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分层限时跟踪练(五十七)(限时40分钟)一、选择题1(2015合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A结论正确B大前提不正确C小前提不正确D全不正确【解析】因为f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提不正确【答案】C2x表示不超过x的最大整数，例如：3.S13，S210，S321，依此规律，那么S10等于()A210B230 C220D240【解析】x表示不超过x的最大整数，S1133，S22510，S33721，Snn(2n1)，S101021210.【答案】A3在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则()A. B.C. D.【解析】正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故.【答案】D4. (2015上海模拟)如图1123所示，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()图1123A6B7C8D9【解析】由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为26，第4层的点数为36，第5层的点数为46，第n(n2，nN*)层的点数为6(n1)设一个点阵有n(n2，nN*)层，则共有的点数为16626(n1)1(n1)3n23n1，由题意得3n23n1169，即(n7)(n8)0，所以n8，故共有8层【答案】C5我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，类比上述结论，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值()A.a B.aC.a D.a【解析】正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积，设点到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4，每个面的面积为a2，正四面体的体积为a3，则有a2(h1h2h3h4)a3，得h1h2h3h4a.【答案】A二、填空题6(2015枣庄模拟)在ABC中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立，依此类推，在凸n边形A1A2An中，不等式_成立【解析】，(nN*，n3)【答案】(nN*，n3)7在平面几何中：ABC中C的平分线CE分AB所成的线段的比为(如图1124(1)把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图1124(2)，面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则类比得到的结论是_图1124【解析】由平面中线段的类比空间中面积的比可得.【答案】8(2015陕西高考)观察下列等式1，1，1，据此规律，第n个等式可为_【解析】等式的左边的通项为，前n项和为1；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为.【答案】1三、解答题9观察下表：1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2 016是第几行的第几个数？【解】(1)第n1行的第1个数是2n，第n行的最后一个数是2n1.(2)2n1(2n11)(2n12)(2n1)322n32n2.(3)2101 024,2112 048,1 0242 0162 048，2 016在第11行，该行第1个数是2101 024，由2 0161 0241993，知2 016是第11行的第993个数10(2015沈阳二模)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值试对双曲线1写出类似的性质【解】类似的性质为：若M、N是双曲线1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明：设点M、P的坐标分别为(m，n)、(x，y)，则N(m，n)因为点M(m，n)在已知双曲线上，所以n2m2b2.同理，y2x2b2.则kPMkPN(定值)1(2015南昌模拟)如图1125所示，在梯形ABCD中，ABCD，ABa，CDb(ab)图1125若EFAB，EF到CD与AB的距离之比为mn，则可推算出：EF.用类比的方法，推想出下面问题的结果在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设OAB，ODC的面积分别为S1，S2，则OEF的面积S0与S1，S2的关系是()AS0BS0C. D.【解析】在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质故由EF类比到关于OEF的面积S0与S1，S2的关系是.【答案】C2(2015杭州模拟)设f为实系数三次多项式函数已知五个方程式的相异实根个数如下表所述：f(x)2001f(x)1001f(x)1003f(x)2001f(x)03关于f的极小值，试问下列选项中正确的是()A010B2010C100D不存在【解析】f(x)分别向上向下平移10个单位和20个单位分别得到f(x)10，f(x)20，f(x)10，f(x)20，由题意可近似画出f(x)的草图，由图可知f(x)极小值(10,0)【答案】C3(2015长沙一模)如图1126所示，小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点O旋转了角，其中O为小正六边形的中心，则sin cos _.图1126【解析】从题图可得，向量转了6个60的角，6个120的角，66061201 080，所以sin cos sin 180cos 1801.【答案】14已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个“整数对”是_【解析】依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到60，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60个“整数对”是(5,7)【答案】(5,7)5(2015陕西第二次质量检测)如图1127，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA12，E为棱CC1的中点图1127(1)求证：B1DAE；(2)求证：AC平面B1DE.【证明】(1)如图，连接BD，则BDB1D1.四边形ABCD是正方形，ACBD.CE平面ABCD，CEBD.又ACCEC，BD平面ACE.AE平面ACE，BDAE，B1D1AE.(2)取BB1的中点F，连接AF，CF，EF，则FCB1E，CF平面B1DE.E，F分别是CC1，BB1的中点，EFBC.又BCAD，EFAD，四边形ADEF是平行四边形，AFED.AF平面B1DE，ED平面B1DE，AF平面B1DE.AFCFF，平面ACF平面B1DE.又AC平面ACF，AC平面B1DE.6在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由【证明】如图所示，由射影定理，得AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，.又BC2AB2AC2，.猜想，在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD，则.证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，ACADA，AB平面ACD，又AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.
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