中考数学压轴题专题第33讲圆与新定义综合问题

专题33圆与新定义综合问题 【例1】（2022石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称P1PP2为点P的“关联三角形”（1）已知点A（1，2），求点A的“关联三角形”的面积；（2）如图，已知点B（m，m），T的圆心为T（2，2），半径为2若点B的“关联三角形”与T有公共点，直接写出m的取值范围；（3）已知O的半径为r，OP2r，若点P的“关联三角形”与O有四个公共点，直接写出PP1P2的取值范围【例2】2022朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，AB1，且A，B两点中至少有一点在O外给出如下定义：平移线段AB，得到线段AB（A，B分别为点A，B的对应点），若线段AB上所有的点都在O的内部或O上，则线段AA长度的最小值称为线段AB到O的“平移距离”（1）如图1，点A1，B1的坐标分别为（3，0），（2，0），线段A1B1到O的“平移距离”为 ，点A2，B2的坐标分别为（，），（，），线段A2B2到O的“平移距离”为 ；（2）若点A，B都在直线yx+2上，记线段AB到O的“平移距离”为d，求d的最小值；（3）如图2，若点A坐标为（1，），线段AB到O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）【例3】（2022开福区校级一模）我们不妨定义：有两边之比为1：的三角形叫敬“勤业三角形”（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是 ；（填序号）等边三角形；等腰直角三角形；含30角的直角三角形；含120角的等腰三角形（2）如图1，ABC是O的内接三角形，AC为直径，D为AB上一点，且BD2AD，作DEOA，交线段OA于点F，交O于点E，连接BE交AC于点G试判断AED和ABE是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出的值；如果不是，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，当AF：FG2：3时，求BED的余弦值【例4】（2022清苑区二模）【问题提出】如图1，O与直线a相离，过圆心O作直线a的垂线，垂足为H，且交O于P、Q两点（Q在P、H之间）我们把点P称为O关于直线a的“远点”，把PQPH的值称为O关于直线a的“远望数”（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），过点E画垂直于y轴的直线m，则半径为1的O关于直线m的“远点”坐标是 ，直线m向下平移 个单位长度后与O相切（2）在（1）的条件下求O关于直线m的“远望数”【拓展应用】（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（6，0），与y轴交于点N，点F坐标为（1，2），以F为圆心，OF为半径作F若F与直线l相离，O是F关于直线l的“远点”且F关于直线l的“远望数”是12，求直线l的函数表达式一解答题（共20题）1（2022长沙县校级三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”例如：如图1，在ABC中，AD为边BC上的中线，ABD与ABC相似，那么称ABC为关于边BC的“优美三角形”（1）如图2，在ABC中，BCAB，求证：ABC为关于边BC的“优美三角形”；（2）如图3，已知ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是ABC边BC的中点，以BD为直径的O恰好经过点A求证：直线CA与O相切；若O的直径为2，求线段AB的长；（3）已知三角形ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC4，B30，求ABC的面积2（2022西城区校级模拟）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x1x2若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足|y1y2|k|x1x2|，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作k（P，Q）由定义可知，k（P，Q）k（Q，P）例：若P（1，0），Q（3，），有|0|13|，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为已知点A（1，0），B（2，0），C（2，2），D（2，）（1）在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”： ，它们的“限斜系数”为 ；（2）若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1求点E的坐标；（3）O半径为3，点M为O上一点，满足MT1的所有点T，都与点C是一对“限斜点”，且都满足k（T，C）1，直接写出点M的横坐标xM的取值范围3（2022常州一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“图距离“，记作d（M，N）已知点A（2，6），B（2，2），C（6，2）（1）d（点O，ABC）；（2）线段L是直线yx（2x2）上的一部分，若d（L，ABC）1，且L的长度最长时，求线段L两个端点的横坐标；（3）T的圆心为T（t，0），半径为1若d（T，ABC）1，直接写出t的取值范围4（2022秦淮区二模）【概念认识】与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第类圆【初步理解】（1）如图，四边形ABCD是矩形，O1和O2都与边AD相切，O2与边AB相切，O1和O3都经过点B，O3经过点D，3个圆都经过点C在这3个圆中，是矩形ABCD的第类圆的是 ，是矩形ABCD的第类圆的是 【计算求解】（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第类圆和第类圆的半径长【深入研究】（3）如图，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）作它的1个第类圆；作它的1个第类圆5（2022丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，A为任意一点，B为O上任意一点给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在O上时，p0），最大值为q，那么把的值称为点A与O的“关联距离”，记作d（A，O）（1）如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数d（D，O） ；若点M在线段EF上，求d（M，O）的取值范围；（2）若点N在直线y上，直接写出d（N，O）的取值范围；（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，O）的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值6（2022大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，已知点A，过点A作直线MN对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与O有两个交点时，则称MN是O的“双关联直线”，与O有一个交点P时，则称MN是O的“单关联直线”，AP是O的“单关联线段”（1）如图1，A（0，4），当MN与y轴重合时，设MN与O交于C，D两点则MN是O的“ 关联直线”（填“双”或“单”）；的值为 ；（2）如图2，点A为直线y3x+4上一动点，AP是O的“单关联线段”求OA的最小值；直接写出APO面积的最小值7（2022宁波模拟）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边（1）如图1，ABC中，ABCB，A30，点O在AC边上，以OC为半径的O恰好经过点B，求证：O是ABC的切圆（2）如图2，ABC中，ABAC5，BC6，O是ABC的切圆，且另外两条边都是O的切边，求O的半径（3）如图3，ABC中，以AB为直径的O恰好是ABC的切圆，AC是O的切边，O与BC交于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EHAB于点H，若CF8，BF10，求AC和EH的长8（2022朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ykx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”（1）如图1，O的半径为1，当k1，b1时，直接写出直线l关于O的“圆截距”；（2）点M的坐标为（1，0），如图2，若M的半径为1，当b1时，直线l关于M的“圆截距”小于，求k的取值范围；如图3，若M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于M的“圆截距”的最小值2，直接写出b的值9（2022鄞州区校级一模）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是 （填序号）；矩形 菱形 正方形（2）如图，四边形ABCD内接于圆，P为圆内一点，APDBPC90，且ADPPBC，求证：四边形ABCD为“婆氏四边形”；（3）在（2）的条件下，BD4，且ABDC当DC2时，求AC的长度；当DC的长度最小时，请直接写出tanADP的值10（2022城关区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果APB45，那么称点P为线段AB的“完美点”设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是 ，C的半径是 ；y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当APB的度数最大时，点P的坐标为 11（2021常州一模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径是，A，B为O外两点，AB2给出如下定义：平移线段AB，使平移后的线段AB成为O的弦（点A，B分别为点A，B的对应点），线段AA长度的最小值成为线段AB到O的“优距离”（1）如图1，O中的弦P1P2、P3P4是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 的线段长度等于线段AB到O的“优距离”；（2）若点A（0，7），B（2，5），线段AA的长度是线段AB到O的“优距离”，则点A的坐标为 ；（3）如图2，若A，B是直线yx+6上两个动点，记线段AB到O的“优距离”为d，则d的最小值是 ；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母12（2022秋姜堰区期中）如图1，在平面内，过T外一点P画它的两条切线，切点分别为M、N，若MPN90，则称点P为T的“限角点”（1）在平面直角坐标系xOy中，当O半径为1时，在P1（1，0），P3（1，1），P4（2，1）中，O的“限角点”是 ；（填写序号）（2）如图2，A的半径为，圆心为（0，2），直线l：yx+b交坐标轴于点B、C，若直线l上有且只有一个O的“限角点”，求b的值（3）如图3，E（2，3）、F（1，2）、G（3，2），D的半径为，圆心D从原点O出发，以个单位/s的速度沿直线l：yx向上运动，若EFG三边上存在D的“限角点”，请直接写出运动的时间t（s）的取值范围13（2022秋西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转90，得到点P，点P关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”（1）如图1，若点M在坐标原点，点N（1，1），点P（2，0）的“对应点”Q的坐标为 ；若点P的“对应点”Q的坐标为（1，3），则点P的坐标为 ；（2）如图2，已知O的半径为1，M是O上一点，点N（0，2），若P（m，0）（m1）为O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ当点M（a，b）在第一象限时，求点Q的坐标（用含a，b，m的式子表示）；当点M在O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为 .（用含m的式子表示）14（2022秋海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知O的半径为2，对于点P，直线l和O，给出如下定义：若点P关于直线l对称的点在O上或O的内部，则称点P为O关于l的反射点（1）已知直线l为x3，在点P1（4，0），P2（4，1），P3（5，1）中，是O关于l的反射点有 ；若点P为x轴上的动点，且点P为O关于l的反射点，则点P的横坐标的最大值为 （2）已知直线l的解析式为ykx+2（k0），当k1时，若点P为直线x上的动点，且点P为O关于l的反射点，则点P的纵坐标t的取值范围是 ；点B（2，2），C（，1），若线段BC的任意一点都为O关于l的反射点，则k的取值范围是 15（2022钟楼区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（1，0），C（0，1），D（1，0）对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）已知点E（3，0）直接写出d（点E）的值；过点E画直线ykx3k与y轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；设T是直线yx+3上的一点，以T为圆心，长为半径作T若d（T）满足d（T）+，直接写出圆心T的横坐标x的取值范围16（2021秋慈溪市期中）如图1，在O中，弦AD平分圆周角BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中的“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，ABBC证明：圆中存在“爪形D”；若ADC120，求证：AD+CDBD（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BABC，连接BD若ADDC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果17（2021秋润州区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P，满足CP+CP2r，则称P为点P关于C的反称点，如图为点P及其关于C的反称点P的示意图（1）当O的半径为1时，分别判断点M（3，1），N（，0），T（1，）关于O的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；将O沿x轴水平向右平移1个单位为O，点P在直线yx+1上，若点P关于O的反称点P存在，且点P不在坐标轴上，则点P的横坐标的取值范围 ；（2）C的圆心在x轴上，半径为1，直线yx+12与x轴，y轴分别交于点A、B，点E与点D分别在点A与点B的右侧2个单位，线段AE、线段BD都是水平的，若四边形ABDE四边上存在点P，使得点P关于C的反称点P在C的内部，直接写出圆心C的横坐标的取值范围18（2021建邺区二模）【概念学习】在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，若O平移d个单位后，使某图形上所有点在O内或O上，则称d的最小值为O对该图形的“最近覆盖距离”例如，如图，A（3，0），B（4，0），则O对线段AB的“最近覆盖距离”为3【概念理解】（1）O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为 （2）如图，点P是函数y2x+4图象上一点，且O对点P的“最近覆盖距离”为3，则点P的坐标为 【拓展应用】（3）如图，若一次函数ykx+4的图象上存在点C，使O对点C的“最近覆盖距离”为1，求k的取值范围（4）D（3，m）、E（4，m+1），且4m2，将O对线段DE的“最近覆盖距离”记为d，则d的取值范围是 19（2022东城区校级开学）对于C和C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与C交于点Q（点Q可以与点P重合），且12，则点P称为点A关于C的“生长点”已知点O为坐标原点，O的半径为1，点A（1，0）（1）若点P是点A关于O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标 ；（2）若点B是点A关于O的“生长点”，且满足BAO30，求点B的纵坐标t的取值范围；（3）直线yx+b与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于O的“生长点”，直接写出b的取值范围是 20（2022东城区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）0，如图，点A（2，0），B（0，2）（1）如果O的半径为2，那么d（A，O） ，d（B，O） ；（2）如果O的半径为r，且d（O，线段AB）0，求r的取值范围；（3）如果C（0，m）是y轴上的动点，C的半径为1，使d（C，线段AB）1，直接写出m的取值范围为 【例1】（2022石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称P1PP2为点P的“关联三角形”（1）已知点A（1，2），求点A的“关联三角形”的面积；（2）如图，已知点B（m，m），T的圆心为T（2，2），半径为2若点B的“关联三角形”与T有公共点，直接写出m的取值范围；（3）已知O的半径为r，OP2r，若点P的“关联三角形”与O有四个公共点，直接写出PP1P2的取值范围【分析】（1）根据x轴，y轴对称，求出相应的对称点坐标，根据三角形面积公式求出面积即可；（2）四边形OADC是T的外接四边形，Q求出点D的坐标，即可判断；（3）分两种情形：当PP2与O相切于点E时，如图2中，当PP1与O相切于点F时，如图3中，分别求解即可【解答】解：（1）点A（1，2）关于x轴对称的对称点（1，2），点A关于yz轴对称的点A2（1，2），244；（2）T的圆心为T（2，2），半径为2，四边形OADC是T的外接四边形（如图1中），D（4，4），点B的“关联三角形”与T有公共点，且B（m，n），2m4；（3）当PP2与O相切于点E时，如图2中，OEr，OP2r，OPE30，OPP1OP1P60，当60OP1P90时，点P的“关联三角形”与O有四个公共点当PP1与O相切于点F时，如图3中，OFr，OP2r，OPFOP1P30，当0OP1P30时，点P的“关联三角形”与O有四个公共点，综上所述，点P的“关联三角形”与O有四个公共点，PP1P2的取值范围为：0OP1P30或60OP1P90【例2】（2022朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，AB1，且A，B两点中至少有一点在O外给出如下定义：平移线段AB，得到线段AB（A，B分别为点A，B的对应点），若线段AB上所有的点都在O的内部或O上，则线段AA长度的最小值称为线段AB到O的“平移距离”（1）如图1，点A1，B1的坐标分别为（3，0），（2，0），线段A1B1到O的“平移距离”为 2，点A2，B2的坐标分别为（，），（，），线段A2B2到O的“平移距离”为 ；（2）若点A，B都在直线yx+2上，记线段AB到O的“平移距离”为d，求d的最小值；（3）如图2，若点A坐标为（1，），线段AB到O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）【分析】（1）根据平移的性质，以及线段AB到O的“平移距离”的定义判断即可（2）如图1中，作等边OEF，点E在x轴上，OEEFOF1，设直线yx+2交x轴于M，交y轴于N则M（2，0），N（0，2），过点E作EHMN于H，解直角三角形求出EH即可判断（3）如图3，连接OA，交O于点A，则OA2，AA1，运用“平移距离”的定义和平移的性质即可得出答案【解答】解：（1）根据“平移距离”的定义可得：线段A1B1到O的“平移距离”为2，如图1，设A2B2与y轴交于E，线段A2B2向下平移得到O的弦A2B2，线段A2B2与y轴交于点F，则A2F，OA21，OE，OF，A2A2EFOEOF，线段A2B2到O的“平移距离”为，故答案为：2，；（2）如图2中，作等边OEF，点E在x轴上，OEEFOF1，设直线yx+2交x轴于M，交y轴于N则M（2，0），N（0，2），过点E作EHMN于H，OM2，ON2，tanNMO，NMO60，EHEMsin60，观察图象可知，线段AB到O的“平移距离”为d1的最小值为（3）如图3，连接OA，交O于点A，则OA2，OA到O任意一点距离的最小值为OAOA11，点A（，），设平移后圆上另一点为B，由题意得：AB1，有三种情况：点B与点O重合，则点B的坐标为（，）；点B与点（1，0）重合，则点B的坐标为（，）；点B与点（，）重合，则点B的坐标为（0，）；如图可知所有满足条件的点B形成的图形是以A为圆心圆心角为120的 【例3】（2022开福区校级一模）我们不妨定义：有两边之比为1：的三角形叫敬“勤业三角形”（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是 ；（填序号）等边三角形；等腰直角三角形；含30角的直角三角形；含120角的等腰三角形（2）如图1，ABC是O的内接三角形，AC为直径，D为AB上一点，且BD2AD，作DEOA，交线段OA于点F，交O于点E，连接BE交AC于点G试判断AED和ABE是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出的值；如果不是，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，当AF：FG2：3时，求BED的余弦值【分析】（1）根据“勤业三角形”的定义进行计算，即可一一判定；（2）如图，连结OE，设ABE，可证得AEDABE，ADEAEB，可得AE2ABAD，结合ADAB，可得ABAE，即可判定AED和ABE都是“勤业三角形“，再根据相似三角形的性质即可求得的值；（3）如图，过点G作GIAB交DE于点I，可得FGIFAD，EIGEDB，可证得，设EG3a，则BE4a，利用，可求得ED，EF，从而可得答案【解答】解：等边三角形各边的比值为1，故等边三角形不是“勤业三角形“；等腰直角三角形两直角边的比值为1，直角边与斜边的比为1：，故等腰直角三角形不是“勤业三角形”；设含30角的直角三角形的最短边长为a，则斜边长为2a，另一条直角边长为a，a：a1：，故含30角的直角三角形是“勤业三角形“；如图：ABC中，ABAC，a120，过点A作ADBC于点D，BC30，设ADa，则ABAC2a，BDDCa，BC2a，AB：BCAC：BC1：，含120角的等腰三角形是“勤业三角形”，故答案为：；（2）解：AED和ABE都是“勤业三角形”，证明如下：如图：连接OE，设ABE，AOE2ABE2，OAOE，OAE（180AOE） （1802a）90，又DEAC，AED+OAE90，即AED+9090，AEDABE，叉EADBAE，ADEAEB，AE2ADAB，BD2AD，ADAB，AE23AD2，AED和ABE都是“勤业三角形“，；（3）解：如图：过点G作GIAB交DE于点I，FGIFAD，EIGEDB，GIAD，BD2AD，设EG3a，EB4a，由（2）知，EDa，E1EDa，DIEDE1，IF，EFEI+IFa+，在RtEFG中，cosFEG，即cosBED【例4】（2022清苑区二模）【问题提出】如图1，O与直线a相离，过圆心O作直线a的垂线，垂足为H，且交O于P、Q两点（Q在P、H之间）我们把点P称为O关于直线a的“远点”，把PQPH的值称为O关于直线a的“远望数”（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），过点E画垂直于y轴的直线m，则半径为1的O关于直线m的“远点”坐标是 （0，1），直线m向下平移 3或5个单位长度后与O相切（2）在（1）的条件下求O关于直线m的“远望数”【拓展应用】（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（6，0），与y轴交于点N，点F坐标为（1，2），以F为圆心，OF为半径作F若F与直线l相离，O是F关于直线l的“远点”且F关于直线l的“远望数”是12，求直线l的函数表达式【分析】（1）根据远点，远望数的定义判断即可（2）根据远望数的定义，求出AE，AB的长即可解决问题（3）如图，设直线l的解析式为ykx+b连接OF并延长，交F于H，交直线l于点G，设直线l交y轴于N（0，n），由勾股定理及解直角三角形求出点N（0，3），再运用待定系数法即可求得答案【解答】解：（1）根据“远点”定义，可得点A是O关于直线m的“远点”，O的半径为1，A（0，1）；点E的坐标为（0，4），OA4，当直线m向下平移3个单位或5个单位后O相切，故答案为：（0，1），3或5（2）E的坐标为（0，4），OBOA1，AEOE+OA5，AB2，O关于直线m的“远望数”ABAE2510（3）设直线l的解析式为ykx+b（k0），连接OF并延长，交F于H，交直线l于点G，设直线l交y轴于N（0，n），点F坐标为（1，2），OF，OF为F的半径，OH2，O是F关于直线l的“远点”且F关于直线l的“远望数”是12，OGMN于点G，OHOG12，即2OG12，OG6，点M（6，0），OM6，MG12，tanNMO，n3，N（0，3），把M（6，0），N（0，3）分别代入ykx+b（k0），得，解得：，直线l的函数表达式为yx+3一解答题（共20题）1（2022长沙县校级三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”例如：如图1，在ABC中，AD为边BC上的中线，ABD与ABC相似，那么称ABC为关于边BC的“优美三角形”（1）如图2，在ABC中，BCAB，求证：ABC为关于边BC的“优美三角形”；（2）如图3，已知ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是ABC边BC的中点，以BD为直径的O恰好经过点A求证：直线CA与O相切；若O的直径为2，求线段AB的长；（3）已知三角形ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC4，B30，求ABC的面积【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等证明ABDCBA即可求解；（2）连接OA，证明CAD+OAD90，可得OAAC，再由OA是O的半径，即可证明直线AC与O相切；由CADCBA，求出AC4，再由，设ADx，则AB2x，在RtABD中，利用勾股定理求出x的值，即可求AB4；（3）过点A作AEBC交于E点，分两种情况讨论：若BADBCA，可求AB2，在RtABE中，AEAB，则SABCAEBC2；若CADCBA，可求AC2，在RtABE中，设AEx，则BEx，CE4x，在RtAEC中，利用勾股定理可求x1，再求SABCAEBC22【解答】（1）证明：AD是中线，BDBCAB，ABDCBA，ABC是关于边BC的“优美三角形”；（2）证明：连接OA，ABC为关于边BC的“优美三角形”，CADCBA，CADCBA，OAOB，OABCBA，CADOAB，BD是O的直径，BAD90，OAB+OAD90，CAD+OAD90，OAAC，OA是O的半径，直线AC与O相切；解：CADCBA，AC2CDBC，AC4，设ADx，则AB2x，在RtABD中，AB2+AD2BD2，即4x2+2x224，x2，AB4；（3）解：过点A作AEBC交于E点，若BADBCA，AB2BDBC，AB2，在RtABE中，B30，AEAB，SABCAEBC2；若CADCBA，AC2CDBC，AC2，在RtABE中，B30，设AEx，则BEx，CE4x，在RtAEC中，AC2AE2+CE2，x2+（4x）28，解得x1，SABCAEBC22；综上所述：ABC的面积为2或222（2022西城区校级模拟）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x1x2若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足|y1y2|k|x1x2|，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作k（P，Q）由定义可知，k（P，Q）k（Q，P）例：若P（1，0），Q（3，），有|0|13|，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为已知点A（1，0），B（2，0），C（2，2），D（2，）（1）在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”：A、C或A、D，它们的“限斜系数”为 2或；（2）若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1求点E的坐标；（3）O半径为3，点M为O上一点，满足MT1的所有点T，都与点C是一对“限斜点”，且都满足k（T，C）1，直接写出点M的横坐标xM的取值范围【分析】（1）根据定义通过计算求解即可；（2）设E（x，y），由题意可得|y|x1|，|y|x2|，求解方程即可求点E的坐标；（3）由题意可知C点在直线yx上，T点在以M为圆心1为半径的圆上，M点在以O为圆心3为半径的圆上，则T点在以O为圆心2为半径的圆上或以O为圆心4为半径的圆上，当T点在直线yx上时，k1，再由k（T，C）1，可知T点在直线yx的上方，T点在直线yx的上方，直线yx4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部【解答】解：（1）A（1，0），C（2，2），有|0+2|2|12|，A、C为一对“限斜点”，且“限斜系数”为2；A（1，0），D（2，），有|0|12|，A、D为一对“限斜点”，且“限斜系数”为；故答案为：A、C或A、D，2或；（2）设E（x，y），|y|x1|，|y|x2|，|x1|x2|，解得x，y，E（，）或（，）；（3）C（2，2），C点在直线yx上，MT1，T点在以M为圆心1为半径的圆上，M点在以O为圆心3为半径的圆上，T的轨迹是半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环，当T点在直线yx上时，设T（m，m），|m+2|k|m2|，k1，k（T，C）1，T点在直线yx的上方，直线yx4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部，如图所示，xM43（2022常州一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“图距离“，记作d（M，N）已知点A（2，6），B（2，2），C（6，2）（1）d（点O，ABC）；（2）线段L是直线yx（2x2）上的一部分，若d（L，ABC）1，且L的长度最长时，求线段L两个端点的横坐标；（3）T的圆心为T（t，0），半径为1若d（T，ABC）1，直接写出t的取值范围【分析】（1）画出图形，结合定义即可求解；（2）线段L上点R（1，1）到ABC的边AB的距离是1，到边BC的距离是1；过点S作SHx轴交AC于点H，直线yx交线段AC于点G，过G点作GWGH交于W，求出直线AC与直线yx的交点G（2，2），在等腰直角三角形SGH中，求出GW，则可求S（2，2），即可求解；（3）分三种情况讨论：当T在ABC的左侧时，T（4，0）；当T在ABC内部时，当T点与O点重合时，满足题意；过T点作TMAC交于M，设直线AC与x轴交点为N，则PMN是等腰直角三角形，求出T（42，0），可得0t42时，若d（T，ABC）1；当T在ABC右侧时，过T点作TKAC交于K，同可求T（4+2，0），则t4或0t42或t4+2时，d（T，ABC）1【解答】解：（1）如图1，点O到ABC的最短距离为2，d（点O，ABC）2；（2）如图2，AB8，BC8，AC45，yx是第一、三象限的角平分线，直线yx垂直线段AC，线段L上点R（1，1）到ABC的边AB的距离是1，到边BC的距离是1，设线段L上点S到线段AC的距离为1，过点S作SHx轴交AC于点H，直线yx交线段AC于点G，过G点作GWGH交于W，设直线AC的解析式为ykx+b，解得，yx+4，联立方程组，解得G（2，2），SGH是等腰直角三角形，SG1，GW，S（2，2），线段SR的长是线段L长的最大值，此时线段L的两个端点横坐标为1，2；（3）当T在ABC的左侧时，d（T，ABC）1，T的半径为1，T（4，0），t4；当T在ABC内部时，如图3，当T点与O点重合时，d（T，ABC）1，此时t0，如图4，过T点作TMAC交于M，设直线AC与x轴交点为N，AB8，BC8，AC45，MNP45，PMN是等腰直角三角形，TM2，TN2，T（42，0），t4，0t42时，若d（T，ABC）1；如图5，当T在ABC右侧时，过T点作TKAC交于K，由可知KTN是等腰直角三角形，TK2，TN2，T（4+2，0），t4+2；综上所述：t4或0t42或t4+24（2022秦淮区二模）【概念认识】与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第类圆【初步理解】（1）如图，四边形ABCD是矩形，O1和O2都与边AD相切，O2与边AB相切，O1和O3都经过点B，O3经过点D，3个圆都经过点C在这3个圆中，是矩形ABCD的第类圆的是 ，是矩形ABCD的第类圆的是 【计算求解】（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第类圆和第类圆的半径长【深入研究】（3）如图，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）作它的1个第类圆；作它的1个第类圆【分析】（1）由定义直接判断即可；（2）第类圆分两种情况求：当AD6，AB4时和AD4，BC6时；第类圆和第类圆都利用勾股定理和垂径定理求解即可；（3）第一步：作BAD的平分线；第二步：在角平分线上任取点E，过点E作EFAD，垂足为点F；第三步：以点E为圆心，EF为半径作圆E，交AC于点G，连接FG；第四步过点C作CHFG，CH交AD于点H；第五步过点H作AD的垂线，交BAD的平分线于点O；第六步：以点O为圆心，OH为半径的圆，O即为所求第类圆【解答】解：（1）由定义可得，的矩形有一条边AD与O1相切，点B、C在圆上，是第类圆；的矩形有两条边AD、AB与O2相切，点C在圆上，是第类圆；故答案为：，；（2）如图1，设AD6，AB4，切点为E，过点O作EFBC交BC于F，交AD于E，连接BO，设BOr，则OEr，OF4r，由垂径定理可得，BFCF3，在RtBOF中，r2（4r）2+32，解得r；如图2，设AD4，BC6，切点为E，过点O作EFBC交BC于F，交AD于E，连接BO，设BOr，则OEr，OF6r，由垂径定理可得，BFCF2，在RtBOF中，r2（6r）2+22，解得r；综上所述：第类圆的半径是或；如图3，AD6，AB4，过点O作MNAD交于点M，交BC于点N，连接OC，设AB边与O的切点为G，连接OG，GOAB，设OMr，则OCr，则ON4r，OGr，BNr，NC6r，在RtOCN中，r2（4r）2+（6r）2，解得r104，第类圆的半径是104；（3）如图4，第一步，作线段AD的垂直平分线交AD于点E，第二步，连接EC，第三步，作EC的垂直平分线交EF于点O，第四步，以O为圆心，EO为半径作圆，O即为所求第类圆；如图5，第一步：作BAD的平分线；第二步：在角平分线上任取点E，过点E作EFAD，垂足为点F；第三步：以点E为圆心，EF为半径作圆E，交AC于点G，连接FG；第四步：过点C作CHFG，CH交AD于点H； 第五步：过点H作AD的垂线，交BAD的平分线于点O；第六步：以点O为圆心，OH为半径的圆，O即为所求第类圆 5（2022丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，A为任意一点，B为O上任意一点给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在O上时，p0），最大值为q，那么把的值称为点A与O的“关联距离”，记作d（A，O）（1）如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数d（D，O）2；若点M在线段EF上，求d（M，O）的取值范围；（2）若点N在直线y上，直接写出d（N，O）的取值范围；（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，O）的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值【分析】（1）运用新定义“关联距离”，即可求得答案；根据新定义“关联距离”，分别求出d（E，O）2，d（F，O）3，即可得出答案；（2）设ONd，可得pd1，qd+1，运用新定义“关联距离”，可得d（N，O）d，再利用SAOBOAOBABON，即可求得答案；（3）如图2，找出特殊位置，分别画出图形，即可得出答案【解答】解：（1）D（0，2）到O的距离的最小值p1，最大值q3，d（D，O）2，故答案为：2；当M在点E处，d（E，O）2，当M在点F处，d（F，O）3，2d（M，O）3；（2）设ONd，pdrd1，qd+rd+1，d（N，O）d，点N在直线y上，设直线交x轴于点B，交y轴于点A，如图1，则x0时，y2，y0时，x2，A（0，2），B（2，0），OA2，OB2，AB4，当ONAB时，d（N，O）最小，SAOBOAOBABON，即224ON，ON，ON无最大值，d（N，O）；（3）如图2，d（P，O）的最小值为1，最大值为，两个同心圆中，小圆的半径为1，大圆的半径为，KL1，m的最小值是，在RtOMH中，OM，OHm1，MHm，（m1）2+（m）2（）2，解得：m2（舍去）或m；m的最小值为，最大值为6（2022大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，已知点A，过点A作直线MN对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与O有两个交点时，则称MN是O的“双关联直线”，与O有一个交点P时，则称MN是O的“单关联直线”，AP是O的“单关联线段”（1）如图1，A（0，4），当MN与y轴重合时，设MN与O交于C，D两点则MN是O的“双关联直线”（填“双”或“单”）；的值为 或；（2）如图2，点A为直线y3x+4上一动点，AP是O的“单关联线段”求OA的最小值；直接写出APO面积的最小值【分析】（1）利用O的“双关联直线”定义解答即可，需要用分类讨论的方法解答；（2）利用垂线段最短，过点O作OA垂直于直线y3x+4于点A，则此时OA最小，利用三角形的面积公式解答即可；利用O的“单关联线段”的定义可得AP与O相切，判断OA最小时，APO的面积最小，利用勾股定理和直角三角形的面积公式解答即可【解答】解：（1）当MN与y轴重合时，MN与O交于C，D两点，根据O的“双关联直线”的定义可知：MN是O的“双关联直线”；当点C在y轴的正半轴时，AC3，AD5，；当点D在y轴的正半轴时，AD3，AC5，综上，的值为：或，故答案为：双；或；（2）过点O作OA垂直于直线y3x+4于点A，如图，因为垂线段最短，则此时OA最小，设直线y3x+4与y轴交于点M，与x轴交于点N，令x0，则y4，M（0，4），OM4，令y0，则3x+40，x，N（，0），ON，MNOMONOAMN，4OA，OAAPO的面积最小值为理由：AP是O的“单关联线段”，AP与O相切于点P，则OPOA，即APO为直角三角形，由于APO的一个直角边为1，当OA最小时，APO的面积最小，当OA垂直于直线y3x+4于点A时，APO的面积最小连接OP，如图，由题意：AP为O的切线，APOP，AP，APO的面积最小值为17（2022宁波模拟）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边（1）如图1，ABC中，ABCB，A30，点O在AC边上，以OC为半径的O恰好经过点B，求证：O是ABC的切圆（2）如图2，ABC中，ABAC5，BC6，O是ABC的切圆，且另外两条边都是O的切边，求O的半径（3）如图3，ABC中，以AB为直径的O恰好是ABC的切圆，AC是O的切边，O与BC交于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EHAB于点H，若CF8，BF10，求AC和EH的长【分析】（1）连接OB，说明AB是圆的切线即可利用新定义得出结论；（2）利用分类讨论的方法分两种情况解答：当圆心O在BC边上，O与AB，AC边相切于点M，N时，连接OA，OM，ON，利用切线长定理和切线的性质定理，和相似三角形的判定定理与性质求得线段DM，再利用勾股定理即可求出圆的半径；当圆心O在AC边上，O与AB，BC边相切于点M，N时，连接OM，ON，BO，过点A作AHBC于点H，利用切线的性质定理和三角形的面积公式，设OMONr，列出方程即可求解；（3）连接AF，利用直径所对的圆周角为直角和切线的性质定理证明得