建筑力学第十一章-梁和结构的位移课件

建筑力学建筑力学建筑力学建筑力学建筑力学建筑力学2/7211-1概述概述11-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分11-3叠加法叠加法11-4单位荷载法单位荷载法11-5图乘法图乘法11-6线弹性体的互等定理线弹性体的互等定理11-7结构的刚度校核结构的刚度校核第十一章第十一章 梁和结构的位移梁和结构的位移建筑力学建筑力学3/7211-1 概述概述建筑力学建筑力学4/7211-1 概述概述一、结构位移的种类一、结构位移的种类结构在荷载、温度变化、支座沉降等外界因素的影响下将会产生应力和发生变形；变形使结构原有的形状发生变化，即结构上各截面的位置发生移动和转动，这些移动和转动称之为位移。结构的位移可分为结构的位移可分为1线位移线位移：横截面位置发生的：横截面位置发生的移动移动2角位移角位移：横截面位置发生的：横截面位置发生的转动转动建筑力学建筑力学5/7211-1 概述概述一、结构位移的种类一、结构位移的种类建筑力学建筑力学6/7211-1 概述概述二、使结构产生位移的因素二、使结构产生位移的因素1.荷载荷载结构在外载作用下产生内力结构在外载作用下产生内力 材料发生应变材料发生应变结构发生位移结构发生位移2.温度变化温度变化材料的热胀冷缩材料的热胀冷缩 结构发生位移结构发生位移建筑力学建筑力学7/7211-1 概述概述二、使结构产生位移的因素二、使结构产生位移的因素3.支座位移支座位移基础发生沉降基础发生沉降 结构支座移动、转动结构支座移动、转动 结构发生位移结构发生位移4.其他因素其他因素零件在尺寸上制造误差、材料的干缩、混凝士凝结收缩等零件在尺寸上制造误差、材料的干缩、混凝士凝结收缩等建筑力学建筑力学8/7211-1 概述概述三、计算结构位移的目的三、计算结构位移的目的1.结构刚度的校验结构刚度的校验结构要满足结构要满足强度、刚度、稳定性强度、刚度、稳定性要求。要求。强度要求：主应力、应变，强度要求：主应力、应变，Mises等效应力等来等效应力等来度量度量刚度要求：以其变形或位移来刚度要求：以其变形或位移来量度，量度，结构刚度校验时，需计算结结构刚度校验时，需计算结构位移。构位移。工程：桥梁，高层建筑；工程：桥梁，高层建筑；2.计算超静定结构计算超静定结构计算超静定结构：静力平衡条件、计算超静定结构：静力平衡条件、变形协调条件（结构的位移）变形协调条件（结构的位移）本章内容处于静定结构分析与超静定结构分析的交界处，起着承本章内容处于静定结构分析与超静定结构分析的交界处，起着承上启下的作用。上启下的作用。建筑力学建筑力学9/7211-1 概述概述三、计算结构位移的目的三、计算结构位移的目的3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据为建筑起拱和结构架设提供位移数据(a)大跨度建筑结构中，结构变形大跨度建筑结构中，结构变形产生明显的下垂现象产生明显的下垂现象 不但影响美观，而且容易引起人们的不安全感。不但影响美观，而且容易引起人们的不安全感。(b)建筑结构起拱建筑结构起拱(起拱起拱)：把结构做成具有一定上弯度的初始弯曲：把结构做成具有一定上弯度的初始弯曲形式，用以抵消由挠度产生的下垂现象。形式，用以抵消由挠度产生的下垂现象。(需要计算结构位移需要计算结构位移)建筑力学建筑力学10/7211-1 概述概述三、计算结构位移的目的三、计算结构位移的目的3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据为建筑起拱和结构架设提供位移数据 大型桥梁施工进行悬臂拼装时，结构自重、施工机械等临时大型桥梁施工进行悬臂拼装时，结构自重、施工机械等临时荷载的作用，悬臂部分将产生挠度，需计算结构位移，荷载的作用，悬臂部分将产生挠度，需计算结构位移，便于拼装便于拼装时使构件准确就位；时使构件准确就位；大型结构进行吊装时，需要合大型结构进行吊装时，需要合理设置起吊点，使安装部位产生理设置起吊点，使安装部位产生的位移小而且较为均匀，便于安的位移小而且较为均匀，便于安装就位。装就位。建筑力学建筑力学11/7211-2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程及其积分及其积分建筑力学建筑力学12/7211-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分FF拉伸建筑力学建筑力学13/7211-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 xwBAFCCwC 挠度转角CC1.1.度量梁变形后横截面位移的两个基本量度量梁变形后横截面位移的两个基本量（1）挠度（w）：横截面形心C 在垂直于x 轴方向的线位移，称为该截面的挠度。（2）转角（）：横截面对其原来位置的角位移，称为该截面的转角。2.2.挠度和转角符号的规定挠度和转角符号的规定挠度：向下为正，向上为负。转角：自 x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。建筑力学建筑力学14 xwBAFCC3.3.挠曲线挠曲线:梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线。wC 挠度转角C4.4.挠度和转角的关系挠度和转角的关系C挠曲线挠曲线方程为式中：x为梁变形前轴线上任一点的横坐标，w 为该点的挠度。小变形情况下:即挠曲线上任意点的斜率为该点处横截面的转角。研究梁的弯曲变形时,只要求出挠曲线方程,任意横截面的挠度和转角便都已确定。11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分建筑力学建筑力学15一、梁的挠曲线近似微分方程一、梁的挠曲线近似微分方程纯弯曲时梁挠曲线上一点的曲率表达式：推广到横力弯曲时（剪力存在时）：数学中的曲率公式整理得:11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分建筑力学建筑力学16一、梁的挠曲线近似微分方程与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为:去掉绝对值符号则:11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分建筑力学建筑力学17MMMMM0Oxw讨论与 M(x)正、负关系：OxwM0结论：与 M(x)总是相反关系！梁的挠曲线近似微分方程为：11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分建筑力学建筑力学18梁的挠曲线近似微分方程为：思考近似的原因？1.略去了剪力的影响;2.略去了 项。求解上述微分方程,即可得出挠曲线方程,从而求得挠度和转角。11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分建筑力学建筑力学19二、挠曲线近似微分方程的积分二、挠曲线近似微分方程的积分若为等截面直梁,其抗弯刚度 EI为一常量。上式积分一次得转角方程:再积分一次，得挠度方程:重积分法求得挠度方程式中:C、D是积分常数，由梁挠曲线上的已知变形条件确定。梁挠曲线的边界条件和连续条件11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分建筑力学建筑力学201.1.挠曲线的边界条件挠曲线的边界条件ABAB在简支梁中，左右两铰支座处的挠度 wA 和 wB 都应等于零。wA=0wB=0在悬臂梁中，固定端处的挠度 w和转角 A 都应等于零。wA=0A=011-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分建筑力学建筑力学212.2.挠曲线的连续条件挠曲线的连续条件AB在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和转角。(错)AB(错)ABFCwC左=wC右C左=C右挠曲线的连续条件11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分建筑力学建筑力学22补充例题1:边界条件:wA=0A=0连续条件:wB左=wB右B左=B右补充例题2:B 处的连续条件？BwB左=wB右B左B右建筑力学建筑力学23qAB例题11-2 一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度为 EI,求梁的最大挠度及 B 截面的转角。解:1.确定梁的约束力2.建立梁的弯矩方程3.建立梁的挠曲线近似微分方程4.对微分方程一次积分，得转角方程:x5.再对转角方程一次积分，得挠度方程:11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分建筑力学建筑力学24qAB解:x6.利用边界条件确定积分常数当 x=0 时，wA=0当 x=l 时，wB=0分别代入转角与挠度方程，得积分常数：7.给出转角方程和挠度方程：11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分例题11-2 一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度为 EI,求梁的最大挠度及 B 截面的转角。建筑力学建筑力学25qAB解:x7.给出转角方程和挠度方程：8.求最大挠度和截面 B 转角：在跨中 x=l/2 时，有最大挠度：x=l 时，截面 B 转角：Bx11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分例题11-2 一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度为 EI,求梁的最大挠度及 B 截面的转角。建筑力学建筑力学26/7211-3 叠加法叠加法建筑力学建筑力学27/725-3 叠加法叠加法qAB弯矩方程沿轴线不变弯矩方程沿轴线分段通过挠度方程方法非常繁琐F+C刚度：最大挠度、最大转角建筑力学建筑力学28/72线性变形体系的假设及其特性线性变形体系的假设及其特性(1)结构的变形结构的变形(位移位移)与其作用力成正比与其作用力成正比柔度 d：施加单位力时所产生的结构位移位移D：作用力为一般值时所产生的结构位移 有 D K =d Fi 5-3 叠加法叠加法建筑力学建筑力学29/725-3 叠加法叠加法2线弹性体系的两个主要特性：线弹性体系的两个主要特性：（2）计算结构的变形（位移）可应用叠加原理）计算结构的变形（位移）可应用叠加原理叠叠加加原原理理：由由若若干干因因素素共共同同作作用用时时所所产产生生的的效效果果（内内力力、变变形等），等于其每个因素单独作用时所产生的效果的总和。形等），等于其每个因素单独作用时所产生的效果的总和。线性变形体系的假设及其特性线性变形体系的假设及其特性建筑力学建筑力学30/725-3 叠加法叠加法F+CC点垂直方向位移建筑力学建筑力学31表11-1 几种常用梁在简单荷载作用下的位移5-3 叠加法叠加法建筑力学建筑力学32表11-1 几种常用梁在简单荷载作用下的位移5-3 叠加法叠加法建筑力学建筑力学33表11-1 几种常用梁在简单荷载作用下的位移5-3 叠加法叠加法建筑力学建筑力学34例114图所示简支梁,承受均布荷载q和集中力F作用,梁的弯曲刚度为EI。试用叠加法求跨中挠度及A 截面的转角。解:+5-3 叠加法叠加法建筑力学建筑力学35例115图示悬臂梁,梁的弯曲刚度为EI，试求C 截面的挠度。解:=+CF5-3 叠加法叠加法建筑力学建筑力学36/7211-4 单位荷载法单位荷载法建筑力学建筑力学37/7211-4 单位荷载法单位荷载法qAB弯矩方程沿轴线不变弯矩方程沿轴线分段通过挠度方程方法非常繁琐刚度：最大挠度、最大转角建筑力学建筑力学38/7211-4 单位荷载法单位荷载法一、外力实功一、外力实功线弹性体系的静力加载过程线弹性体系的静力加载过程荷载荷载:0 P变形变形:0 D D两者同步两者同步加加载载过过程程中中，加加载载速速度度缓缓慢慢，不不至至于于引引起起振振动动，这这样样的的加加载载过过程程，称称为为静静力加载力加载，相应的荷载为，相应的荷载为静力荷载静力荷载D D建筑力学建筑力学39/7211-4 单位荷载法单位荷载法一、外力实功一、外力实功单位荷载对应的变形单位荷载对应的变形:d d 当荷载到达最后数值当荷载到达最后数值:P 加载过程中荷载的值加载过程中荷载的值:F 外力做功增量外力做功增量图示蓝色部分的面积一、外力实功一、外力实功建筑力学建筑力学40/7211-4 单位荷载法单位荷载法二、实变形能二、实变形能线弹性体系，受到荷载作用，发生变形，荷载卸去后，变形消失。是什么力量能使体系消除变形的呢?原原因因:加载过程中，外力作功，通过体系变形，转化为变形能储存到体系内部;卸载过程中，通过消除体系的变形，释放变形能变变形形能能:因因弹弹性性变变形形而而积积储储或或释释放放的的能能量量，称称为为线线弹弹性性体体系的变形位能系的变形位能(变形势能变形势能)，简称变形能。一般用，简称变形能。一般用U表示表示建筑力学建筑力学41/7211-4 单位荷载法单位荷载法二、实变形能二、实变形能从某体系的某根杆上任意截取微段ds，研究其内力变形内力在相应位移上所做的内力实功实变形能；略去二阶微量建筑力学建筑力学42/7211-4 单位荷载法单位荷载法二、实变形能二、实变形能建筑力学建筑力学43/7211-4 单位荷载法单位荷载法二、实变形能二、实变形能(1)将式(2)代入(1)，并在长度方向积分，得到一个杆件的实变形能(2)建筑力学建筑力学44/7211-4 单位荷载法单位荷载法三、实功原理三、实功原理-外力实功与实变形能的关系外力实功与实变形能的关系线弹性体系，静力加载，只发生变形，不引起振动，故无动能的变化。如果不计体系内部因材料应变发生内摩擦而损耗的微小热能，则体系上外力所做的实功，将全部被吸收转化为变形能(能量守恒)。建筑力学建筑力学45/7211-4 单位荷载法单位荷载法五五、单位载荷法单位载荷法建筑力学建筑力学46/7211-4 单位荷载法单位荷载法五五、单位载荷法单位载荷法建筑力学建筑力学47/7211-4 单位荷载法单位荷载法五五、单位载荷法单位载荷法Pi=1 表示单位力表示单位力Pi=1所产生的内力所产生的内力建筑力学建筑力学48/7211-4 单位荷载法单位荷载法五五、单位载荷法单位载荷法表表示示虚虚拟拟状状态态下下单单位位力力Pi=1所所产产生生的的内力内力真实状态Pi=1 虚拟状态虚拟状态建筑力学建筑力学49/7211-4 单位荷载法单位荷载法五五、单位载荷法单位载荷法对线弹性体系，有对线弹性体系，有Pi=1 虚拟状态虚拟状态建筑力学建筑力学50/7211-4 单位荷载法单位荷载法五五、单位载荷法单位载荷法Pi=1 虚拟状态虚拟状态Pi=1 虚拟状态虚拟状态建筑力学建筑力学51/7211-4 单位荷载法单位荷载法建筑力学建筑力学52/7211-4 单位荷载法单位荷载法一、桁架一、桁架二、梁和刚架二、梁和刚架三、组合结构三、组合结构链杆链杆 受弯杆件受弯杆件建筑力学建筑力学53/7211-4 单位荷载法单位荷载法【例例2】图示钢桁架，图示钢桁架，P=160kN，各杆用两个，各杆用两个 80mm5mm的的等边角钢等边角钢(2L805)，A=2791.2mm2，E=210GPa，试求试求 D DCV建筑力学建筑力学54/7211-4 单位荷载法单位荷载法计算实际状态和虚拟状态下各杆的内力计算实际状态和虚拟状态下各杆的内力(轴力轴力),如图如图160KN160KN00200120120120200121258385834583858建筑力学建筑力学55/7211-4 单位荷载法单位荷载法147.245 39.497-0.625-20015.8245B-E0.000 0.625 015.8245C-E0.000 0.625 015.8245C-D39.497-0.625-20015.8245A-D34.125-0.750-12015.8246D-E17.063 0.375 12015.8246B-C17.063 0.375 12015.8246A-C轴力（kN）轴力 (kN)截面积A(cm2)杆长l(m)杆件名称建筑力学建筑力学56/7211-4 单位荷载法单位荷载法【例例3】图示简支梁，受到集中荷载图示简支梁，受到集中荷载FP作用，试求梁两端截面作用，试求梁两端截面A、B的相对转角的相对转角 j jAB建筑力学建筑力学57/7211-4 单位荷载法单位荷载法解解虚拟状态虚拟状态,在截面在截面A,B施加一对反向单位力偶施加一对反向单位力偶确定实际状态下的弯矩方程确定实际状态下的弯矩方程(参见弯矩图参见弯矩图)虚拟状态下的弯矩方程虚拟状态下的弯矩方程(参见弯矩图参见弯矩图)正正值值表表示示与与所所设设的的一一对对单单位位力偶方向相同。力偶方向相同。建筑力学建筑力学58/7211-5 图乘法图乘法建筑力学建筑力学59/7211-5 图乘法图乘法一、图乘法一、图乘法单位荷载法计算弯曲变形引起的位移时，需要计单位荷载法计算弯曲变形引起的位移时，需要计算弯矩内力应变能时：算弯矩内力应变能时：弯矩常常是关于轴线的函数，因此计算十分麻烦弯矩常常是关于轴线的函数，因此计算十分麻烦建筑力学建筑力学60/7211-5 图乘法图乘法一、图乘法的应用条件一、图乘法的应用条件(1)杆件轴线为直线杆件轴线为直线直杆；直杆；(2)杆件是等截面的（或分段等截面的）杆件是等截面的（或分段等截面的）EI=常数；常数；(3)两个弯矩图中至少有一个是直线变化的（或分段直线变化）两个弯矩图中至少有一个是直线变化的（或分段直线变化）直线图形直线图形。可用图乘法求积分运算可用图乘法求积分运算建筑力学建筑力学61/7211-5 图乘法图乘法二、图乘法公式推导二、图乘法公式推导MK 图面积对图面积对 y 轴的面积静矩轴的面积静矩建筑力学建筑力学62/7211-5 图乘法图乘法二、图乘法公式推导二、图乘法公式推导注意点注意点：(1)两两个个弯弯矩矩图图中中，一一个个取取面面积积w w，另另一一个个取取纵纵坐坐标标yC,但但纵纵坐坐标标必必须须取取自自直直线线图图中中，并并与与面面积积 w w 的的形心相对应。形心相对应。(2)两两个个弯弯矩矩图图在在杆杆件件的的同同一一侧侧为为正，反之为负。正，反之为负。建筑力学建筑力学63/7211-5 图乘法图乘法二、图乘法公式推导二、图乘法公式推导若弯矩图长度上由两根直线组成若弯矩图长度上由两根直线组成建筑力学建筑力学64/7211-5 图乘法图乘法二、图乘法公式推导二、图乘法公式推导杆件各段有不同杆件各段有不同EI建筑力学建筑力学65/7211-5 图乘法图乘法若两个弯矩图均为梯形时若两个弯矩图均为梯形时 将梯形分解为两个三角形，将梯形分解为两个三角形，分别与另一个弯矩图相乘后相加分别与另一个弯矩图相乘后相加当当图形的面形的面积计算或形心位置的确定比算或形心位置的确定比较复复杂时,可将复可将复杂的的图形形分解分解为几个几个简单图形形,叠加叠加计算。算。建筑力学建筑力学66/7211-5 图乘法图乘法对对于于在在均均布布荷荷载载作作用用下下的的任任何何一一段直杆段直杆其其弯弯矩矩图图可可看看成成是是一一个个梯梯形形与与一一个个标标准准二二次抛物线图形的叠加次抛物线图形的叠加两个简单图形两个简单图形,然后分别应用图乘法然后分别应用图乘法建筑力学建筑力学67/7211-5 图乘法图乘法三、几种常见图形的面积及其形心三、几种常见图形的面积及其形心注意注意:二次抛物线顶点处切线与杆件平行二次抛物线顶点处切线与杆件平行建筑力学建筑力学68/7211-5 图乘法图乘法【例例5】试用图乘法求简支梁试用图乘法求简支梁 C 截面截面j jC建筑力学建筑力学69/7211-5 图乘法图乘法1)确定虚拟状态确定虚拟状态2)画出实际状态和虚拟状态的弯矩图画出实际状态和虚拟状态的弯矩图3)图乘图乘逆时针逆时针建筑力学建筑力学71/7211-5 图乘法图乘法【例例8】组合结构，组合结构，CD 杆横截面杆横截面A 200200mm2，AB和和 BE杆横截面为杆横截面为 bh300600mm2，弹性模量弹性模量 E=30GPa，试求，试求D DBH建筑力学建筑力学72/7211-5 图乘法图乘法画出组合结构的实际状态和虚拟状态内力图(ABCE-弯矩图 CD-轴力图)【分析】ABCE 刚架，弯矩对位移有影响 CD 链杆,轴力对位移有影响虚拟状态：在B处施加水平向右的单位力实际状态实际状态的内力图 未标单位 kNm虚拟状态虚拟状态的内力图建筑力学建筑力学73/7211-5 图乘法图乘法实际状态实际状态的内力图 未标单位 kNm虚拟状态虚拟状态的内力图建筑力学建筑力学74/7211-5 图乘法图乘法实际状态实际状态的内力图 未标单位 kNm虚拟状态虚拟状态的内力图建筑力学建筑力学84/72本章课后作业本章课后作业11-311-12（b）建筑力学建筑力学85/72本章完本章完