数学跟工程运用资料课件

数学与工程应用数学与工程应用内容内容滤波滤波空间矢量空间矢量数据统计和分析数据统计和分析拟合，矩阵与线性方程组拟合，矩阵与线性方程组Allan方差方差滤波器基础知识 滤波器是以特定方式改变信号的频率特性，从而变滤波器是以特定方式改变信号的频率特性，从而变滤波器是以特定方式改变信号的频率特性，从而变滤波器是以特定方式改变信号的频率特性，从而变换信号的系统。换信号的系统。换信号的系统。换信号的系统。滤波器包括高通、低通、带通及带阻滤波器。滤波器包括高通、低通、带通及带阻滤波器。滤波器包括高通、低通、带通及带阻滤波器。滤波器包括高通、低通、带通及带阻滤波器。滤波器的特性最容易通过它的频域形状来描述（如滤波器的特性最容易通过它的频域形状来描述（如滤波器的特性最容易通过它的频域形状来描述（如滤波器的特性最容易通过它的频域形状来描述（如下图）。下图）。下图）。下图）。1.1.增益高的频率范围，称为滤波器的通带增益高的频率范围，称为滤波器的通带增益高的频率范围，称为滤波器的通带增益高的频率范围，称为滤波器的通带(pass band);(pass band);2.2.相反，增益低的频率范围，称之为滤波器的阻带相反，增益低的频率范围，称之为滤波器的阻带相反，增益低的频率范围，称之为滤波器的阻带相反，增益低的频率范围，称之为滤波器的阻带(stop(stop band)band)。3.3.增益为最大值的增益为最大值的增益为最大值的增益为最大值的1/sqrt(2)0.7071/sqrt(2)0.707所对应的频率称为滤波器所对应的频率称为滤波器所对应的频率称为滤波器所对应的频率称为滤波器的截止频率。的截止频率。的截止频率。的截止频率。4.4.由由由由 增益增益增益增益(dB)=20(dB)=20(增益增益增益增益)得到截止频率为得到截止频率为得到截止频率为得到截止频率为-3dB-3dB。5.5.截止频率用来定义滤波器的带宽。截止频率用来定义滤波器的带宽。截止频率用来定义滤波器的带宽。截止频率用来定义滤波器的带宽。低通低通高通高通低通与高通带通与带阻带通带通带阻带阻滤波器的串/并联 低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本的形式，低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本的形式，其它的滤波器都可以分解为这两种类型的滤波器。其它的滤波器都可以分解为这两种类型的滤波器。理想滤波器 理想滤波器是指能使通带内信号的幅值和相位都理想滤波器是指能使通带内信号的幅值和相位都不失真，阻带内的频率成分都衰减为零的滤波器。不失真，阻带内的频率成分都衰减为零的滤波器。fcH(f)fQ(f)理想滤波器的物理不可实现理想滤波器在时域内的脉冲响应函数理想滤波器在时域内的脉冲响应函数 h h（t t）为为 sincsinc函数。脉冲响应的波形沿横坐标左、右函数。脉冲响应的波形沿横坐标左、右无限延伸。无限延伸。fcH(f)给理想滤波器一个脉冲激励，在给理想滤波器一个脉冲激励，在t=0时刻单位脉冲输时刻单位脉冲输入滤波器之前，滤波器就已经有响应了。故物理不可入滤波器之前，滤波器就已经有响应了。故物理不可实现。实现。实际滤波器 理想滤波器是不存在的，实际滤波器幅频特性中通带和阻带间没有严格界限，存在过渡带。0fA实际滤波器1)1)截止频率截止频率fcfc：0.707A00.707A0所对应的频率所对应的频率2)2)纹波幅度纹波幅度d d：绕绕幅频特性均值幅频特性均值A0A0波动值波动值3)3)带带宽宽B B和和品品质质因因数数QQ：下下两两截截频频间间的的频频率率范范围围称称为为带带宽宽。中心频率和带宽之比称为品质因数中心频率和带宽之比称为品质因数。0ffc1fc2A00.707A0dBQ=W0/B模拟滤波器与数字滤波器模拟滤波器是由电阻、电容和电感等部件构成的模拟滤波器是由电阻、电容和电感等部件构成的模拟滤波器是由电阻、电容和电感等部件构成的模拟滤波器是由电阻、电容和电感等部件构成的电路，这样，滤波器特性对所用部件的值非常敏电路，这样，滤波器特性对所用部件的值非常敏电路，这样，滤波器特性对所用部件的值非常敏电路，这样，滤波器特性对所用部件的值非常敏感。感。感。感。数字滤波器用软件实现，很少依赖硬件。其滤波数字滤波器用软件实现，很少依赖硬件。其滤波数字滤波器用软件实现，很少依赖硬件。其滤波数字滤波器用软件实现，很少依赖硬件。其滤波器性能由数字系数决定，所以数字滤波器灵活性器性能由数字系数决定，所以数字滤波器灵活性器性能由数字系数决定，所以数字滤波器灵活性器性能由数字系数决定，所以数字滤波器灵活性强、使用方便、稳定性高。强、使用方便、稳定性高。强、使用方便、稳定性高。强、使用方便、稳定性高。信号的量化会带来量化误差，为数字信号带来噪信号的量化会带来量化误差，为数字信号带来噪信号的量化会带来量化误差，为数字信号带来噪信号的量化会带来量化误差，为数字信号带来噪声；采样引起混叠现象；都是数字滤波器的缺点。声；采样引起混叠现象；都是数字滤波器的缺点。声；采样引起混叠现象；都是数字滤波器的缺点。声；采样引起混叠现象；都是数字滤波器的缺点。数字滤波器的实现数字滤波器的实现有两种主要的方式。数字滤波器的实现有两种主要的方式。1.用滤波器的用滤波器的用滤波器的用滤波器的差分方程差分方程差分方程差分方程计算滤波器的输出。计算滤波器的输出。计算滤波器的输出。计算滤波器的输出。2.利用利用利用利用卷积过程卷积过程卷积过程卷积过程计算输出。需要滤波器的计算输出。需要滤波器的计算输出。需要滤波器的计算输出。需要滤波器的脉冲响脉冲响脉冲响脉冲响应应应应。差分方程 差分方程差分方程差分方程差分方程(difference equation)(difference equation)可以用来描述线性、可以用来描述线性、可以用来描述线性、可以用来描述线性、时不变、因果数字滤波器。时不变、因果数字滤波器。时不变、因果数字滤波器。时不变、因果数字滤波器。滤波器的输出依赖于现在和以前的输入，也依赖于过滤波器的输出依赖于现在和以前的输入，也依赖于过滤波器的输出依赖于现在和以前的输入，也依赖于过滤波器的输出依赖于现在和以前的输入，也依赖于过去的输出。去的输出。去的输出。去的输出。差分方程为：差分方程为：差分方程为：差分方程为：当a0=1是：当ak,bk为权系数，又称为滤波器系数。(1)递归滤波器与非递归滤波器当数字系统依赖于输入与过去的输出时，称其为当数字系统依赖于输入与过去的输出时，称其为当数字系统依赖于输入与过去的输出时，称其为当数字系统依赖于输入与过去的输出时，称其为递归滤波器递归滤波器递归滤波器递归滤波器(recursive filter)(recursive filter)。式。式。式。式(1)(1)给出了这类给出了这类给出了这类给出了这类滤波器的一般表达式。滤波器的一般表达式。滤波器的一般表达式。滤波器的一般表达式。当数字系统仅依赖于输入，而不依赖于过去的输当数字系统仅依赖于输入，而不依赖于过去的输当数字系统仅依赖于输入，而不依赖于过去的输当数字系统仅依赖于输入，而不依赖于过去的输出时，称其为非递归滤波器出时，称其为非递归滤波器出时，称其为非递归滤波器出时，称其为非递归滤波器(nonrecursivenonrecursive filter)filter)。式式式式(2)(2)给出了这类滤波器的一般表达式。给出了这类滤波器的一般表达式。给出了这类滤波器的一般表达式。给出了这类滤波器的一般表达式。(2)卷积 离散信号：离散信号：离散信号：离散信号：离散信号是由一系列样值组成的序列，其表达式为：离散信号是由一系列样值组成的序列，其表达式为：离散信号是由一系列样值组成的序列，其表达式为：离散信号是由一系列样值组成的序列，其表达式为：x(nx(n)=x(1),x(2),x(3),)=x(1),x(2),x(3),其中其中其中其中x(nx(n)表示表示表示表示n n时刻的采样值。时刻的采样值。时刻的采样值。时刻的采样值。单位取样序列是一种重要的离散序列，定义如下：单位取样序列是一种重要的离散序列，定义如下：单位取样序列是一种重要的离散序列，定义如下：单位取样序列是一种重要的离散序列，定义如下：离散序列离散序列离散序列离散序列x(nx(n)可用单位取样序列及其离散样值表示，表达式如下：可用单位取样序列及其离散样值表示，表达式如下：可用单位取样序列及其离散样值表示，表达式如下：可用单位取样序列及其离散样值表示，表达式如下：卷积线性时不变系统线性时不变系统我们讨论的数字系统是线性时不变系统，它的两个重要的特性我们讨论的数字系统是线性时不变系统，它的两个重要的特性我们讨论的数字系统是线性时不变系统，它的两个重要的特性我们讨论的数字系统是线性时不变系统，它的两个重要的特性是：满足叠加原理和时不变性。是：满足叠加原理和时不变性。是：满足叠加原理和时不变性。是：满足叠加原理和时不变性。1.1.系统定义：输入序列系统定义：输入序列系统定义：输入序列系统定义：输入序列x(nx(n)映射成输出序列映射成输出序列映射成输出序列映射成输出序列y(ny(n)的唯一变换或运的唯一变换或运的唯一变换或运的唯一变换或运算。算。算。算。X(nX(n)y(ny(n)2.2.线性系统线性系统线性系统线性系统:如果输入乘以常数，那么输出也会乘以该系数，即如果输入乘以常数，那么输出也会乘以该系数，即如果输入乘以常数，那么输出也会乘以该系数，即如果输入乘以常数，那么输出也会乘以该系数，即 a aX(nX(n)ay(nay(n)3.3.时不变系统有如下特征：如果时不变系统有如下特征：如果时不变系统有如下特征：如果时不变系统有如下特征：如果y(ny(n)是系统对是系统对是系统对是系统对x(nx(n)的响应，则的响应，则的响应，则的响应，则y(n-my(n-m)是系统对是系统对是系统对是系统对x(n-mx(n-m)的响应，即的响应，即的响应，即的响应，即X(n-mX(n-m)y(n-my(n-m)卷积 若输入为单位脉冲时，则其输出若输入为单位脉冲时，则其输出若输入为单位脉冲时，则其输出若输入为单位脉冲时，则其输出h(nh(n)称为该系统的脉冲响应称为该系统的脉冲响应称为该系统的脉冲响应称为该系统的脉冲响应(impulse response)(impulse response)。即。即。即。即当输入被延迟后，输出同样延迟，即若输入的单位取样信号乘以一个常数，那么输出也会同样乘以该常数，即一般地，输入信号可以表示为一系列延迟的单位取样序列的加权和，即卷积 若该系统是因果系统，则响应若该系统是因果系统，则响应若该系统是因果系统，则响应若该系统是因果系统，则响应y(ny(n)不可能先于输入单位不可能先于输入单位不可能先于输入单位不可能先于输入单位取样序列出现，因此必须满足取样序列出现，因此必须满足取样序列出现，因此必须满足取样序列出现，因此必须满足n=mn=m，即，即，即，即作进一步的变换，令k=n-m，即FIR滤波器FIRFIR滤波器滤波器滤波器滤波器 只存在有限个只存在有限个只存在有限个只存在有限个h(nh(n),),即即即即因此其系统函数如下：优点：1.系统只在原点处存在极点，这使得FIR滤波器具有稳定性。2.FIR滤波器具有线性相位，可以保证系统的相移和频率成正比，达到无失真的传输。缺点：1.滤波器的输入是采样值，具有量化噪声和混叠误差。2.滤波器系数自身的量化误差，将改变滤波器的最终特性，副作用包括滤波器阻带内的低衰减及通带内的纹波。IIR滤波器 通用输入输出公式通用输入输出公式通用输入输出公式通用输入输出公式:若|Pi|无穷大时，h(n)-0，系统稳定。若|Pi|1,当n-无穷大时，h(n)-无穷大，系统不稳定。IIR滤波器与FIR滤波器比较，具有相位特性差的特点，但是因为运算量小，所以也被广泛的采用。卡尔曼滤波简介卡尔曼滤波简介 4.什么是卡尔曼滤波：卡尔曼滤波是美国工程师Kalman在线性最小方差估计的基础上，提出的在数学结构上比较简单的而且是最优线性递推滤波方法，具有计算量小、存储量低，实时性高的优点。特别是对经历了初始滤波后的过渡状态，滤波效果非常好。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现在时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统的状态向量。它以“预测实测修正”的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰，再现系统的状态，或根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。卡尔曼滤波特点：卡尔曼滤波是解决状态空间模型估计与预测的有力工具之一，它不需存储历史数据，就能够从一系列的不完全以及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。卡尔曼滤波是一种递归的估计，即只要获知上一时刻状态的估计值以及当前状态的观测值就可以计算出当前状态的估计值，因此不需要记录观测或者估计的历史信息。卡尔曼滤波器与大多数我们常用的滤波器不同之处，在于它是一种纯粹的时域滤波器，不需要像低通滤波器等频域滤波器那样，需要在频域设计再转换到时域实现。5.卡尔曼滤波器的软硬件实现 目前,卡尔曼滤波器已经有很多不同的实现形式。卡尔曼最初提出的形式现在一般称为简单卡尔曼滤波器。除此以外,还有施密特扩展卡尔曼滤波器,信息滤波器以及平方根滤波器。最常见的卡尔曼滤波器是锁相环，采用FPGA硬件可以实现卡尔曼滤波器。硬件实现：卡尔曼滤波器有良好的滤波效果，但由于其计算量大，当采样率高时，一个采样周期内难以完成计算，且计算机的字长有限，使计算中舍入误差和截断误差积累、传递，造成数值不稳定，因此用MCU和DSP难以实现。FPGA可以实现并行计算，它有多个乘法器和累加器并行处理数据，采用FPGA实现的卡尔曼滤波器，由于输入和输出数据计算同时进行，因此可以大大提高滤波速度。软件实现：許多物理进程，如路上行驶的車辆、围绕地球轨道运转的卫星、由绕组电流驱动的电机轴或正弦射頻載波信号，均可用线性系统來近似。线性系统是指能用如下两个方程描述的简单进程：状态方程：输出方程：在上述方程中，A、B和C均为矩陣，k是時間系数，x称为系統状态，u是系統的已知輸入，y是所測量的輸出。w和z表示噪音，其中变量w称为进程噪音，z称为測量噪音，它們都是向量。则卡尔曼滤波的算法流程为：1.预估计X(k)=F(k,k-1)X(k-1)2.计算预估计协方差矩阵3.C(k)=F(k,k-1)C(k)F(k,k-1)+T(k,k-1)Q(k)T(k,k-1)4.Q(k)=U(k)U(k)5.计算卡尔曼增益矩阵6.K(k)=C(k)H(k)H(k)C(k)H(k)+R(k)(-1)7.R(k)=N(k)N(k)8.更新估计9.X(k)=X(k)+K(k)Y(k)-H(k)X(k)10.计算更新后估计协防差矩阵11.C(k)=I-K(k)H(k)C(k)I-K(k)H(k)+K(k)R(k)K(k)12.X(k+1)=X(k)13.C(k+1)=C(k)14.重复以上步骤该算法可用C语言编程，在计算机上实现。6.卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器最初是专为飞行器导航而研发的，目前已成功应用在許多领域中。卡尔曼滤波器主要用来預估那些只能被系统本身間接或不精確观測的系统状态。許多工程系统和嵌入式系统都需要卡尔曼滤波。统计的基本概念统计的基本概念参数估计参数估计假设检验假设检验数数据据的的统统计计描描述述和和分分析析一、统计量一、统计量二、分布函数的近似求法二、分布函数的近似求法三、几个在统计中常用的概率分布三、几个在统计中常用的概率分布-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.41正态分布正态分布),(2smN密度函数：222)(21)(smsp-=xexp分布函数：dyexFyx222)(21)(smsp-=其中m为均值，2s为方差，+-x.标准正态分布：N（0，1）密度函数2221)(xex-=pjdyexyx2221)(-=Fp，分布函数返回返回F分布F（10，50）的密度函数曲线一、点估计的求法一、点估计的求法(一）矩估计法(二）极大似然估计法二、区间估计的求法二、区间估计的求法1、已知、已知DX，求，求EX的置信区间的置信区间2 未知方差未知方差DX，求，求EX的置信区间的置信区间(一一)数学期望的置信区间数学期望的置信区间（二）方差的区间估计（二）方差的区间估计返回返回1.参数检验参数检验：如果观测的分布函数类型已知，这时构造出的 统计量依赖于总体的分布函数，这种检验称为参数检验.参数检验的目的往往是对总体的参数及其有关性质作出明 确的判断.对总体X的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设.2.非参数检验非参数检验：如果所检验的假设并非是对某个参数作出明 确的判断，因而必须要求构造出的检验统计量的分布函数 不依赖于观测值的分布函数类型，这种检验叫非参数检验.如要求判断总体分布类型的检验就是非参数检验.假设检验的一般步骤是假设检验的一般步骤是：（一）单个正态总体均值检验一）单个正态总体均值检验一、参数检验一、参数检验（二）单个正态总体方差检验二）单个正态总体方差检验（三）两个正态总体均值检验（三）两个正态总体均值检验（四）两个正态总体方差检验四）两个正态总体方差检验二、非参数检验二、非参数检验（二）概率纸检验法（二）概率纸检验法 概率纸是一种判断总体分布的简便工具.使用它们，可以很快地判断总体分布的类型.概率纸的种类很多.返回返回拟拟 合合2.2.拟合的基本原理拟合的基本原理1.拟合问题引例拟合问题引例曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题 的的 提提 法法已知一组（二维）数据，即平面上已知一组（二维）数据，即平面上 n个点个点（xi,yi)i=1,n,寻求一个函数（曲线）寻求一个函数（曲线）y=f(x),使使 f(x)在在某种准则下与所有某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。数据点最为接近，即曲线拟合得最好。+xyy=f(x)(xi,yi)i i 为点为点（xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)的的距距离离曲线拟合问题最常用的解法曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路线性最小二乘法的基本思路第一步:先选定一组函数先选定一组函数 r1(x),r2(x),rm(x),mn,令令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+amrm(x)（1）其中其中 a1,a2,am 为待定系数。为待定系数。第二步:确定确定a1,a2,am 的的准则（最小二乘准则）：准则（最小二乘准则）：使使n个点个点（xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)的的距离距离 i 的平方和最小的平方和最小。记记问题归结为，求问题归结为，求 a1,a2,am 使使 J(a1,a2,am)最小。最小。线性最小二乘法的求解：预备知识线性最小二乘法的求解：预备知识超定方程组超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组：方程个数大于未知量个数的方程组即即 Ra=y其中其中超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。如果有向量如果有向量a使得使得 达到最小，达到最小，则称则称a为上述为上述超定方程的最小二乘解超定方程的最小二乘解。线性最小二乘法的求解线性最小二乘法的求解定理：定理：当当R RT TR R可逆时，超定方程组（可逆时，超定方程组（3 3）存在最小二乘解，）存在最小二乘解，且即为方程组且即为方程组 R RT TRaRa=R RT Ty y -正则（正规）方程组正则（正规）方程组的解：的解：a=(Ra=(RT TR)R)-1-1R RT Ty y所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。下超定方程组的最小二乘解的问题。其中其中Ra=y （3）线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+amrm(x)中函数中函数rr1 1(x),(x),r rm m(x(x)的选取的选取 1.1.通过机理分析建立数学模型来确定通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)f(x)；+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.2.将数据将数据 (xi,yi)i=1,n 作图，通过直观判断确定作图，通过直观判断确定 f(x)：