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分享分享 一切优秀的品质都源于自制，不管是勤奋还是奋进，都必须以自制为前提，奋进必为落后所占据。只有管得住自己的人，才能管得住别人，管好别人的人不一定管好自己。但管得住自己的人一定能管好别人。世界上的名臣良将都是首先从自己做起，做三军之表才能服人，希望同学们加强自制力，万事首先从自己想起，管住心灵的羁荡，才能管住苍穹。24.2.224.2.2 圆的切线的圆的切线的性质性质和和判定判定定理定理.OBAOr rM直线与圆的直线与圆的位置关系位置关系相交相交相切相切相离相离图图 形形 公共点个数公共点个数 公共点名称公共点名称 直线名称直线名称圆心到直线距圆心到直线距离离d d与半径与半径r r的的关系关系2 2个个交点交点割线割线1 1个个切点切点切线切线d r没有没有本节专门讨论直线与圆相切的情形.O相交相交相切相切相离相离 图中直线图中直线l满足什么条件时是满足什么条件时是OO的切的切线？线？Ol方法方法1 1：直线与圆有直线与圆有唯一公共点唯一公共点方法方法2 2：直线到圆心的距离直线到圆心的距离等于半径等于半径 注意：注意：实际证明过程中，通常不采用第一实际证明过程中，通常不采用第一种方法种方法;方法方法2 2从从“量化量化”的角度说明的角度说明圆的切线圆的切线的判定方法的判定方法。（1 1）圆圆心心O到到直直线线l的的距距离离和和圆的半径有什么数量关系圆的半径有什么数量关系?（2 2）二二者者位位置置有有什什么么关关系系？为什么？为什么？（3 3）由此你发现了什么？由此你发现了什么？O 请在请在O上任意取一点上任意取一点A A，连接，连接OAOA，过，过点点A A作直线作直线lOAOA。思考：。思考：lA(1)(1)直线直线l经过半径经过半径OAOA的外端点的外端点A A；(2)(2)直线直线l垂直于半径垂直于半径0A0A 则则:直线直线l与与O相切相切 这样我们就得到了从这样我们就得到了从“位置位置”的角度的角度圆圆的切线的判定方法的切线的判定方法切线的判定定理切线的判定定理AOl切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径的经过半径的外端外端并且并且垂直垂直这条半这条半径的直线是圆的切线。径的直线是圆的切线。对定理的理解：对定理的理解：切线切线必须同时满足必须同时满足两条：两条：经过半径经过半径外端；外端；垂直于这条半径垂直于这条半径 AOlOrl A OA OA是半径，是半径，l OAOA于于A A l是是OO的切线的切线定理的数学语言表达：定理的数学语言表达：判断：判断：(1)(1)过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（）(2)(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（与半径垂直的的直线是圆的切线（）(3)(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（切线（）OOr rl lA AOOr rl lA AOOr rl lA A切线的判定方法有三种：切线的判定方法有三种：直线与圆有唯一公共点；直线与圆有唯一公共点；直线到圆心的距离等于该圆的半径；直线到圆心的距离等于该圆的半径；切线的判定定理即切线的判定定理即 经过半径的经过半径的外端外端并且并且垂直垂直这条半径的直这条半径的直线是圆的切线线是圆的切线.判定直线与圆相切有哪些方法？判定直线与圆相切有哪些方法？例例1 1 如图，已知：直线如图，已知：直线ABAB经过经过OO上的点上的点C C，并且并且OA=OBOA=OB，CA=CBCA=CB。求证：直线求证：直线ABAB是是OO的切线。的切线。OBAC 分析：分析：由于由于ABAB过过OO上的点上的点C C，所以连接，所以连接OCOC，只要证明只要证明ABOCABOC即可。即可。规范板书已知：直线已知：直线AB经过经过 O上的点上的点C，并且，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线求证：直线AB是是 O的切线。的切线。OOB BA AC C证明：连结证明：连结OC(OC(如图如图)。OA OAOB,CAOB,CACB,CB,ABOC(ABOC(三线合一三线合一)OC OC是是OO的半径的半径 AB AB是是OO的切线。的切线。例例2 2 如图，已知：如图，已知：O O为为BACBAC平分线上一平分线上一点，点，ODABODAB于于D,D,以以O O为圆心，为圆心，ODOD为半径作为半径作OO。求证：求证：OO与与ACAC相切。相切。OABCED规范板书已知：已知：已知：已知：O O O O为为为为BACBACBACBAC平分线上一点，平分线上一点，平分线上一点，平分线上一点，ODABODABODABODAB于于于于D,D,D,D,以以以以O O O O为圆心，为圆心，为圆心，为圆心，ODODODOD为为为为 半径作半径作半径作半径作OOOO。求证：求证：求证：求证：OOOO与与与与ACACACAC相切。相切。相切。相切。OOA AB BC CE ED D证明：过证明：过O O作作OEACOEAC于于E E。AO AO平分平分BACBAC，ODABODAB ODAB ODAB于点于点D D OE OEODOD OD OD是是OO的半径的半径 OE OE也是半径也是半径 AC AC是是OO的切线。的切线。OBACOABCED例例1 1与例与例2 2的证法有何不同的证法有何不同?(1)(1)如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆则连结这点和圆心心,得到辅助半径得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直再证所作半径与这直线垂直.简记为：简记为：有交点，连半径有交点，连半径,证垂直证垂直.(2)(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半再证垂线段长等于半径长径长.简记为：简记为：无交点无交点,作垂直作垂直,证半径证半径.1 1、如图如图,ABC,ABC中中,AB=AC,AOBC,AB=AC,AOBC于于O，OEACOEAC于于E,E,以以O为圆心为圆心,OE,OE为半径作为半径作O.求证：求证：ABAB是是O的切线的切线.FECOBA2 2、如图如图,AB,AB是是OO的直径的直径,点点D D在在ABAB的延长线的延长线上上,BD=OB,BD=OB,点点C C在在OO上上,CAB=30.,CAB=30.求证求证:DC:DC是是OO的切线的切线.ABCDO3 3 3 3、如图，如图，如图，如图，AOBAOBAOBAOB中，中，中，中，OAOAOAOAOBOBOBOB10101010，AOBAOBAOBAOB120120120120，以以以以O O O O为圆心，为圆心，为圆心，为圆心，5 5 5 5为半径的为半径的为半径的为半径的OOOO与与与与OAOAOAOA、OBOBOBOB相交。相交。相交。相交。求证：求证：求证：求证：ABABABAB是是是是OOOO的切线。的切线。的切线。的切线。OOB BA AC C证明：连结证明：连结OPOP。AB=AC,B=C AB=AC,B=C。OB=OP OB=OP，B=OPBB=OPB，OBP=C OBP=C。OPAC OPAC。PEAC PEAC，PEC=90 PEC=90 OPE=PEC=90 OPE=PEC=90 PEOP PEOP。PE PE为为00的切线。的切线。4 4 4 4、如图如图如图如图,ABC,ABC,ABC,ABC中，中，中，中，AB=ACAB=ACAB=ACAB=AC，以，以，以，以ABABABAB为直径的为直径的为直径的为直径的OOOO交边交边交边交边BCBCBCBC于于于于P P P P，PEAC PEAC PEAC PEAC于于于于E E E E。求证求证求证求证:PE:PE:PE:PE是是是是OOOO的切线。的切线。的切线。的切线。OOA AB BC CE EP P1.1.判定一条直线是圆的切线的三种方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：直线直线l 与圆有唯一公共点与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线是圆的切线2.2.常用的添辅助线方法？常用的添辅助线方法？直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）直，证半径）l是圆的切线是圆的切线l是圆的切线是圆的切线1 1、知识：、知识：切线的判定定理切线的判定定理着重分析了定理成立着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可两个条件缺一不可2 2、判定一条直线是圆的切线的三种方法、判定一条直线是圆的切线的三种方法说明：说明：其其中中(2)(2)和和(3)(3)本质相同，只是表达形式不同解题本质相同，只是表达形式不同解题时，灵活选用其中之一时，灵活选用其中之一.OOA AL L思考？思考？如图：如果如图：如果L是是 O的切线的切线,切点为切点为A,那么那么半径半径OA与直线与直线L是不是不是一定垂直呢是一定垂直呢?一定垂直一定垂直一定垂直一定垂直切线的性质定理切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径符号语言：符号语言：l是是 O的切线，切点为的切线，切点为A l OAOM反证法反证法这与这与“直线直线l是圆是圆O的切线的切线”矛盾矛盾.切线的性质定理切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径证明：证明：假设假设l与与OA不垂直不垂直,作作OM l于于M因因“垂线段最短垂线段最短”,故故OAOM,即圆心到直线的距离小于半径即圆心到直线的距离小于半径.A故直线故直线l与圆与圆O一定垂直一定垂直.【切线的性质定理【切线的性质定理】切线的性质定理：切线的性质定理：圆的圆的切线垂直于过切点的半径。切线垂直于过切点的半径。OAl因为因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心.由此得到：由此得到：1 切线的性质定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定切线的性质定理的推论理的推论:经经过圆心且垂直过圆心且垂直于切线的直线于切线的直线必经过切点必经过切点切线的性质定切线的性质定理的推论理的推论:经经过切点且垂直过切点且垂直于切线的直线于切线的直线必经过圆心必经过圆心O.A、切线和圆只有一个公共点。、切线和圆只有一个公共点。、切线和圆心的距离等于半径。、切线和圆心的距离等于半径。、切线垂直于过切点的半径。、切线垂直于过切点的半径。、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 切线的性质定理：切线的性质定理：圆的圆的切线垂直于过切点的半径。切线垂直于过切点的半径。OAl过半径外端过半径外端;垂直于这条半径垂直于这条半径.切线切线圆的切线圆的切线;过切点的半径过切点的半径.切线垂直于半径切线垂直于半径切线判定定理：切线判定定理：切线性质定理：切线性质定理：OAl1 1、如图、如图,O,O切切PBPB于点于点B,PB=4,PA=2,B,PB=4,PA=2,则则O O的半径多少？的半径多少？注：注：已知切线、切已知切线、切点，则连接半径，应用点，则连接半径，应用切线的性质定理得到垂切线的性质定理得到垂直关系直关系，从而应用勾股，从而应用勾股定理计算。定理计算。2 2、如图如图.AB.AB为为OO的直径的直径,C,C为为OO上上一一点点,AD,AD和和 过过C C点的切线互相垂直点的切线互相垂直,垂足为垂足为 D,D,求求证证:AC:AC平分平分DAB.DAB.ABOCD证明证明:连接连接OC,OCCD.又又ADCD,OC/AD.OC=OA.CAO=ACO.CAD=CAO.故故AC平分平分DAB.CD是是 O的切线的切线,由此得由此得 ACO=CAD.3 3、如图如图ABAB是是OO的直径的直径.AE.AE是弦是弦,EF,EF是是OO的的切线切线,E,E是切点是切点,AFEF,AFEF,垂足为垂足为F,AEF,AE平分平分FABFAB吗吗?AFABEO4、已知，如图已知，如图AB是是O的直径，点的直径，点P在在BA的延长线上，的延长线上，PD切切O于点于点C，BD PD,垂足为垂足为D，连接，连接BC。(1)求证求证BC平分平分 PBD（2）AOPBDC过半径外端过半径外端;垂直于这条半径垂直于这条半径.切线切线圆的切线圆的切线;过切点的半径过切点的半径.切线垂直于半径切线垂直于半径切线判定定理：切线判定定理：切线性质定理：切线性质定理：OAl 1 1：如图，以如图，以RtABCRtABC的直角边的直角边BCBC为直径作半圆为直径作半圆O O，交斜边于，交斜边于D,OEACD,OEAC交交ABAB于于E E求证：求证：DEDE是是OO的切的切线。线。ADCOBE2.如图如图,ABC为等腰三角形为等腰三角形,O是底边是底边BC的中点的中点,O与腰与腰AB相切于点相切于点D.ABOCD求证求证:AC与与 O相切相切.E3.AB是是 O的直径的直径,BC是是 O的切线的切线,切点为切点为B,OC平平行于弦行于弦AD.求证求证:DC是是 O的切线的切线.AOBCD1324COD与COB全等4：如图：如图CB是是 O的切线的切线,C是切点是切点,OB交交 O于于D,B30,BD=6cm,求求BCCOBD.ACBPO练练5：如图如图,点点P在在 0外，外，PC是是 0的的切线切线,切点是切点是C.直线直线PO与与 0交于交于A、B,试探求试探求P与与A的数量关系的数量关系.6.已知已知:OA和和OB是是 O的半径的半径,并且并且OAOB,P是是OA上任意一点上任意一点,BP的延长线交的延长线交 O于于Q.过过Q作作 O的切的切线交线交OA的的延长线于延长线于R,.求证求证:RP=RQBOPARQAQO=APQ41写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
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