数学31LTI离散系统响应课件

第第第第 1 1 页页页页3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析 注注意意离离散散系系统统与与连连续续系系统统分分析析方方法法上上的的联联系系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。区别、对比，与连续系统有并行的相似性。差分与差分方程差分与差分方程差分方程的经典解差分方程的经典解零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应第第第第 2 2 页页页页一、差分与差分方程一、差分与差分方程 设有序列设有序列f(k)，则，则 ，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)，等等称为称为f(k)的的移位序列移位序列。仿照微分运算，定义离散信号的仿照微分运算，定义离散信号的差分差分运算。运算。1.差分运算差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：离散信号的变化率有两种表示形式：第第第第 3 3 页页页页定义差分定义差分（1）一阶前向差分定义）一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)f(k)（2）一阶后向差分定义一阶后向差分定义：f(k)=f(k)f(k 1)式中，式中，和和 称为称为差分算子差分算子，无原则区别。本书主要用，无原则区别。本书主要用后向差分后向差分，简称为，简称为差分差分。（3）差分的线性性质差分的线性性质：af1(k)+bf2(k)=a f1(k)+b f2(k)（4）二阶差分定义二阶差分定义：2f(k)=f(k)=f(k)f(k1)=f(k)f(k1)=f(k)f(k1)f(k1)f(k2)=f(k)2 f(k1)+f(k2)（5）m阶差分阶差分:mf(k)=f(k)+b1f(k1)+bmf(km)第第第第 4 4 页页页页2.差分方程差分方程 包含未知序列包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为及其各阶差分的方程式称为差差分方程分方程。将将差分差分展开为展开为移位序列移位序列，得一般形式，得一般形式 y(k)+an1y(k 1)+a0y(kn)=bmf(k)+b0f(km)差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。例例一般不易得到解析形式的一般不易得到解析形式的(闭合闭合)解。解。差分方程的迭代解法差分方程的迭代解法第第第第 5 5 页页页页差分方程迭代解举例差分方程迭代解举例例：例：若描述某系统的差分方程为若描述某系统的差分方程为 y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励激励f(k)=2k(k),求求y(k)。解：解：y(k)=3y(k 1)2y(k 2)+f(k)k=2 y(2)=3y(1)2y(0)+f(2)=2 k=3 y(3)=3y(2)2y(1)+f(3)=10 k=4 y(4)=3y(3)2y(2)+f(4)=10 第第第第 6 6 页页页页二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解1.齐次解：与微分方程经典解类似，与微分方程经典解类似，y(k)=yh(k)+yp(k)y(k)+an 1y(k 1)+a0y(k n)=bmf(k)+b0f(k m)齐次方程齐次方程 y(k)+an 1y(k 1)+a0y(k n)=0特征方程特征方程 1+an 1 1+a0 n=0，即即 n+an 1n 1+a0=0其根其根i(i=1，2，n)称为差分方程的称为差分方程的特征根特征根。第第第第 7 7 页页页页根据特征根，齐次解的两种情况(2)有重根有重根 特征根特征根为为r重根重根时时例例例例第第第第 8 8 页页页页差分方程齐次解单根例差分方程齐次解单根例求解二阶差分方程求解二阶差分方程y(k)5y(k 1)+6y(k 2)=0已知已知y(0)=2，y(1)=1，求求y(k)。解：解：特征方程特征方程齐次解齐次解定定C1，C2解出解出特征根特征根第第第第 9 9 页页页页差分方程齐次解重根例差分方程齐次解重根例求求差差分分方方程程y(k)+6y(k 1)+12y(k 2)+8y(k 3)=0的解。的解。解：解：特征方程特征方程齐次解齐次解由初始条件定由初始条件定C1，C2，C3三重特征根三重特征根第第第第 1010 页页页页2.2.特解特解yp(k):激励激励f(k)响应响应y(k)的特解的特解yp(k)特解的形式与激励的形式类似特解的形式与激励的形式类似例例或或第第第第 1111 页页页页差分方程全解举例差分方程全解举例例：例：系统系统方程方程 y(k)+4y(k 1)+4y(k 2)=f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0，y(1)=1；激励；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。求方程的全解。解：解：特征方程为特征方程为 2+4+4=0 可解得特征根可解得特征根1=2=2，其齐次解，其齐次解 yh(k)=(C1k+C2)(2)k特解为特解为 yp(k)=P(2)k ,k0代入差分方程得代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2=f(k)=2k，解得解得 P=1/4所以得特解：所以得特解：yp(k)=2k2 ,k0故全解为故全解为 y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(2)k+2k2 ,k0 代入初始条件解得代入初始条件解得 C1=1,C2=1/4 第第第第 1212 页页页页三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应(1)零输入响应：输入为零，差分方程为齐次C由初始状态定（相当于由初始状态定（相当于0的条件）的条件）齐次解形式：齐次解形式：(2)零状态响应：初始状态为0，即求解方法求解方法经典法：齐次解经典法：齐次解+特解特解卷积法卷积法 y(k)=yzi(k)+yzs(k)例例1 1例例2 2第第第第 1313 页页页页零输入零状态举例零输入零状态举例例例：系统方程为系统方程为 y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k)已已知知激激励励f(k)=2k,k0，初初始始状状态态y(1)=0,y(2)=1/2,求求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解解：（1）yzi(k)满足方程满足方程 yzi(k)+3yzi(k 1)+2yzi(k 2)=0 yzi(1)=y(1)=0,yzi(2)=y(2)=1/2首先首先递推求出初始值递推求出初始值yzi(0),yzi(1),yzi(k)=3yzi(k 1)2yzi(k 2)yzi(0)=3yzi(1)2yzi(2)=1 yzi(1)=3yzi(0)2yzi(1)=3特征根特征根为为1=1，2=2第第第第 1414 页页页页解解为为 yzi(k)=Czi1(1)k+Czi2(2)k 将初始值代入将初始值代入 并解得并解得 Czi1=1,Czi2=2 yzi(k)=(1)k 2(2)k ,k0（2）零状态响应零状态响应yzs(k)满足满足 yzs(k)+3yzs(k 1)+2yzs(k 2)=f(k)yzs(1)=yzs(2)=0递推求初始值递推求初始值 yzs(0),yzs(1)，yzs(k)=3yzs(k 1)2yzs(k 2)+2k,k0 yzs(0)=3yzs(1)2yzs(2)+1=1 yzs(1)=3yzs(0)2yzs(1)+2=1第第第第 1515 页页页页分别求出齐次解和特解分别求出齐次解和特解，得，得 yzs(k)=Czs1(1)k+Czs2(2)k+yp(k)=Czs1(1)k+Czs2(2)k+(1/3)2k代入初始值代入初始值求得求得 Czs1=1/3 ,Czs2=1 yzs(k)=(1)k/3+(2)k+(1/3)2k ,k0 第第第第 1616 页页页页零输入响应举例零输入响应举例求系统的零输入响应。求系统的零输入响应。系统的方程系统的方程解：解：零输入响应零输入响应yzi(k)，即当即当f(k)=0时的解。时的解。第第第第 1717 页页页页题题中中y(0)=y(1)=0，是是激激励励加加上上以以后后的的，不不能能说说明明状状态态为为0 0，需迭代求出，需迭代求出 y(-1)，y(-2)。求初始状态第第第第 1818 页页页页由初始状态确定C1，C2解得解得第第第第 1919 页页页页3.2 单位序列响应和阶跃响单位序列响应和阶跃响应应单位序列响应单位序列响应阶跃响应阶跃响应第第第第 2020 页页页页一、单位序列响应一、单位序列响应单位序列单位序列(k)所引起的所引起的零状态响应零状态响应，记为，记为h(k)。h(k)=T0,(k)例例1 1例例2 2第第第第 2121 页页页页单位序列响应例单位序列响应例1 例例1：已知某系统的差分方程为已知某系统的差分方程为 y(k)y(k1)2y(k2)=f(k)求单位序列响应求单位序列响应h(k)。解：解：根据根据h(k)的定义的定义 有有 h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k)（1）h(1)=h(2)=0（1）递推求初始值）递推求初始值h(0)和和h(1)。h(k)=h(k 1)+2h(k 2)+(k)h(0)=h(1)+2h(2)+(0)=1 h(1)=h(0)+2h(1)+(1)=1 第第第第 2222 页页页页(2)求求h(k)对于对于k 0，h(k)满足齐次方程满足齐次方程 h(k)h(k 1)2h(k 2)=0特征方程特征方程 (+1)(2)=0 h(k)=C1(1)k+C22k ，k0 h(0)=C1+C2=1,h(1)=C1+2C2=1 解得解得C1=1/3 ,C2=2/3 h(k)=(1/3)(1)k+(2/3)2k ,k0或写为或写为 h(k)=(1/3)(1)k+(2/3)2k(k)第第第第 2323 页页页页单位序列响应例单位序列响应例2 例例2：系统方程为系统方程为 y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)-f(k-2)求单位序列响应求单位序列响应h(k)。解：解：h(k)满足满足 h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k)(k 2)令只有令只有(k)作用时，系统的单位序列响应作用时，系统的单位序列响应h1(k),它满足它满足 h1(k)h1(k 1)2h1(k 2)=(k)根据线性时不变性，根据线性时不变性，h(k)=h1(k)h1(k 2)=(1/3)(1)k+(2/3)2k(k)(1/3)(1)k 2 +(2/3)2k2(k 2)第第第第 2424 页页页页二、阶跃响应二、阶跃响应g(k)=T(k),0由于由于，(k)=(k)(k 1)=(k)所以所以，h(k)=g(k)(k2k1)两个常用的两个常用的求和公式：求和公式：第第第第 2525 页页页页3.3 卷积和卷积和卷积和卷积和卷积和图解法卷积和图解法不进位乘法求卷积不进位乘法求卷积卷积和的性质卷积和的性质第第第第 2626 页页页页一、卷积和一、卷积和1.序列的时域分解序列的时域分解任意序列任意序列f(k)可表示为可表示为 f(k)=+f(-1)(k+1)+f(0)(k)+f(1)(k1)+f(2)(k2)+f(i)(k i)+第第第第 2727 页页页页2.任意序列作用下的零状态响应任意序列作用下的零状态响应yzs(k)f(k)根据根据h(k)的定义：的定义：(k)h(k)由时不变性：由时不变性：(k i)h(k i)f(i)(ki)由齐次性：由齐次性：f(i)h(ki)由叠加性：由叠加性：f(k)yzs(k)卷积和卷积和第第第第 2828 页页页页3.卷积和的定义卷积和的定义 已知定义在区间（已知定义在区间（，）上的两个函数）上的两个函数f1(k)和和f2(k)，则定义和，则定义和 为为f1(k)与与f2(k)的的卷积和卷积和，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(k)=f1(k)f2(k)注意注意：求和是在虚设的变量：求和是在虚设的变量 i 下进行的，下进行的，i 为求和变为求和变量，量，k 为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为k 的函数。的函数。举例举例第第第第 2929 页页页页用定义求卷积和例用定义求卷积和例例：例：f(k)=a k(k),h(k)=b k(k)，求求yzs(k)。解：解：yzs(k)=f(k)h(k)当当i k时，时，(k i)=0(k)(k)=(k+1)(k)第第第第 3030 页页页页二、卷积的图解法二、卷积的图解法卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元：k换为换为 i得得 f1(i)，f2(i)（2）反转平移反转平移：由：由f2(i)反转反转 f2(i)右移右移k f2(k i)（3）乘积乘积：f1(i)f2(k i)（4）求和求和：i 从从 到到对乘积项求和。对乘积项求和。注意：注意：k 为参变量。为参变量。举例举例第第第第 3131 页页页页图解法求卷积和例图解法求卷积和例例例：f1(k)、f2(k)如图所示，已知如图所示，已知f(k)=f1(k)f2(k)，求，求f(2)=？解解：（1）换元）换元（2）f2(i)反转得反转得f2(i)（3）f2(i)右移右移2得得f2(2i)（4）f1(i)乘乘f2(2i)（5）求和，得）求和，得f(2)=4.5f2(i)f2(2i)第第第第 3232 页页页页三、不进位乘法求卷积三、不进位乘法求卷积f(k)=所有两序列序号之和为所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。的那些样本乘积之和。如如k=2时时f(2)=+f1(1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)+=+f1(1)f2(k+1)+f1(0)f2(k)+f1(1)f2(k 1)+f1(2)f2(k 2)+f1(i)f2(k i)+例：例：f1(k)=0，f1(1)，f1(2)，f1(3)，0 f2(k)=0，f2(0)，f2(1)，0第第第第 3333 页页页页不进位乘法不进位乘法f1(1)，f1(2)，f1(3)f2(0)，f2(1)f1(1)f2(0)，f1(2)f2(0)，f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)，f1(2)f2(1)，f1(3)f2(1)+f1(3)f2(1)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(1)f2(0)f(k)=0，f1(1)f2(0)，f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)，f1(3)f2(1)，0 排成排成乘乘法法第第第第 3434 页页页页不进位乘法适用有限长序列卷积若：若：例如：例如：yzs(k)的元素个数的元素个数?举例举例f(k)序列序列，n1kn2h(k)序列序列，n3kn4则则 yzs(k)序列序列，(n1+n3)k(n2+n4)f(k):0k3 4个元素个元素h(k):0k4 5个元素个元素yzs(k):0k7 8个元素个元素第第第第 3535 页页页页不进位乘法求卷积和例不进位乘法求卷积和例例例:f1(k)=0，2，1，5，0 k=1 f2(k)=0，3，4，0，6，0 k=03，4，0，62，1，5解解:15，20，0，303，4，0，66，8，0，12+6，11，19，32，6，30求求f(k)=f1(k)f2(k)f(k)=0，6，11，19，32，6，30 k=1第第第第 3636 页页页页四、卷积和的性质四、卷积和的性质(1)满足乘法的三律：满足乘法的三律：(1)交换律交换律,(2)分配律分配律,(3)结合律结合律.(2)f(k)(k)=f(k)，f(k)(k k0)=f(k k0)(3)f(k)(k)=(4)f1(k k1)f2(k k2)=f1(k k1 k2)f2(k)(5)f1(k)f2(k)=f1(k)f2(k)=f1(k)f2(k)举例举例第第第第 3737 页页页页性质求卷积和例性质求卷积和例例例1：复合系统中复合系统中h1(k)=(k)，h2(k)=(k 5)，求复合系统的，求复合系统的单位序列响应单位序列响应h(k)。解：解：根据根据h(k)的定义，有的定义，有h(k)=(k)h1(k)(k)h2(k)h1(k)=h1(k)h2(k)h1(k)=h1(k)h1(k)h2(k)h1(k)=(k)(k)(k 5)(k)=(k+1)(k)(k+1 5)(k 5)=(k+1)(k)(k 4)(k 5)第第第第 3838 页页页页3.4 反卷积反卷积反卷积反卷积举例举例应用实例应用实例第第第第 3939 页页页页一、反卷积一、反卷积对连续系统不易写出明确的关系式，而对离散系统容易对连续系统不易写出明确的关系式，而对离散系统容易写出：写出：在在y(k)=f(k)h(k)中，中，若已知若已知y(k)，h(k)，如何求，如何求f(k)（信号恢复信号恢复）；）；如血压计传感器。如血压计传感器。若已知若已知y(k)，f(k)，如何求，如何求h(k)（系统辨识系统辨识）；）；如地震信号处理、地质勘探、考古、石油勘如地震信号处理、地质勘探、考古、石油勘探等问题。探等问题。这两类问题都是求反卷积的问题。这两类问题都是求反卷积的问题。第第第第 4040 页页页页写成矩阵形式写成矩阵形式目的：反求目的：反求f(k)同理同理第第第第 4141 页页页页二、举例第第第第 4242 页页页页解：（1）求h(k)第第第第 4343 页页页页（2）即即第第第第 4444 页页页页系统框图系统框图以上两式相减得以上两式相减得第第第第 4545 页页页页三、应用实例雷达探测系统雷达探测系统