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第42练整体策略与换元法题型分析高考展望整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化高考必会题型题型一整体策略例1(1)计算(1)()(1)()；(2)解方程(x25x1)(x25x7)7.解(1)设t，则原式(1t)(t)(1t)ttt2ttt2t.(2)设x25xt，则原方程化为(t1)(t7)7，t28t0，解得t0或t8，当t0时，x25x0，x(x5)0，x10，x25；当t8时，x25x8，x25x80，b24ac254181)，则问题转化为函数f(m)m2mtt1在区间(1，)上的图象恒在x轴上方，即t24(t1)0或解得t0，设OA：ykx，k0，与椭圆1联立解得x，又xAxPk2xAxP48，解得xP，令925k2t9，即k2，则xP25 80 8010，当且仅当t16，即k2时取等号，所以点P的横坐标的最大值为10.(3)已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；证明：对一切x(0，)，都有ln x成立解对一切x(0，)，有2xln xx2ax3，则a2ln xx，设h(x)2ln xx(x(0，)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增所以h(x)minh(1)4.因为对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.证明问题等价于证明xln x(x(0，)f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到，设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取到从而对一切x(0，)，都有ln x成立点评换元法是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化，变得容易处理，换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化主要考查运用换元法处理以函数、三角函数、不等式、数列、解析几何为背景的最值、值域或范围问题，通过换元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程变式训练2(1)已知函数f(x)2x(x1)，则f(x)的最小值为_答案22解析f(x)2(x1)2，令x1t，则f(t)2t2(t0)，f(t)2 222.当且仅当2t时等号成立，故f(x)的最小值为22，当且仅当2(x1)，即x1时等号成立(2)已知在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.求Sn的表达式；设bn，数列bn的前n项和为Tn，证明Tn.解San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，(*)由题意得Sn1Sn0，(*)式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列12(n1)2n1，Sn.证明bn，Tnb1b2bn(1)()()，Tnax的解集是(4，b)，则a_，b_.答案36解析令t，则tat2，即at2t1)，则f(x)的值域是_答案(，loga4解析设x21t(t1)，f(t)loga(t1)24，值域为(，loga47已知mR，函数f(x)g(x)x22x2m1，若函数yf(g(x)m有6个零点，则实数m的取值范围是_答案(0，)解析函数f(x)的图象如图所示，令g(x)t，yf(t)与ym的图象最多有3个交点，当有3个交点时，0m3，从左到右交点的横坐标依次t1t22m2，又0m3，联立得0m.8已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值解方程x2y24x10变形为(x2)2y23，表示的图形是圆(1)设x2cos ，则ysin ，故x2cos ，ysin ，则yxsin cos 2sin()2，当2k(kZ)时，yx有最小值2，当2k(kZ)时，yx有最大值2.(2)由(1)知x2y2(2cos )2(sin )274cos .当2k(kZ)时，x2y2有最大值74，当2k(kZ)时，x2y2有最小值74.9平面内动点P与两定点A(2,0)，B(2,0)连线的斜率之积等于，若点P的轨迹为曲线E，直线l过点Q(，0)交曲线E于M，N两点(1)求曲线E的方程，并证明：MAN是一定值；(2)若四边形AMBN的面积为S，求S的最大值解(1)设动点P坐标为(x，y)，当x2时，由条件得：，化简得y21(x2)，曲线E的方程为y21(x2)，由题意可设直线l的方程为xky，联立方程组可得化简得(k24)y2ky0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2.又A(2,0)，则(x12，y1)(x22，y2)(k21)y1y2k(y1y2)0，所以MAN90，所以MAN的大小为定值(2)S|AB|y1y2|22|2 ，令k24t(t4)，k2t4，S.设f(t)，f(t)，t4，f(t)0，yf(t)在4，)上单调递减f(t)f(4)4，由t4，得k0，此时S有最大值.
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