大学物理——机械振动ppt课件

广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量(如位移、电流等如位移、电流等)在某一在某一 数值附近反复变化。数值附近反复变化。机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。A AO mK q qL i1 1机械振动第六章广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一机弹簧振子弹簧振子简谐振动微分方程简谐振动微分方程一、一、简谐振动的基本特征简谐振动的基本特征6-1 6-1 简谐振动简谐振动（simple harmonic motion)其通其通解为：解为：谐振动运动方程谐振动运动方程运动学定义运动学定义:动力学动力学定义定义:1、简谐振动的定义简谐振动的定义A AO mk 2 2弹簧振子简谐振动微分方程一、简谐振动的基本特征6-1 简谐振运动方程运动方程振幅振幅A 物体离开平衡位置的最大距离物体离开平衡位置的最大距离,决定于初条件决定于初条件.频率频率 单位时间内振动的次数单位时间内振动的次数.角频率角频率 周期周期T 物体完成一次全振动所需时间物体完成一次全振动所需时间.初相位初相位 相位相位 t 决定谐振动物体的运动状态决定谐振动物体的运动状态2、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量A AO mk 3 3运动方程振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初条件.频3.3.振动速度及加速度振动速度及加速度简谐振动的加简谐振动的加速度和位移成速度和位移成正比而反向正比而反向.x,v,a avx T O t4 43.振动速度及加速度简谐振动的加速度和位移成正比而反向.x,4.4.振动初相及振幅由初始条件决定振动初相及振幅由初始条件决定初始条件：当初始条件：当t=0时时,x=x0，v=v0代入代入得得 =arctanA AO mk 5 54.振动初相及振幅由初始条件决定初始条件：当t=0时,例例6-1.一质点沿一质点沿x 轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A=0.12 m，周期，周期T=2 s，当当t=0 时，质点对平衡位置的位移时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06 m,此时刻质点向此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。正向运动。求此简谐振动的表达式。解解取平衡位置为坐标原点。取平衡位置为坐标原点。由题设由题设T=2 s，则，则A=0.12 m由初条件由初条件 x0=0.06 m，v0 0得得简谐振动的表达式为简谐振动的表达式为设简谐振动的表达式为设简谐振动的表达式为6 6例6-1.一质点沿x 轴作简谐振动，振幅A=0.12 m 例例6-2.如图所示，倔强系数为如图所示，倔强系数为 810 8103 3NmNm-1-1的轻的轻质弹簧一端固定于质弹簧一端固定于A，另一端系一质量为另一端系一质量为M=4.99kg=4.99kg的木块静止于水平光滑桌面上。的木块静止于水平光滑桌面上。质量质量 m=0.01kg=0.01kg的子弹以水平速度的子弹以水平速度v=10=103 3 msms-1-1 射入木射入木块使其作简谐振动。若在木块经过平衡位置且向块使其作简谐振动。若在木块经过平衡位置且向右运动时开始计时右运动时开始计时。取取平衡位置为坐标原点、平衡位置为坐标原点、向向右为右为x轴正方向，求其振动方程。轴正方向，求其振动方程。mvMA7 7 例6-2.如图所示，倔强系数为 8103Nm解：解：mv=(m+M)V0.01103=(4.99+0.01)VV=2m.s-1A=0.05m8 8解：mv=(m+M)V0.01103=(4.99+0.01二、简谐振动的旋转矢量表示法二、简谐振动的旋转矢量表示法1.简谐振动与匀速圆周运动简谐振动与匀速圆周运动 t+O P m x y A 匀速圆周运动在匀速圆周运动在x轴上的投影轴上的投影 （或分运动）为简谐振动：（或分运动）为简谐振动：2.简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法 xO 9 9二、简谐振动的旋转矢量表示法1.简谐振动与匀速圆周运动 t3.两同频率两同频率简谐振动的相位差（简谐振动的相位差（phase difference）O xO xO x两个谐振动两个谐振动相位差相位差两同频率的谐振动的相位两同频率的谐振动的相位差等于它们的初相差。差等于它们的初相差。=2 1 0,x2超前超前x1=0,同相同相=，反相反相10103.两同频率简谐振动的相位差（phase differencx,v,a avx T O tx,v,a O 4.4.谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系1111x,v,a avx T O tx,v,a O 4.例例6-3.以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，求此简谐振动的表达式。如图所示，求此简谐振动的表达式。x(cm)O t(s)12 1 21t=1s t=0O x 解解设简谐振动方程为设简谐振动方程为x0=A/2，v0 0由旋转矢量表示法由旋转矢量表示法v0 0旋转矢量以旋转矢量以 匀角速由匀角速由t=0 到到t=1s 转过了转过了4/3 t=1s角频率的计算：角频率的计算：t=1s 时，对应图示的旋转矢量。时，对应图示的旋转矢量。1212例6-3.以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线x(cm例例6-4.已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。图所示，试求其振动方程。解：方法解：方法1用解析法求解用解析法求解设振动方程为设振动方程为1313例6-4.已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试故振动方程为故振动方程为1414故振动方程为14v的旋转矢量的旋转矢量与与v轴夹角表轴夹角表示示t 时刻相位时刻相位由图知由图知方法方法2：用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助求解。1515v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位由图知方法2：用旋转矢固有角频率固有角频率三、简谐振动实例三、简谐振动实例1.弹簧振子弹簧振子(block spring system)平衡位置平衡位置：弹簧为原长时，振动物体所处的位置弹簧为原长时，振动物体所处的位置.x=0,F=0 位移为位移为x处处:由由牛顿第二定律牛顿第二定律角频率角频率完全由振动系统本身的性质决定。完全由振动系统本身的性质决定。固有周期固有周期固有频率固有频率A AO mk 1616固有角频率三、简谐振动实例1.弹簧振子(blockspr2.单摆单摆(simple pendulum)当当 5 5(=(=0.0873rad)时，时，摆球相对于平衡位置的角位移为摆球相对于平衡位置的角位移为 时，时，切切向向合外力合外力:l mgsin mC 平衡位置平衡位置：摆线与竖直方向夹角：摆线与竖直方向夹角 =0.由由牛顿第二定律牛顿第二定律得得或或谐振动微分方程谐振动微分方程结论结论：单摆的小角度摆动是简谐振动。单摆的小角度摆动是简谐振动。17172.单摆(simple pendulum)当 5(=3.复摆复摆(compound pendulum)绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。令令小幅摆动时小幅摆动时角位移角位移，回复力矩回复力矩M=mghsin M=mgh 由刚体的由刚体的转动定律转动定律或或得得谐振动微分方程谐振动微分方程结论结论：复摆的小角度复摆的小角度摆动是简谐振动。摆动是简谐振动。18183.复摆(compound pendulum)绕不过质心的线性谐振动线性谐振动角谐振动角谐振动简谐振动的判断及振动方程的确定简谐振动的判断及振动方程的确定归纳与总结归纳与总结例：判断下列运动是否为简谐振动例：判断下列运动是否为简谐振动1.乒乓球在地面上的上下跳动乒乓球在地面上的上下跳动1919线性谐振动角谐振动简谐振动的判断及振动方程的确定归纳与总结例2.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动mgO切向运动切向运动简谐振动简谐振动振动的角频率和振动的角频率和周期分别为：周期分别为：20202.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动mgO切向运动简四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的动能系统的动能Ek+系统的势能系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数.系统的机械能守恒系统的机械能守恒2121四、简谐振动的能量谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势振动能量曲线振动能量曲线xtotToEEk(t)Ep(t)2222振动能量曲线xtotToEEk(t)Ep(t)22例例:如图如图m=210-2kg,弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cm t=0时时 x0=-9.8cm,v0=0(1)取开始振动时为计时零点，取开始振动时为计时零点，写出振动方程；写出振动方程；(2)若取若取x0=0，v00为计时零点，为计时零点，写出振动方程写出振动方程,并计算振动频率。并计算振动频率。x Omx解：解：确定平衡位置确定平衡位置 mg=k l 取为原点取为原点 k=mg/l 令向下有位移令向下有位移 x,则则 f=mg-k(l+x)=-kx作谐振动作谐振动 设振动方程为设振动方程为2323例:如图m=210-2kg,x Omx解：确定平衡位置初条件初条件:由由x0=Acos 0=-0.0980 cos 00,取取 0=振动方程为：振动方程为：x=9.8 10-2cos(10t+)mx0=Acos 0=-0.098mv0=-A sin 0=0t=0 时时 x0=-0.098m，v0=0 x Omx2424初条件:由x0=Acos0=-0.0980 x0=Acos 0=0,cos 0=0 0=/2,3/2 v0=-A sin 0 ,sin 0 0 x0=Acos例例:如图所示，振动系统由一倔强系数为如图所示，振动系统由一倔强系数为k的的 轻弹簧、轻弹簧、一半径为一半径为R、转动惯量为转动惯量为J的的 定滑轮和一质量为定滑轮和一质量为m的的 物物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期试证物体作简谐振动，并求其周期T.mm解：取位移轴解：取位移轴ox，m在平在平衡位置时，设弹簧伸长量衡位置时，设弹簧伸长量为为 l，则则2626例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻弹簧、一半径为R当当m有位移有位移x时时联立得联立得物体作简谐振动物体作简谐振动mm2727当m有位移x时联立得物体作简谐振动mm27一、同方向、同频率谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动合振动是简谐振动,其频率仍为其频率仍为。合振动合振动x1x2 1 2 xO 6-2 6-2 简谐振动的合成简谐振动的合成2828一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动,其频率仍为如如 A1=A2,则则 A=0，两个等幅反相的振动合，两个等幅反相的振动合成的结果将使质点处于静止状态。成的结果将使质点处于静止状态。合振动的振幅取得最大，两分振合振动的振幅取得最大，两分振动相互加强。动相互加强。合振幅最小，合振幅最小，两分振动相互减弱。两分振动相互减弱。分析分析若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相:2929如 A1=A2,则 A=0，两个等幅反相的振动合合振动的二二.两个同方向频率相近简谐振动的合成两个同方向频率相近简谐振动的合成 拍拍 如果我们先后听到频率很接近的声音，如如果我们先后听到频率很接近的声音，如552 和和564 Hz，我们很难区分它们频率的差异；如果这两，我们很难区分它们频率的差异；如果这两种声音同时到达我们的耳朵，我们听到声音频率为种声音同时到达我们的耳朵，我们听到声音频率为558Hz=(552+564)/2,其强度以其强度以12Hz(=564 552)的频的频率变化。这种现象称为率变化。这种现象称为拍拍，12Hz 为为拍频。拍频。xtx1tx2t3030二.两个同方向频率相近简谐振动的合成 拍 如果我们分振动分振动合振动合振动1.拍及拍频拍及拍频令令则则T拍拍x tcos(t+)2Acos t 拍拍=2=2 1,拍拍=2 1 拍拍:拍频拍频:单位时间内振动加强或减弱的次数单位时间内振动加强或减弱的次数.合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象.3131分振动合振动1.拍及拍频令则T拍x tcos(t+)u拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用标准音叉来校准钢琴的频率：因为音调有微小差别标准音叉来校准钢琴的频率：因为音调有微小差别就会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴的一个键就就会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴的一个键就被校准了。被校准了。2.拍的应用拍的应用3232拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用标准音叉来校准钢琴三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动合振动分振动分振动合合振动质点的轨迹方程振动质点的轨迹方程3333三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动分振动合振动质点合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线在第一、第三象限内的直线质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移3434合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线质点离开平衡合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线在第二、第四象限内的直线质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移3535合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线质点离开平衡合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴为轴轴为轴线的椭圆线的椭圆.质点沿椭圆的运动方质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。向是顺时针的。合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴为轴轴为轴线的椭圆线的椭圆.质点沿椭圆的运动方质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。向是逆时针的。3636合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆.质点沿椭圆的运动方向 2 1=0 2 1=时，质点沿逆时针方向运动。时，质点沿逆时针方向运动。时，质点沿顺时针方向运动。时，质点沿顺时针方向运动。37372 1=02 1=时，质点沿逆时四、四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成 轨迹称为轨迹称为李萨如图形李萨如图形对于两个频率不相同的谐振动，其相位差对于两个频率不相同的谐振动，其相位差不断地随时间变化，因而合振动不一定有稳定的轨迹。不断地随时间变化，因而合振动不一定有稳定的轨迹。yxA2A1o o-A1-A2只有在两振动的只有在两振动的频率成简单的整数比频率成简单的整数比时，时，才有稳定的轨迹。才有稳定的轨迹。3838四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成 轨迹称为李萨如图形若已知一个分振动的周期，可根据合振动的若已知一个分振动的周期，可根据合振动的李萨如图形李萨如图形求出另一个分振动的周期，这种方法常用来测定频率。求出另一个分振动的周期，这种方法常用来测定频率。李萨如图形李萨如图形T1:T2=2 1 =01:21:32:33939若已知一个分振动的周期，可根据合振动的李萨如图形李萨如图形T*五、简谐振动的分解五、简谐振动的分解 频谱频谱振动的分解振动的分解：把一个复杂振动分解为若干个简谐振动。：把一个复杂振动分解为若干个简谐振动。若周期振动的频率为若周期振动的频率为:0则各分振动的频率为则各分振动的频率为:0、2 0、3 0(基频基频,二次谐频二次谐频,三次谐频三次谐频,),)按傅里叶级数展开按傅里叶级数展开 任任何何一一个个复复杂杂的的周周期期性性振振动动，都都可可看看作作是是若若干干个简谐振动的合成。个简谐振动的合成。4040*五、简谐振动的分解 频谱振动的分解：把一个复杂振动方波的分解方波的分解t0 x3t0 x1+x3+x5+x0方波可按傅里叶级数展开为：方波可按傅里叶级数展开为：例如：例如：0tx10 x0tt0 x54141方波的分解t0 x3t0 x1+x3+x5+x0方波可按傅里叶级424242434343xo ot t锯齿波锯齿波A A 0 03 3 0 05 5 0 0锯齿波频谱图锯齿波频谱图例如：例如：锯齿波锯齿波可按傅里叶级数展开为：可按傅里叶级数展开为：4444xot锯齿波A03050锯齿波频谱图例如：锯齿波可按 一一个个非非周周期期性性振振动动可可分分解解为为无无限限多多个个频频率率连连续续变化的简谐振动。变化的简谐振动。xo ot t阻尼振动曲线阻尼振动曲线阻尼振动频谱图阻尼振动频谱图o o A4545 一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振一、一、阻尼振动阻尼振动（damped vibration)：阻阻尼尼振振动动1.1.阻尼振动阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系统克服阻力作功，系统的动能转化为热能。系统克服阻力作功，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量向振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。周围辐射出去。6-3 6-3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动和共振受迫振动和共振简谐振动是物体在回复力作用下的一种简谐振动是物体在回复力作用下的一种无阻尼自由振动。无阻尼自由振动。当振动系统受到阻力作用时，在回复力和阻力作用下当振动系统受到阻力作用时，在回复力和阻力作用下 振动，称为振动，称为阻尼振动阻尼振动。4646一、阻尼振动（damped vibration)：阻尼振弹簧振子弹簧振子动力学方程动力学方程系统固有角频率系统固有角频率阻尼因子阻尼因子物体以不大的速率在粘性介质中运动时物体以不大的速率在粘性介质中运动时,介质对物体介质对物体的阻力与速度的一次方成正比的阻力与速度的一次方成正比 阻力系数阻力系数2.2.阻尼振动的振动方程阻尼振动的振动方程 （以摩擦阻尼为例）（以摩擦阻尼为例）4747弹簧振子动力学方程系统固有角频率阻尼因子物体以不大的速率在粘(1)(1)弱阻尼振动弱阻尼振动:阻尼对振动的影响：阻尼对振动的影响：1.1.A A 减小减小 2.2.T T 增大增大非简谐振动非简谐振动 3.3.弱阻尼振动、过阻尼振动、临界阻尼振动弱阻尼振动、过阻尼振动、临界阻尼振动弱阻尼弱阻尼xt4848(1)弱阻尼振动:阻尼对振动的影响：1.A 减小 (2)临界阻尼振动临界阻尼振动系统不作往复运动，而是较快地系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来回到平衡位置并停下来.(3)过阻尼振动过阻尼振动系统不作往复运动，而是非常缓系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置.临界阻尼临界阻尼xt过阻尼过阻尼xt4949(2)临界阻尼振动系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位二、二、受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程周期性外力周期性外力策动力策动力令令5050二、受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动稳定解稳定解5151阻尼振动简谐振动稳定解51稳定解稳定解(1)频率频率:等于策动力的频率等于策动力的频率 (3)初相初相:特点特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化(2)(2)振幅振幅:受迫振动振幅的大小，与系统的初始条件无关，受迫振动振幅的大小，与系统的初始条件无关，而决定于振动系统的性质而决定于振动系统的性质(固有角频率、质量固有角频率、质量)、阻尼的大小和策动力的特征。阻尼的大小和策动力的特征。5252稳定解(1)频率:等于策动力的频率 (3)初相:特三、共振三、共振在一定条件下在一定条件下,振幅出现极大值振幅出现极大值,振动剧烈的现象。振动剧烈的现象。1).1).位移共振位移共振(1)(1)共振频率共振频率:(2)(2)共振振幅共振振幅:若若 则则称尖锐共振称尖锐共振5353三、共振在一定条件下,振幅出现极大值,振动剧烈的现象。1 2)2)速度共振速度共振:一定条件下一定条件下,速度幅速度幅vm m=A极大的现象。极大的现象。速速度度共共振振时时，系系统统的的动动能能也也达达到到最最大大，此此时时系系统统从从外外界吸收能量最多。界吸收能量最多。5454 2)速度共振:一定条件下,速度幅vm=A极大的现象。速共振的利与弊共振的利与弊钢琴、小提琴等乐器的木制琴身，利用共振现象使钢琴、小提琴等乐器的木制琴身，利用共振现象使其成为了一共鸣盒，以提高音响效果；收音机的调其成为了一共鸣盒，以提高音响效果；收音机的调谐装置也利用了共振现象（电磁共振）选台；原子谐装置也利用了共振现象（电磁共振）选台；原子核内的核磁共振用来进行物质结构的研究及医疗诊核内的核磁共振用来进行物质结构的研究及医疗诊断等。断等。例如，共振时振动系统的振幅过大，建筑物、机器例如，共振时振动系统的振幅过大，建筑物、机器设备等就会受到严重的损坏；汽车行驶时，若发动设备等就会受到严重的损坏；汽车行驶时，若发动机运转的频率接近车身的固有频率，车身也会产生机运转的频率接近车身的固有频率，车身也会产生强烈的共振而受到损坏。强烈的共振而受到损坏。措施措施：破坏外力的周期性、改变物体的固有频率、：破坏外力的周期性、改变物体的固有频率、改变外力的频率、增大系统的阻尼等。改变外力的频率、增大系统的阻尼等。共振现象在实际中有着广泛的应用共振现象在实际中有着广泛的应用：共振现象也有其危害性：共振现象也有其危害性：5555共振的利与弊钢琴、小提琴等乐器的木制琴身，利用共振现象使例如