排列组合问题常用方法与策略课件

1a排列组合应用题解法综述（目目录）基本概念和考点基本概念和考点基本概念和考点基本概念和考点合理分合理分类和准确分步和准确分步特殊元素和特殊位置特殊元素和特殊位置特殊元素和特殊位置特殊元素和特殊位置问题问题相相相相邻邻相相相相间问题间问题定序定序问题分房分房问题环排、排、多排多排多排多排问题问题小集小集小集小集团问题团问题先先选后排后排问题平均分平均分组问题构造模型策略构造模型策略实验法（枚法（枚举法）法）其它特殊方法其它特殊方法2a排列组合应用题解法综述 计数数问题中排列中排列组合合问题是最常是最常见的，的，由于其解法往往是构造性的由于其解法往往是构造性的,因此方法灵活因此方法灵活多多样,不同解法不同解法导致致问题难易易变化也化也较大，大，而且解而且解题过程出程出现“重复重复”和和“遗漏漏”的的错误较难自自检发现。因而。因而对这类问题归纳总结，并把握一些常并把握一些常见解解题模型是必要的。模型是必要的。回目回目录3a基本原理组合排列排列数公式组合数公式组合数性质应用问题 知知识结构网构网络图：回目回目录4a 名称内容分分类原理原理分步原理分步原理定定 义相同点相同点不同点不同点两个原理的区两个原理的区别与与联系：系：做一件事或完成一做一件事或完成一项工作的方法数工作的方法数直接（直接（分分类）完成）完成间接（接（分步分步骤）完成）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法，法，第一第一类办法中有法中有m1种不同的方法，种不同的方法，第二第二类办法中有法中有m2种不同的方法种不同的方法，第第n类办法中有法中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成那么完成这件事共有件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法种不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n个步个步骤，做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法，种不同的方法，做第二步中有做第二步中有m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步中有步中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成那么完成这件事共有件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.回目回目录5a1.1.排列和排列和组合的区合的区别和和联系：系：名名 称称排排 列列组 合合定定义种数种数符号符号计算算公式公式关系关系性性质 ，从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的按一定的顺序序排成一列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，把它并成把它并成一一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有所有组合的个数合的个数回目回目录6a2.2.掌握解决排列掌握解决排列组合合问题的常用策略的常用策略;能运能运 用解用解题策略解决策略解决简单的的综合合应用用题。提高。提高学生解决学生解决问题分析分析问题的能力的能力 3.3.学会学会应用数学思想和方法解决排列用数学思想和方法解决排列组合合问题.教学目教学目标1.进一步理解和一步理解和应用分步用分步计数原理和分数原理和分类计数原理。数原理。回目回目录7a完成一件事，有完成一件事，有n n类办法，在第法，在第1 1类办法中有法中有 m m1 1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类办法中有法中有m m2 2 种不种不同的方法，同的方法，在第，在第n n类办法中有法中有m mn n种不同的种不同的方法，那么完成方法，那么完成这件事共有：件事共有：种不同的方法种不同的方法1.1.分分类计数原理数原理(加法原理加法原理)回目回目录8a完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步个步骤，做第，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有m m2 2 种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法，那么完成种不同的方法，那么完成这件事共有：件事共有：种不同的方法种不同的方法2.2.分步分步计数原理（乘法原理）数原理（乘法原理）分步分步计数原理数原理各步相互依存各步相互依存，每步中的方法，每步中的方法完成事件的完成事件的一个一个阶段段，不能完成整个事件不能完成整个事件3.分分类计数原理数原理分步分步计数原理区数原理区别分分类计数原理数原理方法相互独立方法相互独立，任何一种方法，任何一种方法都可以都可以独立地完成独立地完成这件事件事。回目回目录9a某校某校组织学生分学生分4个个组从从3处风景景点中点中选一一处去春游去春游,则不同的春不同的春游方案的种数是游方案的种数是A.B.C.D.（选 C）回目回目录10a将数字将数字1、2、3、4 填入填入标号号为1、2、3、4 的四个方格里的四个方格里,每格填一个数字，每格填一个数字，则每个方格的每个方格的标号与所填的数字都不相同号与所填的数字都不相同的填法共有的填法共有 A.6 种 B.9种 C.11种 D.23种（331=9.可用框图具体填写）回目回目录11a考点分析考点分析 从从考考纲大大纲看：高考看：高考对这部分的要求部分的要求还是比是比较高的高的.要重要重视两个两个计数原理、排列、数原理、排列、组合在解决合在解决实际问题上的上的应用用.值得提醒地是：得提醒地是：计数模型不一定是排列数模型不一定是排列或或组合合.画一画，数一数，算一算，是基本的画一画，数一数，算一算，是基本的计数方法，数方法，不可不可废弃弃.例（例（20012001年新年新课程卷）程卷）某某赛季足球比季足球比赛的的计分分规则是：是：胜一一场，得，得3 3分；平一分；平一场，得，得1 1分；分；负一一场，得，得0 0分分.一球一球队打完打完1515场，积3333分分.若不考若不考虑顺序，序，该队胜、负、平、平的情况共有的情况共有 A 3A 3种种 B 4B 4种种 C 5C 5种种 D 6D 6种种.回目回目录12a解决排列解决排列组合合综合性合性问题的一般的一般过程如下程如下:1.1.认真真审题弄清要做什么事弄清要做什么事2.2.怎怎样做才能完成所要做的事做才能完成所要做的事,即采取分步即采取分步还 是分是分类,或是分步与分或是分步与分类同同时进行行,确定分多确定分多 少步及多少少步及多少类。3.3.确定每一步或每一确定每一步或每一类是排列是排列问题(有序有序)还是是 组合合(无序无序)问题,元素元素总数是多少及取出多数是多少及取出多 少个元素少个元素.解决排列解决排列组合合综合性合性问题，往往，往往类与步交与步交 叉，因此必叉，因此必须掌握一些常用的解掌握一些常用的解题策略策略回目回目录13a判断下列判断下列问题是是组合合问题还是排列是排列问题?(1)设集合集合A=a,b,c,d,e，则集合集合A的含有的含有3个元素的子集有多少个个元素的子集有多少个?(2)某某铁路路线上有上有5个个车站，站，则这条条铁路路线上上共需准共需准备多少种多少种车票票?有多少种不同的火有多少种不同的火车票价？票价？组合合问题排列排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和名同学分成人数相同的数学和英英语两个学两个学习小小组，共有多少种分法，共有多少种分法?组合合问题(4)10人聚会，人聚会，见面后每两人之面后每两人之间要要握手相互握手相互问候，共需握手多少次候，共需握手多少次?组合合问题(5)从从4个个风景点中景点中选出出2个安排游个安排游览,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?组合合问题(6)从从4个个风景点中景点中选出出2个个,并确定并确定这2个个风景景点的游点的游览顺序序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列排列问题组合合问题回目回目录14a合理分合理分类和准确分步和准确分步 解排列（或）解排列（或）组合合问题，应按元素的性按元素的性质进行行分分类，分，分类标准明确，不重不漏；准明确，不重不漏；按按事情的事情的发生的生的连续过程分步，做到分步程分步，做到分步层次清楚次清楚.回目回目录15a总的原的原则合理合理分分类和和准确准确分步分步 解排列（或）解排列（或）组合合问题，应按元素的性按元素的性质进行行分分类，事情的，事情的发生的生的连续过程分步，做到分程分步，做到分类标准准明确，分步明确，分步层次清楚，不重不漏。次清楚，不重不漏。解法解法1 分析：先安排甲，按照要求分析：先安排甲，按照要求对其其进行分行分类，分两，分两类：根据分步及分根据分步及分类计数原理，不同的站法共有数原理，不同的站法共有例例16个同学和个同学和2个老个老师排成一排照相，排成一排照相，2个个老老师站中站中间，学生甲不站排，学生甲不站排头，学生乙不站排，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？尾，共有多少种不同的排法？1）若甲在排尾上，）若甲在排尾上，则剩下的剩下的5人可自由安排，有人可自由安排，有种方法种方法.2)若甲在第若甲在第2、3、6、7位，位，则排尾的排法有排尾的排法有种，种，1位的排位的排法有法有种种,第第2、3、6、7位的排法有位的排法有种种，根据，根据分步分步计数原理，不同的站法有数原理，不同的站法有 种。种。再安排老再安排老师，有，有2种方法。种方法。回目回目录16a把握分把握分类原理、分步原理是基原理、分步原理是基础例例1 1如如图，某，某电子器件是由三个子器件是由三个电阻阻组成的回路成的回路,其中有其中有6 6个个焊接接点点A A，B B，C C，D D，E E，F F，如果某个，如果某个焊接点脱落，接点脱落，整个整个电路就会不通。路就会不通。现发现电路不通了路不通了,那那么么焊接点脱落的可能性共有（接点脱落的可能性共有（）6363种种 （B B）6464种种 （C C）6 6种种 （D D）3636种种分析分析:由加法原理可知由加法原理可知由乘法原理可知由乘法原理可知222222-1=6322222-1=63回目回目录17a（1）0，1，2，3，4，5可可组成多少个无重复数字成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？且能被五整除的五位数？练习1分分类：个位数字：个位数字为5或或0：个位数个位数为0：个位数个位数为5：回目回目录18a（2）0，1，2，3，4，5可可组成多少个无重复数成多少个无重复数字且大于字且大于31250的五位数？的五位数？分分类：引申引申1：31250是由是由0，1，2，3，4，5组成的无重成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？复数字的五位数中从小到大第几个数？方法一：（排除法）方法一：（排除法）方法二：（直接法）方法二：（直接法）引申引申2：由：由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的成的无重复数字的五位数中大于五位数中大于31250，小于，小于50124的数共有多少个？的数共有多少个？2004全国12 在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复的5位数中，大于23145且小于43512的数共有（）个58回目回目录19a合理分类与分步策略例例.在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演名演员,其中其中8 8人能人能 能唱歌能唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞,现要演出一个要演出一个2 2人人 唱歌唱歌2 2人伴舞的人伴舞的节目目,有多少有多少选派方法派方法?解：10演演员中有中有5人只会唱歌，人只会唱歌，2人只会跳舞人只会跳舞 3人人为全能演全能演员。以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否选上唱歌人上唱歌人员为标准准进行研究行研究 只会唱只会唱的的5 5人中没有人人中没有人选上唱歌人上唱歌人员共有共有_种种,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人人选上唱歌人上唱歌人员_种种,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人选上唱歌人上唱歌人员有有_种，由分种，由分类计数数原理共有原理共有_种。种。+回目回目录20a本本题还有如下分有如下分类标准：准：*以以3 3个全能演个全能演员是否是否选上唱歌人上唱歌人员为标准准*以以3 3个全能演个全能演员是否是否选上跳舞人上跳舞人员为标准准*以只会跳舞的以只会跳舞的2 2人是否人是否选上跳舞人上跳舞人员为标准准都可都可经得到正确得到正确结果果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。回目回目录21a有不同的数学有不同的数学书7本，本，语文文书5本，本，英英语书4本，由其中取出不是同一本，由其中取出不是同一学科的学科的书2本，共有多少种不同的本，共有多少种不同的取法？取法？（75+74+54=83）回目回目录22a（4）（）（2005福建福建理）从理）从6人中人中选4人分人分别到巴黎、到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一，要求每个城市有一人游人游览，每人只游，每人只游览一个城市，且一个城市，且这6人中甲、乙两人人中甲、乙两人不去巴黎游不去巴黎游览，则不同的不同的选择方案共有方案共有（）A300种种B240种种 C144种种 D96种种B（直接法）分三种情况：（直接法）分三种情况：情况一情况一,不不选甲、乙两个去游甲、乙两个去游览:则有有种种选择方案方案,情况二情况二:甲、乙中有一人去游甲、乙中有一人去游览：有：有种种选择方案方案;情况三情况三：甲、乙两人都去游甲、乙两人都去游览,有有种种选择方案方案,综上不同的上不同的选择方案共有方案共有+=240（间接法）回目回目录23a1.1.从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中名女生中选出出4 4人参加某个座人参加某个座 谈会，若会，若这4 4人中必人中必须既有男生又有女生，既有男生又有女生，则不同的不同的选法共有法共有_ _ 3434 练习题2.3 3成人成人2 2小孩乘船游玩小孩乘船游玩,1,1号船最多乘号船最多乘3 3人人,2,2 号船最多乘号船最多乘2 2人人,3,3号船只能乘号船只能乘1 1人人,他他们任任选 2 2只船或只船或3 3只船只船,但小孩不能但小孩不能单独乘一只船独乘一只船,这3 3人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法.2727回目回目录24a特殊元素和特殊位置特殊元素和特殊位置问题25a特殊元素和特殊位置特殊元素和特殊位置优先策略先策略例例1.由由0,1,2,3,4,5可以可以组成多少个没有重复数字成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数.解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安先安 排排,以免不合要求的元素占了以免不合要求的元素占了这两个位置两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步由分步计数原理得数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列位置分析法和元素分析法是解决排列组合合问题最常用也是最基本的方法最常用也是最基本的方法,若以元素分析若以元素分析为主主,需先安排特殊元素需先安排特殊元素,再再处理其它元素理其它元素.若以若以位置分析位置分析为主主,需先需先满足特殊位置的要求足特殊位置的要求,再再处理其它位置。若有多个理其它位置。若有多个约束条件，往往是束条件，往往是考考虑一个一个约束条件的同束条件的同时还要兼要兼顾其它条件其它条件回目回目录26a“特殊元素、特殊位置特殊元素、特殊位置优先安排法先安排法”对于特殊元素的排列于特殊元素的排列组合合问题，一般，一般应先考先考虑特殊元特殊元素，再考素，再考虑其它元素。其它元素。例例2 用用0，1，2，3，4这五个数，五个数，组成没有重复数字成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（的三位数，其中偶数共有（）A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，是偶数，又因又因为0不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素，元素，应优先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分排在末尾和不排在末尾分为两两类；1)0排在末尾排在末尾时，有，有 个；个；2)0不排在末尾不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有十位有 个；个；3)由分由分类计数原理，共有偶数数原理，共有偶数 30 个个.B解解题技巧技巧回目回目录27a学生要从六学生要从六门课中中选学两学两门：（1）有两）有两门课时间冲突，不能冲突，不能同同时学，有几种学，有几种选法？法？（2）有两）有两门特特别的的课，至少，至少选学其中的一学其中的一门，有几种，有几种选法？法？回目回目录28a解法一：解法二：（1）有两）有两门课时间冲突冲突,不能不能同同时学，有几种学，有几种选法？法？回目回目录29a解法一：解法一：解法二：解法二：（2）有两）有两门特特别的的课，至少，至少选学其中的一学其中的一门，有几种，有几种选法？法？30a特殊元素（或位置）特殊元素（或位置）优先安排先安排例例 将将5 5列列车停停在在5 5条条不不同同的的轨道道上上，其其中中a a列列车不不停停在在第第一一轨道道上上，b b列列车不不停停在在第第二二轨道道上上，那么不同的停放方法有（那么不同的停放方法有（）（A A）120120种种 （B B）9696种种 （C C）7878种种 （D D）7272种种解：解：31a1.1.7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里,若两若两种葵花不种在中种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆，也不种在两端的花盆里里，问有多少不同的种法？有多少不同的种法？练习题32a （1）0,1,2,3,4,5这六个数字可六个数字可组成多少个无重复成多少个无重复数字的五位数？数字的五位数？（2）0，1，2，3，4，5可可组成多少个无重复数成多少个无重复数字的五位奇数？字的五位奇数？练习33a（3）(2005 北京北京文文)五个工程五个工程队承建某承建某项工程的工程的5个不同的子个不同的子项目，每个工程目，每个工程队承建承建1项，其中甲，其中甲工程工程队不能承建不能承建1号子号子项目，目，则不同的承建方案不同的承建方案共有（共有（）种。）种。（4）(2005 全国全国II 理理)在由数字在由数字0，1，2，3，4，5所所组成的没有重复数字的四位数中，不能被成的没有重复数字的四位数中，不能被整除的数共有整除的数共有_个个 解：不能被解：不能被5整除的有两种情况：情况整除的有两种情况：情况1、首位、首位为5有有种，情况种，情况2、首位不是、首位不是5的有的有种，故在由数字种，故在由数字0，1，2，3，4，5所所组成的没有重复数字的四位数中，成的没有重复数字的四位数中，不能被整除的数共有不能被整除的数共有+=192(个个)19234a小小结：1 1、“在在”与与“不在不在”可以相互可以相互转化。化。解决某些元素在某些位置上用解决某些元素在某些位置上用“定位法定位法”，解，解决某些元素不在某些位置上一般用决某些元素不在某些位置上一般用“间接法接法”或或转化化为“在在”的的问题求解。求解。2 2、排列、排列组合合应用用题极易出极易出现“重重”、“漏漏”现象，而重象，而重”、“漏漏”错误常常发生在生在该不不该分分类、有无次序的、有无次序的问题上。上。为了更好地防了更好地防“重重”堵堵“漏漏”，在做，在做题时需需认真分析自己做真分析自己做题思路，也可改思路，也可改变解解题角度，利用一角度，利用一题多解多解核核对答案答案回目回目录35a相相邻相相间问题36a相邻元素捆绑策略例例.7.7人站成一排人站成一排,其中甲乙相其中甲乙相邻且丙丁相且丙丁相 邻,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.甲甲乙乙丙丙丁丁由分步由分步计数原理可得共有数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480解：可先将甲乙两元素捆解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成成整体并看成 一个复合元素，同一个复合元素，同时丙丁也看成一个丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素复合元素，再与其它元素进行排列，行排列，同同时对相相邻元素内部元素内部进行自排。行自排。要求某几个元素必要求某几个元素必须排在一起的排在一起的问题,可以用可以用捆捆绑法来解决法来解决问题.即将需要相即将需要相邻的元素合并的元素合并为一个元素一个元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列,同同时要注意合并元素内部也必要注意合并元素内部也必须排列排列.回目回目录37a例例 5 5个男生个男生3 3个女生排成一排个女生排成一排,3,3个女生要排在一起个女生要排在一起,有有多少种不同的排法多少种不同的排法?解解 因因为女生要排在一起女生要排在一起,所以可以将所以可以将3 3个女生看成是个女生看成是一个人一个人,与与5 5个男生作全排列个男生作全排列,有有 种排法种排法,其中女生内其中女生内部也有部也有 种排法种排法,根据乘法原理根据乘法原理,共有共有 种不同的排法种不同的排法.结论 捆捆绑法法:要求某几个元素必要求某几个元素必须排在一起的排在一起的问题,可以用捆可以用捆绑法来解决法来解决问题.即将需要相即将需要相邻的元素合并的元素合并为一个元素一个元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列,同同时要注意合并要注意合并元素内部也可以作排列元素内部也可以作排列.分析分析 此此题涉及到的是排涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制于女生有特殊的限制,因此因此,女生是特殊元素女生是特殊元素,并且要求她并且要求她们要相要相邻,因此可以因此可以将她将她们看成是一个元素来解决看成是一个元素来解决问题.回目回目录38a某人射某人射击8 8枪，命中，命中4 4枪，4 4枪命中恰好命中恰好有有3 3枪连在一起的情形的不同种数在一起的情形的不同种数为（）练习题20回目回目录39a有有8本互不相同的本互不相同的书,其中数学其中数学书3本本,外文外文书2本本,其他其他书3本本.若将若将这些些书排排成一列放在成一列放在书架上架上,则数学数学书恰好排恰好排在一起在一起,外文外文书也恰好排在一起的排也恰好排在一起的排法共有法共有_ 种种(结果用数果用数 值表示表示).回目回目录40a不相不相邻问题插空策略插空策略例例3 3.解解:分两步分两步进行第一步排行第一步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种，种，第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中个元素中间包含首尾两个空位共有包含首尾两个空位共有种种 不同的方不同的方法法 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种相相相相独独独独独独元素相离元素相离问题可先把没有位置要求的元素可先把没有位置要求的元素进行排行排队再把不相再把不相邻元素插入中元素插入中间和两端和两端回目回目录41a不相不相邻问题插空法插空法 对于某几个元素不相于某几个元素不相邻得排列得排列问题，可先将其它，可先将其它元素排好，然后再将不相元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素的元素在已排好的元素之之间及两端的空隙之及两端的空隙之间插入即可。插入即可。例例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分分别有多少种站法？有多少种站法？分析：可先分析：可先让其余其余4人站好，共有人站好，共有 种排法，再在种排法，再在这4人之人之间及两端的及两端的5个个“空隙空隙”中中选三个位置三个位置让甲、甲、乙、丙插入，乙、丙插入，则有有 种方法，种方法，这样共有共有 种不种不同的排法。同的排法。回目回目录42a某班新年某班新年联欢会原定的会原定的5 5个个节目已排成目已排成节目目单，开演前又增加了两个新，开演前又增加了两个新节目目.如果如果将将这两个新两个新节目插入原目插入原节目目单中，且两中，且两个新个新节目不相目不相邻，那么不同插法的种数，那么不同插法的种数为（）30练习题回目回目录43a（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？各站一起，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，三个男生，四个女生排成一排，男生之男生之间、女生之女生之间不相不相邻，有几种不同排法？，有几种不同排法？捆捆绑法：法：插空法：插空法：（3）(2005辽宁宁)用、用、组成没有重复数字的八位数，要求与相成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与，与相相邻，与相，与相邻，而与不相，而与不相邻，这样的八位数共的八位数共有有_个（用数字作答）个（用数字作答）练习回目回目录44a(3)(2005辽宁宁)用、用、组成没有重复数字的八位数，要求与相成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相与相邻，与相，与相邻，而与不相，而与不相邻，这样的八位数共有的八位数共有_个（用数字作答）个（用数字作答）将与，与，与捆将与，与，与捆绑在一起排成一列在一起排成一列有有种，再将、插入种，再将、插入4个空位中的两个个空位中的两个有有种，故有种，故有种种引申引申:用、用、组成没有重复数字成没有重复数字的六位数，要求与相的六位数，要求与相邻，与相，与相邻，与，与相相邻，现将将7、8插插进去，仍要求与相去，仍要求与相邻，与，与相相邻，与相，与相邻，那么插法共有，那么插法共有_种种（用数字作答）（用数字作答）回目回目录45a“相相邻”用用“捆捆绑”，“不不邻”就就“插空插空”例例 七人排成一排，甲、乙两人必七人排成一排，甲、乙两人必须相相邻，且甲、乙，且甲、乙都不与丙相都不与丙相邻，则不同的排法有（不同的排法有（）种）种960960种种 （B B）840840种种 （C C）720720种种 （D D）600600种种解：解：另解：另解：回目回目录46a练习 某城新建的一条道路上有某城新建的一条道路上有1212只路灯，只路灯，为了了节省用省用电而不影响正常的照明，可以熄而不影响正常的照明，可以熄灭其中三其中三盏灯，但两端的灯不能熄灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄，也不能熄灭相相邻的两的两盏灯，可以熄灯，可以熄灭的方法共有（的方法共有（）（A A）种（种（B B）种种 （C C）种种 （D D）种种解：回目回目录47a例例 学校学校组织老老师学生一起看学生一起看电影，同一排影，同一排电影票影票1212张。8 8个学生，个学生，4 4个老个老师，要求老，要求老师在学生中在学生中间，且老，且老师互不互不相相邻，共有多少种不同的坐法？，共有多少种不同的坐法？解解 先排学生共有先排学生共有 种排法种排法,然后把老然后把老师插入学生之插入学生之间的空档，共有的空档，共有7 7个空档可插个空档可插,选其中的其中的4 4个空档个空档,共有共有 种种选法法.根据乘法原理根据乘法原理,共有的不同坐法共有的不同坐法为 种种.结论 插入法插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相于某两个元素或者几个元素要求不相邻的的问题,可以用插入法可以用插入法.即先排好没有限制条件的元即先排好没有限制条件的元素素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可空档之中即可.分析分析 此此题涉及到的是不相涉及到的是不相邻问题,并且是并且是对老老师有特殊有特殊的要求的要求,因此老因此老师是特殊元素是特殊元素,在解决在解决时就要特殊就要特殊对待待.所涉及所涉及问题是排列是排列问题.回目回目录48a小小结：以元素相以元素相邻为附加条件的附加条件的应把相把相邻元素元素视为一个整体，即一个整体，即采用采用“捆捆绑法法”；以某些元素不；以某些元素不能相能相邻为附加条件的附加条件的,可采用可采用“插插空法空法”。“插空插空”有同有同时“插空插空”和有逐一和有逐一“插空插空”,并要注意条并要注意条件的限定件的限定.回目回目录49a定序定序问题倍倍缩空位插入策略空位插入策略定序定序问题50a例例6 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互不等，将将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？排列，有多少种排法？顺序固定序固定问题用用“除法除法”对于某几个元素于某几个元素顺序一定的排列序一定的排列问题，可先将，可先将这几个元素与其它元素一同几个元素与其它元素一同进行排列，然后用行排列，然后用总的的排列数除以排列数除以这几个元素的全排列数几个元素的全排列数.所以共有所以共有 种。种。分析：先在分析：先在7个位置上作全排列，有个位置上作全排列，有 种排法。其中种排法。其中3个女生因要求个女生因要求“从矮到高从矮到高”排，只有一种排，只有一种顺序故序故 只只对应一种排法，一种排法，回目回目录51a定序定序问题倍倍缩空位插入策略空位插入策略例例4.74.7人排人排队,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人人顺序一定共有多序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:(倍倍缩法法)对于某几个元素于某几个元素顺序一定的排列序一定的排列问题,可先把可先把这几个元素与其他元素一起几个元素与其他元素一起进行排列行排列,然后用然后用总排列数除以排列数除以这几个元几个元素之素之间的全排列数的全排列数,则共有不同排法种数共有不同排法种数是：是：（空位法空位法）设想有想有7 7把椅子把椅子让除甲乙丙以外除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，种坐法，则共有共有 种种 方法方法 1思考思考:可以先可以先让甲乙丙就坐甲乙丙就坐吗?回目回目录52a例例6 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互不等，将将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？排列，有多少种排法？顺序固定序固定问题用用“除法除法”对于某几个元素于某几个元素顺序一定的排列序一定的排列问题，可先将，可先将这几个元素与其它元素一同几个元素与其它元素一同进行排列，然后用行排列，然后用总的的排列数除以排列数除以这几个元素的全排列数几个元素的全排列数.所以共有所以共有 种。种。分析：先在分析：先在7个位置上作全排列，有个位置上作全排列，有 种排法。其中种排法。其中3个女生因要求个女生因要求“从矮到高从矮到高”排，只有一种排，只有一种顺序故序故 只只对应一种排法，一种排法，回目回目录53a（插入法插入法)先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人,共有共有1 1种排法种排法,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4*5*6*74*5*6*7定序定序问题可以用倍可以用倍缩法，法，还可可转化化为占位插占位插空模型空模型处理理练习题1010人身高各不相等人身高各不相等,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人,要要求从左至右身高逐求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？增加，共有多少排法？回目回目录54a例例 期中安排考期中安排考试科目科目9 9门,语文要在数学之前考文要在数学之前考,有多有多少种不同的安排少种不同的安排顺序序?解解 不加任何限制条件不加任何限制条件,整个排法有整个排法有 种种,“,“语文安排在文安排在数学之前考数学之前考”,与与“数学安排在数学安排在语文之前考文之前考”的排法是的排法是相等的相等的,所以所以语文安排在数学之前考的排法共有文安排在数学之前考的排法共有 种种.结论 对等法等法:在有些在有些题目中目中,它的限制条件的肯定与否它的限制条件的肯定与否定是定是对等的等的,各占全体的二分之一各占全体的二分之一.在求解中只要求出在求解中只要求出全体全体,就可以得到所求就可以得到所求.分析分析 对于任何一个排列于任何一个排列问题,就其中的两个元素来就其中的两个元素来讲的的话,他他们的排列的排列顺序只有两种情况序只有两种情况,并且在整个排列中并且在整个排列中,他他们出出现的机会是均等的的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况因此要求其中的某一种情况,能能够得到全体得到全体,那么那么问题就可以解决了就可以解决了.并且也避免了并且也避免了问题的复的复杂性性.回目回目录55a分房分房问题又名：住店法，又名：住店法，重排重排问题求求幂策略策略56a住店法住店法解决解决“允允许重复排列重复排列问题”要注意区分两要注意区分两类元素：元素：一一类元素可以重复，另一元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复不能重复，把不能重复的元素看作的元素看作“客客”，能重复的元素看作，能重复的元素看作“店店”，再利，再利用乘法原理直接求解。用乘法原理直接求解。例例10 七名学生争七名学生争夺五五项冠冠军，每，每项冠冠军只能由一只能由一人人获得，得，获得冠得冠军的可能的种数有（的可能的种数有（）A.B.C D.分析：因同一学生可以同分析：因同一学生可以同时夺得得n项冠冠军，故学生可重复排列，故学生可重复排列，将七名学生看作将七名学生看作7家家“店店”，五，五项冠冠军看作看作5名名“客客”，每个，每个“客客”有有7种住宿法，由乘法原理得种住宿法，由乘法原理得 种。种。注：注：对此此类问题，常有疑惑，常有疑惑，为什么不是什么不是 呢？呢？用分步用分步计数原理看，数原理看，5是步是步骤数，自然是指数。数，自然是指数。回目回目录57a重排重排问题求求幂策略策略例例.把把6 6名名实习生分配到生分配到7 7个个车间实习,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解:完成此事共分六步完成此事共分六步:把第一名把第一名实习生分配生分配 到到车间有有 种分法种分法.7 7把第二名把第二名实习生分配生分配 到到车间也有也有7 7种分法，种分法，依此依此类推推,由分步由分步计数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法允允许重复的排列重复的排列问题的特点是以元素的特点是以元素为研究研究对象，元素不受位置的象，元素不受位置的约束，可以逐一安排束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限不同的元素没有限制地安排在制地安排在m个位置上的排列数个位置上的排列数为 种种n nm m回目回目录58a1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）422.2.某某8 8层大楼一楼大楼一楼电梯上来梯上来8 8名乘客人名乘客人,他他们 到各自的一到各自的一层下下电梯梯,下下电梯的方法梯的方法（）练习题回目回目录59a环排排问题和和多排多排问题60a环排排问题线排策略排策略例例6.56.5人人围桌而坐桌而坐,共有多少种坐法共有多少种坐法?解：解：围桌而坐与桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人形没有首尾之分，所以固定一人A A并从并从 此位置把此位置把圆形展成直形展成直线其余其余4 4人共有人共有_ 种排法即种排法即 A AB BC CE ED DD DA AA AB BC CE E（5-1)5-1)！一般地一般地,n n个不同元素作个不同元素作圆形排形排列列,共有共有(n-1)!n-1)!种排法种排法.如果从如果从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素作个元素作圆形排列共有形排列共有回目回目录61a练习题6 6颗颜色不同的色不同的钻石，可穿成几种石，可穿成几种钻石圈？石圈？6062a多排多排问题直排策略直排策略例例7.87.8人排成前后两排人排成前后两排,每排每排4 4人人,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排,丁在后排丁在后排,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排.先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有共有_种种.前排后排后排一般地一般地,元素分成多排的排列元素分成多排的排列问题,可可归结为一排考一排考虑,再分段研究再分段研究.回目回目录63a有两排座位，前排有两排座位，前排1111个座位，后排个座位，后排1212个座位，个座位，现安排安排2 2人就座人就座规定前排定前排中中间的的3 3个座位不能坐，并且个座位不能坐，并且这2 2人人不左右相不左右相邻，那么不同排法的种数，那么不同排法的种数是是_346练习题回目回目录64a小集小集团问题65a小集小集团问题先整体局部策略先整体局部策略例例9.9.用用1,2,3,4,51,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数其中恰有两个偶数夹1,1,在两个奇数之在两个奇数之 间,这样的五位数有多少个？的五位数有多少个？解：把解：把,当作一个小集当作一个小集团与排与排队共有共有_种排法，再排小集种排法，再排小集团内部共有内部共有_种排法，由分步种排法，由分步计数原理共有数原理共有_种排法种排法.31524小集小集团小集小集团排列排列问题中，先整体后局中，先整体后局部，再部，再结合其它策略合其它策略进行行处理。理。回目回目录66a.计划展出划展出10幅不同的画幅不同的画,其中其中1幅水彩画幅水彩画,幅油画幅油画,幅国画幅国画,排成一行排成一行陈列列,要求同一要求同一品种的必品种的必须连在一起，并且水彩画不在两在一起，并且水彩画不在两端，那么共有端，那么共有陈列方式的种数列方式的种数为_2.5男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相男生相邻,女女生也相生也相邻的排法有的排法有_种种回目回目录67a元素相同元素相同问题隔板策略隔板策略应用背景：相同元素的名用背景：相同元素的名额分配分配问题 不定方程的正整数解不定方程的正整数解问题隔板法的使用特征：隔板法的使用特征：相同的元素分成若干部分，每部分至少一个相同的元素分成若干部分，每部分至少一个68a元素相同问题隔板策略例例.有有1010个运个运动员名名额，在分，在分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个,有多少种分配方案？有多少种分配方案？解：因解：因为10个名个名额没有差没有差别，把它，把它们排成排成一排。相一排。相邻名名额之之间形成个空隙。形成个空隙。在个空档中在个空档中选个位置插个隔板，个位置插个隔板，可把名可把名额分成份，分成份，对应地分地分给个个班班级，每一种插板方法，每一种插板方法对应一种分法一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份（n n，m m为正整数）正整数）,每份至少一个元素每份至少一个元素,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入隔板，插入n n个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法数个空隙中，所有分法数为回目回目录69a例例 高二年高二年级8 8个班个班,组织一个一个1212个人的年个人的年级学生分会学生分会,每每班要求至少班要求至少1 1人人,名名额分配方案有多少种分配方案有多少种?解解 此此题可以可以转化化为:将将1212个相同的白球分成个相同的白球分成8 8份份,有多有多少种不同的分法少种不同的分法问题,因此因此须把把这1212个白球排成一排个白球排成一排,在在1111个空档中放上个空档中放上7 7个相同的隔板个相同的隔板,每个空档最多放一每个空档最多放一个个,即可将白球分成即可将白球分成8 8份份,显然有然有 种不同的放法种不同的放法,所以所以名名额分配方案有分配方案有 种种.结论 转化法化法:对于某些于某些较复复杂的、或的、或较抽象的排列抽象的排列组合合问题，可以利用，可以利用转化思想化思想,将其化将其化归为简单的、具体的、具体的的问题来求解来求解.分析分析 此此题若直接去考若直接去考虑的的话,就会比就会比较复复杂.但如果我但如果我们将其将其转换为等价的其他等价的其他问题,就会就会显得比得比较清楚清楚,方方法法简单,结果容易理解果容易理解.回目回目录70a练习（1 1）将）将1010个学生干部的培个学生干部的培训指指标分配分配给7 7个不同个不同的班的班级，每班至少分到一个名，每班至少分到一个名额，不同的分配方，不同的分配方案共有案共有 （）种。）种。（2）不定方程）不定方程 的正整的正整数解共有（数解共有（）组回目回目录71a练习题1.1.1010个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中,每盒至少一每盒至少一2.2.有多少装法？有多少装法？2.2.x+y+z+w=100 x+y+z+w=100求求这个方程个方程组的自然数解的自然数解 的的组数数回目回目录72a小小结：把把n n个相同元素分成个相同元素分成m m份每份份每份,至至少少1 1个元素个元素,问有多少种不同分法的有多少种不同分法的问题可以采用可以采用“隔板法隔板法”得出共有得出共有 种种.回目回目录73a间接法解接法解题74a正正难则反反总体淘汰策略体淘汰策略例例11.从从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三十个数字中取出三 个数，使其和个数，使其和为不小于不小于10的偶数的偶数,不同的不同的 取法有多少种？取法有多少种？解：解：这问题中如果直接求不小于中如果直接求不小于10的偶数很的偶数很 困困难,可用可用总体淘汰法。体淘汰法。这十个数字中有十个数字中有5 5个偶数个偶数5 5个奇数个奇数,所取的三个数含有所取的三个数含有3 3个偶个偶数的取法有数的取法有_,_,只含有只含有1 1个偶数的取法个偶数的取法有有_,_,和和为偶数的取法共有偶数的取法共有_再淘汰和小于再淘汰和小于10的偶数共的偶数共_符合条件的取法共有符合条件的取法共有_ 9 9013013015015017017023023025025027027041041045045043043+-9-9+有些排列有些排列组合合问题,正面直接考正面直接考虑比比较复复杂,而它的反面往往比而它的反面往往比较简捷捷,可以先求出它的可以先求出它的反面反面,再从整体中淘汰再从整体中淘汰.回目回目录75a 例：用例：用0 0，1 1，2 2，3 3，4 4这五个数，五个数，组成没有重复成没有重复数字的三位数，其中数字的三位数，其中1 1不在个位的数共有不在个位的数共有_种。种。间接法接法(总体淘汰法体淘汰法,正正难则反）反）对于含有否定于含有否定词语的的问题，还可以从可以从总体中把不符合体中把不符合要求的减去，此要求的减去，此时应注意注意既不能多减又不能少减。既不能多减又不能少减。分析分析：五个数五个数组成三位数的全排列有成三位数的全排列有个，个，0排在首位的排在首位的有有个个，1排在末尾的有排在末尾的有，减掉，减掉这两种不合条件的两种不合条件的排排法数，再加回百位法数，再加回百位为0同同时个位个位为1的排列数的排列数（为什么？）什么？）故共有故共有种。种。76a例例 我我们班里有班里有4343位同学位同学,从中任抽从中任抽5 5人人,正、副班正、副班长、团支部支部书记至少有一人在内的抽法有多少种至少有一人在内的抽法有多少种?解解 4343人中任抽人中任抽5 5人的方法有人的方法有 种种,正副班正副班长,团支部支部书记都不在内的抽法有都不在内的抽法有 种种,所以正副班所以正副班长,团支部支部书记至少有至少有1 1人在内的抽法有人在内的抽法有 种种.结论 去去杂法法:有些有些问题,正面直接考正面直接考虑比比较复复杂,而它的而它的反面往往比反面往往比较简捷捷,可以先求出它的反面可以先求出它的反面,再从整体中排再从整体中排除除.分析分析 此此题若是直接去考若是直接去考虑的的话,就要将就要将问题分成好几分成好几种情况种情况,这样解解题的的话,容易造成各种情况容易造成各种情况遗漏或者重漏或者重复的情况复的情况.而如果从此而如果从此问题相反的方面去考相反的方面去考虑的的话,不不但容易理解但容易理解,而且在而且在计算中也是非常的算中也是非常的简便便.这样就可就可以以简化化计算算过程程.回目回目录77a（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不）三个男生，四个女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有几种不同方法？在最左，乙不在最右，有几种不同方法？（2）五人从左到右站成一排，其中甲不站排）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有（乙不站第二个位置，那么不同的站法有（）A.120 B.96 C.78 D.72直接练习3回目回目录78a （3）用用间接法解例接法解例1“6个同学和个同学和2个老个老师排成一排排成一排照相，照相，2个老个老师站中站中间，学生甲不站排，学生甲不站排头，学生乙不，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？站排尾，共有多少种不同的排法？”回目回目录79a我我们班里有班里有4343位同学位同学,从中任抽从中任抽5 5人人,正、正、副班副班长、团支部支部书记至少有一人在内的至少有一人在内的抽法有多少种抽法有多少种?练习题回目回目录80a平均分平均分组问题除法策略除法策略“分分书问题”81a平均分平均分组问题除法策略除法策略例12.6本不同的本不同的书平均分成平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？解解:分三步取分三步取书得得 种方法种方法,但但这里出里出现 重复重复计数的数的现象象,不妨不妨记6本本书为ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 该分法分法记为(AB,CD,EF),则 中中还有有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 种取法种取法,而而 这些分法些分法仅是是(AB,CD,EF)一种分法一种分法,故共故共 有有 种分法。种分法。平均分成的平均分成的组,不管它不管它们的的顺序如何序如何,都是一都是一种情况种情况,所以分所以分组后要一定要除以后要一定要除以 (n为均分的均分的组数数)避免重复避免重复计数。数。回目回目录82a1 将将13个球个球队分成分成3组,一一组5个个队,其它两其它两组4 个个队,有多少分法？有多少分法？2.10名学生分成名学生分成3组,其中一其中一组4人人,另两另两组3人人 但正副班但正副班长不能分在同一不能分在同一组,有多少种不同有多少种不同 的分的分组方法方法（1540）3.3.某校高二年某校高二年级共有六个班共有六个班级，现从外地从外地转 入入4 4名学生，要安排到名学生，要安排到该年年级的两个班的两个班级且每且每班安排班安排2 2名，名，则不同的安排方案种数不同的安排方案种数为_ 回目回目录83a分清排列、分清排列、组合、等分的算法区合、等分的算法区别例例 (1)(1)今有今有1010件不同件不同奖品品,从中从中选6 6件分件分给甲一件甲一件,乙二件和丙三件乙二件和丙三件,有多少种分法有多少种分法?(2)(2)今有今有1010件不同件不同奖品品,从中从中选6 6件分件分给三人三人,其中其中1 1人一件人一件1 1人二件人二件1 1人三件人三件,有多少种分法有多少种分法?(3)(3)今有今有1010件不同件不同奖品品,从中从中选6 6件分成三份件分成三份,每每份份2 2件件,有多少种分法有多少种分法?解：（1）（2）(3)回目回目录84a练习(1)(1)今有今有1010件不同件不同奖品品,从中从中选6 6件分成三份件分成三份,二二份各份各1 1件件,另一份另一份4 4件件,有多少种分法有多少种分法?(2)(2)今有今有1010件不同件不同奖品品,从中从中选6 6件分件分给甲乙丙三甲乙丙三人人,每人二件有多少种分法每人二件有多少种分法?解:(1)(2)回目回目录85a小小结：排列与排列与组合的区合的区别在于元素是在于元素是否有序否有序;m;m等分的等分的组合合问题是非等分情是非等分情况的况的;而元素相同而元素相同时又要另行考又要另行考虑.回目回目录86a构造模型策略构造模型策略例例.马路上有路上有编号号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路灯九只路灯,现要关掉其中的要关掉其中的3 3盏,但不能关但不能关 掉相掉相邻的的2 2盏或或3 3盏,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2 2 盏,求求满足条件的关灯方法有多少种？足条件的关灯方法有多少种？解：把此解：把此问题当作一个排当作一个排队模型在模型在6 6盏 亮灯的亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3个不亮的灯个不亮的灯 有有_ _ 种种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的