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第八章 微积分的进一步应用1优秀课件，精彩无限！第八章 微积分的进一步应用1优秀课件，精彩无限！前面：微分中值定理 微商与微分 研究函数（用二阶微商判断凹凸性）1、能否用高阶微商 研究函数？前面微分的应用 2、复杂的函数用简单的函数来近似表示 多项式一次多项式两个不足 1、精确度不高 2、不能给出误差估计1 泰勒公式2优秀课件，精彩无限！前面：微分中值定理 微商与微分 研究函数（用二阶微商判断能否用二次，三次，n次多项式近似？为了简单。先计（前面，问题：给定一个函数要找一个在零点附近与近似的多项式要求与之前是比更高阶的无穷小。怎样找？3优秀课件，精彩无限！能否用二次，三次，n次多项式近似？为了简单。先计（前面，问前面：这时 若用近似代替自然要求：-（2）用次多项式-（1），自然要求满足：近似代替的具体形状（系数）由于 这些条件可以确定4优秀课件，精彩无限！前面：这时 若用近似代替自然要求：-（2）公式。在Taylor系数。的在称为Taylor带佩亚诺余项的泰勒公式有有的为5优秀课件，精彩无限！定理8.1 公式。在Taylor系数。的在称为Tay于是-代入（1）得 由（2）得这就是我们要找的多项式？问 与相差多少 即误差是多少？是否是比 更高阶的无穷小？求各阶导数,取得-对6优秀课件，精彩无限！于是-代入（1）得 由（2）得这就是我们要找的多项式 例1，泰勤公式的一个应用定理8.2定理8.3（唯一性）2.余项为其它形式的型余项：定性的描述 误差不能作误差估计的定量描述能进行误差估计？能否给出误差7优秀课件，精彩无限！例1，泰勤公式的一个应用定理8.22.余项为其它形式的型余（三种类型的余项）拉格朗日余项拉格朗日余项.佩亚诺佩亚诺(Peano)余项余项.麦克劳林（麦克劳林（Maclaurin）余项）余项8优秀课件，精彩无限！（三种类型的余项）定理8.4拉格朗日余项.佩亚诺(Pea3 3、初等函数的麦克劳林公式初等函数的麦克劳林公式其中9优秀课件，精彩无限！3、初等函数的麦克劳林公式其中9优秀课件，精彩无限！其中10优秀课件，精彩无限！其中10优秀课件，精彩无限！类似可得其中11优秀课件，精彩无限！类似可得其中11优秀课件，精彩无限！其中12优秀课件，精彩无限！其中12优秀课件，精彩无限！已知其中类似可得13优秀课件，精彩无限！已知其中类似可得13优秀课件，精彩无限！2 微积分在几何物理中的应用 1.直角坐标下平面图形的面积由其中（）围成的图形的面积A用微元法和几何意义来说明由轴和所围成的面积A例例1 1例例2 214优秀课件，精彩无限！2 微积分在几何物理中的应用 1.直角坐标下平面图形的面积 所围图形的面积例1（两种方法和公式）例2（重要变量替换）例3由例2例3引出公式由参数方程表示曲线的情形 例例3 3则若15优秀课件，精彩无限！所围图形的面积例1（两种方法和公式）例3则若15优秀课件2极坐标下平面图形的面积用定义推导公式：或用微分法与向径所围成的面积A为由曲线（扇形面积）rl例4 求心脏线 ，所围的面积解：16优秀课件，精彩无限！2极坐标下平面图形的面积用定义推导公式：或用微分法与向径所3.已知截面面积的立体体积已知某立体介于平面和之间，其过点垂直于轴的平面所截的图形面积为,则该立体的体积微元为从而体积为特别：旋转体的体积：绕轴旋转一周，故由连续曲线所产生的旋转体的体积，这时17优秀课件，精彩无限！3.已知截面面积的立体体积已知某立体介于平面和之间，其过点4、曲线的弧长：曲线：由方程 决定的构成的平面点集1、。称为平面曲线2、曲线的方向3、曲线是可求长的。弧长。4、光滑曲线光滑曲线是可求长的，且弧长为18优秀课件，精彩无限！4、曲线的弧长：曲线：由方程 决定的构成的平面点集1、。称注：在上述推导过程，遇到了必须处理和式的极限问题。但是和式不是和，通常把它改写为一个和加上一个尾项再利用一致连续性证明此尾项为无穷小量，在定积分应用中，证明见P258这是常用的一种典型方法。19优秀课件，精彩无限！注：在上述推导过程，遇到了必须处理和式的极限问题。但是和式不下面考虑曲线段不是直接由参数方程给出的情形 1、曲线由 给出2、曲线由极坐标方程 则20优秀课件，精彩无限！下面考虑曲线段不是直接由参数方程给出的情形 1、曲线由 给例、椭圆 解：其参数方程：于是 其中于是椭圆弧长为这个被积函数的原函数不是初等函数。的弧长称为椭圆离心率我们把这种类型的积分称为“椭圆积分”21优秀课件，精彩无限！例、椭圆 解：其参数方程：于是 其中于是椭圆弧长为这个被积5.弧微分几何解释：P259：22优秀课件，精彩无限！5.弧微分几何解释：P259：22优秀课件，精彩无限！1）z曲线段的平均曲率：2）曲线在一点的曲率：3）曲率半径 4）曲率的计算公式：6.曲线的曲率（平面曲线）参数方程直角坐标23优秀课件，精彩无限！1）z曲线段的平均曲率：2）曲线在一点的曲率：3）曲率半径 6.旋转体的侧面积：圆台的侧面积参数方程直角坐标 7、平面曲线弧现平面图形的质心。8、转动惯量24优秀课件，精彩无限！6.旋转体的侧面积：圆台的侧面积参数方程直角坐标 7、平小结泰勒公式麦克劳林公式麦克劳林公式微积分在几何物理中的应用25优秀课件，精彩无限！小结泰勒公式25优秀课件，精彩无限！习题1、求函数解解:的三阶泰勒公式在点26优秀课件，精彩无限！习题1、求函数解:的三阶泰勒公式在点26优秀课件，精彩无其中27优秀课件，精彩无限！其中27优秀课件，精彩无限！已知2 2、计算无理数 e 的近似值,使误差不超过解解:令 x=1,得由于欲使由计算可知当 n=9 时上式成立,因此的麦克劳林公式为28优秀课件，精彩无限！已知2、计算无理数 e 的近似值,使误差不超过解:令 3、利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限求：解解:由于用洛必塔法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,29优秀课件，精彩无限！3、利用泰勒公式求极限求：解:由于用洛必塔法则不方便!用4 4、用近似公式计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005,试确定 x 的适用范围.解解:近似公式的误差令解得即当时,由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005.30优秀课件，精彩无限！4、用近似公式计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.两边同乘 n!=整数+假设 e 为有理数(p,q 为正整数),则当 时,等式左边为整数;矛盾!5 5、证明 e 为无理数.证证:时,当故 e 为无理数.等式右边不可能为整数.31优秀课件，精彩无限！两边同乘 n!=整数+假设 e 为有理数(p,q 附加题附加题1、余项估计余项估计令(称为余项),则有32优秀课件，精彩无限！附加题33优秀课件，精彩无限！33优秀课件，精彩无限！2 2、利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4 4.证明证证:34优秀课件，精彩无限！2、利用泰勒公式证明不等式例4.证明证:34优秀课件，精计算解解:原式3、35优秀课件，精彩无限！计算解:原式3、35优秀课件，精彩无限！由题设对有且4、证：36优秀课件，精彩无限！由题设对有且4、证：36优秀课件，精彩无限！下式减上式,得令37优秀课件，精彩无限！下式减上式,得令37优秀课件，精彩无限！作业P246 1(1,3,5,7)P246 2(2,4)P247 11,12,1338优秀课件，精彩无限！作业P246 1(1,3,5,7)38优秀课件，精彩无限
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