，Volterra应用应用微分方程组微分方程组研究动态平衡，完成了研究动态平衡，完成了生态竞争的数学原理生态竞争的数学原理，开创了一门新型分支：，开创了一门新型分支：生物数学生物数学。1935，Mottram对小白鼠皮肤癌生长规律进行了研究，认对小白鼠皮肤癌生长规律进行了研究，认为肿瘤的瘤细胞总数为肿瘤的瘤细胞总数n随时间的变化速度与随时间的变化速度与n成正比，且获成正比，且获得了体瘤在较短时间内符合指数生长规律的研究成果。得了体瘤在较短时间内符合指数生长规律的研究成果。20世纪世纪30年代，年代，Blair等人对神经兴奋理论进行了研究，并等人对神经兴奋理论进行了研究，并应用微分方程建模，将医学问题数学化，取得了著名的应用微分方程建模，将医学问题数学化，取得了著名的神经神经刺激理论模型。刺激理论模型。生物医学数学课件15生物数学的开创1931年，Volterra应用微分方程组模糊数学与生物医学结合模糊数学与生物医学结合 1969年美国控制论专家、模糊数学创始人年美国控制论专家、模糊数学创始人Zadeh发表的著名论文发表的著名论文模糊集和系统在模糊集和系统在生物学中的应用生物学中的应用，率先把模糊数学与生，率先把模糊数学与生物医学联系了起来。物医学联系了起来。生物医学数学课件16模糊数学与生物医学结合1969年美国控制论专家、模糊数学创现代数学化模式现代数学化模式在计算机出现后又有新的在计算机出现后又有新的进展，例如：进展，例如：近近20年来出现了年来出现了医学专家咨询系统，医学专家咨询系统，如：如：病因相连模型（病因相连模型（CASNET）传染病治疗诊断系统（传染病治疗诊断系统（MYCIN）内科病诊断系统（内科病诊断系统（INTERNIST）肾脏病诊断系统（肾脏病诊断系统（PIP）肺病诊断系统（肺病诊断系统（PUFF）他的模式：他的模式：专家治病经验专家治病经验数学化数学化计算机学习计算机学习反馈修正反馈修正专家系统专家系统计算机问诊计算机问诊生物医学数学课件17现代数学化模式在计算机出现后又有新的进展，例如：生物医学数学 INTERNIST-1 INTERNIST-1 INTERNIST-1 INTERNIST-1 和和和和QMRQMRQMRQMR系统系统系统系统INTERNIST-1INTERNIST-1系统是由系统是由PittsburgPittsburg医科大学开发的用于内科疾医科大学开发的用于内科疾病诊断咨询系统。病诊断咨询系统。通过疾病症状来推理疾病。收集了通过疾病症状来推理疾病。收集了600600多种疾病的诊断知识，多种疾病的诊断知识，45004500多临床表现。多临床表现。给出诊断疾病的相关参数：给出诊断疾病的相关参数：相关频率：在某种疾病中某临床症状发生的频率。相关频率：在某种疾病中某临床症状发生的频率。提示力度：某症状对疾病存在的提示强度。提示力度：某症状对疾病存在的提示强度。处理用户输入的临床表现，得出一组诊断建议。处理用户输入的临床表现，得出一组诊断建议。移植到微机上，称移植到微机上，称QRM(Quick Medical Reference)QRM(Quick Medical Reference)生物医学数学课件18INTERNIST-1和QMR系统 几个典型的医学决策支持系统几个典型的医学决策支持系统1 1、MYCIN MYCIN 系统系统MYCINMYCIN主要用于协助医生诊断脑膜炎一类的细菌感染疾主要用于协助医生诊断脑膜炎一类的细菌感染疾病。在病。在MYCINMYCIN的知识库里，大约存放着的知识库里，大约存放着450450条判别规则条判别规则和和10001000条关于细菌感染方面的医学知识。它一边与用条关于细菌感染方面的医学知识。它一边与用户进行对话，一边进行推理诊断。户进行对话，一边进行推理诊断。它的推理规则称为它的推理规则称为“产生式规则产生式规则”，类似于：，类似于：“IFIF（打喷嚏）（打喷嚏）OROR（鼻塞）（鼻塞）OROR（咳嗽），（咳嗽），THENTHEN（有感冒症（有感冒症状）状）”这种医生诊断疾病的经验总结，最后显示出它这种医生诊断疾病的经验总结，最后显示出它“考虑考虑”的可能性最高的病因，并以给出用药的建议的可能性最高的病因，并以给出用药的建议而结束。而结束。生物医学数学课件19几个典型的医学决策支持系统1、MYCIN系统医学数学化应用举例医学数学化应用举例 例1研究研究颅内高压颅内高压与与颅内容积颅内容积的关系。的关系。用兔作实验，采用脑内持续灌注生理盐水用兔作实验，采用脑内持续灌注生理盐水的方法造成兔急性颅内压增高，发现颅内的方法造成兔急性颅内压增高，发现颅内压随容积增加呈压随容积增加呈S形曲线有限增长。能否形曲线有限增长。能否利用数学方法找出一个方程来拟合这条从利用数学方法找出一个方程来拟合这条从实验中得出的曲线？能否从理论上探讨一实验中得出的曲线？能否从理论上探讨一般规律呢般规律呢?o例2研究血液在动静脉血管中的流量Q单位时间的血流量单位时间的血流量Q能否有一般的数学公能否有一般的数学公式呢？式呢？生物医学数学课件20医学数学化应用举例例1研究颅内高压与颅内容积的关a为增长速率，b为最大值生物医学数学课件21a为增长速率，b为最大值生物医学数学课件21血液在血管中心处流得最快，管壁处流血液在血管中心处流得最快，管壁处流速为零，存在着从管心到管壁的速度递减，速为零，存在着从管心到管壁的速度递减，流过一个半径为流过一个半径为r r的圆环的流速为：的圆环的流速为：通过该圆环单位时间的血流量通过该圆环单位时间的血流量 ：dQdQV(r)2rdrV(r)2rdr单位时间血液总流量为单位时间血液总流量为 ：生物医学数学课件22血液在血管中心处流得最快，管壁处流速为零，存在着从管心到管壁1.2数学模型数学模型一、什么是数学模型一、什么是数学模型数学模型就是对实际问题的一种数学表述。数学模型就是对实际问题的一种数学表述。即，根据现实世界某对象特有的内在规律，进行即，根据现实世界某对象特有的内在规律，进行必要的简化抽象，运用适当的数学工具，得到的必要的简化抽象，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。表格、图示等。二、建立模型的一般步骤二、建立模型的一般步骤1.数学化数学化2.建模建模3.反馈反馈生物医学数学课件231.2数学模型一、什么是数学模型生物医学数学课件23三建立数学模型的要求：三建立数学模型的要求：1、真实完整、真实完整1）真实的、系统的、完整的反映客观现象；）真实的、系统的、完整的反映客观现象；2）必须具有代表性；）必须具有代表性；3）具有外推性）具有外推性2、简明实用、简明实用模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，数据模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，数据易于采集。易于采集。3、适应变化、适应变化随着有关条件的变化和人们认识的发展，通过相关变量及参数的随着有关条件的变化和人们认识的发展，通过相关变量及参数的调整，能很好的适应新情况调整，能很好的适应新情况生物医学数学课件24三建立数学模型的要求：1、真实完整生物医学数学课件24二、数学模型的分类二、数学模型的分类|根据应用领域和研究对象根据应用领域和研究对象根据应用领域和研究对象根据应用领域和研究对象经济模型、医学模型、地质模型、社会学经济模型、医学模型、地质模型、社会学经济模型、医学模型、地质模型、社会学经济模型、医学模型、地质模型、社会学模型、人口模型、交通模型、环境模型、模型、人口模型、交通模型、环境模型、模型、人口模型、交通模型、环境模型、模型、人口模型、交通模型、环境模型、生态模型等生态模型等生态模型等生态模型等|按照建立模型的数学方法按照建立模型的数学方法按照建立模型的数学方法按照建立模型的数学方法几何模型、微分方程模型、图论模型、优几何模型、微分方程模型、图论模型、优几何模型、微分方程模型、图论模型、优几何模型、微分方程模型、图论模型、优化模型、概率模型、统计模型等化模型、概率模型、统计模型等化模型、概率模型、统计模型等化模型、概率模型、统计模型等生物医学数学课件25二、数学模型的分类根据应用领域和研究对象生物医学数学课件25|其它的分类方法其它的分类方法观察模型与决策模型观察模型与决策模型确定型模型与随机模型确定型模型与随机模型连续模型与离散模型连续模型与离散模型解析模型与仿真模型解析模型与仿真模型白箱模型，灰箱模型和黑箱模型白箱模型，灰箱模型和黑箱模型生物医学数学课件26其它的分类方法观察模型与决策模型生物医学数学课件261.4经典数学及其模型经典数学及其模型基础知识基础知识一元微积分一元微积分常微分方程的求解常微分方程的求解偏微分方程的求解偏微分方程的求解数学物理方法数学物理方法主要内容主要内容2.1引例引例2.2生态模型生态模型2.3医学模型医学模型2.4室分析模型室分析模型2.5扩散问题扩散问题生物医学数学课件271.4经典数学及其模型基础知识生物医学数学课件27引例引例例例例例II细菌变化情况模型细菌变化情况模型细菌变化情况模型细菌变化情况模型细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌24小时内由小时内由100(单位），增长到单位），增长到400(单位单位)，那么，那么36小时后细菌数应该是多少小时后细菌数应该是多少?例例例例22体重变化模型体重变化模型体重变化模型体重变化模型某人摄人热量是每天某人摄人热量是每天2500大卡，其中大卡，其中1200大卡大卡用于基本的新陈化谢在健身训练中，他所消耗用于基本的新陈化谢在健身训练中，他所消耗的大约是每天每千克体重的大约是每天每千克体重16大卡，设以肪形式贮大卡，设以肪形式贮藏的热量藏的热量100地有效，而地有效，而1干克脂肪含热量干克脂肪含热量10000大卡求此人的体重至随时间变化的规律大卡求此人的体重至随时间变化的规律生物医学数学课件28引例例I细菌变化情况模型生物医学数学课件28 2.2 生态模型 生物种群生长模型生物种群生长模型 自然生长曲线自然生长曲线 微生物菌落增长模型微生物菌落增长模型 限制性生成曲线限制性生成曲线人口模型人口模型 阻滞增长曲线阻滞增长曲线生物医学数学课件292.2生态模型生物医学数学课件29一、生态模型一、生态模型一一生物种群生长模型生物种群生长模型生物医学数学课件30一、生态模型一生物种群生长模型生物医学数学课件30自自然然生生长长曲曲线线马尔萨斯马尔萨斯Malthus人口模型人口模型令令erY，则，则N=cYt，即人口按几何级数增长，即人口按几何级数增长生物医学数学课件31自然生长曲线马尔萨斯Malthus人口模型生物医学数学课件32、限制生长模型限制生长模型对于一个群体不可能无限制的增长，用对于一个群体不可能无限制的增长，用b表示表示N的上界，即的上界，即N=N（t）可）可以趋近于以趋近于b，生物医学数学课件322、限制生长模型生物医学数学课件32限限制制性性生生长长曲曲线线Mitscherlich模型模型生物医学数学课件33限制性生长曲线Mitscherlich模型生物医学数学课生物医学数学课件34生物医学数学课件34阻阻滞滞增增长长曲曲线线Logistic模型模型生物医学数学课件35阻滞增长曲线Logistic模型生物医学数学课件35二、微生物菌落的增长模型二、微生物菌落的增长模型在生物界中，微生物具有很高的繁殖率，以大肠在生物界中，微生物具有很高的繁殖率，以大肠杆菌为例，在杆菌为例，在37度下培养的牛奶中，分裂一次需度下培养的牛奶中，分裂一次需要要12.5分，若以通常分，若以通常20分钟分裂一次，则一个细分钟分裂一次，则一个细菌在菌在24小时后，可产生小时后，可产生4.7221021个，总重量达个，总重量达到到4.722吨。吨。但实际上一个培养基内细菌或其它微生物的一个但实际上一个培养基内细菌或其它微生物的一个菌落往往因缺乏空间、缺乏养分及毒物出现，培菌落往往因缺乏空间、缺乏养分及毒物出现，培养基养基PH值变化的功能不会无限制生长。值变化的功能不会无限制生长。生物医学数学课件36二、微生物菌落的增长模型在生物界中，微生物具有很高的繁殖率，生物医学数学课件37生物医学数学课件37三、人口模型三、人口模型我国我国1982年末人口普查统计人口为年末人口普查统计人口为10.319亿亿人，希望到人，希望到2000年初人口控制在年初人口控制在12亿，亿，r应应控制在多少？控制在多少？2001年末人口实际达到年末人口实际达到12.953亿，亿，r是否在控制范围内。（根据我国人口政是否在控制范围内。（根据我国人口政策策,我们假设人口总数控制在我们假设人口总数控制在16亿亿）生物医学数学课件38三、人口模型我国1982年末人口普查统计人口为10.319亿严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。于离散型模型。1.模型的建立模型的建立最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯（萨斯（17661834）。他根据百余年的人）。他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在口资料，经过潜心研究，在1798年发表的年发表的人口论人口论中首先提出了人口增长模型。他中首先提出了人口增长模型。他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比。与当时的人口总数成正比。生物医学数学课件39严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。生物医学生物医学数学课件40生物医学数学课件40生物医学数学课件41生物医学数学课件41生物医学数学课件42生物医学数学课件42例：例：人口预测和控制人口预测和控制图1人口金字塔（数据来源：1990年上海市人口年龄结构。男左女右）生物医学数学课件43例：人口预测和控制图1人口金字塔（数据来源：1国际上通常将人口结构分为三类：（1）增长型（年轻型）：图形上表现为底部宽，顶部狭窄，即少年儿童人口比高，老年人口比低，显示人口快速成长。此类型人口结构的特点是死亡率快速衰减，而出生率未改变，或仅缓慢降低的结果。生物医学数学课件44国际上通常将人口结构分为三类：生物医学数学课件44（2）静止型（成年型）：图形上表现为各年龄组的比例较相似。这一类型人口结构的特点是低死亡率及接近更替水平的生育率。有当死亡率水平为千分之十至十五，妇女生育率低于2 的情况存在至少20 年，才会形成这类人口结构。大部分生活水准高，预期寿命长，及成长率低的发达国家属于此类型。生物医学数学课件45（2）静止型（成年型）：生物医学数学课件45（3）缩减型（老年型）：图形表现为顶部宽，底部相对较窄，显示一种负的人口成长结构。通常发生在长期死亡率超过出生率时。这种类型的人口通常面临低生育率和老龄化的问题。生物医学数学课件46（3）缩减型（老年型）：生物医学数学课件46上海人口与计划生育网站生物医学数学课件47上海人口与计划生育网站生物医学数学课件472.3医学模型医学模型神经刺激理论模型神经刺激理论模型无移除的流行病模型无移除的流行病模型流行病催化模型流行病催化模型重金属毒物蓄积模型重金属毒物蓄积模型肿瘤生长模型肿瘤生长模型颅内压与颅内容积的关系颅内压与颅内容积的关系血流量模型血流量模型血流动力学的基本方程血流动力学的基本方程生物医学数学课件482.3医学模型神经刺激理论模型生物医学数学课件48一一无移除流行病模型无移除流行病模型设某种流行病感染（如呼吸道感染）有高度的传染力，但未严重设某种流行病感染（如呼吸道感染）有高度的传染力，但未严重到发生发生死亡或需要隔离的程度，感染通过一封闭团体内到发生发生死亡或需要隔离的程度，感染通过一封闭团体内b个个成人之间的接触而传播，感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除，成人之间的接触而传播，感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除，则所有易感者最终都将变为感染者。则所有易感者最终都将变为感染者。生物医学数学课件49一无移除流行病模型设某种流行病感染（如呼吸道感染）有高度二二重金属毒物蓄积模型重金属毒物蓄积模型金属毒物对机体的致病性影响研究已很广泛和详尽，金属毒物对机体的致病性影响研究已很广泛和详尽，随着近代生物数学的发展，目前对毒物在体内的定量分析随着近代生物数学的发展，目前对毒物在体内的定量分析取得了很大的进展。尤其在应用数学模型这一方法来表达取得了很大的进展。尤其在应用数学模型这一方法来表达金属毒物在机体内的金属毒物在机体内的吸收吸收、蓄积蓄积和和排出排出这三者之间的数量这三者之间的数量关系，从而来预测在长期接触某一顶浓度的金属毒物时集关系，从而来预测在长期接触某一顶浓度的金属毒物时集体内的蓄积量，并与预测接触者是否发生慢性中毒和中毒体内的蓄积量，并与预测接触者是否发生慢性中毒和中毒的发生时间。的发生时间。最大蓄积量模型：最大蓄积量模型：生物医学数学课件50二重金属毒物蓄积模型金属毒物对机体的致病性影响研究已最大蓄积量模型最大蓄积量模型-推导推导吸收量吸收量在生产环境中毒物的吸收量常常较为恒定，看作一个常数在生产环境中毒物的吸收量常常较为恒定，看作一个常数排出量排出量在吸收量确定的情况下，取决于该毒物的生物半衰期在吸收量确定的情况下，取决于该毒物的生物半衰期T1/2最大蓄积量最大蓄积量在吸收量和在吸收量和T1/2确定的情况下，体内蓄积量随时间的变化确定的情况下，体内蓄积量随时间的变化趋于一个极限值趋于一个极限值代谢动力学的一级动力学条件：代谢动力学的一级动力学条件：S：t时刻的体内毒物的浓度K：毒物从体内排出的速度，负号表示排出求解上式：初始条件，t=0，s=s0，于是有：生物医学数学课件51最大蓄积量模型-推导吸收量在生产环境中毒物的吸收量常常较最大蓄积量模型最大蓄积量模型-推导推导o如果每天给一新的剂量如果每天给一新的剂量s0，那么对于，那么对于连续接触毒物连续接触毒物后，任意时刻后，任意时刻体内的蓄积量，就要对上式求积分：体内的蓄积量，就要对上式求积分：oT趋于无穷时，体内蓄积量即为最大蓄积量：趋于无穷时，体内蓄积量即为最大蓄积量：o利用生物半衰期利用生物半衰期T1/2，求排出系数，求排出系数k：最大蓄积模型：生物医学数学课件52最大蓄积量模型-推导如果每天给一新的剂量s0，那么对于连续接2、中金属毒物蓄积模型的应用中金属毒物蓄积模型的应用生物医学数学课件532、中金属毒物蓄积模型的应用生物医学数学课件53生物医学数学课件54生物医学数学课件54生物医学数学课件55生物医学数学课件553.1、常用统计检验方法、常用统计检验方法数理统计的基本内容数理统计的基本内容参数估计（置信区间估计参数估计（置信区间估计 ）假设检验假设检验 方差分析方差分析 回归分析回归分析要求：课下自己掌握要求：课下自己掌握生物医学数学课件563.1、常用统计检验方法数理统计的基本内容生物医学数学课件5二、假设检验二、假设检验1.为什么要进行假设检验？为什么要进行假设检验？样本和总体之间或两次不同抽样之间必然有差异。样本和样本和总体之间或两次不同抽样之间必然有差异。样本和总体间的差异或者两次不同抽样间的差异可能有两方面的总体间的差异或者两次不同抽样间的差异可能有两方面的原因：原因：A.抽样误差所至抽样误差所至B.本质上的差异所至本质上的差异所至那么差异究竟是那么差异究竟是合理的抽样误差合理的抽样误差造成的还是造成的还是本质差异本质差异造成造成的，需要进行检验。这就是假设检验研究的内容。因此假的，需要进行检验。这就是假设检验研究的内容。因此假设检验是对抽样误差的评估和处理。设检验是对抽样误差的评估和处理。生物医学数学课件57二、假设检验1.为什么要进行假设检验？生物医学数学课件57例例一篇题为重症肺炎并发一篇题为重症肺炎并发DIC*29例的文章中写道，有例的文章中写道，有3例脑型病例脑型病例，只有例，只有1例死亡。作者结论例死亡。作者结论“一般脑型病死亡率高达一般脑型病死亡率高达57，本组，本组脑型病死亡率为脑型病死亡率为33，较低，较低，.本疗法对降低脑型病死率有重本疗法对降低脑型病死率有重要意义。要意义。”假如假如将上述实验重复将上述实验重复100次，每次均含有次，每次均含有3例脑型病例，可能的死亡组合及几例脑型病例，可能的死亡组合及几率如下：率如下：所以：所以：在在57的总体死亡率情况下，至多死亡一人的概率为的总体死亡率情况下，至多死亡一人的概率为0.3161790.0795070.39568640%，可见进行，可见进行100次实验，就有次实验，就有40次病死率不超过次病死率不超过33。生物医学数学课件58例一篇题为重症肺炎并发DIC*29例的文章中写原文结论难以成立的理由原文结论难以成立的理由在在57的病死率的情况下，的病死率的情况下，3个病例中仅死个病例中仅死亡亡1例的概率高达例的概率高达40%，因此原文病死率为，因此原文病死率为33的结果偶然性很大，不能认为该疗法对的结果偶然性很大，不能认为该疗法对降低病死率有统计学意义。降低病死率有统计学意义。那么，那么，30个病例中，死亡个病例中，死亡10例，是否可下这样的结论：本组例，是否可下这样的结论：本组脑型病死亡率为脑型病死亡率为33，低于，低于57的一般脑型病死亡率，可见的一般脑型病死亡率，可见本疗法对降低脑型病死率有重要意义本疗法对降低脑型病死率有重要意义可求得可求得3030人死亡人数小于等于人死亡人数小于等于1010人的概率为人的概率为 0.00770.0077。生物医学数学课件59原文结论难以成立的理由在57的病死率的情况下，3个病例中仅假设检验的基本思想假设检验的基本思想小概率原小概率原理理 某事件发生的概率很小某事件发生的概率很小，则认为在一个则认为在一个抽样中实际不可能发生抽样中实际不可能发生。作出一个假设，在该假设条件下计算某事作出一个假设，在该假设条件下计算某事件的概率，如果概率小，但事件发生了，件的概率，如果概率小，但事件发生了，则认为所作假设不合理，拒绝假设。则认为所作假设不合理，拒绝假设。生物医学数学课件60假设检验的基本思想小概率原理某事件发生的概率很小，则1.建立假设建立假设H0检验假设检验假设H0（无效假设）（无效假设）备择假设备择假设H1（要求：（要求：H0和和H1对立）对立）2.确定检验水准确定检验水准检验水准即是允许的最大误差检验水准即是允许的最大误差常用的检验水准为：常用的检验水准为：0.05较高要求的检验水准为：较高要求的检验水准为：0.01也可选择其他水准，必须在结论时标明也可选择其他水准，必须在结论时标明3.选定统计方法并计算检验统计量选定统计方法并计算检验统计量要根据检验的目的确定统计推断的统计量，并计算该统计量要根据检验的目的确定统计推断的统计量，并计算该统计量的值，从而求得概率的值，从而求得概率P4.界定界定P值并作结论值并作结论事先确定的检验水准界定事先确定的检验水准界定P值，并据此认定对值，并据此认定对H0的取舍的取舍P拒绝拒绝H0，接受接受H1（称差异有统计学意义（称差异有统计学意义)P不拒绝不拒绝H0，（称差异尚无统计学意义），（称差异尚无统计学意义）生物医学数学课件611.建立假设H0生物医学数学课件613.常见的假设检验方法常见的假设检验方法u检验检验t检验检验F检验检验2检验检验秩次检验秩次检验Ridit分析分析生物医学数学课件623.常见的假设检验方法生物医学数学课件62二、最小二乘法与经验公式二、最小二乘法与经验公式回归分析是用数理统计方法处理曲线拟合回归分析是用数理统计方法处理曲线拟合问题，和曲线拟合类似。但是它除了要给问题，和曲线拟合类似。但是它除了要给出方程的待定系数的估计值外，还要对估出方程的待定系数的估计值外，还要对估计值进行检验给出估计值的可靠性，即相计值进行检验给出估计值的可靠性，即相关系数关系数R。R愈接近于愈接近于1，则回归方程的，则回归方程的拟合度愈好。拟合度愈好。生物医学数学课件63二、最小二乘法与经验公式回归分析是用数理统计方法处理曲线拟合回归分析回归分析无论是在经济管理、社会科学还是在工程无论是在经济管理、社会科学还是在工程技术或医学、生物学中，回归分析都是一技术或医学、生物学中，回归分析都是一种普遍应用的统计分析与预测技术。种普遍应用的统计分析与预测技术。回归回归分析分析是寻找不完全确定的变量间的数学关是寻找不完全确定的变量间的数学关系式并进行统计推断，系式并进行统计推断，能提示多个自变量能提示多个自变量与因变量之间的内在关系与因变量之间的内在关系，以及判断自变，以及判断自变量的选择是否恰当等作用，为人们的生产量的选择是否恰当等作用，为人们的生产起指导作用。起指导作用。生物医学数学课件64回归分析无论是在经济管理、社会科学还是在工程技术或医学、生物回归分析的步骤绘制散点图绘制散点图确定回归方程的基本形式确定回归方程的基本形式（确定方程基本形式不仅仅是个数学问题，一定要根据问题（确定方程基本形式不仅仅是个数学问题，一定要根据问题内在的规律和散点图为依据）内在的规律和散点图为依据）应用最小二乘法的原理或其他一些判别原应用最小二乘法的原理或其他一些判别原理回归确定回归系数（或偏回归系数）理回归确定回归系数（或偏回归系数）回归系数或（偏回归系数）的假设检验回归系数或（偏回归系数）的假设检验生物医学数学课件65回归分析的步骤绘制散点图生物医学数学课件65主要内容主要内容直线相关与线性回归直线相关与线性回归指数回归指数回归二次函数回归二次函数回归生物医学数学课件66主要内容直线相关与线性回归生物医学数学课件661、直线相关与线性回归、直线相关与线性回归变变量量间间关关系系问问题题：年年龄龄身身高高、肺肺活活量量体体重重、药药物物剂剂量量与与动物死亡率等动物死亡率等。相关与回归的概念：相关与回归的概念：n 依依 存存 关关 系系：因因 变变 量量(dependent variable)Y与与 自自 变变 量量(independent variable)X 之之间间有有数数量量依依存存关关系系，Y随随X的的变变化化而变化。而变化。回归分析回归分析n互依关系：互依关系：反映反映两变量两变量X和和Y之间彼此关联的程度之间彼此关联的程度。相相关关分析分析生物医学数学课件671、直线相关与线性回归变量间关系问题：年龄身高、肺活量体直线回归第一：描散点图生物医学数学课件68直线回归第一：描散点图生物医学数学课件68第二：列直线回归方程a：截距：截距(intercept)，直线与，直线与Y轴交点的纵坐标。轴交点的纵坐标。b：斜率：斜率(slope)，回归系数，回归系数(regression coefficient)。意义：意义：X每改变一个单位，每改变一个单位，Y平均改变平均改变b个单位。个单位。生物医学数学课件69第二：列直线回归方程a：截距(intercept)，直线与第三：回归方程参数的计算 最最小小二二乘乘法法原原则则(least square method)：使使各各散散点点到到直直线线的的纵向距离的平方和最小。即使纵向距离的平方和最小。即使 最小最小。因为直线一定经过因为直线一定经过“均数均数”点点生物医学数学课件70第三：回归方程参数的计算最小二乘法原则(leas第三：回归方程参数的计算生物医学数学课件71第三：回归方程参数的计算生物医学数学课件71相关系数相关系数生物医学数学课件72相关系数生物医学数学课件72相关系数相关系数生物医学数学课件73相关系数生物医学数学课件73例例3.1某医院研究某种代乳粉的营养价值，用大白鼠作实验，某医院研究某种代乳粉的营养价值，用大白鼠作实验，得白鼠进食量（克）和增加体重（克）之间的关系数得白鼠进食量（克）和增加体重（克）之间的关系数据如下据如下X820780720867690787934679639820y165158139180134167186145120158R=0.69395生物医学数学课件74例3.1某医院研究某种代乳粉的营养价值，用大白鼠作实验，得例例3.2冠心病患者的血清脂蛋白检测冠心病患者的血清脂蛋白检测冠状动脉粥样硬化性心脏病患者的血清中常出现冠状动脉粥样硬化性心脏病患者的血清中常出现-脂蛋白增脂蛋白增高，高，-脂蛋白降低，它们之间有无规律呢？脂蛋白降低，它们之间有无规律呢？460480476490510520470464240220230210190185215235R=-9558生物医学数学课件75例3.2冠心病患者的血清脂蛋白检测冠状动脉粥样硬化性心脏病例例3.3小儿体重与体表面积的关系小儿体重与体表面积的关系要测小儿体表面积是非常复杂的，但在药物代谢、水电解质平要测小儿体表面积是非常复杂的，但在药物代谢、水电解质平衡、基础代谢、心搏出量、每分钟呼吸量、肾小球过滤等都需衡、基础代谢、心搏出量、每分钟呼吸量、肾小球过滤等都需要指导体表面积，小儿体重可以很容易测量，现研究能否通过要指导体表面积，小儿体重可以很容易测量，现研究能否通过小儿体重来计算体表面积呢？小儿体重来计算体表面积呢？实验数据如下：实验数据如下：体重体重x x2 23.33.35 58 810101515202030304040体表面体表面积积y y0.150.150.20.20.250.250.350.350.450.450.60.60.80.81.051.051.31.3生物医学数学课件76例3.3小儿体重与体表面积的关系要测小儿体表面积是非常复杂R=0.9962生物医学数学课件77R=0.9962生物医学数学课件77指数回归指数回归有些问题变量间的关系是非线性关系的，有些问题变量间的关系是非线性关系的，如生物生长曲线呈指数关系，可调整数据如生物生长曲线呈指数关系，可调整数据将指数函数化为线性函数，再用最小二乘将指数函数化为线性函数，再用最小二乘法求解经验公式法求解经验公式设设y=f（t）=kemt当当k0，两边取对数，可得：，两边取对数，可得：lgy=(mlge)t+lgk令令lgk=a,mlge=b,这样就是这样就是t的线性函数的线性函数了了生物医学数学课件78指数回归有些问题变量间的关系是非线性关系的，如生物生长曲线呈例例3.5、药物浓度在体内的变化规律、药物浓度在体内的变化规律某种新药对一受试者一次静脉注射某种新药对一受试者一次静脉注射2克的剂量，克的剂量，测得不同时刻血液中药物浓度如下表：测得不同时刻血液中药物浓度如下表：1 12 23 34 45 56 68 810100.280.280.240.240.210.210.180.180.160.160.140.140.10.10.080.08生物医学数学课件79例3.5、药物浓度在体内的变化规律某种新药对一受试者一次静生物医学数学课件80生物医学数学课件80显然曲线接近于指数分布，现对浓度显然曲线接近于指数分布，现对浓度c求对数：求对数：t t1 12 23 34 45 56 68 81010 -lgc-lgc0.5528420.5528420.6197890.6197890.6777810.6777810.7447270.7447270.795880.795880.8538720.8538721 11.096911.09691生物医学数学课件81显然曲线接近于指数分布，现对浓度c求对数：t12345681二次函数型回归二次函数型回归测得数据在一条抛物线的临近，则经验公测得数据在一条抛物线的临近，则经验公式可以设：式可以设：y=ax2+x+c生物医学数学课件82二次函数型回归测得数据在一条抛物线的临近，则经验公式可以设：例例3.4学龄前儿童智能检测学龄前儿童智能检测根据宁夏医学根据宁夏医学1986.12）载宁夏、银川、同）载宁夏、银川、同心地区心地区1508名学前儿童采用名学前儿童采用50项智能测验，其平均项智能测验，其平均得分，数据如下表：得分，数据如下表：年龄年龄4 44.54.55 55.55.56 66.56.57 7平均得分平均得分27.227.232.432.435.535.539.139.140.840.842.142.139.539.5生物医学数学课件83例3.4学龄前儿童智能检测根据宁夏医学1986.生物医学数学课件84生物医学数学课件843.3概率模型在医学中的应用概率模型在医学中的应用一、一、基本概率的应用基本概率的应用例例1在一定条件下已知某病治疗有效率为在一定条件下已知某病治疗有效率为50%，试，试求在求在10个病人中有个病人中有8个以上有效的概率。个以上有效的概率。生物医学数学课件853.3概率模型在医学中的应用一、基本概率的应用生物医学数二二 计量诊断模型计量诊断模型生物医学数学课件86二计量诊断模型生物医学数学课件86生物医学数学课件87生物医学数学课件873.3概率模型在医学中的应用概率模型在医学中的应用例例3.6乳腺肿块的鉴别诊断乳腺肿块的鉴别诊断某病人，女，某病人，女，35岁，有乳腺肿块，肿块表岁，有乳腺肿块，肿块表面整齐，偏硬，近期来未见明显增大，边面整齐，偏硬，近期来未见明显增大，边界不清，长度约界不清，长度约2厘米，要求鉴别属于：厘米，要求鉴别属于：乳腺癌乳腺癌/纤维乳腺瘤纤维乳腺瘤/其他乳腺疾病。其他乳腺疾病。为了讨论乳腺肿块鉴别情况，查阅了为了讨论乳腺肿块鉴别情况，查阅了186个病例，对三种乳腺疾病主要症候表现及个病例，对三种乳腺疾病主要症候表现及其概率统计如下表其概率统计如下表生物医学数学课件883.3概率模型在医学中的应用例3.6乳腺肿块的鉴别诊断实例实例生物医学数学课件89实例生物医学数学课件89症候表现症候表现乳腺癌乳腺癌d1 d1 2929例例纤维瘤纤维瘤d2 d2 9292例例乳腺病乳腺病d3 d3 6565例例年龄年龄40 s1140 s110.13790.13790.80430.80430.83080.830840 S1240 S120.86210.86210.19570.19570.16920.1692肿块表面肿块表面整齐整齐 S21S210.0690.0690.48910.48910.46150.4615不整齐不整齐S22S220.9310.9310.51090.51090.53850.5385硬度硬度中中 S31S310.13790.13790.06520.06520.18460.1846偏硬偏硬 S32S320.55170.55170.8370.8370.75330.7533硬硬 S33S330.13040.13040.09780.09780.06160.0616增大速度增大速度慢慢 S41S410.10340.10340.04350.04350.24620.2462中中 S42S420.55170.55170.85870.85870.70770.7077快快 S43S430.34480.34480.09780.09780.04610.0461边界边界清楚清楚 S51S510.03450.03450.55430.55430.29230.2923欠清楚欠清楚 S52S520.82760.82760.4130.4130.55380.5538不清楚不清楚 S53S530.13790.13790.03260.03260.15390.1539肿块长度肿块长度2.75 S612.75 S610.2060.2060.750.750.86150.86152.75 S622.75 S620.79310.79310.250.250.13850.1385生物医学数学课件90症候表现乳腺癌d129例纤维瘤d292例乳腺病d365依据上表可求得：依据上表可求得：生物医学数学课件91依据上表可求得：生物医学数学课件91临床决策临床决策临床医生经常为病人的诊断、治疗作出决定。这些临床决定亦即临临床医生经常为病人的诊断、治疗作出决定。这些临床决定亦即临床决策（床决策（clinicaldecision）。所谓决策（）。所谓决策（decisionmaking）就）就是为达到同一目标在众多可以采取的方案中选择最佳方案。在临床是为达到同一目标在众多可以采取的方案中选择最佳方案。在临床处理病人的病情时，由于疾病临床表现复杂多变，诊治方法多种，处理病人的病情时，由于疾病临床表现复杂多变，诊治方法多种，有些药物还可能产生一些不良反应，患者的心理变化等等，促使医有些药物还可能产生一些不良反应，患者的心理变化等等，促使医师在考虑上述情况后作出全面和合理的选择。师在考虑上述情况后作出全面和合理的选择。决策分析的基本步骤有以下四步：决策分析的基本步骤有以下四步：1.供临床选择的治疗方法有时很多，此时要筛除一些供临床选择的治疗方法有时很多，此时要筛除一些“劣劣”的决策，的决策，有利于下一步的分析。有利于下一步的分析。2.确定各决策可能的后果，并设置各种后果发生的概率。确定各决策可能的后果，并设置各种后果发生的概率。3.确定决策人的偏爱，并对效用赋值。确定决策人的偏爱，并对效用赋值。4.在以下三步基础上去选择决策人最满意的决策，即期望效用最大在以下三步基础上去选择决策人最满意的决策，即期望效用最大的决策。的决策。生物医学数学课件92临床决策临床医生经常为病人的诊断、治疗作出决定。这些临床决定举例：决策树的应用：举例：决策树的应用：例：胰腺癌常常难以在疾病的早期作出诊断，当发现时癌例：胰腺癌常常难以在疾病的早期作出诊断，当发现时癌肿已有转移，患者多在短期内死亡。肿已有转移，患者多在短期内死亡。最可能患胰腺癌者最可能患胰腺癌者包括包括4040岁以上，中腹部疼痛持续岁以上，中腹部疼痛持续1 13 3周的人。假周的人。假设这类人中胰腺癌的发生率为设这类人中胰腺癌的发生率为1212。如有一种不。如有一种不冒什么风险的早期诊断方法对胰腺癌的检出率为冒什么风险的早期诊断方法对胰腺癌的检出率为8080（敏感度），但对有类似症状的非胰腺癌患（敏感度），但对有类似症状的非胰腺癌患者的假阳性率为者的假阳性率为5 5，用此法诊断确诊的胰腺癌患，用此法诊断确诊的胰腺癌患者手术死亡率为者手术死亡率为1010，治愈率为，治愈率为4545。根据上述疾病概率，诊断概率和死亡、治愈概率，根据上述疾病概率，诊断概率和死亡、治愈概率，如对如对10001000人进行诊断、治疗，其所获得的益处，人进行诊断、治疗，其所获得的益处，是否比不进行诊断检查和手术更大？可以用一个是否比不进行诊断检查和手术更大？可以用一个决策树（下图）进行分析比较。决策树（下图）进行分析比较。生物医学数学课件93举例：决策树的应用：生物医学数学课件93由JC Sisson等人的一个关于胰腺癌的决策树模型生物医学数学课件94由JCSisson等人的一个关于胰腺癌的决策树模型生物医学从以上决策树可见，不作该项检查的死亡者从以上决策树可见，不作该项检查的死亡者为为1212例，均为胰腺癌病人。用该项检查手术例，均为胰腺癌病人。用该项检查手术后死亡后死亡12.512.5人，其中有人，其中有5 5例为非胰腺癌病人。例为非胰腺癌病人。而且新的检查使而且新的检查使4444例非胰腺癌患者的胰腺功例非胰腺癌患者的胰腺功能因手术而可能受到损害。因此这项检查对能因手术而可能受到损害。因此这项检查对病人是弊大于利，不宜使用。病人是弊大于利，不宜使用。生物医学数学课件95从以上决策树可见，不作该项检查的死亡者为12例，均为胰腺癌病治疗效益治疗效益对于一种治疗方法或者一种新药品，对其治疗效果的评价是至关对于一种治疗方法或者一种新药品，对其治疗效果的评价是至关重要的，如何评价治疗效果往往从两个方面治疗重要的，如何评价治疗效果往往从两个方面治疗效益效益和和成本成本。对。对于治疗效益来说又有绝对效益和相对效益，治疗的相对效益是指于治疗效益来说又有绝对效益和相对效益，治疗的相对效益是指临床试验的组间疾病事件发生率的比例差异；而治疗的绝对效益临床试验的组间疾病事件发生率的比例差异；而治疗的绝对效益是指用某药物治疗多少病人方能防止是指用某药物治疗多少病人方能防止1例主要事件的发生。例主要事件的发生。对治疗效益评价的意义：根据随机化临床试验结果的相对效益可对治疗效益评价的意义：根据随机化临床试验结果的相对效益可用以指导其他人群采用此种治疗时进行相对效益的估算。用以指导其他人群采用此种治疗时进行相对效益的估算。较合理的估计绝对效益的方法：一方面根据临床试验所反映的相较合理的估计绝对效益的方法：一方面根据临床试验所反映的相对危险降低程度，同时根据具体病人的疾病绝对危险降低程度进对危险降低程度，同时根据具体病人的疾