人教版《整式的乘法》ppt课件初中数学

14.1 整式的乘法整式的乘法14.1 整式的乘法1教学目标教学目标1.掌握正整数幂的乘、除运算性质，2.能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算3.掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则及其几何含义4.并运用单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则进行运算教学目标2教学重点教学重点1.正确理解同底数幂的乘法法则2.准确掌握幂的乘方法则及其应用3.准确掌握积的乘方的运算性质4.准确运用法则进行计算，单项式与多项式乘法法则及其应用，多项式乘法法则教学难点教学难点1.正确理解和运用同底数幂的乘法法则2.同底数幂的乘法和幂的乘方的综合运用3.用数学语言概括运算性质4.单项式与多项式相乘时结果的符号的确定，利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则教学重点3同底数幂的乘法同底数幂的乘法 问题问题 1 一种电子计算机每秒可进行 1 千万亿（1015）次运算，它工作103 s 可进行多少次运算？它工作103 s 可进行运算的次数为1015103怎样计算1015103呢？根据乘方的意义可知同底数幂的乘法 问题 1 一种电子计算机每秒41015103（1010）（101010）15个1010101018个101018.1015103（1010）（101010）15 探究探究 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？规律？（1）25222（）；（2）a3a2 a（）；（3）5m5n5（）75mn 探究75mn6一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，aman(aaa)(aaa)m个an个aaaa amn.(mn)个a因此，我们有aman amn(m，n 都是正整数）.即同底数幂相乘，底数不变，指数相加同底数幂相乘，底数不变，指数相加一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，aman(a71015103（1010）（101010）（2）(2x)3(5xy2)（4）(x4)3上面的等式提供了单项式与多项式相乘的方法a01（a 0）（1）25222（）；ab2 ab(2ab)ab我们来计算aman（a 0，m，n都是正整数，并且mn）a01（a 0）(ambm)mammbmm准确掌握幂的乘方法则及其应用（1）(32)33232323()；（2）aa6 a16 a7；(ambm)mammbmm一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算例4 计算：a01（a 0）我们来计算aman（a 0，m，n都是正整数，并且mn）再利用单项式与多项式相乘的法则，得例例 1 计算：（1）x2x5；（2）aa6；（3）(2)(2)4(2)3；（4）xmx3m1解：解：（1）x2x5 x25 x7；（2）aa6 a16 a7；（3）(2)(2)4(2)3(2)143(2)8256；（4）xmx3m1xm3m1x4m1 1015103（1010）（101010）例8练习练习计算：计算：（1）b5b；（2）；（3）a2a6；（4）y2nyn1（1）b6；（2）；（3）a8；（4）y3n1参考答案：参考答案：练习计算：（1）b5b；（2）9幂的乘方幂的乘方 探究 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果，你能发现什么规律？果，你能发现什么规律？（1）(32)33232323()；（2）(a2)3a2a2a2a()；（3）(am)3amamama()（m是正整数）663m幂的乘方 探究663m10一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，因此，我们有(am)namamam ammmamn.n个amn个m(am)namn（m，n都是正整数）即幂的乘方，底数不变，指数相乘幂的乘方，底数不变，指数相乘一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，因此，我们有(am11例例 2 计算：（1）(103)5；（2）(a4)4；（3）(am)2；（4）(x4)3解：解：（1）(103)510351015；（2）(a4)4a44a16；（3）(am)2am2a2m；（4）(x4)3x43x12例 2 计算：解：（1）(103)51035101512积的乘方积的乘方 探究探究 填空，运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规填空，运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？律？（1）(ab)2(ab)(ab)(aa)(bb)a()b()；（2）(ab)3 a()b()一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，(ab)n(ab)(ab)(ab)n个abaaabbban bn n个an个b因此，我们有(ab)nanbn（n为正整数）即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘再把所得的幂相乘积的乘方 探究 一般地，对于任意底数a，13 例例 3 计算：（1）(2a)3；（2）(5b)3；（3）(xy2)2；（4）(2x3)4 解：解：（1）(2a)323a38a3；（2）(5b)3(5)3b3125b3；（3）(xy2)2 x2(y2)2x2y4；（4）(2x3)4(2)4(x3)416x12 例 3 计算：解：（1）(14整式的乘法整式的乘法 问题问题2 光的速度约是 3105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是5102 s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？地球与太阳的距离约是(3105)(5102)km整式的乘法 问题2 光的速度约是 310515 思考思考 （1）怎样计算怎样计算(3105)(5102)？计算过程中用到计算过程中用到哪些运算律及运算性质？哪些运算律及运算性质？（2）如果将上式中的数字改为字母，比如如果将上式中的数字改为字母，比如ac5bc2，怎样计算这个式子？怎样计算这个式子？ac5bc2是单项式ac5与bc2相乘，我们可以利用乘法交换律、结合律及同底数幂的运算性质来计算：ac5bc2(ab)(c5c2)abc52abc7 一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式母，则连同它的指数作为积的一个因式 思考 ac5bc2是单项式a16 例例4 计算：（1）(5a2b)(3a)；（2）(2x)3(5xy2)解：解：（1）(5a2b)(3a)(5)(3)(a2a)b 15a3b；（2）(2x)3(5xy2)8x3(5xy2)8(5)(x3x)y2 40 x4y2 例4 计算：解：（1）(5a2b)(317(ambm)mammbmm3ab2，就是要求一个单项式，使它与3ab2 的乘积等于12a3b2x3（2）5a5b3c15a4b4a22a 1一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，上面的等式提供了单项式与多项式相乘的方法（1）(32)33232323()；一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 ab2 ab(2ab)ab8(5)(x3x)y2 12a3b2x3 3ab24a2x38(5)(x3x)y2p(abc)papbpc3ab2，就是要求一个单项式，使它与3ab2 的乘积等于12a3b2x3 4a2x33ab212a3b2x3，我们来计算aman（a 0，m，n都是正整数，并且mn）1015103（1010）（101010）（1）(32)33232323()；aaa amn.（4）(2x3)4 为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长p m，宽b m 的长方形绿地，向两边分别加宽a m和c m，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？不同的表示方法之间有什么关系？如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系？(ambm)mammbmm 18 为了求扩大后的绿地面积，一种方法是先求扩大后的绿地的边长，再求面积，即为 p(abc)我们也可以先分别求原来绿地和新增绿地的面积，再求它们的和，即为 papbpc 由于表示同一个数量，所以 p(abc)papbpc 上面的等式提供了单项式与多项式相乘的方法 这个结果也可以由下图看出 为了求扩大后的绿地面积，一种方法是先求扩大后19 一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加乘多项式的每一项，再把所得的积相加 一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的20例例5计算：（1）(4x2)(3x1)；（2）(ab22ab)ab 解：解：（1）(4x2)(3x1)(4x2)(3x)(4x2)1 (43)(x2x)(4x2)；12x34x2；（2）(ab22ab)ab ab2 ab(2ab)ab a2b3a2b2 例5计算：（1）(4x2)(3x1)；（2）(21 问题问题3 如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m 的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？问题3 如图，为了扩大街心花园的绿地面积，22 扩大后的绿地可以看成长为（ab）m，宽为（pq）m 的长方形，所以这块绿地的面积（单位：m2）为(ab)(pq)扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成，所以这块绿地的面积（单位：m2）为apaqbpbq 因此(ab)(pq)apaqbpbq 上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法 扩大后的绿地可以看成长为（ab）m，宽为（23 计算(ab)(pq)，可以先把其中的一个多项式，如pq，看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得再利用单项式与多项式相乘的法则，得a(pq)b(pq)apaqbpbq 总体上看，(ab)(pq)的结果可以看作由ab的每一项乘pq的每一项，再把所得的积相加而得到的，即 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加加 计算(ab)(pq)，可以先把其中的一个24 例例6 计算：（1）(3x1)(x2)；（2）(x8y)(xy)；（3）(xy)(x2xyy2)解：解：（1）(3x1)(x2)(3x)x(3x)21x12 3x26xx2 3x27x2；（2）(x8y)(xy)x2xy 8xy8y2 x29xy8y2；（3）(xy)(x2xyy2)x3x2y xy2x2yxy2y3 x3y3 例6 计算：解：（1）(325 利用整式的乘法来讨论整式的除法首先来看同底数幂相除的情况 我们来计算aman（a 0，m，n都是正整数，并且mn）根据除法是乘法的逆运算，计算被除数除以除数所得的商，就是求一个数，使它与除数的积等于被除数由于式中的字母表示数，所以可以用类似的方法来计算aman amnan a(mn)nam，amanamn一般地，我们有amanamn（a 0，m，n 都是正整数，并且mn）.即同底数幂相除，底数不变，指数相减同底数幂相除，底数不变，指数相减 利用整式的乘法来讨论整式的除法首先来看同底26 同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如amam，根据除法的意义可知所得的商为1.另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有amam amm a0于是规定a01（a 0）这就是说，任何不等于任何不等于0的数的的数的0次幂都等于次幂都等于1 同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数27 例例7 计算：（1）x8x2；（2）(ab)5(ab)2 解：解：（1）x8x2x82x6；（2）(ab)5(ab)2 (ab)52(ab)3a3b3 例7 计算：28即幂的乘方，底数不变，指数相乘(ab)(pq)(ambm)mab.（3）(am)3amamama()（m是正整数）(ambm)mammbmmaaabbban bn 单项式与多项式相乘时结果的符号的确定，利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加（3）(xy2)2 x2(y2)2x2y4；解：（1）(3x1)(x2)ac5bc2(ab)(c5c2)abc52abc7同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如amam，根据除法的意义可知所得的商为1.12a3b2x3 3ab24a2x3amanamnaaa amn.我们也可以先分别求原来绿地和新增绿地的面积，再求它们的和，即为8(5)(x3x)y2(am)namn（m，n都是正整数）一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，对于单项式除以单项式，例如，计算12a3b2x33ab2，就是要求一个单项式，使它与3ab2 的乘积等于12a3b2x3 4a2x33ab212a3b2x3，12a3b2x3 3ab24a2x3 上面的商式4a2x3 的系数4123，a 的指数231，b的指数022，而b01，x 的指数330 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式连同它的指数作为商的一个因式即幂的乘方，底数不变，指数相乘 对于单项式除29 对于多项式除以单项式，例如，计算(ambm)m，就是要求一个多项式，使它与m的积是ambm (ab)mambm，(ambm)mab.又ammbmm ab，(ambm)mammbmm 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 对于多项式除以单项式，例如，计算(ambm30 例例8 计算：（1）28x4y2 7x3y；（2）5a5b3c15a4b；（3）(12a36a23a)3a 解：解：（1）28x4y2 7x3y (287)x43y21 4xy；（2）5a5b3c15a4b (5)15 a54b31c （3）(12a36a23a)3a 12a33a 6a23a 3a3a 4a22a 1 ab2c；例8 计算：解：（1）2831练习练习计算：计算：（1）x7x5；（2）m8m8；（3）(a)10(a)7；（4）(xy)5(xy)3参考答案：参考答案：（1）x2；（2）1；（3）a3；（4）x2y2练习计算：参考答案：（1）x2；（2）1；32再见！再见！再见！33