建筑力学-第十二章教材课件

第十二章第十二章 位移法位移法 12121 1 位移法的基本概念位移法的基本概念 12122 2 位移法的基本未知量和基本位移法的基本未知量和基本结构结构 12123 3 单跨静定梁的杆端力单跨静定梁的杆端力 12124 4 位移法典型方程和计算实例位移法典型方程和计算实例 第十二章第十二章 位移法位移法求解超静定结构的两种最基本的方法求解超静定结构的两种最基本的方法求解超静定结构的两种最基本的方法求解超静定结构的两种最基本的方法 力法适用性广泛，解题灵活性较大。（可选力法适用性广泛，解题灵活性较大。（可选用各种各样的基本结构）。用各种各样的基本结构）。位移法在解题上比较规范，具有通用性，因位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现。而计算机易于实现。位移法可分为：手算位移法可分为：手算位移法位移法 电算电算矩阵位移法矩阵位移法力法力法力法力法位移法位移法位移法位移法 力法与位移法最基本的区别：基本未知力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同量不同力力 法：以法：以多余未知力多余未知力基本未知量基本未知量位移法：以位移法：以某些结点位移某些结点位移基本未知量基本未知量FP B B 在忽略杆轴向变形和剪在忽略杆轴向变形和剪切变形的条件下，结点切变形的条件下，结点B只只发生角位移发生角位移 B。由于结点由于结点B是一刚结点，是一刚结点，故汇交于结点故汇交于结点B的两杆的杆的两杆的杆端在变形后将发生与结点端在变形后将发生与结点相同的角位移。相同的角位移。位移法计算时就是以这样的位移法计算时就是以这样的结点角位移结点角位移作为作为基本未知基本未知量量的。的。12-1 12-1 位移法的基本概念位移法的基本概念BAClhEI1EI2 首先，附加一个约束使首先，附加一个约束使结点结点B不能转动，此时结构不能转动，此时结构变为两个单跨超静定梁。变为两个单跨超静定梁。称称为位移法的为位移法的基本结构基本结构。在荷载作用下，可用力在荷载作用下，可用力法求得两根杆的弯矩图。法求得两根杆的弯矩图。由于附加约束阻止结点由于附加约束阻止结点B的转动，故在附加约束上会产生的转动，故在附加约束上会产生一个约束力矩一个约束力矩CBAFPCAB 然后，为了使变形符合原来的实际情况，必须转动附然后，为了使变形符合原来的实际情况，必须转动附加约束以恢复加约束以恢复 B。两个单跨超静梁在。两个单跨超静梁在B端有角位移时的弯端有角位移时的弯矩图，同样可由力法求得。此时在附加约束上产生约束力矩图，同样可由力法求得。此时在附加约束上产生约束力矩矩 B B B BBACFPBAC 求基本未知量求基本未知量,可分两步完成：可分两步完成：1 1）在）在可动结点上附加可动结点上附加约束约束，限制其位移，在荷载，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生作用下，附加约束上产生附附加约束力加约束力；2 2）转动）转动附加约束附加约束使结点使结点产生角位移产生角位移 B，使结构发生，使结构发生与原结构一致的结点位移。与原结构一致的结点位移。B B B B附加附加附加附加刚臂刚臂刚臂刚臂 经过上述两个步骤，附加约束上产生约束力矩应为经过上述两个步骤，附加约束上产生约束力矩应为F11和和F1P之和。由于结构无论是变形，还是受力都应与原结之和。由于结构无论是变形，还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在构保持一致，而原结构在B处无附加约束，亦无约束力矩，处无附加约束，亦无约束力矩，故有故有F11+F1P0 解方程可得出解方程可得出 B。位移法典型方程位移法典型方程 将将求出后求出后 B，代回图代回图12-1c，将所得的结果再与图，将所得的结果再与图12-1b叠叠加，即得原结构（图加，即得原结构（图12-1a）的解。）的解。B B B BBAC图图12-1cFPCBA图图12-1b 位移法是以位移法是以结点位移结点位移作为基本未知量，通过作为基本未知量，通过增加约束的方法，将原结构拆成若干个单跨超静增加约束的方法，将原结构拆成若干个单跨超静定梁来逐个分析，再组合成整体，利用定梁来逐个分析，再组合成整体，利用力和力矩力和力矩的平衡方程的平衡方程求解未知量的。求解未知量的。12-2 12-2 位移法基本未知量和基本结构位移法基本未知量和基本结构1.1.1.1.结点角位移结点角位移结点角位移结点角位移一、位移法的基本未知量一、位移法的基本未知量一、位移法的基本未知量一、位移法的基本未知量位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。结点角位移数目结点角位移数目=刚结点的数目。刚结点的数目。2个结点角位移个结点角位移ABCD2 2 2 2、结构独立线位移：、结构独立线位移：、结构独立线位移：、结构独立线位移：（1）忽略各杆轴向变形；）忽略各杆轴向变形；（2）弯曲变形后的曲线长度与弦线长度相等。）弯曲变形后的曲线长度与弦线长度相等。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变变，即，即杆长保持不变杆长保持不变。CD假设：假设：12结点线位移数确定方法结点线位移数确定方法结点线位移数确定方法结点线位移数确定方法13 将结构中所有刚结点和固定支座将结构中所有刚结点和固定支座用铰结点和铰支座代替用铰结点和铰支座代替，分析新体系的几何组成性质，若为几何可变体系，则通过增分析新体系的几何组成性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余约束的几何不变体系，所增加的加支座链杆使其变为无多余约束的几何不变体系，所增加的链杆数即为原结构位移法计算时的结点线位移数。链杆数即为原结构位移法计算时的结点线位移数。二、位移法的基本结构二、位移法的基本结构二、位移法的基本结构二、位移法的基本结构 位移法的基本结构是通过增加约束使原结构成为位移法的基本结构是通过增加约束使原结构成为若干个单跨超静定梁而得到的。若干个单跨超静定梁而得到的。附加刚臂附加刚臂附加链杆附加链杆作用是使结点不能转动作用是使结点不能转动限制结点移动限制结点移动练习练习 位移法的基本结构是通过附加刚臂和附加链位移法的基本结构是通过附加刚臂和附加链杆得到的，其中附加刚臂的数目等于原结构中结杆得到的，其中附加刚臂的数目等于原结构中结点角位移的数目，附加链杆的数目则等于原结构点角位移的数目，附加链杆的数目则等于原结构独立线位移的数目。独立线位移的数目。12-3 12-3 单跨超静定梁的杆端力单跨超静定梁的杆端力一、杆端位移和杆端力的正负号规定一、杆端位移和杆端力的正负号规定一、杆端位移和杆端力的正负号规定一、杆端位移和杆端力的正负号规定1 1 1 1、杆端力的正负规定杆端力的正负规定杆端力的正负规定杆端力的正负规定 杆端弯矩对杆端以顺时针为正杆端弯矩对杆端以顺时针为正;对结点以逆时针为正。对结点以逆时针为正。杆端剪力的正向同前。杆端剪力的正向同前。MABMBAE IFQABFQBAlE I2 2 2 2、杆端位移的正负规定杆端位移的正负规定杆端位移的正负规定杆端位移的正负规定 杆端转角杆端转角 A、B，弦转角弦转角/l 都以顺时针为正。都以顺时针为正。杆两端相对线位移，其正负号与弦转角杆两端相对线位移，其正负号与弦转角 的正负号的正负号一致。一致。二、荷载引起的杆端力二、荷载引起的杆端力二、荷载引起的杆端力二、荷载引起的杆端力 对于单跨超静定梁仅由荷载作用而产生的杆端力，称对于单跨超静定梁仅由荷载作用而产生的杆端力，称为为固端力固端力。等截面两端固定梁，等截面两端固定梁，承受均布荷载承受均布荷载q q作用。用作用。用力法求解其固端力为力法求解其固端力为MFABMFBAEIqlMF 表示固端弯矩；表示固端弯矩；FQF表示固端剪力。表示固端剪力。由于固端力是只与荷载形式有关的常数，所以称为由于固端力是只与荷载形式有关的常数，所以称为载常载常数数。下表。下表12-2列出了常见超静定梁的载常数。列出了常见超静定梁的载常数。表表12-2 常见超静定梁的载常数常见超静定梁的载常数表表12-2 常见超静定梁的载常数常见超静定梁的载常数三、杆端位移引起的杆端力三、杆端位移引起的杆端力三、杆端位移引起的杆端力三、杆端位移引起的杆端力 等截面两端固定梁，固定端等截面两端固定梁，固定端A发生单位角位移，抗弯刚发生单位角位移，抗弯刚度度EI，用力法求其杆端力为，用力法求其杆端力为，称为称为线刚度线刚度。由单位位移引起的杆端力是只与梁的几何尺寸和材由单位位移引起的杆端力是只与梁的几何尺寸和材料性质有关的常数，所以称为料性质有关的常数，所以称为形常数形常数。B=1ABlEI表表12-1 等截面单跨超静定梁的形常数等截面单跨超静定梁的形常数FPCABD12一、位移法的典型方程一、位移法的典型方程一、位移法的典型方程一、位移法的典型方程12-4 12-4 位移法典型方程和计算实例位移法典型方程和计算实例基本未知量基本未知量：结点：结点C的角位移的角位移1，结点，结点D的水平线位移的水平线位移2 CABD基本结构基本结构基本体系基本体系FPCABD 1 1 2 2 使基本结构承受与原结构相同的荷载，并使结点使基本结构承受与原结构相同的荷载，并使结点C处的处的附加刚臂转动附加刚臂转动1，而结点，而结点D处附加链杆发生水平线位移处附加链杆发生水平线位移2，如图示，称为位移法的如图示，称为位移法的基本体系基本体系。FPCABD12 为了保证基本体系的受力和变形情况与原结构完全相为了保证基本体系的受力和变形情况与原结构完全相同，基本体系上同，基本体系上附加约束的约束反力附加约束的约束反力F1和和F2应为零应为零。根据叠加原理，把基本体系中的总约束反力根据叠加原理，把基本体系中的总约束反力F1和和F2分分解成几种情况分别计算：解成几种情况分别计算：FPCABDCABD1CABD2k k1111=1k k2121=1k k1212k k2222F F1P1PF F2P2PMP图位移法基本方程位移法基本方程位移法基本方程位移法基本方程 对于具有对于具有n个基本未知量的结构，可得位移法基本方程个基本未知量的结构，可得位移法基本方程如下：如下：从方程中即可求出基本未知量从方程中即可求出基本未知量1 1和和2 2。位移法的典型方程位移法的典型方程位移法的典型方程位移法的典型方程kij产生产生反力反力的地方的地方引起反力的原因引起反力的原因主系数：主系数：副系数：副系数：反力互等定理：反力互等定理：kijkjiFiP000kij000 kii 基本结构上，由于单位结点位移基本结构上，由于单位结点位移i1的作用，引起第的作用，引起第i个约个约束上的约束反力束上的约束反力自由项：自由项：kij基本结构上，由于单位结点位移基本结构上，由于单位结点位移j1的作用，引起第的作用，引起第i个约个约束上的约束反力束上的约束反力 FiP基本结构上，由于基本结构上，由于荷载荷载作用，引起第作用，引起第i个约束上的约束反力个约束上的约束反力 为了求得典型方程中的系数和自由项，为了求得典型方程中的系数和自由项，可借助于表可借助于表12-1、表、表12-2，分别绘出基本结构中由于单位位移引起的分别绘出基本结构中由于单位位移引起的单位弯矩图单位弯矩图M1、M2和由于外荷载引起的和由于外荷载引起的MP图。图。系数和自由项确定后，代入典型方程就可解出基本未系数和自由项确定后，代入典型方程就可解出基本未知量。最后弯矩图可按下式作出知量。最后弯矩图可按下式作出 附加刚臂上的约束力矩，可取利用附加刚臂上的约束力矩，可取利用结点结点力矩平衡力矩平衡的条的条件求出；件求出；附加链杆上的约束力附加链杆上的约束力,可利用可利用结构部分平衡结构部分平衡（一般取横（一般取横梁部分沿附加链杆方位的投影平衡）的条件求出。梁部分沿附加链杆方位的投影平衡）的条件求出。用位移法计算的步骤为：用位移法计算的步骤为：用位移法计算的步骤为：用位移法计算的步骤为：1、加入附加约束，阻止结点的转动和移动，得到一组以、加入附加约束，阻止结点的转动和移动，得到一组以单跨超静定梁为组合体的基本结构。单跨超静定梁为组合体的基本结构。2、建立位移法典型方程。、建立位移法典型方程。3、绘出基本结构的各单位弯矩图和荷载弯矩图，由平衡、绘出基本结构的各单位弯矩图和荷载弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。条件求出各系数和自由项。4、解方程，求出基本未知量。、解方程，求出基本未知量。5、用叠加法画弯矩图。、用叠加法画弯矩图。6、根据弯矩图画剪力图，根据剪力图绘轴力图。、根据弯矩图画剪力图，根据剪力图绘轴力图。1.1.1.1.连续梁和无侧移刚架连续梁和无侧移刚架连续梁和无侧移刚架连续梁和无侧移刚架无侧移刚架是指刚架的各结点无结点线位移。无侧移刚架是指刚架的各结点无结点线位移。基本未知量基本未知量：所有刚结点的转角。所有刚结点的转角。基本结构：基本结构：在所有刚结点上加附加刚臂。在所有刚结点上加附加刚臂。二、计算实例二、计算实例二、计算实例二、计算实例例例例例12-112-1 用位移法计算图示连续梁，并作弯矩图。用位移法计算图示连续梁，并作弯矩图。解解解解（1）选取基本体系。）选取基本体系。（2）建立位移法典型方程。）建立位移法典型方程。ABC3m3m6mii16kN2kN/mABC16kN2kN/m118（3）求系数和自由项。）求系数和自由项。（4）求基本未知量）求基本未知量。2i4i3ik11ABC1=14i3iF1P618ABC66MP图（kN.m）182i4i3iABC1=1ABC66MP图（kN.m）根据杆端弯矩的正负号规定，根据杆端弯矩的正负号规定，确定杆端弯矩方向及杆的受拉边。确定杆端弯矩方向及杆的受拉边。将杆两端弯矩连成虚线，再叠加将杆两端弯矩连成虚线，再叠加相应简支梁的弯矩，即得整个连相应简支梁的弯矩，即得整个连续梁的弯矩图。续梁的弯矩图。(5)作弯矩图作弯矩图12.862.57924例例例例17-217-2 用位移法作图示刚架的内力图。各杆用位移法作图示刚架的内力图。各杆EI常数。常数。解解解解 （1）选取基本体系。）选取基本体系。（2）建立位移法典型方程。）建立位移法典型方程。（3）求系数和自由项。）求系数和自由项。（4）求基本未知量）求基本未知量。(5)作弯矩图作弯矩图根据弯矩图作剪力图根据弯矩图作剪力图根据弯矩图作剪力图根据弯矩图作剪力图 取杆件取杆件AB为隔离体，其受力图如示，为隔离体，其受力图如示，取杆件取杆件取杆件取杆件为隔离体，根据力矩平为隔离体，根据力矩平为隔离体，根据力矩平为隔离体，根据力矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力。根据剪力图作轴力图根据剪力图作轴力图根据剪力图作轴力图根据剪力图作轴力图取结点取结点B为隔离体，其受力图如示。为隔离体，其受力图如示。BC杆段是悬臂梁段且荷载与杆轴相杆段是悬臂梁段且荷载与杆轴相垂直，因此该段各截面轴力相等，且等垂直，因此该段各截面轴力相等，且等于零，即于零，即FNBC 0。FNBA 7.5kN 取取取取结点为隔离体，利用投影平衡结点为隔离体，利用投影平衡结点为隔离体，利用投影平衡结点为隔离体，利用投影平衡方方方方程，程，程，程，由杆端剪力求杆端轴力。由杆端剪力求杆端轴力。由杆端剪力求杆端轴力。由杆端剪力求杆端轴力。有侧移刚架一般是指既有结点角位移，又有有侧移刚架一般是指既有结点角位移，又有结点线位移的刚架。结点线位移的刚架。基本未知量基本未知量：刚结点的转角和独立刚结点的转角和独立结点线位移结点线位移基本结构：基本结构：在结点上加在结点上加附加刚臂和附加链杆附加刚臂和附加链杆2.2.2.2.有侧移刚架有侧移刚架有侧移刚架有侧移刚架例例例例17-317-3 用位移法作图示刚架的内力图。用位移法作图示刚架的内力图。解解解解（1）选取基本体系。）选取基本体系。（2）建立位移法典型方程。）建立位移法典型方程。0.1875ik2215（3）求系数和自由项。）求系数和自由项。k114i+6 i10 i k12 k21-1.5 i（4）求基本未知量）求基本未知量。(5)作弯矩图作弯矩图18.9418.9425.26 30.79超静定结构计算的总原则超静定结构计算的总原则:欲求超静定结构先取一个基本体系欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。受力方面和变形方面与原结构完全一样。力法的特点力法的特点基本未知量基本未知量多余未知力；多余未知力；基本体系基本体系静定结构；静定结构；基本方程基本方程位移条件位移条件 位移法的特点位移法的特点基本未知量基本未知量 基本体系基本体系 基本方程基本方程 独立结点位移独立结点位移平衡条件平衡条件？一组单跨超静定梁一组单跨超静定梁适用范围适用范围适用范围适用范围 力法力法：超静定次数较少的结构。：超静定次数较少的结构。位移法位移法：结点位移较少的结构。：结点位移较少的结构。本章内容结束