中考数学压轴题专题第12讲二次函数与线段和

专题12二次函数与线段和（将军饮马型）最值问题 二次函数与将军饮马问题必备的基础模型有：模型1：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PAPB最小 作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点PAPB的最小值为AB模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大 连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点，的最大值为AB模型3：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得最大 作点B关于直线I的对称点B，连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点的最大值为AB模型4：点P在AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PCD周长最小 分别作点P关于OA、OB的对称点P、P，连接PP，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求PCD周长的最小值为PP模型5：点P在AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PDCD最小 作点P关于OB的对称点P，过P作PCOA交OB，PDCD的最小值为PC【例1】（2022黑龙江）如图，已知抛物线y（x2）（x+a）（a0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线过点M（2，2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；求出BCE的面积；在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标【例2】（2022甘肃）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y（x+3）（xa）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OCOB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DEx轴，且AE1时，求DP的长；（3）连接BD如图2，将BCD沿x轴翻折得到BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；如图3，连接CE，当CDAE时，求BD+CE的最小值【例3】（2022达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数yax2+bx+2的图象经过点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使PCBABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由【例4】（2022天津）已知抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的顶点为P，与x轴相交于点A（1，0）和点B（）若b2，c3，求点P的坐标；直线xm（m是常数，1m3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（）若3b2c，直线x2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标【例5】（2022常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限（1）求此抛物线的解析式；（2）当OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PAPB的值最大时，求P的坐标以及PAPB的最大值1（2022滨城区二模）如图，抛物线yax2+bx+3（a0），经过点A（1，0），B（3，0）两点（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当SNBCSABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线lx轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值2（2022淮北模拟）已知抛物线l1：yax2+bx2和直线l2：yx均与x轴相交于点A，抛物线l1与x轴的另一个交点为点B（3，0）（1）求a，b的值；（2）将抛物线l1向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线l2上，求h的值；（3）设抛物线l1和直线l2的另一个交点为点D，点P为抛物线上一个动点，且点P在线段AD的下方（点P不与点A，D重合），过点P分别作x轴和y轴的平行线，交直线l2于点M，N，记WPM+PN，求W的最大值3（2022南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA6，其顶点与x轴的距离是6（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线yx+m与抛物线的对称轴交于点Q当POQ与PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值4（2022成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与y轴，x轴分别相交于A（0，2），B（2，0），C（4，0）三点，点D是二次函数图象的顶点（1）求二次函数的表达式；（2）点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若SACPSACB，求点P的坐标；（3）M是第四象限内一动点，且AMB45，连接MD，MC，求2MD+MC的最小值5（2022成都模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线ya（x1）（x+3）的图象与x轴交于点A，B（A在B的左边），且经过点C（2，3），P为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；（2）平面内一动点H自点C出发，先到达x轴上的某点M，再到达y轴上某点N，最后运动到点P，求使点H运动的总路径最短的点M，点N的坐标，并求出这个最短总路径的长；（3）如图2，过点C的直线l与抛物线有唯一的公共点，将直线l向下平移交抛物线于D，E两点，连BD交y轴正半轴于F，连BE交y轴负半轴于G，试判断|OFOG|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由6（2022沈阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c的“衍生直线”为yax+b，有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在“衍生直线”上的三角形为该抛物线的“衍生三角形”如图1，已知抛物线yx2+2x+3与其“衍生直线”交于A，D两点（点A在点D的左侧），与x轴正半轴相交于点B，与y轴正半轴相交于点C，点P为抛物线的顶点（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ；B的坐标为 ；D的坐标为 （2）如图1，动点E在线段AB上，连接DE，DB，将BDE以DE所在直线为对称轴翻折，点B的对称点为F，若三角形DEF为该抛物线的“衍生三角形”，且F不在抛物线上，求点F坐标（3）抛物线的“衍生直线”上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN，连接PM，CN，当PM+MN+CN最短时，请直接写出此时点N的坐标7（2022沈阳模拟）如图，抛物线yax2+bx+（a0）经过点A（3，2）和点B（4，），且与y轴交于点C（1）分别求抛物线和直线BC的解析式；（2）在x轴上有一动点G，抛物线上有一动点H，是否存在以O，A，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DEx轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值8（2022沈河区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+x+c（a0）与x轴交于点A（1，0）和B（点B在A的右侧），与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）连接AP，与y轴交于点D，连接BD，当BODCOA时，求点P的坐标；（3）连接OP，与线段BC交于点E，点Q是x轴正半轴上一点，且CEBQ，当OE+CQ的值最小时，请直接写出点Q的坐标9（2022邵阳县模拟）如图，直线l：y3x6与x轴、y轴分别相交于点A、C；经过点A、C的抛物线C：与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D，对称轴与x轴相交于点E（1）求抛物线C的对称轴（2）将直线l向右平移得到直线l1如图，直线l1与抛物线C的对称轴DE相交于点P，要使PB+PC的值最小，求直线l1的解析式如图 ，直线l1与直线BC相交于点F，直线l1上是否存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由10（2021越秀区校级二模）在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c的对称轴是直线x与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BMCM|的值最小时，求出点M的坐标；（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NHx轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由11（2022立山区一模）已知点A（2，0），B（3，0），抛物线yax2+bx+4过A，B两点，交y轴于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段AC上一动点（不与C点重合），作PQBC交抛物线于点Q，PHx轴于点H连结CQ，BQ，PB，当四边形PCQB的面积为时，求P点的坐标；直接写出PH+PQ的取值范围12（2021招远市一模）如图，已知抛物线yx2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值（4）设点M的坐标为（3，m），直接写出使MN+MD的和最小时m的值13（2021桓台县二模）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（1，0），（3，0），点M为顶点（1）求抛物线的解析式；（2）过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90到HP求PCD的度数；（3）在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值14（2021成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DEx轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m求DF+HF的最大值；连接EG，若GEH45，求m的值15（2020朝阳）如图，抛物线y+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x1，点C坐标为（0，4）（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABPBCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到GHQ，直接写出GHQ周长的最小值16（2021大庆）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线yax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y2的距离总相等证明上述结论并求出点F的坐标；过点F的直线l与抛物线yax2+bx+c交于M，N两点证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标17（2020滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，1），与y轴交于点B（0，），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PFd；（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标18（2018贺州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA3，OB1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（1，4）（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DEy轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由19（2018烟台）如图1，抛物线yax2+2x+c与x轴交于A（4，0），B（1，0）两点，过点B的直线ykx+分别与y轴及抛物线交于点C，D（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由20（2018湘潭）如图，点P为抛物线yx2上一动点（1）若抛物线yx2是由抛物线y（x+2）21通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，1），过点P作PMl于M问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PMPF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值【例1】（2022黑龙江）如图，已知抛物线y（x2）（x+a）（a0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线过点M（2，2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；求出BCE的面积；在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标【分析】（1）将M坐标代入抛物线解析式求出a的值即可；（2）求出的a代入确定出抛物线解析式，令y0求出x的值，确定出B与C坐标，令x0求出y的值，确定出E坐标，进而得出BC与OE的长，即可求出三角形BCE的面积；根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线x1，根据C与B关于对称轴对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为ykx+b，将B与E坐标代入求出k与b的值，确定出直线BE解析式，将x1代入直线BE解析式求出y的值，即可确定出H的坐标【解答】解：（1）将M（2，2）代入抛物线解析式得：2（22）（2+a），解得：a4；（2）由（1）抛物线解析式y（x2）（x+4），当y0时，得：0（x2）（x+4），解得：x12，x24，点B在点C的左侧，B（4，0），C（2，0），当x0时，得：y2，即E（0，2），SBCE626；由抛物线解析式y（x2）（x+4），得对称轴为直线x1，根据C与B关于抛物线对称轴直线x1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为ykx+b，将B（4，0）与E（0，2）代入得：，解得：，直线BE解析式为yx2，将x1代入得：y2，则H（1，）【例2】（2022甘肃）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y（x+3）（xa）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OCOB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DEx轴，且AE1时，求DP的长；（3）连接BD如图2，将BCD沿x轴翻折得到BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；如图3，连接CE，当CDAE时，求BD+CE的最小值【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；（2）根据函数解析式求出OA的长度，根据三角函数求出DE的长度，根据P点的坐标得出PE的长度，根据DPDE+PE得出结论即可；（3）连接DG交AB于点M，设OMa（a0），则AMOAOM3a，得出G（a，（a3），根据G点在抛物线上得出a的值，即可得出G点的坐标；方法一：在AB的下方作EAQDCB，且AQBC，连接EQ，CQ，构造AEQCDB，得出当C、E、Q三点共线时，BD+CEEQ+CE最小，最小为CQ，求出CQ的值即可方法二：过点C作CFx轴，使得CFAC证FCD全等于CAE，则FDCE所以F、D、B三点共线时CE+BDFD+BD取到最小值，求出此时BF的长即可【解答】解：（1）抛物线y（x+3）（xa）与x轴交于A，B（4，0）两点，（4+3）（4a）0，解得a4，y（x+3）（x4）x2x3，即抛物线的表达式为yx2x3；（2）在y（x+3）（x4）中，令y0，得x3或4，A（3，0），OA3，OCOB4，C（0，4），AE1，DEAEtanCAOAE，OEOAAE312，E（2，0），DEx轴，xPxDxE2，yP（2+3）（24），PE，DPDE+PE+；（3）如下图，连接DG交AB于点M，BCD与BFG关于x轴对称，DGAB，DMGM，设OMa（a0），则AMOAOM3a，MGMDAMtanCAO（3a），G（a，（a3），点G（a，（a3）在抛物线y（x+3）（x4）上，（a+3）（a4）（a3），解得a或3（舍去），G（，）；如下图，在AB的下方作EAQDCB，且AQBC，连接EQ，CQ，AECD，AEQCDB（SAS），EQBD，当C、E、Q三点共线时，BD+CEEQ+CE最小，最小为CQ，过点C作CHAQ，垂足为H，OCOB，OCOB4，CBA45，BC4，CAH180CABEAQ180CABDCBCBA45，AC5，AHCHAC，HQAH+AQAH+BC，CQ，即BD+CE的最小值为；方法二：过点C作CFx轴，使得CFAC，作BGFC延长线于点G，FCACAE，又CDAE，CFAC，FCDCAE（SAS），FDCE，F、D、B三点共线时CE+BDFD+BD取到最小值，AC5，C（0，4），B（4，0），BF的长【例3】（2022达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数yax2+bx+2的图象经过点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使PCBABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）分两种情况：当点P在BC上方时，根据平行线的判定定理可得CPx轴，可得P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则ODm，DB3m，利用勾股定理即可求得m，得出D（，0），再运用待定系数法求得直线CD的解析式为yx+2，通过联立方程组求解即可得出P（，）；（3）设Q（t，t2+t+2），且1t3，运用待定系数法求得：直线AQ的解析式为y（t+2）xt+2，直线BQ的解析式为y（t）x+2t+2，进而求出M、N的坐标，即可得出答案【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+2经过点A（1，0），B（3，0），解得：该二次函数的表达式为yx2+x+2；（2）存在，理由如下：如图1，当点P在BC上方时，PCBABC，CPAB，即CPx轴，点P与点C关于抛物线对称轴对称，yx2+x+2，抛物线对称轴为直线x1，C（0，2），P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则ODm，DB3m，PCBABC，CDBD3m，在RtCOD中，OC2+OD2CD2，22+m2（3m）2，解得：m，D（，0），设直线CD的解析式为ykx+d，则，解得：，直线CD的解析式为yx+2，联立，得，解得：（舍去），P（，），综上所述，点P的坐标为（2，2）或（，）；（3）由（2）知：抛物线yx2+x+2的对称轴为直线x1，E（1，0），设Q（t，t2+t+2），且1t3，设直线AQ的解析式为yex+f，则，解得：，直线AQ的解析式为y（t+2）xt+2，当x1时，yt+4，M（1，t+4），同理可得直线BQ的解析式为y（t）x+2t+2，当x1时，yt+，N（1，t+），EMt+4，ENt+，EM+ENt+4+t+，故EM+EN的值为定值【例4】（2022天津）已知抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的顶点为P，与x轴相交于点A（1，0）和点B（）若b2，c3，求点P的坐标；直线xm（m是常数，1m3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（）若3b2c，直线x2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；求出直线BP的解析式，设点M（m，m22m3），则G（m，2m6），表示出MG的长，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；（）由3b2c得b2a，c3a，抛物线的解析式为yax22a3a可得顶点P的坐标为（1，4a），点N的坐标为（2，3a），作点P关于y轴的对称点P，作点N关于x轴的对称点N，得点P的坐标为（1，4a），点N的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线PN上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+ENPN5延长PP与直线x2相交于点H，则PHNH在RtPHN中，PH3，HN3a（4a）7a由勾股定理可得PN2PH2+HN29+49a225解得a1，a2（舍）可得点P的坐标为（1，），点N的坐标为（2，）利用待定系数法得直线PN的解析式为yx即可得点E，F的坐标【解答】解：（）若b2，c3，则抛物线yax2+bx+cax22x3，抛物线yax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0），a+230，解得a1，抛物线为yx22x3（x1）24，顶点P的坐标为（1，4）；当y0时，x22x30，解得x11，x23，B（3，0），设直线BP的解析式为ykx+n，解得，直线BP的解析式为y2x6，直线xm（m是常数，1m3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，设点M（m，m22m3），则G（m，2m6），MG2m6（m22m3）m2+4m3（m2）2+1，当m2时，MG取得最大值1，此时，点M（2，3），则G（2，2）；（）抛物线yax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0），ab+c0，又3b2c，b2a，c3a（a0），抛物线的解析式为yax22ax3ayax22ax3aa（x1）24a，顶点P的坐标为（1，4a），直线x2与抛物线相交于点N，点N的坐标为（2，3a），作点P关于y轴的对称点P，作点N关于x轴的对称点N，得点P的坐标为（1，4a），点N的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线PN上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+ENPN5延长PP与直线x2相交于点H，则PHNH在RtPHN中，PH3，HN3a（4a）7aPN2PH2+HN29+49a225解得a1，a2（舍）点P的坐标为（1，），点N的坐标为（2，）直线PN的解析式为yx点E（，0），点F（0，）【例5】（2022常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限（1）求此抛物线的解析式；（2）当OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PAPB的值最大时，求P的坐标以及PAPB的最大值【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设B（2，m）（m0），运用待定系数法求得直线OA的解析式为yx，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），BHm2，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；（3）运用待定系数法求得直线AB的解析式为yx+10，当PAPB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，利用两点间距离公式可求得AB，即PAPB的最大值【解答】解：（1）抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x2，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为yax（x4），把A（5，5）代入，得5a5，解得：a1，yx（x4）x24x，故此抛物线的解析式为yx24x；（2）点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，设B（2，m）（m0），设直线OA的解析式为ykx，则5k5，解得：k1，直线OA的解析式为yx，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），BHm2，SOAB15，（m2）515，解得：t8，点B的坐标为（2，8）；（3）设直线AB的解析式为ycx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，解得：，直线AB的解析式为yx+10，当PAPB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，P是抛物线上的动点，解得：，（舍去），P（2，12），此时，PAPBAB31（2022滨城区二模）如图，抛物线yax2+bx+3（a0），经过点A（1，0），B（3，0）两点（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当SNBCSABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线lx轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数即可求出抛物线的解析式，再将其变形成顶点式后，即可得出顶点M的坐标；（2）连接AN，则ANBC，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，设直线AN的解析式为yx+d，代入点A的坐标可求出d值，再联立直线AN与抛物线的解析式，即可求出点N的坐标；（3）过点M作MMPQ，且MMPQ，连接MQ，则当点M，Q，N三点共线时，PM+QN取最小值，此时PM+PQ+QN最小，由点P，Q的坐标可得出PQ3，结合点M的坐标可得出点M的坐标，由点M，N的坐标，利用待定系数法可求出直线MN的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出m的值，再利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出MN的长度，进而可得出PM+PQ+QN最小值【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入yax2+bx+3，得：，解得：，抛物线的解析式为yx2+2x+3又yx2+2x+3（x1）2+4，顶点M的坐标为（1，4）.（2）连接AN，如图1所示SNBCSABC，且两三角形有相同的底BC，ANBC当x0时，y3，点C的坐标为（0，3）设直线BC的解析式为ykx+c（k0），将B（3，0），C（0，3）代入ykx+c，得：，解得：，直线BC的解析式为yx+3设直线AN的解析式为yx+d，将A（1，0）代入yx+d得：1+d0，解得：d1，直线AN的解析为yx1联立两函数解析式得：，解得：（不符合题意，舍去），点N的坐标为（4，5）（3）过点M作MMPQ，且MMPQ，连接MQ，如图2所示MMPQ，且MMPQ，四边形MMQP为平行四边形，MQMP，当点M，Q，N三点共线时，PM+QN取最小值点P的坐标为（m，3），点Q的坐标为（m，0），PQ3，MM3，点M的坐标为（1，43），即（1，1）设直线MN的解析式为ypx+q（p0），将M（1，1），N（4，5）代入ypx+q，得：，解得：，直线MN的解析式为y2x+3又点Q在直线MN上，02m+3，m，此时MNMQ+QNMP+QN3，当m为时，PM+PQ+QN最小，PM+PQ+QN的最小值为3+32（2022淮北模拟）已知抛物线l1：yax2+bx2和直线l2：yx均与x轴相交于点A，抛物线l1与x轴的另一个交点为点B（3，0）（1）求a，b的值；（2）将抛物线l1向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线l2上，求h的值；（3）设抛物线l1和直线l2的另一个交点为点D，点P为抛物线上一个动点，且点P在线段AD的下方（点P不与点A，D重合），过点P分别作x轴和y轴的平行线，交直线l2于点M，N，记WPM+PN，求W的最大值【分析】（1）由直线l2：yx与x轴交于点A得A（1，0），将点A（1，0）、点B（3，0）代入抛物线l1：yax2+bx2即可得a，b的值；（2）求出抛物线l1的顶点C（1，），将y代入直线l2：yx求出x的值，即可求解；（3）求出D（2，2），设P（m，m2m2）（1m2），则N（m，m），可得M（m2+2m+2，m2m2），用含m的式子表示PM，PN，可得WPM+PN的二次函数，根据二次函数的最值即可得W的最大值【解答】解：（1）直线l2：yx与x轴交于点A，A（1，0），将点A（1，0）、点B（3，0）代入抛物线l1：yax2+bx2，得：，解得：，a，b；（2）a，b，yx2x2（x1）2，抛物线l1的顶点C（1，），将y代入直线l2：yx得，x，解得x3，抛物线l1向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线l2上，移动后顶点的横坐标为3，h312，即h的值为2；（3）设抛物线l1和直线l2的另一个交点为点D，x2x2x的解为x1或x2，D（2，2），设P（m，m2m2）（1m2），则N（m，m），M（m2+2m+2，m2m2），PMm2+2m+2mm2+m+2，PNmm2+m+2m2+m+，WPM+PNm2+m+2m2+m+m2+m+（m）2+，0，W的最大值为3（2022南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA6，其顶点与x轴的距离是6（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线yx+m与抛物线的对称轴交于点Q当POQ与PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值【分析】（1）由题意可得ya（x3）26，再将（0，0）代入求出a的值即可求函数的解析式；（2）设直线yx+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，则OE|m|，AF|6+m|，由题意可知直线yx+m与坐标轴的夹角为45，求出OM|m|，AN|6+m|，再由|m|：|6+m|1：3，求出m的值即可；设P（t，t24t），过P作PEy轴交AB于点E，过P作PFBQ交于F，求出直线AB的解析式后可求E（t，t+6），则PEt2+3t+6，由直线AB与直线PQ的解析式，能确定两直线互相垂直，可求CQBQ，CPPE，则PC+CQ（t3）2+9，即可求PC+CQ的最大值【解答】解：（1）OA6，抛物线的对称轴为直线x3，设抛物线的解析式为ya（x3）2+k，顶点与x轴的距离是6，顶点为（3，6），ya（x3）26，抛物线经过原点，9a60，a，y（x3）26；（2）设直线yx+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，E（0，m），F（m，0），OE|m|，AF|6+m|，直线yx+m与坐标轴的夹角为45，OM|m|，AN|6+m|，SPOQ：SPAQ1：3，OM：AN1：3，|m|：|6+m|1：3，解得m或m3；设P（t，t24t），过P作PEy轴交AB于点E，过P作PFBQ交于F，设直线AB的解析式为ykx+b，解得，yx+6，E（t，t+6），PEt+6（t24t）t2+3t+6，设直线AB与y轴交点为G，令x0，则y6，G（0，6），OGOA6，OGA45，设直线PQ与x轴交点为K，与y轴交点为L，直线PQ的解析式为yx+m，令x0，则ymL（0，m），令y0，则xm，K（m，0），OLOK，OLK45，GCL90，PFFQ3t，设BF与x轴交点为H，FHt2+4t，HQt2+4t3+tt2+5t3，BQ3t2+5t3t2+5t，CQBQ（t2+5t），CPPE（t2+3t+6），PC+CQ（t2+3t+6）+（t2+5t）（t2+8t+6）（t3）2+9，当t3时，PC+CQ的最大值为94（2022成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与y轴，x轴分别相交于A（0，2），B（2，0），C（4，0）三点，点D是二次函数图象的顶点（1）求二次函数的表达式；（2）点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若SACPSACB，求点P的坐标；（3）M是第四象限内一动点，且AMB45，连接MD，MC，求2MD+MC的最小值【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）分两种情形，分别构建方程组求解即可；（3）以O为圆心，OA为半径的圆，连接OM，取OB的中点E，连接EM、ED，先根据二次函数求出A、B、C、D的坐标，再证明EOMMOC，从而有EMMC，故2MD+MC2（MD+MC）2（MD+ME）2ED，再求出ED即可【解答】解：（1）抛物线经过B（2，0），C（4，0），可以假设抛物线的解析式为ya（x2）（x4），把A（0，2）代入，可得a，二次函数的解析式为yx2x+2；（2）如图，当点P在直线AC的下方时，过点B作BP0AC交抛物线于点P0，由题意直线AC的解析式为yx+2，kAC，K，直线BP0的解析式为yx+1，由，解得，则P0与B重合，不符合题意当点P在直线AC的上方时，作直线BP0关于直线AC的的对称直线P1P2，交抛物线于P1，P2直线AC的解析式为yx+2，可得直线P1P2的解析式为yx+3，由，解得或，P1（2+2，2），P2（22，2+）；（3）解：如图，以O为圆心，OA为半径的圆，连接OM，取OB的中点E，连接EM、ED，A（0，2），B（2，0），C（4，0），OAOB，即B在O上，yx2x+2（x3）2，顶点D（3，），AMB45，AMBBOA，M在在O上，即OM2，取OB的中点E（1，0），又EOMMOC，EOMMOC，EMMC，2MD+MC2（MD+MC）2（MD+ME）2ED，ED，2MD+MC的最小值为5（2022成都模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线ya（x1）（x+3）的图象与x轴交于点A，B（A在B的左边），且经过点C（2，3），P为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；（2）平面内一动点H自点C出发，先到达x轴上的某点M，再到达y轴上某点N，最后运动到点P，求使点H运动的总路径最短的点M，点N的坐标，并求出这个最短总路径的长；（3）如图2，过点C的直线l与抛物线有唯一的公共点，将直线l向下平移交抛物线于D，E两点，连BD交y轴正半轴于F，连BE交y轴负半轴于G，试判断|OFOG|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求出a，再利用配方法求解；（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C，点P关于y轴的对称点P，连接CP交x轴于点M，交y轴于点N，得C（2，3），P（1，4），此时点H运动的总路径最短，求出直线MN的解析式，可得结论；（3）如图2中，过点D，E分别作DKy轴于点K，EHy轴于点H由，得到x2+（2+k）x+2k0，由0，可得k2，设DE为y2x+m，E（x1，y1），D（x2，y2），由，得x2+4x+m30，可得x1+x24，x1x2m3，由DKFBOF，BOGEHG，可得，OF，OG，再求出|OFOG|的值，可得结论【解答】解：（1）把C（2，3）代入ya（x1）（x+3），可得a1，yx22x+3（x+1）2+4，P（1，4）；（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C，点P关于y轴的对称点P，连接CP交x轴于点M，交y轴于点N，得C（2，3），P（1，4），此时点H运动的总路径最短，yMNx+，M（，0），N（0，），dmin；（3）如图2中，过点D，E分别作DKy轴于点K，EHy轴于点H设直线l的表达式为ykx+b，将C（2，3）代入得到b2k+3，ykx+2k+3，由，得到x2+（2+k）x+2k0，由0可得（2+k）28k0k2，设DE为y2x+m，E（x1，y1），D（x2，y2），由，得x2+4x+m30，x1+x24，x1x2m3，由DKFBOF，BOGEHG，可得，OF，OG，|OFOG|，将x1+x24，x1x2m3，代入上式，可得|OFOG|26（2022沈阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c的“衍生直线”为yax+b，有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在“衍生直线”上的三角形为该抛物线的“衍生三角形”如图1，已知抛物线yx2+2x+3与其“衍生直线”交于A，D两点（点A在点D的左侧），与x轴正半轴相交于点B，与y轴正半轴相交于点C，点P为抛物线的顶点（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 yx+1；B的坐标为 （3，0）；D的坐标为 （2，3）（2）如图1，动点E在线段AB上，连接DE，DB，将BDE以DE所在直线为对称轴翻折，点B的对称点为F，若三角形DEF为该抛物线的“衍生三角形”，且F不在抛物线上，求点F坐标（3）抛物线的“衍生直线”上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN，连接PM，CN，当PM+MN+CN最短时，请直接写出此时点N的坐标【分析】（1）根据“衍生直线”的定义可得抛物线yx2+2x+3的“衍生直线”的解析式，通过解方程即可求得点B、D的坐标（2）分两种情况：点E在点A与点B之间，点F在直线AD上或点E与点A重合，当点E在点A与点B之间，点F在直线AD上时，设F1（t，t+1），利用翻折变换的性质建立方程求解即可；当点E与点A重合时，由翻折得：DAFDAB45，AFAB4，即可求得答案（3）过点P作PRx轴，过点A作ARy轴，则R（1，4），作点P关于直线AD的对称点P，过点P作PKx轴于点K，证得APRAPK（AAS），得出：AKAR4，PKPR2，即可得到P（3，2），将线段PM沿着直线DA的方向平移个单位，即向左平移个单位，向下平移个单位，得到线段PN，则P（，），当C、N、P三点共线时，PM+MN+CN最短；运用待定系数法求出直线CP的解析式，联立方程组即可求得答案【解答】解：（1）抛物线yx2+2x+3，其“衍生直线”的解析式为yx+1，由x2+2x+30，解得：x1或3，B（3，0），由x2+2x+3x+1，解得：x1或2，D（2，3），故答案为：yx+1；（3，0）；（2，3）（2）抛物线yx2+2x+3，A（1，0），B（3，0），AB4，设直线AD交y轴于点T，则T（0，1），OAOT，即AOT是等腰直角三角形，DAB45，三角形DEF为该抛物线的“衍生三角形”，且F不在抛物线上，点E在点A与点B之间，点F在直线AD上或点E与点A重合，如图1，当点E在点A与点B之间，点F在直线AD上时，设F1（t，t+1），由翻折得：DF1DB，（t2）2+（t+13）210，解得：t2，t2，t2，F1（2，3）；当点E与点A重合时，由翻折得：DAFDAB45，AFAB4，F2（1，4）；综上所述，点F的坐标为：F1（2，3）或F2（1，4）；（3）yx2+2x+3（x1）2+4，P（1，4），令x0，得y3，C（0，3），过点P作PRx轴，过点A作ARy轴，则R（1，4），作点P关于直线AD的对称点P，过点P作PKx轴于点K，由（2）知DAB45，DAR45，APAP，PADPAD，PARPAK，ARPAKP90，APRAPK（AAS），AKAR4，PKPR2，P（3，2），将线段PM沿着直线DA的方向平移个单位，即向左平移个单位，向下平移个单位，得到线段PN，则P（，），当C、N、P三点共线时，PM+MN+CN最短；即直线CP交直线AD于点N，设直线CP的解析式为ykx+d，则，解得：，直线CP的