新人教版高考数学大一轮复习《正弦定理和余弦定理》课件

第六节正弦定理和余弦定理第六节第六节新人教版高考数学大一轮复习正弦定理和余弦定理课件新人教版高考数学大一轮复习正弦定理和余弦定理课件【知识梳理知识梳理】1.1.正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理b b2 2+c+c2 2-2bccos A-2bccos Aa a2 2+c+c2 2-2accos B-2accos Ba a2 2+b+b2 2-2abcos C-2abcos C【知识梳理】【知识梳理】b2+c2-2bccos Aa2+c2-2acc2Rsin B2Rsin B2Rsin C2Rsin Csin Asin Asin Bsin Csin Bsin C2Rsin B2Rsin Csin A sin B sin 2.ABC2.ABC的面积公式的面积公式(1)S(1)SABCABC=(h=(h表示表示a a边上的高边上的高).).(2)S(2)SABCABC=(3)S(3)SABCABC=r(a+b+c)(r=r(a+b+c)(r为内切圆半径为内切圆半径).).2.ABC的面积公式的面积公式【常用结论常用结论】三角形中的必备结论三角形中的必备结论(1)ab(1)abAB(AB(大边对大角大边对大角).).(2)A+B+C=(2)A+B+C=(三角形内角和定理三角形内角和定理).).【常用结论】【常用结论】(3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,(3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,(4)(4)射影定理射影定理:bcos C+ccos B=a,bcos A+acos B=c,:bcos C+ccos B=a,bcos A+acos B=c,acos C+ccos A=b.acos C+ccos A=b.(3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-co【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”错误的打错误的打“”)”)(1)(1)在在ABCABC中中,已知已知a,ba,b和角和角B,B,能用正弦定理求角能用正弦定理求角A;A;已已知知a,ba,b和角和角C,C,能用余弦定理求边能用余弦定理求边c.c.()【基础自测】【基础自测】(2)(2)在三角形中在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形能解三角形.()(3)(3)在在ABCABC中中,sin Asin B,sin Asin B的充分不必要条件是的充分不必要条件是AB.(AB.()(2)在三角形中在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形提示提示:根据正弦定理和余弦定理知根据正弦定理和余弦定理知(3)(3)是错误的是错误的,(1)(2),(1)(2)是正确的是正确的.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)提示提示:根据正弦定理和余弦定理知根据正弦定理和余弦定理知(3)是错误的是错误的,(1)(2)是是2.2.在锐角在锐角ABCABC中中,角角A,BA,B所对的边长分别为所对的边长分别为a,b,2asin Ba,b,2asin B=b,=b,则角则角A A等于等于()2.在锐角在锐角 ABC中中,角角A,B所对的边长分别为所对的边长分别为a,b,2as【解析解析】选选C.C.由由2asin B=b2asin B=b可得可得:2sin Asin B=sin B,:2sin Asin B=sin B,故故 【解析】选【解析】选C.由由2asin B=b可得可得:2sin Asin 3.3.已知锐角已知锐角ABCABC的面积为的面积为 BC=4,CA=3,BC=4,CA=3,则角则角C C的大的大小为小为()A.75 A.75 B.60 B.60 C.45 C.45 D.30D.303.已知锐角已知锐角 ABC的面积为的面积为 BC=4,CA=3,则角则角【解析解析】选选B.B.由三角形的面积公式由三角形的面积公式,得得 BCCABCCAsin C=sin C=又因为又因为三角形为锐角三角形三角形为锐角三角形,所以所以C=60.C=60.【解析】选【解析】选B.由三角形的面积公式由三角形的面积公式,得得 BCCA4.4.在在ABCABC中中,sin,sin2 2AsinAsin2 2B+sinB+sin2 2C-sin Bsin C,C-sin Bsin C,则则A A的的取值范围是取值范围是_._.4.在在 ABC中中,sin2Asin2B+sin2C-sin【解析解析】由已知不等式结合正弦定理得由已知不等式结合正弦定理得a a2 2bb2 2+c+c2 2-bc,-bc,所以所以b b2 2+c+c2 2-a-a2 2bc,bc,所以所以 因为因为y=cos xy=cos x在在 上为减函数上为减函数.故故A A的取值范围是的取值范围是 答案答案:【解析】由已知不等式结合正弦定理得【解析】由已知不等式结合正弦定理得a2b2+c2-bc,题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修必修5 P10 B5 P10 B组组T2T2改编改编)在在ABCABC中中,角角A,B,CA,B,C所对的所对的边分别为边分别为a,b,c,a,b,c,若若cbcos A,cbcos A,则则ABCABC为为()A.A.钝角三角形钝角三角形B.B.直角三角形直角三角形C.C.锐角三角形锐角三角形D.D.等边三角形等边三角形题组二题组二:走进教材走进教材【解析解析】选选A.A.依题意得依题意得sin Csin Bcos A,sin Csin Bcos A,所以所以sin(A+B)sin Bcos A,sin(A+B)sin Bcos A,即即sin Bcos A+cos Bsin A-sin Bcos A+cos Bsin A-sin Bcos A0,sin Bcos A0,所以所以cos Bsin A0.cos Bsin A0,sin A0,于是有于是有cos B0,Bcos B0,B为钝角为钝角,ABC,ABC是钝角三角形是钝角三角形.【解析】选【解析】选A.依题意得依题意得sin Csin Bcos A,所以所以2.(20182.(2018全国卷全国卷)在在ABCABC中中,BC=1,BC=1,AC=5,AC=5,则则AB=AB=()()(源于必修源于必修5P85P8练习练习T1)T1)2.(2018全国卷全国卷)在在 ABC中中,【解析解析】选选A.A.在在ABCABC中中,由余弦定理得由余弦定理得ABAB2 2=CA=CA2 2+CB+CB2 2-2CACBcos C,-2CACBcos C,所以所以 【解析】选【解析】选A.3.(20173.(2017全国卷全国卷)ABC)ABC的内角的内角A,B,CA,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c.a,b,c.已知已知C=60,b=,c=3,C=60,b=,c=3,则则A=_.A=_.(源于必修源于必修5 P4 5 P4 例例2)2)3.(2017全国卷全国卷)ABC的内角的内角A,B,C的对边分别的对边分别【解析解析】由题意由题意:结合结合bc ba,ba,所以所以B=60B=60或或120,120,故满足条件的三角形有故满足条件的三角形有两个两个.【解析】选【解析】选B.由正弦定理得由正弦定理得2.2.已知锐角已知锐角ABCABC的三个内角的三个内角A,B,CA,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,a,b,c,若若B=2A,B=2A,则则 的取值范围是的取值范围是()2.已知锐角已知锐角 ABC的三个内角的三个内角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,【解析解析】选选D.D.因为因为B=2A,B=2A,所以所以sin B=sin 2A=2sin Acos A,sin B=sin 2A=2sin Acos A,由正弦定理得由正弦定理得b=2acos A,b=2acos A,【解析】选【解析】选D.因为因为B=2A,因为因为ABCABC是锐角三角形是锐角三角形,所以所以 所以所以 即即 的取值范围是的取值范围是 因为因为 ABC是锐角三角形是锐角三角形,3.3.在在ABCABC中中,AB=2,D,AB=2,D为为ABAB的中点的中点,BCD,BCD的面积的面积为为 则则ACAC等于等于()3.在在 ABC中中,AB=2,D为为AB的中点的中点,B【解析解析】选选B.B.由题意可知在由题意可知在BCDBCD中中,BD=1,BD=1,所以所以BCDBCD的面积的面积 解得解得BC=3,BC=3,在在ABCABC中中,由余弦定理可得由余弦定理可得:ACAC2 2=AB=AB2 2+BC+BC2 2-2ABBCcos B=2-2ABBCcos B=22 2+3+32 2-223 =7,-223 =7,所所以以AC=AC=【解析】选【解析】选B.由题意可知在由题意可知在 BCD中中,BD=1,新人教版高考数学大一轮复习正弦定理和余弦定理课件新人教版高考数学大一轮复习正弦定理和余弦定理课件4.4.如图所示如图所示,在平面四边形在平面四边形ABCDABCD中中,ABAD,ACCD,AD=3AC,ABAD,ACCD,AD=3AC,则则AC=_.AC=_.4.如图所示如图所示,在平面四边形在平面四边形ABCD中中,【解析解析】设设AC=x,AD=3x,AC=x,AD=3x,在在RtACDRtACD中中,得得 所以所以 在在ABCABC中中,由余弦定理得由余弦定理得 【解析】设【解析】设AC=x,AD=3x,由于由于BAC+CAD=BAC+CAD=所以所以cosBAC=sinCAD,cosBAC=sinCAD,即即 解得解得x=3 x=3 答案答案:3 3由于由于 BAC+CAD=所以所以cos BAC=sin C【规律方法规律方法】1.1.利用正弦定理可以解决的两类问题利用正弦定理可以解决的两类问题(1)(1)已知两角和任一边已知两角和任一边,求其他两边和一角求其他两边和一角.(2)(2)已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角求另一边的对角,从而从而进一步求出其他的边和角进一步求出其他的边和角.由于三角形的形状不能唯一由于三角形的形状不能唯一确定确定,会出现两解、一解和无解三种情况会出现两解、一解和无解三种情况.【规律方法】【规律方法】在在ABCABC中中,已知已知a,ba,b和和A,A,解的个数见下表解的个数见下表在在 ABC中中,已知已知a,b和和A,解的个数见下表解的个数见下表2.2.利用余弦定理可以解决的两类问题利用余弦定理可以解决的两类问题(1)(1)已知两边及夹角已知两边及夹角,先求第三边先求第三边,再求其余两个角再求其余两个角.(2)(2)已知三边已知三边,求三个内角求三个内角.2.利用余弦定理可以解决的两类问题利用余弦定理可以解决的两类问题考点二判断三角形的形状考点二判断三角形的形状【典例典例】(1)(1)设设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,a,b,c,c,若若bcos C+ccos B=asin A,bcos C+ccos B=asin A,则则ABCABC的形状为的形状为()A.A.锐角三角形锐角三角形 B.B.直角三角形直角三角形 C.C.钝角三角形钝角三角形 D.D.不确定不确定考点二判断三角形的形状考点二判断三角形的形状(2)(2)在在ABCABC中中,若若2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,且且sin B+sin C=1,sin B+sin C=1,试判断试判断ABCABC的形状的形状.(2)在在 ABC中中,若若2asin A=(2b+c)sin B【解析解析】(1)(1)选选B.B.因为因为bcos C+ccos B=asin A,bcos C+ccos B=asin A,由正弦定理得由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,所以所以sin(B+C)=sin Asin A,sin(B+C)=sin Asin A,可得可得sin A=1,sin A=1,所以所以 所以三角形为直角三角形所以三角形为直角三角形.【解析】【解析】(1)选选B.因为因为bcos C+ccos B=asi【答题模板微课答题模板微课】本例（本例（1 1）的求解过程可模板化为：）的求解过程可模板化为：建模板：选建模板：选B.“B.“由正弦定理得由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,”sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,”由正弦定理边化角由正弦定理边化角【答题模板微课】本例（【答题模板微课】本例（1）的求解过程可模板化为：）的求解过程可模板化为：“所以所以sin(B+C)=sin Asin A,”sin(B+C)=sin Asin A,”三角恒等变形三角恒等变形“可得可得sin A=1,sin A=1,所以所以 ,”,”得出内角的值或关系得出内角的值或关系“所以三角形为直角三角形所以三角形为直角三角形.”.”判断三角形形状判断三角形形状“所以所以sin(B+C)=sin Asin A,”套模板：套模板：在在ABCABC中中，若若c-acos c-acos B=(2a-b)cos B=(2a-b)cos A,A,则则ABCABC的的形形状状为为_._.套模板：套模板：【解解析析】因因为为c-acos c-acos B=(2a-b)cos B=(2a-b)cos A,A,所所以以由由正正弦弦定定理理得得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,由正弦定理边化角由正弦定理边化角【解析】因为【解析】因为c-acos B=(2a-b)cos A,所以由所以由所所以以sin(A+B)-sin sin(A+B)-sin Acos Acos B=2sin B=2sin Acos Acos A-sin A-sin Bcos Bcos A,A,故故cos A(sin B-sin A)=0,cos A(sin B-sin A)=0,三角恒等变形三角恒等变形所以所以sin(A+B)-sin Acos B=2sin Aco所以所以cos A=0cos A=0或或sin A=sin B.sin A=sin B.即即 或或A=B.A=B.得出内角的值或关系得出内角的值或关系故故ABCABC为等腰或直角三角形为等腰或直角三角形.判断三角形的形状判断三角形的形状答案：答案：等腰或直角三角形等腰或直角三角形所以所以cos A=0或或sin A=sin B.(2)(2)由已知由已知,结合正弦定理结合正弦定理,得得2a2a2 2=(2b+c)=(2b+c)b+(2c+b)c,b+(2c+b)c,即即a a2 2=b=b2 2+c+c2 2+bc,+bc,又由余弦定理又由余弦定理,得得a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccos A,-2bccos A,所以所以bc=-2bccos A,bc=-2bccos A,即即 由于由于A A为三角形的内角为三角形的内角,所以所以 (2)由已知由已知,结合正弦定理结合正弦定理,对于已知对于已知2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,结合正弦定理结合正弦定理,有有2sin2sin2 2A=(2sin B+sin C)sin B+A=(2sin B+sin C)sin B+(2sin C+sin B)sin C,(2sin C+sin B)sin C,即即sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C+sin Bsin C=C+sin Bsin C=又由又由sin B+sin C=1,sin B+sin C=1,得得sinsin2 2B+sinB+sin2 2C+2sin Bsin C=1,C+2sin Bsin C=1,对于已知对于已知2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)所以所以sin Bsin C=sin Bsin C=从而有从而有sin B=sin C=sin B=sin C=因为因为0B,0C,0B+C,0B,0C,0B+C,所以所以B=C=B=C=所以所以ABCABC是等腰的钝角三角形是等腰的钝角三角形.所以所以sin Bsin C=从而有从而有sin B=sin【互动探究互动探究】1.1.若本例若本例(1)(1)条件改为条件改为“asin A+asin A+bsin Bcsin C”,bsin Bcsin C”,那么那么ABCABC的形状为的形状为_._.【互动探究】【互动探究】1.若本例若本例(1)条件改为条件改为“asin A+【解析解析】根据正弦定理可得根据正弦定理可得a a2 2+b+b2 2cc2 2,由余弦定理得由余弦定理得 故故C C是钝角是钝角,所以所以ABCABC是钝角三角形是钝角三角形.答案答案:钝角三角形钝角三角形【解析】根据正弦定理可得【解析】根据正弦定理可得a2+b2c2,2.2.若本例若本例(1)(1)条件改为条件改为“若若2sin Acos B=sin C”,2sin Acos B=sin C”,那么那么ABCABC的形状为的形状为_._.2.若本例若本例(1)条件改为条件改为“若若2sin Acos B=sin【解析解析】方法一方法一:由已知得由已知得2sin Acos B=sin C2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,=sin Acos B+cos Asin B,即即sin(A-B)=0,sin(A-B)=0,因为因为-A-B,-A-B0,cos(-B)0,从而从而 所以所以 因为因为 【解析】选【解析】选B.因为因为A是是B和和C的等差中项的等差中项,所以所以b=sin B,c=sin C=b=sin B,c=sin C=所以所以ABCABC的周长为的周长为l=a+b+c=a+b+c=所以所以b=sin B,c=sin C=数学能力系列数学能力系列1313解三角形中的数学运算能力解三角形中的数学运算能力【能力诠释能力诠释】数学运算是在明晰运算对象的基础上数学运算是在明晰运算对象的基础上,依依据运算法则解决数学问题的过程据运算法则解决数学问题的过程.主要包括主要包括:理解运算理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等设计运算程序、求得运算结果等.数学能力系列数学能力系列13解三角形中的数学运算能力解三角形中的数学运算能力【典例典例】(2019(2019大连模拟大连模拟)在在ABCABC中中,D,D是是BCBC边上的一点边上的一点.(1)(1)若若 求求CDCD的长的长.(2)(2)若若B=120,B=120,求求ABCABC周长的取值范围周长的取值范围.【典例】【典例】(2019大连模拟大连模拟)在在 ABC中中,新人教版高考数学大一轮复习正弦定理和余弦定理课件新人教版高考数学大一轮复习正弦定理和余弦定理课件【解析解析】(1)(1)在在ADCADC中中,AD=1,AD=1,所以所以 所以所以cosDAC=cosDAC=由余弦定理得由余弦定理得CDCD2 2=AC=AC2 2+AD+AD2 2-2ACADcosDAC=12+1-2ACADcosDAC=12+1-所以所以 【解析】【解析】(1)在在 ADC中中,AD=1,(2)(2)在在ABCABC中中 由正弦定理得由正弦定理得 所以所以AB+BC=4(sin A+sin C)=AB+BC=4(sin A+sin C)=因为因为0A 0A (2)在在 ABC中中 由正弦定理得由正弦定理得所以所以 所以所以AB+BC AB+BC 所以所以ABCABC的周长的取值范围为的周长的取值范围为 所以所以【技法点拨技法点拨】三角形中最值范围问题的解题思路三角形中最值范围问题的解题思路(1)(1)要建立所求量要建立所求量(式子式子)与已知角或边的关系与已知角或边的关系.(2)(2)把角或边作为自变量把角或边作为自变量,所求量所求量(式子式子)的值作为函数的值作为函数值值,转化为函数关系转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问将原问题转化为求函数的值域问题题.【技法点拨】三角形中最值范围问题的解题思路【技法点拨】三角形中最值范围问题的解题思路(3)(3)利用条件中的范围限制利用条件中的范围限制,以及三角形自身范围限制以及三角形自身范围限制,要尽量把角或边的范围要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域也就是函数的定义域)找完善找完善,避免结果的范围扩大避免结果的范围扩大.(3)利用条件中的范围限制利用条件中的范围限制,以及三角形自身范围限制以及三角形自身范围限制,要尽量把要尽量把【即时训练即时训练】在在ABCABC中中,内角内角A,B,CA,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,a,b,c,已知已知a-c=a-c=(1)(1)求求cos Acos A的值的值.(2)(2)求求 的值的值.【即时训练】【即时训练】【解析解析】(1)(1)在在ABCABC中中,由由 可得可得 又由又由 得得a=2c,a=2c,所以所以 【解析】【解析】(1)在在 ABC中中,由由 (2)(2)在在ABCABC中中,由由 可得可得 于是于是,(2)在在 ABC中中,由由 所以所以 所以所以