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问题问题:如图以如图以40m/s40m/s的速度将小球沿与地面成的速度将小球沿与地面成3030角的方角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度气阻力，球的飞行高度h h（单位：（单位：m m）与飞行时间）与飞行时间t t（单位：（单位：s s）之间具有关系）之间具有关系h=20t5t 2考虑以下问题：考虑以下问题：（1 1）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到15m15m？如能，需要多少飞行时间？如能，需要多少飞行时间？（2 2）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到20m20m？如能，需要多少飞行时间？如能，需要多少飞行时间？（3 3）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到20.5m20.5m？为什么？为什么？（4 4）球从飞出到落地需要用多少时间？）球从飞出到落地需要用多少时间？所以可以将问题中所以可以将问题中h h 的值代入函数解析式，得到关于的值代入函数解析式，得到关于t t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中飞行高度可以达到问题中h h 的值；否则，说明球的飞行高的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中度不能达到问题中h h的值的值解：（解：（1）解方程）解方程1520t5t 2t 24t3=0t1=1，t2=3当球飞行当球飞行1s和和3s时，它的高度为时，它的高度为15m分析：由于球的飞行高度分析：由于球的飞行高度h与飞行时间与飞行时间t的关系是二次函的关系是二次函数数h=20t5t 2t1=1st2=3s15m15m（2 2）解方程）解方程20202020t t5 5t t 2 2t t 2 24 4t t4=04=0t t1 1=t t2 2=2=2当球飞行当球飞行2s2s时，它的高时，它的高度为度为20m20mt1=2s20m（3 3）解方程）解方程20.520.520t20t5t 5t 2 2t t 2 24t4t4.1=04.1=0因为（因为（4 4）2 24 44.14.10 0，所以方程无解，所以方程无解球的飞行高度达不到球的飞行高度达不到20.5m20.5m20m（4 4）解方程）解方程0 020t20t5t5t2 2t t2 24t=04t=0t t1 1=0,t=0,t2 2=4=4当球飞行当球飞行0s0s和和4s4s时，它的高度为时，它的高度为0m0m，即即0s0s时球从地面发出，时球从地面发出，4s4s时球落回地时球落回地面面0 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切系密切一般地，我们可以利用二次函数一般地，我们可以利用二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c 深入深入讨论一元二次方程讨论一元二次方程axax2 2+bx+c=+bx+c=0 0例如，已知二次函数例如，已知二次函数y y=x x2 24 4x x的值为的值为3 3，求自，求自变量变量x x的值，可以解一元二次方程的值，可以解一元二次方程x x2 24 4x x=3=3（即（即x x2 24 4x x+3=0+3=0）反过来，解方程反过来，解方程x x2 24 4x x+3=0+3=0 又可以看作已知二又可以看作已知二次函数次函数 y y=x x2 24 4x x+3+3 的值为的值为0 0，求自变量，求自变量x x的的值值下列二次函数的图象与下列二次函数的图象与x x轴有公共点吗？如轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当果有，公共点的横坐标是多少？当x x取公共取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2x2（2）y=x26x9（3）y=x2x1（1 1）抛物线）抛物线y y=x x2 2x x2 2与与x x轴有两个公共点，它们的横坐标是轴有两个公共点，它们的横坐标是2 2，1.1.当当x x取公共点的横坐标时，函数的值是取公共点的横坐标时，函数的值是0.0.由此得出方程由此得出方程x x2 2x x2 20 0的根是的根是2 2，1.1.（2 2）抛物线）抛物线y y=x x2 26 6x x9 9与与x x轴有一个公共点，这点的横坐标是轴有一个公共点，这点的横坐标是3.3.当当x x=3 3 时，函数的值是时，函数的值是0 0由此得出方程由此得出方程 x x2 26 6x x9 90 0有两个相等的实数根有两个相等的实数根3.3.（3 3）抛物线）抛物线y y=x x2 2x x1 1与与x x轴没有公共点，由此可知，方程轴没有公共点，由此可知，方程x x2 2x x1 10 0没有实数根没有实数根1y=x26x9y=x2x1y=x2x2（2 2）二次函数的图象与）二次函数的图象与x x轴的位置关系有三种：没有公共点，轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的三有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根数根一般地，从二次函数一般地，从二次函数y y=axax2 2+bxbx+c c 的图象可知的图象可知（1 1）如果抛物线）如果抛物线y y=axax2 2+bxbx+c c 与与x x轴有公共点，公共点的横轴有公共点，公共点的横坐标是坐标是x x0 0，那么当，那么当x x=x x0 0时，函数的值是时，函数的值是0 0，因此，因此x x=x x0 0 就是方程就是方程 axax2 2+bxbx+c c=0=0 的一个根的一个根 由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根由于作图或观察可能存在误差，由图象二次方程的根由于作图或观察可能存在误差，由图象将得的根，一般是近似的将得的根，一般是近似的例例 利用函数图象求方程利用函数图象求方程x22x2=0 的实数根的实数根解：作解：作y=x22x2的图象，它与的图象，它与x轴的公共点的横轴的公共点的横坐标大约是坐标大约是0.7，2.7.所以方程所以方程x22x20的实数根为的实数根为x10.7，x22.72224644824y=x22x2(2.7,0)(0.7,0)1.1.汽车刹车后的距离汽车刹车后的距离S S（单位：（单位：m m）与行驶时间）与行驶时间t t（单位为：（单位为：s s）的函数关系式）的函数关系式S S=15=15t t6 6t t2 2，汽，汽车刹车后停下来行驶车刹车后停下来行驶5 5米，求汽车刹车后停下来米，求汽车刹车后停下来的时间是多少？的时间是多少？解：由函数关系可得：解：由函数关系可得：5=15t6t2解方程得解方程得x10.98x228.75（不符合实际舍去）（不符合实际舍去）所以汽车刹车后停下来的时间为所以汽车刹车后停下来的时间为0.98s2.2.一个滑雪者从一个滑雪者从85m85m长的山坡滑下，滑行的距离为长的山坡滑下，滑行的距离为S S（单位：（单位：m m）与滑行的时间）与滑行的时间t t（单位：（单位：s s）的函数关）的函数关系式是系式是S S=1.8=1.8t t+0.064+0.064t t2 2，他通过这段山坡需要多长，他通过这段山坡需要多长时间？时间？解：由函数关系可得：解：由函数关系可得：85=1.8t+0.064t2解方程得解方程得t1=25t2=53.125（不符合实际舍去）（不符合实际舍去）他通过这段山坡需要他通过这段山坡需要25秒的时间秒的时间
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