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分层限时跟踪练(四十二)(限时40分钟)一、选择题1(2015济南模拟)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a()A1B2C0或2D1或2【解析】若a0，两直线方程为x2y10与x3，此时两直线不平行，所以a0，则有，解得a1或a2.【答案】D2(2015浙江名校联考)已知直线l1：x(a2)y20，l2：(a2)xay10，则“a1”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】若a1，则l1：x3y20，l2：3xy10，l1l2，充分性成立；若l1l2，则1(a2)a(a2)0，即a1或a2，必要性不成立，应选A.【答案】A3(2015广元模拟)若直线l1：x2ym0(m0)与直线l2：xny30之间的距离是，则mn()A0B1C1D2【解析】直线l1：x2ym0(m0)与直线l2：xny30之间的距离为，n2，m2(负值舍去)mn0.【答案】A4当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】解方程组得交点坐标为.因为0k，所以0，0，故交点在第二象限【答案】B5已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为()A2x3y180B2xy20C3x2y180或x2y20D2x3y180或2xy20【解析】设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k.所求直线l的方程为2xy20或2x3y180.【答案】D二、填空题6(2015秦皇岛检测)直线l1：y2x3关于直线l：yx1对称的直线l2的方程为_【解析】由解得直线l1与l的交点坐标为(2，1)，可设直线l2的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得，解得k(k2舍去)，直线l2的方程为x2y0.【答案】x2y07已知经过点A(2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为_【解析】l1的斜率k1a.当a0时，l2的斜率k2.因为l1l2，所以k1k21，即a1，解得a1.当a0时，P(0，1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1l2.综上可知，实数a的值为1或0.【答案】0或18若直线m被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是15；30；45；60；75.其中正确答案的序号是_【解析】两直线xy10与xy30之间的距离为，又动直线l1与l2所截得的线段长为2，故动直线与两直线的夹角应为30，因此只有适合【答案】三、解答题9已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值：(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等【解】(1)由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点(3，1)，3a40，即a(矛盾)此种情况不存在，k20.即k1，k2都存在，k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.又l1过点(3，1)，3ab40.由联立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b，联立，解得或a2，b2或a，b2.10已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，在坐标平面内求一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2.【解】设点P的坐标为(a，b)，A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点P(a，b)在上述直线上，ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，联立可得或所求点P的坐标为(1，4)或.1如图821，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()图821A2B6C3D2【解析】由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，则光线所经过的路程PMN的长为|CD|2.【答案】A2(2015开原模拟)已知x，y满足x2y50，则(x1)2(y1)2的最小值为()A. B.C. D.【解析】(x1)2(y1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方由已知可得点P在直线l：x2y50上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d，所以(x1)2(y1)2的最小值为d2，故选A.【答案】A3已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2xy0和xay0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为_【解析】依题意，a2，P(0,5)，设A(x,2x)、B(2y，y)，故则A(4,8)、B(4,2)，所以|AB|10.【答案】104双曲线x2y24左支上一点P(a，b)到直线yx的距离为，则ab_.【解析】由点到直线的距离公式得，即|ab|2，又P(a，b)为双曲线左支上一点，故应在直线yx的上方，所以ab0，所以ab2.因为P(a，b)在双曲线上，所以a2b24，所以(ab)(ab)4，故ab2.【答案】25已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点P.(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值【解】(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，3，解得2或.l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)dmax|PA|.6已知点A(3,1)，在直线yx和y0上各找一点M和N，使AMN的周长最短，并求出最短周长【解】由点A(3,1)及直线yx，可求得点A关于yx的对称点B(1，3)，同样可求得点A关于y0的对称点C(3，1)，如图所示则|AM|AN|MN|BM|CN|MN|BC|，当且仅当B，M，N，C四点共线时，AMN的周长最短，为|BC|2.由B(1,3)，C(3，1)可得直线BC的方程为2xy50.由得故M点的坐标为.对于2xy50，令y0，得x，故N点的坐标为.故在直线yx上找一点M，在y0上找一点N，可使AMN的周长最短，为2.
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