控制系统的状态空间表达式课件

河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 控制系统的状态空间表达式河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式o状态变量状态变量 足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量 n阶微分方程就有阶微分方程就有n个独立变量，因此也就有个独立变量，因此也就有n个状态变量。个状态变量。一般一个系统状态变量的个数等于系统独立储能元件的个数一般一个系统状态变量的个数等于系统独立储能元件的个数o状态矢量状态矢量 将这些状态变量写成矢量的形式，构成一个状态矢量。如将这些状态变量写成矢量的形式，构成一个状态矢量。如：河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 o状态空间状态空间 以状态变量以状态变量 为坐标轴构成的为坐标轴构成的n维空间维空间o状态方程状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为系统的由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。状态方程。o输出方程输出方程 在指定系统的输出时，该输出与状态变量间的函数关系在指定系统的输出时，该输出与状态变量间的函数关系称为系统的输出方程。称为系统的输出方程。o状态空间表达式状态空间表达式 状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态表述，称为系统的状态空间表达式动态表述，称为系统的状态空间表达式。河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 例1.求图示机械系统的状态空间表达式外力 位移 力学方程令-弹性系数阻尼系数河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 动态方程如下河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 状态空间表达式为：河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 例2:求图示RLC回路的状态空间表达式解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程 选 河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 为系统两状态变量，则原方程可化成写成矩阵矢量的形式为：河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 令 为状态矢量则：河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 状态空间表达式状态空间表达式o对于以上所举例题，可用如下通式来表示：对于以上所举例题，可用如下通式来表示：o其中：其中：为状态矢量；为状态矢量；A为系统矩阵；为系统矩阵；B为输入为输入矩阵（又叫控制矩阵）；矩阵（又叫控制矩阵）；C为输出矩阵；为输出矩阵；D为直为直接传递矩阵接传递矩阵河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 o将状态空间表达式的信号传递关系用方块图来表示将状态空间表达式的信号传递关系用方块图来表示河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 1.2 状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的模拟结构图o积分器的数目等于状态变量数，将她们画在适当的位置上，每个积分器的输出表示相应的状态变量，根据状态方程和输出方程画出状态空间表达式的模拟结构图。o例3 已知系统的状态空间表达式为：试画出其模拟结构图。河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 1.3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立o一、由方块图建立状态空间表达式一、由方块图建立状态空间表达式o例例4河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 o二、从系统的机理出发建立状态空间表达式二、从系统的机理出发建立状态空间表达式o例5 图示电网络系统，输入电流 ,输出电压 和河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 o以电容 和 上的电压 和 及电感 和 中的电流 和 为状态变量，即令：o消去中间变量 和 得：河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 o三、由系统的传递函数建立状态空间表达式（实现问题）三、由系统的传递函数建立状态空间表达式（实现问题）o例例6 设系统的传递函数为：设系统的传递函数为：o可得微分方程为；可得微分方程为；o从而得模拟结构图和状态空间表达式如下从而得模拟结构图和状态空间表达式如下河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 o例例7 设系统的传递函数为设系统的传递函数为o上式可变为：上式可变为：o令令o则则o即即o令令 河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 o可得系统的状态空间表达式为可得系统的状态空间表达式为o该题还可以采用如下方式解决该题还可以采用如下方式解决o将传递函数化为微分方程将传递函数化为微分方程河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 o例8 多输入多输出系统的微分方程如下，试求其状态方程表达式，并画出模拟结构图。o由上式可得由上式可得河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 o画出模拟结构图为画出模拟结构图为o状态空间表达式为状态空间表达式为河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 1.5 状态向量的线性变换状态向量的线性变换o一、系统状态空间表达式的非唯一性一、系统状态空间表达式的非唯一性o设给定系统为设给定系统为o总可以找到一个非奇异矩阵总可以找到一个非奇异矩阵T，令，令o得变换后的状态空间表达式得变换后的状态空间表达式oT称为变换矩阵称为变换矩阵河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 o二、系统特征值的不变性及系统的不变量二、系统特征值的不变性及系统的不变量o1.系统特征值系统特征值o系统的特征方程：系统的特征方程：o2.可以证明经非奇异变换后系统的特征方程是不变的，而系可以证明经非奇异变换后系统的特征方程是不变的，而系统的特征方程是由特征多项式的系数所决定的，因此，特征多统的特征方程是由特征多项式的系数所决定的，因此，特征多项式的系数为系统的不变量。项式的系数为系统的不变量。o3.特征矢量特征矢量o 为为 的对应于的对应于 的特征矢量的特征矢量o例例9 试求试求 的特征矢量的特征矢量河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 o解：特征方程为解：特征方程为o解得解得o对应于对应于 的特征矢量的特征矢量 ，代入，代入o解得解得 令令 得得河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 o同理，可以算出对应于同理，可以算出对应于 时的特征矢量时的特征矢量o和对应于和对应于 时的特征矢量时的特征矢量o三、状态空间表达式变换为约当标准型三、状态空间表达式变换为约当标准型o系统系统o经过变换矩阵经过变换矩阵T变换为变换为o其中其中o称为约当标准型称为约当标准型河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 o1.1.特征值无重根时特征值无重根时设特征根 所对应的特征矢量为构造的变换矩阵为如果特征根互不相等，有可使例：将下列状态空间表达式变换为对角线型。河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 解：（1）求特征根 由 得 ，（2）求特征矢量和变换矩阵 由 可求得 河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 o特征值有重根时的变换 设 的特征值有 个重根为 ，其余的根互异，则前 个特征矢量可根据下式求得，而其余特征矢量仍按互异方法求得。其变换矩阵为：其中：例：将下列状态空间表达式化为约当标准型。河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 解：（1）求特征根 由 得 ，由 求得 河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 1.6 从状态空间表达式求传递函数阵从状态空间表达式求传递函数阵一、传递函数阵一、传递函数阵1.设给定系统为 对上式两边进行零初始条件下的拉氏变换，得 故有河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 二、系统在各种连接时的传递函数二、系统在各种连接时的传递函数1.并联连接并联连接 o串联连接串联连接o反馈连接反馈连接河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 1.7 离散系统的状态空间表达式离散系统的状态空间表达式一、差分方程及传递函数一、差分方程及传递函数差分方程 传递函数 Z变换河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 二、离散系统的状态空间表达式及模拟结构图二、离散系统的状态空间表达式及模拟结构图1.状态空间表达式由 令则河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 从而得按照上式可以画出离散系统的模拟结构图以三阶系统为例得如下模拟结构图 河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式时变系统和非线性系统的状态空间表达式一、线性时变系统一、线性时变系统二、非线性系统二、非线性系统在 附近展开成泰勒级数得 即河南科技大学河南科技大学 机械制造及其自动化学科机械制造及其自动化学科 本章总结本章总结o掌握状态方程、状态空间表达式的概念o掌握标准型、约当标准型、特征矢量和变换矩阵的概念o学会由微分方程求状态空间表达式及传递函数阵画模拟结构图o学会由状态空间表达式画模拟结构图，求传递函数