数列的概念数列的极限收敛数列的性质课件

一、数列的概念定义 按一定顺序排列起来的无穷多个数称为数列.通常称 为数列的第一项，为第二项，一般地，将第n项 称为通项或一般项.数列可用通项简记为 .例1例2例3例4例5数列 可以理解为正整数n的函数，因此，又可以称数列为整标函数，其定义域是正整数集.单调增加的；单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.单调减少的.若有例1、例5中的数列是单调增加的，例2中的数列是单调减少的.对于数列 ，若存在正数M，使得对于一切的n都有成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的.容易验证例2，例3和例4中的数列是有界的；而例1和例5中的数列是无界的.在几何上，通常用数轴上的点列 来表示数列 .这种表示法可以显示数列的某些性态.如单调增加的数列 是自左向右依次排列的点列.表示有界数列的点列全部落在某一区间M，M之内，表示无界数列的点列，无论区间M，M多么长，总有落在该区间之外的点.二、数列的极限我国古代著名的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的论断，就是数列极限思想的体现.数列的变化趋势，也可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.例如对于 来说，当n越来越大时，没有确定的变化趋势.当n“充分大”时，“无限接近于1”;当n“充分大时”，“无限接近于0”.一般来说，如果当n无限地增大时，xn无限地趋向于常数a，则说，当n趋于无穷大时，以为a极限，记成 当n越来越大时，它们各自是否都有确定的变化趋势？如果有，极限是什么？以 为例来讨论数列极限的含义.前面已经看到：当n无限地增大时，xn无限地趋于常数1.也就是对于任意给定的正数 ，都可小于 .所谓xn无限地趋于1，就是说 可以任意小.比如 ，欲使 而 任意小的前提条件是n充分大.只需n100.只需n1000.欲使一般来说，对于任意给定的正数，欲使这样，就定量地刻画了当 时，以1为极限的这一事实.下面给出数列极限的精确定义.定义 设有 ，a是常数，如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正整数N，使当nN时，都有成立.则称数列 当n趋于无穷大时以a为极限，记作数列 有极限，也称该数列是收敛的.否则，称数列是发散的.例6证证 当q=0时，等式显然成立.当0|q|1时，对任意给定的正数 (不妨设 1).例7证 对于任意给定的正数 (不妨设0 N时，二维点 都在直线 与直线 形成的带状域之内，一般来说，越小(带宽小)，N越大.定理2.1(极限的唯一性)若数列 收敛，则其极限唯一.根据数列极限的定义及xn以a为极限可知，存在正整数N1，当 n N1时，有证 反证法.设数列 收敛，但极限不唯一，即 有极限a和b，不妨设ab.取 .又由于 以b为极限，对上述的 存在正整数N2，当 时，有当nN时，(1)式与(2)式同时成立，这显然是矛盾的.因此，收敛数列的极限是唯一的.定理2.2(收敛数列的有界性)收敛数列必有界.证 设数列 收敛，并且以a为极限.根据数列极限的定义，对于 ，存在着正整数N，使得当nN时，都有由定理2.2知，无界数列一定是发散的.注意:数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.例如，数列 是有界的，而 却是发散数列.定理2.3(保序性)且ab，则存在正整数N，当nN时，恒有定理2.3表明两个收敛数列，若它们的极限不相等时，则当n充分大后对应的项也不相等，且与极限值有相同的大小顺序.推论1 若 且ab(或aN时，证 在定理2.3中取 ，即得推论1.推论2证 反证法注意：