曲线坐标及其变换关系课件

2 2、曲线坐标及其变换关系、曲线坐标及其变换关系O在在-平面上，任一点平面上，任一点可可表示为：表示为：也可表示为：也可表示为：其中，其中，、为为点的极点的极坐标。坐标。显然，在显然，在-平面上，平面上，=const 表示一圆周线，表示一圆周线，=const 代表一根代表一根径向线。径向线。在在 z-平面上，平面上，=const 表示一曲表示一曲线，线，=const 表示另一曲线。表示另一曲线。因此，因此，、可视为可视为z-平面上一点平面上一点 z 处处的曲线坐标的曲线坐标。由于变换的保角性，由于变换的保角性，z-平面上的曲线坐平面上的曲线坐标总是正交的。且坐标轴标总是正交的。且坐标轴、的的相对方向总相对方向总是与坐标轴是与坐标轴 x、y 的相对方向相同。的相对方向相同。曲线坐标与直角坐标间的变换关系：曲线坐标与直角坐标间的变换关系：设设 z-平面上有一矢量平面上有一矢量A，其起点在点其起点在点 用用Ax、Ay分别表示它在分别表示它在 x、y 轴上的投影，轴上的投影，用用 、分别表示它在分别表示它在、轴上的投影。轴上的投影。设设 轴与轴与 x 轴成角轴成角，则有：则有：将此向量用复数表示，有将此向量用复数表示，有（a）从而有从而有AxAy 的计算：的计算：假想沿假想沿方向给点方向给点 z 以位移以位移 dz，因而对因而对应点应点得到位移得到位移 ,于是有于是有（b）（a）于是式（于是式（a）可表示为：可表示为：（c）AxAy 曲线坐标曲线坐标与与直角坐标直角坐标中矢量的变换关系中矢量的变换关系3 3、一些基本函数与公式的变换、一些基本函数与公式的变换（5-19）（5-20）位移分量的变换位移分量的变换（5-21）（5-10）由由得得将上式代入式（将上式代入式（5-21）得，位移矢量在曲线坐标）得，位移矢量在曲线坐标、轴上的投影：轴上的投影：位移矢量在曲线坐标位移矢量在曲线坐标、轴上的投影：轴上的投影：（5-22）曲线坐标中位移分量的复变函数表示曲线坐标中位移分量的复变函数表示应力分量的变换应力分量的变换表示弹性体在曲线坐标表示弹性体在曲线坐标、中的应力分量。中的应力分量。由应力坐标变换式：由应力坐标变换式：由此可得：由此可得：由应力分量的复变函数表示，有由应力分量的复变函数表示，有由由（e）（f）将式（将式（f）代入（代入（e），），并利用式（并利用式（5-20），有），有（5-23）曲线坐标中应力分量的复变函数表示曲线坐标中应力分量的复变函数表示应力边界条件的变换应力边界条件的变换（5-12）应力边界条件应力边界条件的复变函数表示的复变函数表示将式（将式（5-19）、（）、（5-20）代入，有）代入，有在边界上，在边界上，=1，因而因而引入记号：引入记号：上式可上式可表示为：表示为：（5-22）曲线坐标中曲线坐标中位移分量位移分量的复变函数表示的复变函数表示（5-23）曲线坐标中曲线坐标中应力分量应力分量的复变函数表示的复变函数表示 曲线坐标中曲线坐标中应力边界条件应力边界条件的复变函数表示的复变函数表示其中记号：其中记号：小结：小结：平面问题复变函数求解公式小结：平面问题复变函数求解公式小结：（1）z-平面内求解：平面内求解：（5-9）（5-8）（5-10）（5-12）应力边界条件应力边界条件的复变函数表示的复变函数表示（5-13）位移边界条件位移边界条件的复变函数表示的复变函数表示对无限大多连域问题：对无限大多连域问题：（5-15）其中：其中：（5-16）（5-17）为为m个内边界上个内边界上 x、y 方向面力之和（主矢）方向面力之和（主矢）（2）-平面内求解：平面内求解：由孔口的形状确定所用的保角变换由孔口的形状确定所用的保角变换（5-19）（5-20）（5-22）曲线坐标中位移分量的复变函数表示曲线坐标中位移分量的复变函数表示（5-23）曲线坐标中应力分量的复变函数表示曲线坐标中应力分量的复变函数表示 曲线坐标中应力边界条件的的复变函数表示曲线坐标中应力边界条件的的复变函数表示5-8 5-8 孔口问题孔口问题 限于限于无限大无限大弹性体弹性体单孔口单孔口问题问题1 1、保角变换函数的确定、保角变换函数的确定基本思想：基本思想：把弹性体在把弹性体在 z-平面上所占的区域变换为平面上所占的区域变换为-平面上的平面上的“中心单位中心单位圆圆”（即，圆心在坐标原点（即，圆心在坐标原点=0，半径为半径为=1。）。）对无限大弹性体单孔口问题，变换函数的一般形式可取为对无限大弹性体单孔口问题，变换函数的一般形式可取为（5-24）其中，其中，n 为正整数，为正整数，R 为实数，为实数，ck 一般为复数，而一般为复数，而以确保以确保 n 时，级数收敛。时，级数收敛。2 2、复位势函数、复位势函数（5-15）的讨论的讨论：由于在单位圆内及圆周上，有由于在单位圆内及圆周上，有且且因而，有因而，有无限大多连体问题的无限大多连体问题的展开级数展开级数从而有从而有 的在圆内为单值的解析函数的在圆内为单值的解析函数的讨论的讨论将其中各项作以上类似讨论，如将其中各项作以上类似讨论，如的在圆内为单值的解析函数的在圆内为单值的解析函数由此可见，由此可见，的的所有各项都是所有各项都是的在圆内为单值的解析函数的在圆内为单值的解析函数将以上所得结果代入式（将以上所得结果代入式（5-15）（5-15）（5-25）（5-26）对对圆内解析函数圆内解析函数可表示为：可表示为：（5-27）（5-28）在中心单位圆内是在中心单位圆内是的解析函数。的解析函数。式中的常数项已删去，因为它不影响应力。式中的常数项已删去，因为它不影响应力。3 3、边界条件的变换、边界条件的变换假定弹性体的全部边界为应力边界。假定弹性体的全部边界为应力边界。由边界条件的复变函数表示：由边界条件的复变函数表示：（5-12）将式（将式（5-19）与（）与（5-20）代入，有）代入，有在边界上，在边界上，=1，因而因而引入记号：引入记号：上式可上式可表示为：表示为：（b）将式（将式（5-25）、（）、（5-26）取边界值，有）取边界值，有（c）（d）将式（将式（c）、（）、（d）代入（代入（b），），并注意到并注意到有有（5-25）（5-26）（e）引入记号：引入记号：（5-30）其边界条件及其共轭式可简写为：其边界条件及其共轭式可简写为：（5-31）（5-32）说明：说明：（1）当孔口不受面力时，当孔口不受面力时，此时，常数此时，常数取决于距孔口很远处的主应力和应力主向，即取决于距孔口很远处的主应力和应力主向，即（2）当仅孔口受面力时，其应力分布是局部的，无穷远处应当仅孔口受面力时，其应力分布是局部的，无穷远处应力应为零。即力应为零。即 可见，可见，f0 总是已知的，或者可以求得的。总是已知的，或者可以求得的。（5-30）其边界条件及其共轭式可简写为：其边界条件及其共轭式可简写为：（5-31）（5-32）4 4、的确定的确定两种常用两种常用Cauchy积分：积分：（1）设函数设函数 F()在单位圆在单位圆之内之内是解析的，且在圆内及圆周上连续，则是解析的，且在圆内及圆周上连续，则对圆内任一点对圆内任一点都将有：都将有：（5-33）适用于适用于有限有限大区域的大区域的Cauchy积分。积分。（2）设函数设函数 F()在单位圆在单位圆之外之外是解析的，且在圆外及圆周上连续，则是解析的，且在圆外及圆周上连续，则对圆内任一点对圆内任一点都将有：都将有：（5-34）适用于适用于无限无限大区域的大区域的Cauchy积分。积分。的确定的确定（5-31）将上式两边同乘以：将上式两边同乘以：并沿整个孔边积分，有并沿整个孔边积分，有（f）因为因为在中心单位圆内解析，且在圆内及圆周上连续，所以有在中心单位圆内解析，且在圆内及圆周上连续，所以有（g）又因为又因为 为圆外解析，且圆外为圆外解析，且圆外及圆周上连续，故有及圆周上连续，故有（h）将式（将式（g）、（）、（h）代入式（代入式（f），），有有（5-35）对式（对式（5-32）作以上类似的讨论，作以上类似的讨论，（5-32）将上式两边同乘以：将上式两边同乘以：并沿整个孔边积分，有并沿整个孔边积分，有0（5-36）（5-35）求得求得后，代入：后，代入：（5-25）（5-26）即求得即求得再利用前面的公式可容易求得应力和位移。再利用前面的公式可容易求得应力和位移。无限大弹性体单孔口问题求解步骤小结：无限大弹性体单孔口问题求解步骤小结：（1）由孔口的形状，确定相应的保角变换：由孔口的形状，确定相应的保角变换：（2）由式（由式（5-30）求出）求出（5-30）（3）由式（由式（5-35）、）、（5-36）求出）求出（5-36）（5-35）（5-24）（4）由式（由式（5-25）、）、（5-26）求出）求出（5-25）（5-26）（5）由式（由式（5-22）、）、（5-23）求出）求出（5-22）曲线坐标中位移分量的复变函数表示曲线坐标中位移分量的复变函数表示（5-23）曲线坐标中应力分量的复变函数表示曲线坐标中应力分量的复变函数表示5-9 5-9 椭圆孔口椭圆孔口1 1、保角变换函数的确定、保角变换函数的确定其中：其中：实数实数R、m由椭圆的长半轴由椭圆的长半轴 a 与短半与短半轴轴 b 决定。决定。或或（a）（b）将将代入式（代入式（a）两端，并分开实部与虚部，有两端，并分开实部与虚部，有依次消去式中的依次消去式中的、，得得 z 平面内的椭圆方程平面内的椭圆方程当当=1时，所对应椭圆的长半轴与短半轴为时，所对应椭圆的长半轴与短半轴为说明：说明：（1）在在平面上，平面上，是以反时针转向为正，是以反时针转向为正，而在而在 z 平面上，平面上，是以顺时针转向为是以顺时针转向为正。正。（2）坐标原点坐标原点=0对应于弹性体中距孔口对应于弹性体中距孔口无穷远处的各点。无穷远处的各点。2 2、的求解的求解由式（由式（a）可）可求得：求得：（a）代入代入式（式（5-35），有），有（5-35）由式（由式（5-27），可知），可知（c）由式（由式（5-27），可知），可知代入上式，有代入上式，有因为：因为：在在单位圆外解析，且在圆内与圆周上连续，由单位圆外解析，且在圆内与圆周上连续，由无限无限大区域的大区域的Cauchy积分，积分，可知，可知，0上式中第二项积分为零。于是，有上式中第二项积分为零。于是，有（e）将式（将式（c）代入）代入式（式（5-36），），（5-36）因为因为在在单位圆内解析，且在圆内与圆周上连续，由单位圆内解析，且在圆内与圆周上连续，由有限有限区域的区域的Cauchy积分，得，积分，得，代入式（代入式（e），），得，得，（d）（f）无限大弹性体无限大弹性体椭圆孔口椭圆孔口问题求解步骤：问题求解步骤：（1）保角变换：保角变换：（a）（2）由式（由式（5-30）求出）求出（5-30）（3）由式（由式（d）（）（f）求出求出（d）（f）（4）由式（由式（5-25）、）、（5-26）求出）求出（5-25）（5-26）其中其中（5-17）（5）由式（由式（5-22）、）、（5-23）求出）求出（5-22）（5-23）例：例：设设薄板或长柱与薄板或长柱与Ox 轴成轴成角的方向受有均匀拉应力角的方向受有均匀拉应力 q，孔边不受面力，如图所示。试求其应力分量。孔边不受面力，如图所示。试求其应力分量。解：解：（1）求）求 f0()由由边界条件，可知边界条件，可知（g）由由公式（公式（5-17），有），有代入式（代入式（5-31），有），有（5-30）（h）（i）（2）求）求由由（j）（f）（d）由由（k）（j）（k）将上两式及式（将上两式及式（g）（）（h）代入式（代入式（5-25）、（）、（5-26），），（5-25）（5-26）有：有：（5-26）将将 代入，并整理得代入，并整理得将将 整理在一起，有整理在一起，有（l）（3）求应力分量）求应力分量由由可可求得：求得：将将 代入式（代入式（5-20），求得），求得代入式（代入式（5-23），），（5-23）（m）将将代入代入式（式（m），），分开实部与虚部后，即可得出分开实部与虚部后，即可得出的表达式的表达式。在孔边，有在孔边，有由由式（式（m）得得将将代代入，有入，有（n）(1)（即拉应力（即拉应力 q 平行于平行于 x 轴），轴），由式（由式（n）得出孔边的应力为得出孔边的应力为最大正应力为：最大正应力为：讨论：讨论：最小正应力为：最小正应力为：(2)（即拉应力（即拉应力 q 平行于平行于y 轴），轴），由式（由式（n）得出孔边的应力为得出孔边的应力为最小正应力为：最小正应力为：最大正应力为：最大正应力为：例：例：无限大薄板，孔边受有均匀压应力无限大薄板，孔边受有均匀压应力 q，如图所示。如图所示。试求孔边的应力。试求孔边的应力。解：解：（1）求）求 f0()由边界条件可知由边界条件可知面力矢量面力矢量于是，得于是，得因为因为（面力为平衡力系），（面力为平衡力系），（无穷处不受力）（无穷处不受力）由由式（式（5-30），），得：得：因为在边界上有因为在边界上有所以所以 f0()（2）求）求（d）（f）（5-25）（5-26）（3）求应力分量）求应力分量由由可可求得：求得：将将 代入式（代入式（5-20），求得），求得将上式代入应力分量公式（将上式代入应力分量公式（5-23），有），有（5-23）将上式代入应力分量公式（将上式代入应力分量公式（5-23），有），有将将代入代入上式上式，分开实部与虚部后，即可得出分开实部与虚部后，即可得出的表达式的表达式。在孔边，有在孔边，有由由上式得上式得讨论：讨论：(1)最大正应力为：最大正应力为：(2)最小正应力为：最小正应力为：5-10 5-10 裂隙附近的应力集中裂隙附近的应力集中如图所示，当椭圆形孔口的短轴长度如图所示，当椭圆形孔口的短轴长度 b 0则该孔口则该孔口变成为变成为 x 方向的，长为方向的，长为 2a 的裂隙（贯的裂隙（贯穿的裂纹、裂缝）。穿的裂纹、裂缝）。1 1、保角变换函数的确定、保角变换函数的确定椭圆形孔口：椭圆形孔口：其中：其中：令：上令：上式式中中 b=0，有有（a）（b）薄板或长柱的受力如图：无穷处薄板或长柱的受力如图：无穷处受到与受到与x方向成方向成的均匀拉应力。的均匀拉应力。对椭圆孔口的情形，有对椭圆孔口的情形，有2 2、的求解的求解令式中：令式中：可得：可得：（c）由此可方便地求出该由此可方便地求出该 问题的应力与位移，过程同前，但比较繁琐。问题的应力与位移，过程同前，但比较繁琐。当拉应力当拉应力 q 方向垂直于裂隙时，即方向垂直于裂隙时，即有有（d）代入，得代入，得3 3、应力分量、应力分量为便于直接求出应力分量：为便于直接求出应力分量：将式（将式（d）中的中的用用 z 表示。由变换式表示。由变换式（b）：）：（b）得：得：考虑到：保角变换（考虑到：保角变换（b）中当中当|z|时，时，|0，故上式中，故上式中应取应取负号，即负号，即（e）将式（将式（e）代入式（代入式（d），），有有（f）代入应力分量的复变函数式：代入应力分量的复变函数式：（5-9）（5-8）（g）对于裂纹问题中，重要的是分析裂纹对于裂纹问题中，重要的是分析裂纹尖端附近的尖端附近的应力分布应力分布，特别是应力随，特别是应力随距裂纹端点的距离而变化的距裂纹端点的距离而变化的规律规律，取裂隙端点取裂隙端点 B 为极坐标（为极坐标（r，）的原点，有的原点，有将其代入式（将其代入式（g），），有有进一步将上式分开实部与虚部进一步将上式分开实部与虚部，即可求出即可求出的表达式。的表达式。由于裂隙端点由于裂隙端点 B 附近，附近，r 远小于远小于a，因可将上两式按因可将上两式按 r/a 的升幂次展开，的升幂次展开，并只保留随并只保留随 r 的增大而减小的主项，略去不随的增大而减小的主项，略去不随 r 变化和随变化和随 r 的减小而减的减小而减小的各项。可得到小的各项。可得到（h）从中可求出从中可求出（h）从中可求出从中可求出（5-37）例：例：薄板或长柱在裂隙方向受有均布剪应力薄板或长柱在裂隙方向受有均布剪应力 q ，如图所示。如图所示。这种情况，可用图右下角所示的受力状态情这种情况，可用图右下角所示的受力状态情况代替：在况代替：在=/4 的方向受均布的方向受均布拉应力拉应力；在；在=/4 的方向受的方向受均布压应力均布压应力；将将式（式（e）：）：代代入，有入，有（i）代入应力分量的复变函数式：代入应力分量的复变函数式：（5-9）（5-8）可得：可得：（j）仍以裂隙端点仍以裂隙端点 B 为极坐标（为极坐标（r，）的原点，因而有的原点，因而有将其代入式（将其代入式（g），），然后按然后按 r/a 的升幂次展开，并只保留其中的主项，得的升幂次展开，并只保留其中的主项，得（k）（k）从中可求出从中可求出（5-38）（5-38）说明：说明：（1）式中当式中当 r 时，各个应力分量：时，各个应力分量：都趋于无穷。都趋于无穷。表明裂隙端点的应力为无穷大，但实际上是不可能的。因为表明裂隙端点的应力为无穷大，但实际上是不可能的。因为当应力达到一定值后，材料进入屈服状态，在裂隙端点出现当应力达到一定值后，材料进入屈服状态，在裂隙端点出现或大或小的塑性区。或大或小的塑性区。（2）表明式（表明式（5-37）（）（5-38）只适用于塑性区以外部分。）只适用于塑性区以外部分。式（式（5-37）（）（5-38）是）是断裂力学断裂力学中研究中研究裂纹扩展规律裂纹扩展规律的的重要依据。重要依据。5-11 5-11 正方形孔口正方形孔口xy1 1、保角变换函数、保角变换函数由复变函数书中可查得，其变换式可为由复变函数书中可查得，其变换式可为（a）式式中：中：R 为实数，取决于正方形的大小。为实数，取决于正方形的大小。（1）若在上式中只取两项近似，即）若在上式中只取两项近似，即（b）则当则当=1而而时，有时，有分开实部与虚部，有分开实部与虚部，有xy在在 z-平面上画出其图形，如图所示，平面上画出其图形，如图所示，为近似正方形。为近似正方形。此正方形的中心高度此正方形的中心高度a 和对角线长度和对角线长度 d 分别为分别为四个圆角的曲率半径为：四个圆角的曲率半径为：（2）若在上式中取三项近似，即）若在上式中取三项近似，即（c）四个圆角的曲率半径为：四个圆角的曲率半径为：xy孔边曲线的形状，如图所示。孔边曲线的形状，如图所示。进一步若取四项近似，即进一步若取四项近似，即四个圆角的曲率半径为：四个圆角的曲率半径为：此时，孔边曲线的形状与精确的正方形间已不再有此时，孔边曲线的形状与精确的正方形间已不再有太大区别。太大区别。2 2、求求 f0()设具有正方形孔口的薄板在与设具有正方形孔口的薄板在与x 轴成轴成角的方向受角的方向受有均匀拉力有均匀拉力 q，孔口不受力。此时有，孔口不受力。此时有，（d）（e）（f）得得由变换由变换代入式（代入式（5-30），有：），有：（g）（h）（5-30）（h）3 3、的求解的求解将式（将式（g）（h）代入式（代入式（5-35）（）（5-36）：（5-36）（5-35）其中：其中：代入上式积分，有代入上式积分，有将其代入式（将其代入式（5-35）：）：（5-35）将式：将式：代代入上式，有入上式，有比较等式两边同次幂的系数，有比较等式两边同次幂的系数，有由此求得由此求得于是有于是有（i）将式（将式（i）代入式（代入式（5-36）（5-36）有：有：（j）将式（将式（i）（）（j）代入式（代入式（5-25）（5-26）:（5-25）（5-26）将式（将式（i）（）（j）代入式（代入式（5-25）（5-26）:得到得到:进一步可由式（进一步可由式（5-23）（5-22）计算应力和位移。）计算应力和位移。第五章第五章 小结小结一、平面问题复变函数方法的求解思路一、平面问题复变函数方法的求解思路复变函数方法复变函数方法 应力函数法应力函数法利用利用保角变换保角变换，将求解的区域，将求解的区域 D 变换为一个变换为一个中心单位圆中心单位圆域；再利域；再利用用解析函数在闭环上的积分性质解析函数在闭环上的积分性质，求出，求出 。将寻求将寻求应力函数应力函数 U 的问题转化为寻求的问题转化为寻求两个解析函数两个解析函数 的问题的问题（1）（2）（3）二、应力函数、应力分量、位移分量、边界条件的复变函数表示二、应力函数、应力分量、位移分量、边界条件的复变函数表示（5-5）（1）（2）（5-9）（5-8）其中：其中：（3）（5-10）（5-12）应力边界条件应力边界条件的复变函数表示的复变函数表示（5-13）位移边界条件位移边界条件的复变函数表示的复变函数表示（4）三、多连体及无限大多连体中，三、多连体及无限大多连体中，结构特点结构特点（1）一般多连体：）一般多连体：（5-14）其中：其中：三、多连体及无限大多连体中，三、多连体及无限大多连体中，结构特点结构特点（1）一般多连体）一般多连体（5-14）（保证多连体中应力和位移的单值性。）（保证多连体中应力和位移的单值性。）为该多连体中单值解析函数。为该多连体中单值解析函数。为第为第 k 个内边界上面力主矢量。个内边界上面力主矢量。（2）无限大多连体）无限大多连体（5-15）其中：其中：（2）无限大多连体）无限大多连体（5-15）其中：其中：（5-16）（5-17）四、保角变换与曲线坐标下基本量及公式的表示四、保角变换与曲线坐标下基本量及公式的表示（1）保角变换）保角变换常用的保角变换函数：常用的保角变换函数：椭圆孔口椭圆孔口其中，其中，圆孔口圆孔口（a 为圆孔半径）为圆孔半径）裂隙（裂纹）裂隙（裂纹）正方形孔口正方形孔口圆盘或圆柱圆盘或圆柱（2）曲线坐标下基本量及公式的表示）曲线坐标下基本量及公式的表示（5-19）（5-20）曲线坐标中位移分量的复变函数表示曲线坐标中位移分量的复变函数表示（5-22）（5-23）曲线坐标中应力分量的复变函数表示曲线坐标中应力分量的复变函数表示 曲线坐标中应力边界条件的的复变函数表示曲线坐标中应力边界条件的的复变函数表示五、无限大孔口问题的解法五、无限大孔口问题的解法（1）由孔口的形状，确定保角变换函数）由孔口的形状，确定保角变换函数（2）由式（由式（5-30）求出）求出（5-30）（3）由式（由式（5-35）、）、（5-36）求出）求出（5-36）（5-35）（4）由式（由式（5-25）、）、（5-26）求出）求出（5-25）（5-26）（5）由式（由式（5-22）、）、（5-23）求出）求出（5-22）曲线坐标中位移分量的复变函数表示曲线坐标中位移分量的复变函数表示（5-23）曲线坐标中应力分量的复变函数表示曲线坐标中应力分量的复变函数表示六、两个重要积分六、两个重要积分Cauchy积分公式积分公式（5-33）适用于适用于有限有限大区域的大区域的Cauchy积分。积分。（1）（5-34）适用于适用于无限无限大区域的大区域的Cauchy积分。积分。（2）六、两个重要积分六、两个重要积分Cauchy积分公式积分公式（5-33）适用于适用于有限有限大区域的大区域的Cauchy积分。积分。（1）思考题：思考题：（1）平面问题复变函数解法的意义？平面问题复变函数解法的意义？（2）复变函数解法中，平衡方程、相容方程、边界条件是如何满足的复变函数解法中，平衡方程、相容方程、边界条件是如何满足的？（3）多连体中，应力和位移单值条件是如何满足的？无限大多连体中，多连体中，应力和位移单值条件是如何满足的？无限大多连体中，应力和位移有限性是如何考虑的？应力和位移有限性是如何考虑的？（4）椭圆孔口问题复变函数解法的步骤？椭圆孔口问题复变函数解法的步骤？（5）用保角变换方法求解复杂边界问题的基本思想？用保角变换方法求解复杂边界问题的基本思想？（6）试就下列公式说明：试就下列公式说明：（a）单连体）单连体中，平面问题的应力与弹性常数无关；中，平面问题的应力与弹性常数无关；（b）多连多连体体中，平面问题的应力与弹性常数无关的条件；中，平面问题的应力与弹性常数无关的条件；（5-9）（5-8）（5-14）作作 业业习题（习题（56）1.2.具有圆孔的无限大薄板，在平行于具有圆孔的无限大薄板，在平行于 x 方向作用有均布拉力方向作用有均布拉力q，试试用复变函数法求解圆孔附近的应力分布。用复变函数法求解圆孔附近的应力分布。选做：选做：54、55作作 业业51、52、53无限大弹性体单孔口问题求解步骤小结：无限大弹性体单孔口问题求解步骤小结：（1）由孔口的形状，确定相应的保角变换：由孔口的形状，确定相应的保角变换：（2）由式（由式（5-30）求出）求出（5-30）（3）由式（由式（5-35）、）、（5-36）求出）求出（5-36）（5-35）（5-24）（3）由式（由式（5-35）、）、（5-36）求出）求出（5-36）（5-35）也可表示为：也可表示为：（5-27）（5-28）两个重要积分：两个重要积分：（5-33）适用于适用于有限有限大区域的大区域的Cauchy积分。积分。（5-34）适用于适用于无限无限大区域的大区域的Cauchy积分。积分。（4）由式（由式（5-25）、）、（5-26）求出）求出（5-25）（5-26）（5）由式（由式（5-22）、）、（5-23）求出）求出（5-22）曲线坐标中位移分量的复变函数表示曲线坐标中位移分量的复变函数表示（5-23）曲线坐标中应力分量的复变函数表示曲线坐标中应力分量的复变函数表示