无穷大量与无穷小量课件

一、无穷小量定义1则称 f 为显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷例如:对于无穷小量与有界量，有如下关系：小量.1.两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是2.无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.性质1可由极限的四则运算性质直接得到.无穷小量.下面对性质加以证明.例如:应当注意,下面运算的写法是错误的：在 近旁发生无限密集的振动，其振幅被两条直线所限制.-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1二、无穷小量阶的比较两个相同类型的无穷小量，它们的和、差、积仍出如下定义.两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的.例如：2.若存在正数 K 和 L，使得在 x0 的某一空心邻域内，有根据函数极限的保号性，特别当时，这两个无穷小量一定是同阶的.例如:与是同阶无穷小量;则称 与 是时的同阶无穷小量.3.若两个无穷小量在内满足:则记当时，x 与是同阶无穷小量.我们记应当注意，若为时的同阶无穷小量，当然有反之不一定成立,例如但是这两个无穷小量不是同阶的.注意：这里的和通常的等式是不同的，这两个式子的右边，本质上只是表示一类函数例如表示 的所有高阶无穷小量的集合等价无穷小量，记作也就是说，这里的“=”类似于根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：前面讨论了无穷小量阶的比较,值得注意的是,并这是因为不是任何两个无穷小量都可作阶的比较.例如与均为时的无穷小量,却不能按照前面讨论的方式进行阶的比较.这是因为是一个无界量，并且下面介绍一个非常有用的定理：定理3.12设函数 f,g,h 在内有定义,且证所以定理 3.12 告诉我们，在求极限时，乘积中的因子例1解所以(2)可以类似地证明.可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法.例2解有定义,若对于任给定义2设函数 f 在G 0,存在 0，使得当则称函数 f(x)当 x x0 时为无穷大量,记作时,有三、无穷大量记作请读者自行写出它们的定义.无穷大量和负无类似地可以定义如下的无穷大量:穷大量.例3证例4当 a 1 时，求证这就证明了的严格递增性，当 x M 时，证 G 0(不妨设 G 1),由对数例6设 递增，无上界.证明证因为 无上界，所以任给 G 0，存在又因 递增，使故当 时，有例5证从无穷大量的定义与例3、例4和例5可以看出：无穷大量不是很大的一个数，而是具有非正常的极限.很明显，若那么 f(x)在 x0 的任何一个邻域内无界.但值得注意的是:若 f(x)例如：在 的任何邻域内无界，但却不是 x 时的无穷大量.事实上,对无界量),并不能保证 f(x)是 x x0 的无穷大量.在 x0 的任何邻域内无界(称 f(x)是 x x0 时的因而 f(x)不是 x 时的无穷大量.两个无穷大量也可以定义阶的比较.设无穷大量.则称 f(x)与 g(x)是当 x x0 时的一个同阶无穷大量.当 x x0 时的等价无穷大量，下述定理反映了无穷小量与无穷大量之间的关系,直观地说：无穷大量与无穷小量构成倒数关系.定理3.13(1)若 f 为 xx0 时的无穷小量,且不等于零,则证这里仅证明定理的(1).对于任意正数G,因为这就证明了的无穷小量.f 为 x x0 时的无穷小量，所以存在使得又因为所以对于任意正数G，存在证由极限的保号性,因为例7求证注对于函数这就说明了当 b=0 时结论不一定成立.即例8证所以由此得到一列 ，满足 且注 例8的证明虽然有些难度，但它却提供了选取法,对提高解题能力是有益处的.符合要求的点列的一种方法.熟练地掌握这种方四、渐近线作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐在中学里我们已经知道双曲线的标准方程为它的渐近线方程为近线问题.下面给出渐近线的一般定义.定义4 设 L 是一条直线,若曲线 C 上的动点 P 沿曲线无限远离原点时,点 P 与 L 的距离趋于零，则称直线 L 为曲线 C 的一条渐近线(如图).LC由渐近线的定义，首先,我们来看如何求曲线 的斜渐近线.如图所示,设斜渐近线 L 的方程为曲线上的动点 至直线 L的距离为从而又所以，这样就确定了斜渐近线的两个参数：这是沿 x 轴正向的渐近线的方程.显然沿 x 轴负向同样也可以求出沿着 x 的渐近线方程.的斜渐近线的斜率和截距分别为注 特别当 k=0 时，该渐近线称为水平渐近线.则称 x=x0 是曲线 的垂直渐近线.显然，曲线 y=f(x)有水平渐近线的充要条件是例9求曲线的渐近线.并且 f(x)在其他点处均有有限极限，所以求得垂解直渐近线为:于是求得斜渐近线方程为复习思考题1.两个无穷大量的和、差与积是否仍是无穷大量?2.下面的运算是否正确?