数字逻辑第三四章讲义剖析课件

逻辑函数第三章第三章 逻辑门逻辑门 3-1The Inverter(反相器或称非门反相器或称非门)3-2The AND Gate(与门与门)3-3The OR Gate(或门或门)3-4The NAND Gate(与非门与非门)3-5The NOR Gate(或非门或非门)3-6The Exclusive-OR Gate(异或门异或门)The Exclusive-NOR Gate(同或门同或门)2024/6/232知识点知识点 1.识别不同逻辑门的符号表示识别不同逻辑门的符号表示.2.真值表和逻辑函数真值表和逻辑函数.3.由输入波形图分析逻辑功能由输入波形图分析逻辑功能.4.了解负逻辑的概念了解负逻辑的概念.5.每种类型的逻辑门的应用每种类型的逻辑门的应用难点难点负逻辑负逻辑;输出数字波形输出数字波形.非逻辑运算就是否定。求反。就是否定。求反。非逻辑非逻辑输入输入输出输出AF01 10非运算真值表非运算真值表非运算表达式非运算表达式ARAR非门符号非门符号AFF=notAVHDL语言语言AF非门的波形非门的波形AFAFThe Inverter3.1 反相器（非门）反相器（非门）与逻辑运算 2、与运算、与运算决定一件事情的所有条件都具备之后，该事件才会发生。决定一件事情的所有条件都具备之后，该事件才会发生。与逻辑与逻辑设：开关闭合设：开关闭合=1，开关打开，开关打开=0；灯亮灯亮=1，灯不亮，灯不亮=0输入输入输出输出 A BF 0 0 0 1 1 0 1 10001与运算真值表与运算真值表与运算表达式与运算表达式逻辑乘逻辑乘ABAB与门符号与门符号BAFF=A and BVHDL语言语言P11仿真仿真逻辑函数的逻辑函数的表达方式表达方式The AND GateThe AND Gate与逻辑运算波形BAFCDAFBC多输入与门多输入与门与门的波形与门的波形ABFBAF与逻辑运算应用与门的应用与门的应用选通选通A计数器计数器解码及频率显示解码及频率显示1s1s清零信号清零信号或逻辑运算 或运算或运算The OR GateThe OR Gate 当决定一件事情的各条件中，只当决定一件事情的各条件中，只要具备一个条件，该事件就会发生。要具备一个条件，该事件就会发生。或逻辑或逻辑输入输入输出输出 A BF 0 0 0 1 1 0 1 10111或运算真值表或运算真值表或运算表达式或运算表达式逻辑加逻辑加或门符号或门符号BAFF=A or BVHDL语言语言ABAB或逻辑运算多输入或门多输入或门或门的波形或门的波形ABFBAFBAFCDAFBC2024/6/239与非门与非门 The NAND Gate3-3-Input NAND GateInput NAND Gate4-4-Input NAND GateInput NAND Gate2024/6/23Chapter 3 Logic Gates10非非-或等价于或等价于 与非门与非门油桶油位油桶油位线检测电线检测电路路2024/6/23Chapter 3 Logic Gates11非或门输出非或门输出Output of Negative-OR Gate只要有一个输只要有一个输入为低，则输入为低，则输出为高出为高2024/6/2312Boolean expressionTruth table0=LOW1=HIGH只要有一个输入为高，则输出为低只要有一个输入为高，则输出为低Pulsed waveforms或非门输出或非门输出Output of NOR Gate 非非-与等价于或非与等价于或非异或逻辑运算 异或门和同或门异或门和同或门 只有当输入两变量相异时输出只有当输入两变量相异时输出=1，否则输出，否则输出=0。异或逻辑异或逻辑输入输入输出输出 A BF 0 0 0 1 1 0 1 10110异或运算真值表异或运算真值表异或运算表达式异或运算表达式异或门符号异或门符号BAF实质实质按位加无进位按位加无进位F=A xor BVHDL语言语言同或运算表达式同或运算表达式=A B异或逻辑波形异或门的波形异或门的波形BAABXORNXOR异或可用于二进制舍异或可用于二进制舍弃进位的位加弃进位的位加.与或非逻辑运算 与或非运算与或非运算 将与、或、非三种逻辑综合起来。将与、或、非三种逻辑综合起来。与或非运算真值表与或非运算真值表与或非运算表达式与或非运算表达式与或非门符号与或非门符号BAFDCF=not(A and B or C and D)VHDL语言语言输入输入输出输出ABCDF10 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 11101110111000000 0 0 0识别逻辑符号BAP1CBCAP2P3P4FP5P6识别电路中的逻辑符号识别电路中的逻辑符号逻辑门符号BAFBAFAFBAF与门与门或门或门非门非门异或门异或门BAF&BAF1BAF=1与非门与非门逻辑门对照逻辑门对照BAFBAF&AF1ANSI/IEEE(美国国家美国国家标准化组织标准化组织/电气和电电气和电子工程师协会子工程师协会)GB/T4728（国标）国标）符号举例BAFDC与或非运算与或非运算？2024/6/2320知识点知识点1.1.两种逻辑表达式的形式两种逻辑表达式的形式:SOP and POS form.:SOP and POS form.2.2.最大项最大项maxterm maxterm 和最小项和最小项 minterm.minterm.3.3.三个基本定律十二个运算法则，以及三个布尔代数基本规则三个基本定律十二个运算法则，以及三个布尔代数基本规则.4.4.摩根定理摩根定理.5.5.使用布尔代数化简逻辑表达式。使用布尔代数化简逻辑表达式。6.6.逻辑电路的布尔分析逻辑电路的布尔分析.难点难点:1.1.SOP and POS SOP and POS 表达式之间的变换表达式之间的变换.2.2.逻辑表达式化简逻辑表达式化简.第四章第四章第四章第四章 布尔代数与逻辑化简布尔代数与逻辑化简布尔代数与逻辑化简布尔代数与逻辑化简2024/6/23214.1 布尔运算和表达式布尔运算和表达式术语变量、反码和文字术语变量、反码和文字变量是变量是用来表示逻辑量的符号用来表示逻辑量的符号.它可以值为它可以值为 1 1 or or 0 0.反码反码是变量是变量,用变量上的横杠表示用变量上的横杠表示.文字变量文字变量 是变量本身或变量的反码是变量本身或变量的反码.2024/6/2322AdditionAddition0+0=00+0=00+1=10+1=11+0=11+0=11+1=11+1=1MultiplicatioMultiplication n0*0=00*0=00*1=00*1=01*0=01*0=01*1 =11*1 =1OR GateOR GateAND GateAND Gate布尔运算和表达式布尔运算和表达式2024/6/23Chapter 4 Boolean Algebra and Logic Simplification23计算逻辑表达式计算逻辑表达式Determine the values Determine the values A,B,C,and,and D that make the that make the sum term sum term Solution:Solution:for the sum term to be for the sum term to be 0 0,each of the,each of the literals in the term must be literals in the term must be 0 0.Therefore,.Therefore,A=0,B=1,C=0,and and D=1.Determine the values Determine the values A,B,C,and,and D that make the that make the product term product term Solution:Solution:for the product term to be for the product term to be 1 1,each of,each of the literals in the term must be the literals in the term must be 1 1.Therefore,.Therefore,A=1,B=0,C=1,and and D=0.2024/6/23244.2 布尔代数定律和法则布尔代数定律和法则布尔代数基本定律布尔代数基本定律:Commutative Laws Commutative Laws(交换律交换律)Associative Laws Associative Laws(结合律结合律)Distributive Law Distributive Law(分配律分配律)每个定律由两到三个变量来表述，但不局限于每个定律由两到三个变量来表述，但不局限于此。此。2024/6/2325交换律交换律Commutative Law of Addition:Commutative Law of Addition:A+B=B+AA+B=B+ACommutative Law of Multiplication:Commutative Law of Multiplication:A*B=B*AA*B=B*A2024/6/2326结合律结合律Associative Law of Addition:Associative Law of Addition:A+(B+C)=(A+B)+CA+(B+C)=(A+B)+CAssociative Law of Multiplication:Associative Law of Multiplication:A*(B*C)=(A*B)*CA*(B*C)=(A*B)*C2024/6/2327分配律分配律Distributive Law:Distributive Law:A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC布尔代数基本定律 布尔代数布尔代数12法则法则基本定律基本定律1律律0律律重叠律重叠律非律非律A =0A+0=AA0=0A+1=1A1=AAA=AA+A=AA+=1互补律互补律A(A+B)=AA+AB=A(A+B)(A+C)=A+BC吸收律吸收律长中含短，长中含短，留下短。留下短。长中含反，长中含反，去掉反。去掉反。2024/6/2329Rule 1.Rule 1.A+0=AA+0=AOR Truth TableOR Truth TableRule 2.Rule 2.A+1=1A+1=12024/6/2330Rules of Boolean AlgebraRule 3.Rule 3.A A 0=0 0=0 AND Truth Table AND Truth TableRule 4.Rule 4.A A 1=A 1=A2024/6/2331Rules of Boolean AlgebraRule 5.Rule 5.A+A=AA+A=AOR Truth TableOR Truth TableRule 6.Rule 6.2024/6/2332Rules of Boolean AlgebraRule 7.Rule 7.A A A=A A=A AND Truth Table AND Truth TableRule 8.Rule 8.2024/6/2333Rules of Boolean AlgebraRule 9.Rule 9.Rule 10.Rule 10.A+AB=AA+AB=A2024/6/2334Rules of Boolean AlgebraRule 11.Rule 11.Rule 11.Rule 11.This rule can also be proved as follows:This rule can also be proved as follows:2024/6/2335Rules of Boolean AlgebraRule 12.Rule 12.Rule 12.Rule 12.(A+B)(A+C)=A+BC(A+B)(A+C)=A+BC(A+B)(A+C)=A+BC(A+B)(A+C)=A+BC公式推演法证明：公式推演法证明：2024/6/2336补充规则补充规则正反相对，余全完正反相对，余全完.Proof:Proof:Proof doneProof doneCorollary多余项定律多余项定律2024/6/23374.3 摩根定律摩根定律DeMorgans Theorems摩根定律反映了摩根定律反映了与非门与非门与与负或门负或门以及以及或非门或非门与负与负与门与门的等价性的等价性.Theorem 1Theorem 1 变量乘积的反码等于变量反码的或变量乘积的反码等于变量反码的或即两个或多个变量与运算后的反码等于单个变量的反码后的即两个或多个变量与运算后的反码等于单个变量的反码后的或或.Theorem 2Theorem 2 变量之和的反码等于变变量之和的反码等于变量反码的乘积量反码的乘积.即两个或多个变量或运算后的反码即两个或多个变量或运算后的反码等于单个变量的反码后的与等于单个变量的反码后的与.Remember:Remember:Remember:Remember:“横杠分开横杠分开横杠分开横杠分开,变换符号变换符号变换符号变换符号”2024/6/2338等价性说明等价性说明2024/6/2339摩根定理应用实例摩根定理应用实例1.1.Apply DeMorganApply DeMorgans theorems to the expressionss theorems to the expressionsSolution:Solution:2.2.Apply DeMorganApply DeMorgans theorems to the expressions theorems to the expressionSolution:Solution:布尔代数基本定律例例1(C+B)(A+C)=_A、BA+AC B、AB+C C、A+BC D、BC+A B吸收律吸收律交换律交换律例例2下列逻辑中正确的表达式下列逻辑中正确的表达式_A、A+AB=B B、C(D+C)=CD C、E+CE=E D、BC+A=A吸收律吸收律C例题例例3摩根定律摩根定律吸收律吸收律例例4与与相等的表达式相等的表达式_。A、EFCD、EB、C、D互补律互补律证明证明2024/6/23414.4 逻辑电路的布尔分析逻辑电路的布尔分析布尔表达式可以用来描述逻辑电路的功能布尔表达式可以用来描述逻辑电路的功能.Use Use X to represent the output,then the logic expression for to represent the output,then the logic expression for the circuit isthe circuit isX2024/6/2342构建逻辑电路真值表构建逻辑电路真值表表达式表达式Truth TableTruth Table0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 01 11 11 11 11 10 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 10 0 1 00 0 1 00 0 1 10 0 1 10 1 0 00 1 0 00 1 0 10 1 0 10 1 1 00 1 1 00 1 1 10 1 1 11 1 0 0 0 0 0 01 0 0 11 0 0 11 0 1 01 0 1 01 0 1 11 0 1 11 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 0 11 1 1 01 1 1 01 1 1 11 1 1 1OUTPUTOUTPUTA(B+CD)INPUTSINPUTSA B C D逻辑函数化简 4.5 逻辑函数逻辑函数化简化简与与-或表达式或表达式或或-与表达式与表达式与非与非-与非表达式与非表达式或非或非-或非表达式或非表达式化简目标化简目标与与-或表达式或表达式化简的方法化简的方法代数法代数法卡诺图法卡诺图法例例1并项法并项法=1=1布尔代数化简举例例例2吸收法吸收法A+AB=A例例3消去法消去法例例4A+A=A配项法配项法最简最简“与或与或”表达式的条表达式的条件件“与与”项的个数最少项的个数最少“与与”项内的变量数最少项内的变量数最少布尔代数化简举例例例4求求:(1)画出原始逻辑表达式的逻辑图画出原始逻辑表达式的逻辑图(2)布尔代数简化布尔代数简化逻辑表达式逻辑表达式 (3)画出简化后逻辑表达式的逻辑图画出简化后逻辑表达式的逻辑图解解：(1)BAYC(2)(3)AA=0 BB=BACYB2024/6/23464.6 布尔表达式的标准形式布尔表达式的标准形式 The sum-of-product The sum-of-product The sum-of-product The sum-of-product(SOP)(SOP)(SOP)(SOP)form form form form（积之和形式积之和形式积之和形式积之和形式/与或式与或式与或式与或式）Example:X=AB+CD+EFExample:X=AB+CD+EFExample:X=AB+CD+EFExample:X=AB+CD+EF标准化可以使布尔表达式计算、化简、实现更加系统化和容易实现标准化可以使布尔表达式计算、化简、实现更加系统化和容易实现The domain of a Boolean expressionThe domain of a Boolean expression 变量或它们的反码的乘积所组变量或它们的反码的乘积所组成的项，比如成的项，比如AB+BCD+AC SOP表达式表达式用与或用与或/门实现门实现.再利用与非门和负或门再利用与非门和负或门的等效性，可得：的等效性，可得：用与非负或门实现用与非负或门实现2024/6/2347例如转换通常的布尔代数表达式为例如转换通常的布尔代数表达式为 SOP 表达形式表达形式(A+B)(B+C+D)to SOP form.to SOP form.Solution:Solution:(A+B)(B+C+D)=AB+AC+AD+B+BC+BDTest Test youryour understanding understandingConvert the following Boolean expression to SOP form.Convert the following Boolean expression to SOP form.Solution:Solution:2024/6/2348标准标准SOP 形式形式 最小项之和形式最小项之和形式标准标准SOP SOP 形式形式:乘积项包含表达式域中的所有变量乘积项包含表达式域中的所有变量Example:Example:布尔代数可以把布尔代数可以把非标准非标准SOPSOP项项转换成转换成标准标准 SOPSOP项项.进行进行标准标准 SOPSOP项项变换变换利用布尔代数规则利用布尔代数规则6.6.三变量的其它乘积项，如：三变量的其它乘积项，如：等都不是最小项。等都不是最小项。每个标准每个标准 SOPSOP项称为最小项项称为最小项.2024/6/2349例如例如例：将例：将展开成最小项标准表达式展开成最小项标准表达式第一步，将所缺一个变量的项补齐所缺变量第一步，将所缺一个变量的项补齐所缺变量第二步，对于一次不能补齐的项，逐步补齐第二步，对于一次不能补齐的项，逐步补齐Solution:Solution:域为域为A,B,C,D.2024/6/2350最小项的二进制表示最小项的二进制表示(Minterm)一个最小项等于一个最小项等于1 1仅对应于一种二进制变量值的组合仅对应于一种二进制变量值的组合.例如最小项例如最小项:对应对应10101010取值时取值时 可简记为可简记为m m1010。布尔表达式的简化布尔表达式的简化对于逻辑函数：对于逻辑函数：可以简写成：可以简写成：F(A,B,C)=mF(A,B,C)=m7 7+m+m6 6+m+m3 3+m+m1 1或写成：或写成：F(A,B,C)=m(1,3,6,7)F(A,B,C)=m(1,3,6,7)2024/6/2351m m7 77 71 1 11 1 1m m6 66 61 1 01 1 0m m5 55 51 0 11 0 1m m4 44 41 0 01 0 0m m3 33 30 1 10 1 1m m2 22 20 1 00 1 0m m1 11 10 0 10 0 1m m0 00 00 0 00 0 0Decimal Decimal A B CA B CSimplified symbolSimplified symbolCorrespond Correspond Value Value MintermMinterm三变量最小项值表三变量最小项值表2024/6/2352在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1 1。最小项的性质最小项的性质(Minterm Properties)即对于任一乘积项，只有一种变量取值组合使得其值为即对于任一乘积项，只有一种变量取值组合使得其值为1 1。既然乘积项。既然乘积项取值为取值为1 1的概率最小，所以乘积项称为最小项。的概率最小，所以乘积项称为最小项。全体最小项之和为全体最小项之和为1 1。任何两个不同的最小项之积为任何两个不同的最小项之积为0 0。两个两个相邻相邻的最小项之和可以的最小项之和可以合并合并，消去一对因子，只留下公共因子。，消去一对因子，只留下公共因子。-相邻相邻(adjacentadjacent)：指仅有一个变量不同的最小项，如：指仅有一个变量不同的最小项，如：2024/6/2353布尔表达式的第二种表达形式布尔表达式的第二种表达形式 The product of sum(POS)formThe product of sum(POS)formThe product of sum(POS)formThe product of sum(POS)form（和之积形式）和之积形式）和之积形式）和之积形式）Example:X=(A+B)(C+D)(E+F)Example:X=(A+B)(C+D)(E+F)Example:X=(A+B)(C+D)(E+F)Example:X=(A+B)(C+D)(E+F)POSPOS表达形式表达形式,横杠不能跨过多于一个变量横杠不能跨过多于一个变量,i.e,i.e 是对的，但是对的，但 不对不对 POSPOS表达式的实现是两个或多个或门再通过与门输出表达式的实现是两个或多个或门再通过与门输出2024/6/2354标准标准 POS 形式形式Example:Example:每个标准每个标准 POS POS 项叫做最大项项叫做最大项 maxterm.maxterm.使最大项为使最大项为0 0的各个变量二进制取值的各个变量二进制取值.最大项的二进制表示最大项的二进制表示Example:Example:三变量的最大项三变量的最大项ABC=101ABC=101POS POS 表示形式的简化表示表示形式的简化表示Expression:Expression:can be written as:can be written as:1 1 1 11 1 1 10 1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1 0因为因为和项和项只有一种组合为只有一种组合为0 0，取，取1 1概率最大，故称为最大项。概率最大，故称为最大项。标准标准 POS POS 形式形式:和和项包含表达式域中的所有变量项包含表达式域中的所有变量2024/6/2355M M0 00 00 0 00 0 0M M1 11 10 0 10 0 1M M2 22 20 1 00 1 0M M3 33 30 1 10 1 1M M4 44 41 0 01 0 0M M5 55 51 0 11 0 1M M6 66 61 1 01 1 0M M7 77 71 1 11 1 1Decimal Decimal A B CA B CSimplified symbolSimplified symbolCorrespond Correspond Value Value Maxterm Maxterm Table of Three Variable Maxterm Value2024/6/2356全体最大项之积为全体最大项之积为0 0；任何两个不同最大项之和为任何两个不同最大项之和为1 1；最大项与最小项之间的关系最大项与最小项之间的关系分析分析:M3分析其他最小项也可以得出类似的关系。分析其他最小项也可以得出类似的关系。所以，最大项与最小项之间的关系为：所以，最大项与最小项之间的关系为：（用德摩根定理分析）（用德摩根定理分析）最大项的性质最大项的性质 Maxterm Properties只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。2024/6/2357布尔代数法则布尔代数法则8 8用来把非标准用来把非标准 POS POS 表达式转换成标准表达式转换成标准 POSPOS 项，利用项，利用 Step1:Step1:把缺少的变量与它的反码乘积项加到非标准和项中把缺少的变量与它的反码乘积项加到非标准和项中.Step2:Step2:利用法则利用法则12 12 A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)Step3:Step3:重复步骤重复步骤1 1直到所有的和项包含域中所有变量，例如直到所有的和项包含域中所有变量，例如转换任意和项为标准转换任意和项为标准POS项项2024/6/2358测试你的理解程度测试你的理解程度转换下列转换下列SOP SOP 表达为等价的表达为等价的 POS POS 表达表达:问问:每个最小项的二进制表示每个最小项的二进制表示?000000010010011011101101111111域为域为 A,B,C,A,B,C,一共有一共有8 8种可能组合，即全部有种可能组合，即全部有8 8个最小项，这个表达式中有个最小项，这个表达式中有5 5个个最小项最小项,那么最大项那么最大项 POS POS 包含剩下的包含剩下的3 3项，如下项，如下001,100 and 110001,100 and 110.上式的上式的POSPOS表示如下表示如下 POSPOS式为：式为：2024/6/23Chapter 4 Boolean Algebra and Logic Simplification59Test Your UnderstandingThe complement of a variable is always The complement of a variable is always a)0;b)1;c)equal to the a)0;b)1;c)equal to the variable;d)the inverse of the variable.variable;d)the inverse of the variable.Answer:d)Answer:d)The Boolean expression X=AB+CD representsThe Boolean expression X=AB+CD represents a)two ORs ANDed together;b)a 4-input AND gate a)two ORs ANDed together;b)a 4-input AND gate c)two ANDs ORed together;d)an exclusive-OR c)two ANDs ORed together;d)an exclusive-ORAnswer:c)Answer:c)3.3.An example of a standard SOP expression isAn example of a standard SOP expression isAnswer:c)Answer:c)2024/6/2360小结小结 相同编号的最小项和最大项存在互补关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系若若干干个个最最小小项项之之和和表表示示的的表表达达式式F F，其其反反函函数数F F可可用用等等同同个个与这些最小项相对应的最大项之积表示。与这些最小项相对应的最大项之积表示。例：例：m1m3m5m7=2024/6/2361布尔代数的三个基本规则布尔代数的三个基本规则1.1.代入规则代入规则(Substitution Rule)Substitution Rule)：在任何逻辑代数等式中，在任何逻辑代数等式中，如果等式两边所有出现某一变量的位置都代以一个逻辑函数，如果等式两边所有出现某一变量的位置都代以一个逻辑函数，则等式仍然成立。则等式仍然成立。例：例：练习：练习：B(A+C)=BA+BC;B(A+C)=BA+BC;将将A A代之以代之以A+DA+D答案：答案：B(A+D)+C=B(A+D)+BC=BA+BD+BCB(A+D)+C=B(A+D)+BC=BA+BD+BC2024/6/23622.反演规则反演规则(Method of Inversion)对原函数取反函数的过程称为反演。对于任意一个逻辑函数对原函数取反函数的过程称为反演。对于任意一个逻辑函数Y Y，若若将其中所有的将其中所有的“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果即为则得到的结果即为Y Y。这个规律称为反演定理。这个规律称为反演定理。在使用反演定理时还应在使用反演定理时还应特别注意特别注意遵守以下两个原则：遵守以下两个原则：（1）仍需遵守仍需遵守“先括号后乘、加先括号后乘、加”的运算次序；的运算次序；（2）不属于单个变量的反号应保留不变。不属于单个变量的反号应保留不变。通过下面的例子说明这两个原则。通过下面的例子说明这两个原则。2024/6/2363已知已知求求由反演规则直接可得：由反演规则直接可得：注意运算先后次序，不要写成：注意运算先后次序，不要写成：已知已知求求由反演规则直接可得：由反演规则直接可得：反演规则举例反演规则举例原来优先的运算，变号原来优先的运算，变号后仍然优先。后仍然优先。若用德若用德摩根定理做，则运算过程比较烦琐。摩根定理做，则运算过程比较烦琐。2024/6/2364对于任意一个逻辑函数对于任意一个逻辑函数Y，若将其中所有的若将其中所有的“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，则，则得到的一个新逻辑式得到的一个新逻辑式Y*，Y*称为称为Y的对偶式，或者说的对偶式，或者说Y和和Y*互互为对偶式。为对偶式。若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。Examples:Examples:3.对偶规则对偶规则(Duality Property)Conclusion:Conclusion:according to duality property,we only need to according to duality property,we only need to remember half the formulas we learned before.remember half the formulas we learned before.More Examples:More Examples:A+1=1A+1=1反演、对偶规则比较逻辑变量不变逻辑变量不变运算顺序不变运算顺序不变两变量以上的非号不动两变量以上的非号不动原式原式对偶式对偶式逻辑变量取逻辑变量取反反运算顺序不变运算顺序不变两变量以上的非号不动两变量以上的非号不动原式原式反演式反演式原式二次反演转换、二原式二次反演转换、二次对偶转换后均为原式次对偶转换后均为原式2024/6/2366111114.7 布尔表达式与真值表布尔表达式与真值表把乘积项把乘积项SOP之和表达式转换为真值表之和表达式转换为真值表.Solution:1.列出输入变量的所有二进制组合，三个变量列出输入变量的所有二进制组合，三个变量8种组合种组合;2.确定最小项二进制值确定最小项二进制值;3.对应于表示式中含有的对应于表示式中含有的最小项，最小项，X输出放输出放 1，其，其他放他放 0。00000INPUTSA B COUTPUTXPRODUCT TERM0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 12024/6/236700000把和项之积表达式转换成真值表表达式把和项之积表达式转换成真值表表达式.Solution:111INPUTSA B COUTPUTXSUM TERM0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11.列出输入变量的所有二进制组合，三个变量列出输入变量的所有二进制组合，三个变量8种组合种组合;2.确定确定最大项最大项二进制值二进制值;3.对应于表示式中含有的对应于表示式中含有的最大项，最大项，X输出放输出放 0，其，其他放他放 1。2024/6/2368给定真值表，写出标准乘积项之和表达式给定真值表，写出标准乘积项之和表达式.INPUTSA B COUTPUTX0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000110111.对于对于SOP 表达式表达式输出为输出为1 的项的项 作为乘积项作为乘积项 product terms.最后最后SOP 表达式是表达式是:2.对于和项之乘积对于和项之乘积 POS表达式表达式输出为输出为 项项 0 作为和项作为和项.The resulting POS:4.8 4.8 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法实质：将逻辑函数的最小项之和以图形的方式实质：将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表示出来。表示出来。以以2 2n n个小方块分别代表个小方块分别代表 n n 变量的所有最小项，变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻几何位置相邻的的两个最小项在两个最小项在逻辑上也是相邻的逻辑上也是相邻的（只有一个变（只有一个变量不同），就得到表示量不同），就得到表示n n变量全部最小项的卡诺变量全部最小项的卡诺图。图。逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法卡诺图提供了一个化简布尔表达式的系统方法卡诺图提供了一个化简布尔表达式的系统方法.卡诺图结构 2、卡诺图、卡诺图将将n变量的全部最小项各用一个小方格表示，并按循环码排变量的全部最小项各用一个小方格表示，并按循环码排列变量取值组合，列变量取值组合，使几何相邻的小方格具有逻辑相邻性使几何相邻的小方格具有逻辑相邻性。卡诺图卡诺图三变量三变量0001111000000101101001001011111101ABC000111100m0m2m6m41m1m3m7m5ABC每格标最小项每格标最小项每格标变量取值每格标变量取值每格标最小项编号每格标最小项编号ABC卡诺图结构000111100026411375ABC00011110000412801151391137151110261410ABCD三变量卡诺图三变量卡诺图四变量卡诺图四变量卡诺图BABADCC卡诺图结构000001011010110111101 10000041282428201601151392529211711371511273123191026141026302218ABCDE五变量卡诺图五变量卡诺图BDEA任意几何相邻的小方格所代任意几何相邻的小方格所代表的最小项具有逻辑相邻性表的最小项具有逻辑相邻性CC用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数将函数表示为最小项之和的形式。将函数表示为最小项之和的形式。在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1 1，其余地方填，其余地方填0 0。与或与或 式的卡诺图表示式的卡诺图表示.直接将表达式的直接将表达式的 与项与项 或或 最小项最小项 所所对应的方格标以对应的方格标以1.1.其它形式函数的卡诺图表示其它形式函数的卡诺图表示要转换成要转换成 与或与或 式再在卡诺图上表示。式再在卡诺图上表示。2024/6/2374逻辑相邻逻辑相邻卡诺图化简2 3、卡诺图化简、卡诺图化简实质实质合并最小项以消去相应的变量。合并最小项以消去相应的变量。合并规则合并规则仅有一个变量取值不同的两个最小项，仅有一个变量取值不同的两个最小项，合并成一项就可消去一个变量。合并成一项就可消去一个变量。000111100026411375BABCACm6+m7=ABm1+m5=BC*两个相邻小方格合并两个相邻小方格合并1111为何相邻的为何相邻的最小项才可最小项才可合并？合并？卡诺图化简4最小项为最小项为1的四个小方格合并成一项的四个小方格合并成一项，就可消去两个变量。，就可消去两个变量。*四个相邻小方格合并四个相邻小方格合并00011110000412801151391137151110261410ABCD00011110000412801151391137151110261410ABCD00011110000412801151391137151110261410ABCD00011110000412801151391137151110261410ABCD11111111AC11111111ABADBD用代数式用代数式验证验证卡诺图化简8最小项为最小项为1的八个小方格合并成一项的八个小方格合并成一项，就可消去三个变量。，就可消去三个变量。*八个相邻小方格合并八个相邻小方格合并00011110000412801151391137151110261410ABCD00011110000412801151391137151110261410ABCDB1111111111111111D卡诺图化简步骤 4、卡诺图化简步骤、卡诺图化简步骤例例1试用卡诺图化简法求逻辑表达式试用卡诺图化简法求逻辑表达式的最简与或表达式。的最简与或表达式。00011110000412801151391137151110261410ABCD111111111卡诺图化简步骤例例2试用卡诺图化简法求逻辑表达式试用卡诺图化简法求逻辑表达式的最简与或表达式。的最简与或表达式。0001111000011110ABCD1111111111解：解：11112024/6/2380当函数变换成最小项表达式很困难时采用此方法。当函数变换成最小项表达式很困难时采用此方法。例：画出例：画出的卡诺图。的卡诺图。分析：这是一个分析：这是一个4变量函数，见右图变量函数，见右图00 01 11 1000011110ABCD对第二、三项的处理方法相同。对第二、三项的处理方法相同。观察法原理：在上式第一个乘积项中，只观察法原理：在上式第一个乘积项中，只要要A、B、C取值取值 A=0、B=1、C=0，不论不论D取值为取值为1或或0，均满足均满足因此，因此，在卡诺图中在卡诺图中对应对应A=0、B=1、C=0的两个的两个小方格中填入小方格中填入1。1111111其余方格中填入其余方格中填入0。000000000用观察法填卡诺图用观察法填卡诺图2024/6/2381ABCDL0000100010001000011001001010110110001110ABCDL1000110010101011011011001110101110011111A、B、C、D is inputs,L is output,1 in L appeared 7 times.对应于对应于L=1处的变量值直接填处的变量值直接填1,其它的地方都填其它的地方都填 000 01 11 1000011110ABCD1111111000000000从真值表直接填卡诺图从真值表直接填卡诺图2024/6/2382卡诺图化简步骤卡诺图化简步骤00 01 11 1000011110ABCD1111111000000000Simplify Karnaugh Map由图可知有由图可知有3组相邻的组相邻的1和和1个孤立的个孤立的1。组组化简剩下化简剩下组组化简剩下化简剩下组组化简剩下化简剩下组组不能化简，对应不能化简，对应 ABCD故故L简化为简化为L卡诺图化简步骤(1)若给出的逻辑函数是一般表达式，则先将函数变换为一若给出的逻辑函数是一般表达式，则先将函数变换为一般的般的“与或与或”表达式或者变换为最小项之和的形式。表达式或者变换为最小项之和的形式。(2)画出需要化简函数的卡诺图。画出需要化简函数的卡诺图。(3)按照合并最小项的规则，合并最小项。按照合并最小项的规则，合并最小项。首先，圈为首先，圈为1的没有相邻的孤立小方格；的没有相邻的孤立小方格；其次，找出只有一种合并可能的小方格，其次，找出只有一种合并可能的小方格，并从这个小方格出发，把为并从这个小方格出发，把为1的相邻小方的相邻小方格圈起来；最后，圈格圈起来；最后，圈4个、个、2k个为个为1的的相邻小方格。一个方格可被包围多次，但相邻小方格。一个方格可被包围多次，但每个包围圈必须有新的方格。每个包围圈必须有新的方格。卡诺图化简步骤卡诺图化简步骤逻辑变量不超过五个时用卡诺图化简逻辑变量不超过五个时用卡诺图化简(4)写出合并后的最简写出合并后的最简“与或与或”表达式。表达式。0001111000011110ABCD1111111111例题例例1的正确最简与或表达式为的正确最简与或表达式为_。0001111000011110ABCD111解：解：11111111A、B、C、D、CA和和D也是正确的但不是最简。也是正确的但不是最简。0001111000011110D000111100001111011111111111ABCD11111111111ABCD无关项化简 5、具有无关项逻辑函数的化简、具有无关项逻辑函数的化简n变量的逻辑函数中，不可能存在，或不允许存变量的逻辑函数中，不可能存在，或不允许存在，或即使存在也无关紧要的最小项。在，或即使存在也无关紧要的最小项。无关项无关项例例化简函数化简函数，且无关项为，且无关项为0001111000011110ABCD111解：解：F=1项项无关项无关项无关项化简例例化简函数化简函数，且无关项为，且无关项为0001111000011110ABCD111解：解：11逻辑化简例题1在函数在函数 F=AB+CD 的真值表中，的真值表中，F=1的状态共有的状态共有_个。个。a、2b、4c、7d、16例例1解：解：00011110000412801151391137151110261410ABCD1111111ABCDc逻辑化简例题逻辑化简例题逻辑化简例题2例例2已知某电路的真值表如下，该电路的逻辑表达式是已知某电路的真值表如下，该电路的逻辑表达式是_。输入输入输出输出ABCF00000011010001111000101111011111a、F=AB+Cb、F=A+B+Cc、F=Cd、F=AB+C000111100026411375ABC1111解：解：1ABCa卡诺图化简卡诺图化简布尔代数化简布尔代数化简代数法化简逻辑函数需要一定的经验和技巧，代数法化简逻辑函数需要一定的经验和技巧，不容易确定化简结果是否为最简。不容易确定化简结果是否为最简。逻辑化简例题3例例3化简函数化简函数为最简与或式。为最简与或式。解：解：超过五变量，卡诺图化简较困难超过五变量，卡诺图化简较困难采用代数化简：采用代数化简：多余项是多余项是CDE逻辑函数的描述工具逻辑函数的描述工具逻辑函数的描述工具布尔代数法布尔代数法真值表法真值表法逻辑图法逻辑图法卡诺图法卡诺图法波形图法波形图法硬件描述语言法硬件描述语言法输入输入输出输出 A BF 0 0 0 1 1 0 1 1011001001110ABBAFAB FF =(notA and B)or(A and notB)2024/6/2391五变量卡诺图的使用局限对于对于5个变量个变量以上的卡诺图，某些以上的卡诺图，某些“1”相邻格相邻格有时不有时不是十分直观地可以辨认。请看下面的是十分直观地可以辨认。请看下面的5变量卡诺图：变量卡诺图：000001011010110111101100ABCDE0001111011因此对于因此对于5个变量以上的逻辑函数，不建议使用卡诺图化简。个变量以上的逻辑函数，不建议使用卡诺图化简。0010110101属于相邻关系，但很不容易直观地发现属于相邻关系，但很不容易直观地发现2024/6/2392Karnaugh Map POS Minimization 或与表达式方法：对卡诺图中所有的方法：对卡诺图中所有的0格进行加圈合并格进行加圈合并，以原变量以原变量表示变量取值表示变量取值0，以非变量表示变量取值，以非变量表示变量取值1。第一组简化为：第一组简化为：b+c+d第二组简化为：第二组简化为：b+d第三组简化为：第三组简化为：a+b+c因此，函数化简为：因此，函数化简为：例：将下面卡诺图表示的逻辑函数例：将下面卡诺图表示的逻辑函数F简化为简化为或与式。或与式。100110110110100100 01 11 1000011110abcdF1)1)、约束项约束项 例如，有三个逻辑变量例如，有三个逻辑变量A A、B B、C C，它们分别代表，它们分别代表一台电动机的正转、反转和停止的命令，一台电动机的正转、反转和停止的命令，A=1A=1表示正表示正转，转，B=1B=1表示反转，表示反转，C=1C=1表示停止。表示停止。ABCABC的取值只可能的取值只可能是是001001、010010、100100当中的某一种，而不能是当中的某一种，而不能是000000、011011、101101、110110、111111中的任何一种。因此，中的任何一种。因此，A A、B B、C C是一组是一组具有约束的变量。具有约束的变量。可写成：可写成：约束项：恒等于约束项：恒等于0 0的最小项的最小项具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简2)2)、任意项、任意项 有时还会遇到另外一种情况，就是在输入有时还会遇到另外一种情况，就是在输入变量的某些取值下函数值是变量的某些取值下函数值是1 1还是还是0 0皆可，并不皆可，并不影响电路的功能。影响电路的功能。任意项：在某些变量取值下，其值等于任意项：在某些变量取值下，其值等于1 1或等于或等于0 0的那些最小项称为任意项。的那些最小项称为任意项。3)3)、无关项、无关项约束项和任意项统称为无关项。约束项和任意项统称为无关项。讨论：讨论：2.2.在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于0 0，所，所以既可以将约束项写进逻辑函数式中，也可以将约束项从以既可以将约束项写进逻辑函数式中，也可以将约束项从函数式中删掉，而不影响函数值。函数式中删掉，而不影响函数值。同样即可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，同样即可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，因为输入变量的取值使这些任意项为因为输入变量的取值使这些任意项为1 1时，函数值是时，函数值是1 1还是还是0 0无所谓。无所谓。2.2.在用卡诺图表示逻辑函数时，首先将函数化为最小项之在用卡诺图表示逻辑函数时，首先将函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图中这些最小项对应的位置上填入和的形式