中考数学压轴题专题第10讲二次函数与圆存在性问题

专题10二次函数与圆存在性问题 二次函数是初中数学代数部分最重要的概念之一，是中考数学的重难点；而圆是初中几何中综合性最强的知识内容，它与二次函数都在中考中占据及其重要的地位，两者经常作为压轴题综合考查，能够很好的考查学生的数学综合素养以及分析问题、解决问题的能力.圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的关系，其本质就是把位置关系向数量化关系转化.二次函数与圆的综合要数形结合，在读题之前要想到圆中的相关概念、性质及定理，比如圆的定义、垂径定理、圆周角、圆心角、内心、外心、切线、四点共圆的、隐藏圆等；对于二次函数，要熟练掌握解析式的求法和表达形式、顶点、最值、与方程之间的关系，线段长与点的坐标之间的数量转化等.【例1】（2022闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G（1）求抛物线的表达式；（2）以点G为圆心，BG为半径画G；以点E为圆心，EF为半径画E当G与E内切时试证明EF与EB的数量关系；求点F的坐标【例2】（2022福建模拟）如图，已知抛物线yax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，4）在抛物线上，且ABC是等腰直角三角形（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论【例3】（2022武汉模拟）已知抛物线y2x2+bx+c（c0）（1）如图1，抛物线与直线l相交于点M（1，0），N（2，6）求抛物线的解析式；过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；（2）如图2，已知抛物线y2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D（0，n）四点在同一圆上，求n的值【例4】（2022上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax23ax+2（a0）交y轴于点A，抛物线的对称轴交x轴于点P，联结PA（1）求线段PA的长；（2）如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3，求a的值；（3）以点P为圆心、PA为半径的P交y轴的负半轴于点B，第一象限内的点Q在P上，且劣弧2如果抛物线经过点Q，求a的值1（2021广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x10123y03430（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DFx轴，垂足为F，ABD的外接圆与DF相交于点E试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由2（2021张家界）如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象经过点C（2，3），且与x轴交于原点及点B（8，0）（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为O上的动点，且O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值3（2021宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE（1）求抛物线的表达式；（2）判断BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作C，在C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由4（2020雨花区校级一模）如图1，已知抛物线yax212ax+32a（a0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（1）连接BC，若ABC30，求a的值（2）如图2，已知M为ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数问：是否存在一点P，使得APB达到最大，若存在，求出此时APB的正弦值，若不存在，也请说明理由5（2020汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线yax2+bx+c（a0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MNy轴交抛物线于点N1求线段MN的最大值；2当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当PMN的外接圆圆心Q在PMN的边上时，求点P的坐标6（2021开福区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，2）（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，ABD的外接圆圆心为M（如图1），求点M的坐标及M的半径；过点B作M的切线交于点P（如图2），设Q为M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由7（2020天桥区二模）如图，抛物线yax2+bx+c（a0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，2）为抛物线的顶点（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作E，交x轴于B、C两点，点M为E上一点射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tanMBC2时，求m的值；如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由8（2020百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）以坐标原点O为圆心的圆的半径r，OCAB于点C（1）求抛物线的函数解析式（2）求证：直线AB与O相切（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交O于点M当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长9（2020西藏）在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若SPAC，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作M，过点P作PEx轴，垂足为D，交M于点E点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长10（2020宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y1相切若存在，求出点E的坐标，并求E的半径；若不存在，说明理由11（2021嘉兴二模）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆请判断P是不是二次函数yx24x+3的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数yx24x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求POA周长的最小值；（3）已知二次函数yax24x+4（0a1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2若CPD120，求a的值12（2021常州二模）如图1：抛物线yx2+bx+c过点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C动点E（m，0）（0m3），过点E作直线lx轴，交抛物线于点M（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若ANOM，求m的值（3）如图2当m1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F（点F在x轴上方），若线段AC上最多存在一个点Q使得FQE90，求点P纵坐标的取值范围13（2021乐山模拟）如图，抛物线yax2+bx+2与直线AB相交于A（1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作O，D为O上一动点，求DA+DB的最小值14（2021河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+3的对称轴是直线x2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（）求抛物线的解析式及顶点坐标；（）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MNx轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CMCD时，求点M的坐标；（）以原点O为圆心，AO长为半径作O，点P为O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值15（2021长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（a0）的顶点为M，经过C（1，1），且与x轴正半轴交于A，B两点（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON，若OBNONA，且，求抛物线的解析式；（3）如图3，抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线，与y轴交于（0，5），经过点C的直线l：ykx+m（k0）与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使CP1DCP2D90，求k的取值范围16（2021秋上城区校级期中）如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，M是ABC的外接圆若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；（2）求M的半径和圆心M的坐标；（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与ABC相似若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由17（2021秋西湖区校级期中）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；（2）已知点E是“蛋圆”上的一点（不与点A，点B重合），点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；（3）点P是“蛋圆”外一点，满足BPC60，当BP最大时，直接写出点P的坐标18（2021雨花区二模）如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B为OD中点（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2MNMB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由19（2020东海县二模）如图，AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：yx2+x上，点A的坐标为（4，m），点B的坐标为（n，2）（点A在点B的左侧）（1）则m ，n （2）将AOB绕点O逆时针旋转90得到AOB，抛物线C2：yax2+bx+4经过A、B两点，延长OB交抛物线C2于点C，连接AC设OAC的外接圆为M求圆心M的坐标；试直接写出OAC的外接圆M与抛物线C2的交点坐标（A、C除外）20（2022绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）其中，m0（1）当m1时该二次函数的图象的对称轴是直线 求该二次函数的表达式（2）当|m|x|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值（3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标21（2022炎陵县一模）抛物线：yx2+bx+c与y轴的交点C（0，3），与x轴的交点分别为E、G两点，对称轴方程为x1（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点C作y轴的垂线交抛物线于另一点D，F为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一动点若PDPF，求点P的坐标（3）如图1，如果一个圆经过点O、点G、点C三点，并交于抛物线对称轴右侧x轴的上方于点H，求OHG的度数；（4）如图2，将抛物线向下平移2个单位长度得到新抛物线L，点B是顶点直线ykxk+4（k0）与抛物线L交于点M、N与对称轴交于点G，若BMN的面积等于2，求k的值22（2022杨浦区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y+bx+c与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，3），在x轴上有一动点E（m，0）（0m4），过点E作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，过P作PMAB，垂足为点M（1）求这条抛物线的表达式；（2）设PMN的周长为C1，AEN的周长为C2，如果，求点P的坐标；（3）如果以N为圆心，NA为半径的圆与以OB为直径的圆内切，求m的值【例1】（2022闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G（1）求抛物线的表达式；（2）以点G为圆心，BG为半径画G；以点E为圆心，EF为半径画E当G与E内切时试证明EF与EB的数量关系；求点F的坐标【分析】（1）根据点A、B的坐标，设抛物线ya（x+1）（x3），再将点C代入即可求出a的值，从而得出答案；（2）分两种情形，当rGrE时，则GBEFGE，则EFEB，当rGrE时，则EFGBGE，设EF5t，FG3t，GE4t，则5tGB4t，则GBtGE4t，从而得出矛盾；由设BDt，则DE，利用勾股定理得BE，则F坐标为（3t，3t），代入抛物线解析式，从而解决问题【解答】解：（1）点A坐标为（1，0），点B坐标为（3，0）设抛物线ya（x+1）（x3）（a0），抛物线经过点C（0，4），43a解得抛物线的表达式是；（2）由于G与E内切，当rGrE时，则EFGBGE，设EF5t，FG3t，GE4t，则5tGB4t，GBtGE4t，点E在线段CB的延长线上又已知点E在线段BC上，矛盾，因此不存在当rGrE时，则GBEFGE，又GEGBEB，EFEB；OCOB，FDOB，COBEDB90设BDt，则DE；在RtBED中，由勾股定理得，F坐标为（3t，3t），F点在抛物线上，解得，t0（点F与点B重合，舍去）F坐标为（，）【例2】（2022福建模拟）如图，已知抛物线yax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，4）在抛物线上，且ABC是等腰直角三角形（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论【分析】（1）等腰直角三角形斜边中线等于斜边一半，点的坐标，不难求出A、B两点坐标，把点A、B、C代入二次函数解析式，解三元一次方程组就可得到函数解析式（2）通过设过点D（2，0）的直线MN解析式为yk（x2）kx2k，得到关于x、关于y的方程，利用跟与系数的关系，再得到圆的解析式，待定系数法确定定点的x、y的值，确定定点的坐标【解答】解：连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P在RtCAB中，ACBC，CPAB，点C（2，4），CPAPPB4，OP2，OAAPOP422，OBOP+PB4+26，点A（2，0），点B（6，0），把点A（2，0），点B（6，0），点C（2，4）代入函数解析式得，解得，抛物线的解析式为：yx2x3故答案为：yx2x3（2）设过点D（2，0）的直线MN解析式为yk（x2）kx2k，联立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx2kx2x3，化简得0，xN+xM4（k+1），xNxM8k12.，联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y（+2）2（+2）3，化简得y2+（1）y40，yM+yN4k2，yMyN16k2.，线段MN的中点就是圆的圆心，xO（xN+xM）2（K+1），代入直线方程得yO2k2，圆心坐标为（2k+2，2k2），直径MN，把、代入上式化简整理得直径MN，设圆上某一点（x，y）到圆心的距离等于半径，化简整理得16k2+128kx24kx4x+y24k2y4yk24kx+x24x+y2，圆过定点，所以与k值无关，看作是关于k的二次等式，k2、k的系数，常量对应相等，得84x，x2，164y，y4，由以上分析，所以以MN为直径的圆过定点（2，4）故答案为：以线段MN为直径的圆过定点（2，4）【例3】（2022武汉模拟）已知抛物线y2x2+bx+c（c0）（1）如图1，抛物线与直线l相交于点M（1，0），N（2，6）求抛物线的解析式；过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；（2）如图2，已知抛物线y2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D（0，n）四点在同一圆上，求n的值【分析】（1）把点M（1，0），N（2，6）代入到y2x2+bx+c中，可得b和c的值设P（a，2a2+4a+6），再利用M（1，0），N（2，6），得到 MN、PM、PN的表达式，最后利用勾股定理求得a的值（2）令C（0，c），当y0时，代入抛物线得xAxB，根据两角对应相等，可得AOCDOB，然后再找到对应线段成比例，即得到n的值【解答】解：（1）把M（1，0）N（2，6）代入y2x2+bx+c，得 ，解得 ，抛物线的解析式为y2x2+4x+6；由，抛物线解析式为：y2x2+4x+6，设P（a，2a2+4a+6）M（1，0），N（2，6），MN3，PM，PN，又PNMN，则PM2MN2+PN2，（1a）2+（2a24ab）2（3）2+（2a）2+（2a24a）2整理得：4a29a+20，（a2）（4a1）0a12，a2当a2时，P与N重合，a，PN（2）证明：设OAxA，OBxB，ODn当y0时，2x2+bx+c0，xAxB，OAOBxAxBCAOBDO，ACODBOAOCDOBOAOBOCODc（n）c0n【例4】（2022上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax23ax+2（a0）交y轴于点A，抛物线的对称轴交x轴于点P，联结PA（1）求线段PA的长；（2）如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3，求a的值；（3）以点P为圆心、PA为半径的P交y轴的负半轴于点B，第一象限内的点Q在P上，且劣弧2如果抛物线经过点Q，求a的值【分析】（1）分别求出P（，0），A（0，2），由两点间距离公式可求；（2）抛物线的顶点为M（，2a），由SAPMPMOPAP3，可得a；（3）连接PQ，BP，AM，设Q（t，at23at+2），求出M（1，0），由垂径定理可得AMAQ，PQAP，得，联立可得a【解答】解：（1）yax23ax+2a（x）2+2a，抛物线的对称轴为x，P（，0），令x0，则y2，A（0，2），PA；（2）由（1）可知抛物线的顶点为M（，2a），a0，2a0，SAPMPMOPAP3，（2a）3，解得a；（3）连接PQ，BP，AM，MPAB，2，AMAQ，设Q（t，at23at+2），AP，P（，0），M（1，0），PQAP，联立可得t或t1（舍），将t代入，可得a1（2021广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x10123y03430（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DFx轴，垂足为F，ABD的外接圆与DF相交于点E试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标；（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C（0，2），连接BC交抛物线对称轴x1于点Q，过点C作CPBC，交对称轴于点P，连接AQ，此时，C、Q、B三点共线，BQ+CQ的值最小，运用勾股定理即可求出答案；（3）如图2，连接BE，设D（t，t2+2t+3），且t3，可得DFt22t3，BFt3，AFt+1，运用圆内接四边形的性质可得DAFBEF，进而证明AFDEFB，利用，即可求得答案【解答】解：（1）根据表格可得出A（1，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线解析式为ya（x+1）（x3），将C（0，3）代入，得：3a（0+1）（03），解得：a1，y（x+1）（x3）x2+2x+3（x1）2+4，该抛物线解析式为yx2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）；（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C（0，2），连接BC交抛物线对称轴x1于点Q，过点C作CPBC，交对称轴于点P，连接AQ，A、B关于直线x1对称，AQBQ，CPBC，PQCC，四边形CCQP是平行四边形，CPCQ，QPCC1，在RtBOC中，BC，AQ+QP+PCBQ+CQ+QPBC+QP+1，此时，C、Q、B三点共线，BQ+CQ的值最小，AQ+QP+PC的最小值为+1；（3）线段EF的长为定值1.如图2，连接BE，设D（t，t2+2t+3），且t3，EFx轴，DF（t2+2t+3）t22t3，F（t，0），BFOFOBt3，AFt（1）t+1，四边形ABED是圆内接四边形，DAF+BED180，BEF+BED180，DAFBEF，AFDEFB90，AFDEFB，EF1，线段EF的长为定值12（2021张家界）如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象经过点C（2，3），且与x轴交于原点及点B（8，0）（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为O上的动点，且O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值【分析】（1）运用待定系数法即可求出答案；（2）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，得出顶点坐标，运用待定系数法求出直线AB的函数表达式；（3）方法1：如图1，过点A作AFOB于点F，则F（4，0），得出AFO、AFB均为等腰直角三角形，即可得出答案，方法2：由ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，4），B（8，0），运用勾股定理及逆定理即可得出答案；（4）以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，根据tAP+PBPD+PB，可知当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DGOB于点G，由tDB即可求出答案【解答】解：（1）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过C（2，3），且与x轴交于原点及点B（8，0），c0，二次函数表达式可设为：yax2+bx（a0），将C（2，3），B（8，0）代入yax2+bx得：，解得：，二次函数的表达式为；（2）（x4）24，抛物线的顶点A（4，4），设直线AB的函数表达式为ykx+m，将A（4，4），B（8，0）代入，得：，解得：，直线AB的函数表达式为yx8；（3）ABO是等腰直角三角形方法1：如图1，过点A作AFOB于点F，则F（4，0），AFOAFB90，OFBFAF4，AFO、AFB均为等腰直角三角形，OAAB4，OAFBAF45，OAB90，ABO是等腰直角三角形方法2：ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，4），B（8，0），OB8，OA，AB，且满足OB2OA2+AB2，ABO是等腰直角三角形；（4）如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：动点E的运动时间为tAP+PB，在OA上取点D，使OD，连接PD，则在APO和PDO中，满足：2，AOPPOD，APOPDO，2，从而得：PDAP，tAP+PBPD+PB，当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DGOB于点G，由于，且ABO为等腰直角三角形，则有 DG1，DOG45动点E的运动时间t的最小值为：tDB53（2021宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE（1）求抛物线的表达式；（2）判断BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作C，在C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）BCE是直角三角形运用勾股定理逆定理即可证明；（3）如图，在CE上截取CF（即CF等于半径的一半），连结BF交C于点P，连结EP，则BF的长即为所求【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为E（2，8），设该抛物线的表达式为ya（x2）2+8，与y轴交于点C（0，6），把点C（0，6）代入得：a，该抛物线的表达式为yx2+2x+6；（2）BCE是直角三角形理由如下：抛物线与x轴分别交于A、B两点，令y0，则（x2）2+80，解得：x12，x26，A（2，0），B（6，0），BC262+6272，CE2（86）2+228，BE2（62）2+8280，BE2BC2+CE2，BCE90，BCE是直角三角形；（3）C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为理由如下：如图，在CE上截取CF（即CF等于半径的一半），连结BF交C于点P，连结EP，则BF的长即为所求理由如下：连结CP，CP为半径，又FCPPCE，FCPPCE，即FPEP，BFBP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值CFCE，E（2，8），由比例性质，易得F（，），BF4（2020雨花区校级一模）如图1，已知抛物线yax212ax+32a（a0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（1）连接BC，若ABC30，求a的值（2）如图2，已知M为ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数问：是否存在一点P，使得APB达到最大，若存在，求出此时APB的正弦值，若不存在，也请说明理由【分析】（1）令y0，求得抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令x0，用a表示C点的坐标，再由三角函数列出a的方程，便可求得a的值；（2）过M点作MHAB于点H，连接MA、MC，用d表示出M的坐标，根据MAMC，列出a、d的关系式，再通过关系式求得结果；（3）取AB的中点T，过T作MTAB，以M为圆心，MA为半径作M，MT与直线yx交于点S，P为直线yx上异于P的任意一点，连接AP，交M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当P为直线yx与M的切点时，APB达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可【解答】解：（1）连接BC，令y0，得yax212ax+32a0，解得，x4或8，A（4，0），B（8，0），令x0，得yax212ax+32a32a，C（0，32a），又ABC30，tanABC，解得，a；（2）过M点作MHAB于点H，连接MA、MC，如图2，AHBH2，OH6，设M（6，d），MAMC，4+d236+（d32a）2，得2ad32a2+1，d16a+，当4时，有，即当a时，有；（3）P（t，t），点P在直线yx上，如图3，取AB的中点T，过T作MTAB，以M为圆心，MA为半径作M，MT与直线yx交于点S，P为直线yx上异于P的任意一点，连接AP，交M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当M与直线yx相切时，有APBAKBAPB，APB最大，此时相切点为P，设M（6，d），而T（6，0），S（6，6），PSM90SOT45，又MPMB，MS，MS+MTST6，解得，d2（负根舍去），经检验，d2是原方程的解，也符合题意，M（6，2），MB2，AMB2APB，MTAB，MAMB，AMTBMTAMBAPB，sinAPBsinBMT5（2020汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线yax2+bx+c（a0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MNy轴交抛物线于点N1求线段MN的最大值；2当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当PMN的外接圆圆心Q在PMN的边上时，求点P的坐标【分析】（1）将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得a、b、c，便可得抛物线的解析式；（2）1用待定系数法求出直线BC的解析式，再设M的横坐标为t，用t表示MN的距离，再根据二次函数的性质求得MN的最大值；2分三种情况：当PMN90时；当PNM90时；当MPN90时分别求出符合条件的P点坐标便可【解答】解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线yax2+bx+c（a0）中，得，解得，抛物线的解析式为：yx24x+3；（2）1设直线BC的解析式为ymx+n（m0），则，解得，直线BC的解析式为：yx+3，设M（t，t+3）（0t3），则N（t，t24t+3），MNt2+3t，当t时，MN的值最大，其最大值为；2PMN的外接圆圆心Q在PMN的边上，PMN为直角三角形，由1知，当MN取最大值时，M（），N（），当PMN90时，PMx轴，则P点与M点的纵坐标相等，P点的纵坐标为，当y时，yx24x+3，解得，x，或x（舍去），P（）；当PNM90时，PNx轴，则P点与N点的纵坐标相等，P点的纵坐标为，当y时，yx24x+3，解得，x，或x（舍去），P（，）；当MPN90时，则MN为PMN的外接圆的直径，PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，Q（），半径为，过Q作QKx轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图，令y，得yx24x+3，解得，x（舍），或x，K（，），QK，即K点在以MN为直径的Q外，设抛物线yx24x+3的顶点为点L，则l（2，1），连接LK，如图，则L到QK的距离为，LK，设Q点到LK的距离为h，则，直线LK下方的抛物线与Q没有公共点，抛物线中NL部分（除N点外）在过N点与x轴平行的直线下方，抛物线中NL部分（除N点外）与Q没有公共点，抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，抛物线K点右边部分与Q没有公共点，综上，Q与MN右边的抛物线没有交点，在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使PMN的外接圆圆心Q在MN边上；综上，点P的坐标为（）或（）6（2021开福区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，2）（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，ABD的外接圆圆心为M（如图1），求点M的坐标及M的半径；过点B作M的切线交于点P（如图2），设Q为M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由【分析】（1）c2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：04b2，解得：b，即可求解；（2）SABD，则BN，sinBDH，即可求解；（3）ADB45，则AMB2ADB90，MAMB，MHAB，AHBHHM，点M的坐标为（，）M的半径为；PHHB5，则，故HMQQMP，则，即可求解【解答】解：（1）c2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：04b2，解得：b，抛物线的解析式为yx2x2；（2）当x5时，yx2x23，故D的坐标为（5，3），令y0，则x4（舍去）或1，故点A（1，0），如图，连接BD，作BNAD于N，A（1，0），B（4，0），C（0，2），AD3，BD，AB5，SABD，BN，sinBDN，BDN45；ADBBDN45；（3）如图，连接MA，MB，ADB45，AMB2ADB90，MAMB，MHAB，AHBHHM，点M的坐标为（，）M的半径为；如图，连接MQ，MB，过点B作M的切线交1于点P，MBP90，MBO45，PBH45，PHHB2.5，HMQQMP，HMQQMP，在点Q运动过程中的值不变，其值为7（2020天桥区二模）如图，抛物线yax2+bx+c（a0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，2）为抛物线的顶点（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作E，交x轴于B、C两点，点M为E上一点射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tanMBC2时，求m的值；如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：ya（x2）22，将点A的坐标代入上式，即可求解；（2）分点P在x轴下方、点P在x轴上方两种情况，分别求解即可；证明BN是OEM的中位线，故BNEM，而BD，而BDBNNDBD+BN，即可求解【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：ya（x2）22，将点A的坐标代入上式并解得：a，故抛物线的表达式为：y（x2）22x22x；（2）点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），当点P在x轴下方时，如图1，tanMBC2，故设直线BP的表达式为：y2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s2，故直线BP的表达式为：y2x+2，联立并解得：x2（舍去2），故m2；当点P在x轴上方时，同理可得：m42（舍去42）；故m2或4+2；存在，理由：连接BN、BD、EM，则BN是OEM的中位线，故BNEM，而BD，在BND中，BDBNNDBD+BN，即0.5ND+0.5，故线段DN的长度最小值和最大值分别为0.5和+0.58（2020百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）以坐标原点O为圆心的圆的半径r，OCAB于点C（1）求抛物线的函数解析式（2）求证：直线AB与O相切（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交O于点M当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长【分析】（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：yax2+2，把点B的坐标代入即可求出a的值，即可得出抛物线解析式；（2）根据切线的判定，证明OC是O的半径即可；（3）由题意知，AC是以M，O，A，C为顶点的平行四边形的边，利用平行四边形对边平行的性质，可得出直线OM的解析式，直线OM与抛物线的交点为P，即可求出PM的长【解答】解：（1）抛物线的顶点为A（0，2），可设抛物线的解析式为：yax2+2，抛物线经过点B（2，0），4a+20，解得：a，抛物线的解析式为：yx2+2；（2）证明：A（0，2），B（2，0），OAOB2，AB2，OCAB，OAOBABOC，222OC，解得：OC，O的半径r，OC是O的半径，直线AB与O相切；（3）点P在抛物线yx2+2上，可设P（x，x2+2），以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，可得：ACOM，CMOA2，点C是AB的中点，C（1，1），M（1，1），设直线OM的解析式为ykx，将点M（1，1）代入，得：k1，直线OM的解析式为yx，点P在OM上，x2+2x，解得：x11+，x21，y11，y21+，P1（1+，1），P2（1，1+），如图，当点P位于P1位置时，OP1（1+）+，P1MOP1OM+，当点P位于P2位置时，同理可得：OP2，P2MOP2OM2；综上所述，PM的长是或29（2020西藏）在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若SPAC，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作M，过点P作PEx轴，垂足为D，交M于点E点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长【分析】（1）由二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，可得二次函数的解析式为y（x+2）（x4），由此即可解决问题（2）根据SPACSAOC+SOPCSAOP，构建方程即可解决问题（3）结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE2根据AMMP，根据方程求出t，再利用中点坐标公式，求出点E的纵坐标即可解决问题【解答】解：（1）二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，二次函数的解析式为y（x+2）（x4），即yx2x4（2）如图甲中，连接OP设P（m，m2m4）由题意，A（2，0），C（0，4），SPACSAOC+SOPCSAOP，24+4m2（m2+m+4），整理得，m2+2m150，解得m3或5（舍弃），P（3，）（3）结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE2理由：如图乙中，连接AM，PM，EM，设M（1，t），Pm，（m+2）（m4），E（m，n）由题意A（2，0），AMPM，32+t2（m1）2+（m+2）（m4）t2，解得t1+（m+2）（m4），MEPM，PEAB，t，n2t（m+2）（m4）21+（m+2）（m4）（m+2）（m4）2，DE2，另解：PDDEADDB，DE2，为定值点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE210（2020宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y1相切若存在，求出点E的坐标，并求E的半径；若不存在，说明理由【分析】（1）设二次函数表达式为：yax2，将（2，1）代入上式，即可求解；（2）PMN是等边三角形，则点P在y轴上且PM4，故PF2，即可求解；（3）在RtFQE中，EN，EF，即可求解【解答】解：（1）二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：yax2，将（2，1）代入上式并解得：a，故二次函数表达式为：yx2；（2）将y1代入yx2并解得：x2，故点M、N的坐标分别为（2，1）、（2，1），则MN4，PMN是等边三角形，点P在y轴上且PM4，PF2；点F（0，1），点P的坐标为（0，1+2）或（0，12）；（3）假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，设点Q是FN的中点，则点Q（1，1），故点E在FN的中垂线上点E是FN的中垂线与yx2图象的交点，y12，则点E（1，），EN，同理EF，点E到直线y1的距离为|（1）|，故存在点E，使得以点E为圆心半径为的圆过点F，N且与直线y1相切11（2021嘉兴二模）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆请判断P是不是二次函数yx24x+3的坐标圆，并说明理由；（2）已知