高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题11 数学方法 第43练 配凑法与构造法 文-人教版高三数学试题

第43练配凑法与构造法题型分析高考展望配凑法是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知构造法解题有时虽然经历了一条曲折迂回的道路，并且往往经历了更多的巧思，联想，挖掘，但是它往往能独辟蹊径，顺利解决问题这有利于让学生形成挖掘题目隐含条件的良好习惯，有利于提高学生的创造性思维品质，从而提高创新意识，也有利于培养学生的研究能力高考必会题型题型一配凑法例1已知函数f(x)x33ax1的导函数为f(x)，g(x)f(x)ax3.(1)若xg(x)60对一切x2恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对满足0a1的一切a的值，都有g(x)0对一切x2恒成立a6x对一切x2恒成立，记h(x)6x，则在x2上ah(x)恒成立，h(x)6在x2上恒大于0，h(x)6x在x2上单调递增，h(x)minh(2)15，a15.(2)g(x)3x23aax30对一切0a1恒成立，若x3，则g(x)3x23aax3240不满足，x，若x3，则a10x3，则a对一切0a1恒成立01x1，x，综上所述，0x.解构造函数f(x)lnx(x0)，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增所以当x1时，有f(x)f(1)0，即有lnx(x1)，因而令x，则有ln，分别取k1,2,3，可得，lnlnlnln，即有ln(n1).点评构造法在高中数学中已有了比较广泛的应用，它是数学方法的有机组成部分是历年高考的重点和热点，主要依据题意，构造恰当的函数解决问题首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径其次数量关系是数学中的一种基本关系，现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在变式训练2求证：ln 20)，f(x)，函数f(x)在(1，)上单调递增，在(0,1)上单调递减所以有f(x)lnxf(1)0，即lnx(x0)，令x，因而有ln，即ln(k1)lnk，所以有ln(3n1)ln(n1)lnln 2.同理有ln，即ln(k1)lnk，所以有ln(3n)lnnln 3，故有ln 2b0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解(1)左焦点(c,0)到点P(2,1)的距离为，解得c1.又e，解得a2，b2a2c23，所求椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0，整理得34k2m2.x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，kADkBD1，1，y1y2x1x22(x1x2)40，40.整理得7m216mk4k20，解得m12k，m2.且满足34k2m20.当m2k时，l：yk(x2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m时，l：yk，直线过定点.综上可知，直线l过定点，定点坐标为.8已知函数f(x)lnxa(x1)，aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x1时，f(x)恒成立，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x).若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，若a0，则由f(x)0，得x，当x(0，)时，f(x)0，当x(，)时，f(x)0.f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减(2)方法一f(x)，令g(x)xlnxa(x21)(x1)，则g(x)lnx12ax，令F(x)g(x)lnx12ax，则F(x)，若a0，F(x)0，g(x)在1，)上递增，g(x)g(1)12a0，g(x)在1，)上递增，g(x)g(1)0，从而f(x)0，不符合题意若0a0，g(x)在(1，)上递增，从而g(x)g(1)12a0，g(x)在1，)上递增，g(x)g(1)0，从而f(x)0，不符合题意若a，F(x)0在1，)上恒成立，g(x)在1，)上递减，g(x)g(1)12a0.从而g(x)g(1)0，f(x)0，综上所述：a的取值范围是，)方法二当x1时，f(x)恒成立等价于lnxa(x1)，令h(x)lnx，g(x)a(x1)，h(x)，x1，h(x)0，即h(x)在1，)上是增函数，g(x)a，当a0时，g(x)在1，)上是增函数又h(1)g(1)0，h(x)g(x)(x1)恒成立，只需h(1)g(1)，即a.故a的取值范围是，)