中考数学压轴题专题第29讲圆与相似及三角函数综合问题

专题29圆与相似及三角函数综合问题 【例1】（2022四川巴中市教育科学研究所中考真题）四边形ABCD内接于O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与O相切于点B(1)如图1，若PBA=30，且EO=EA，求证：BA平分PBD；(2)如图2，连接OB，若DBA=2PBA，求证：OABCDE【例2】（2022广东深圳中考真题）一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF, EF/AB, COAB,EF的中点为D,OA=4. (1)如图，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度(2)如图，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，OHM=OHN=45,tanCOH=34,求ON的长度(3)如图，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，HOM=50,HN为反射光线交圆O于点N,在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长【例3】（2022黑龙江哈尔滨中考真题）已知CH是O的直径，点A，点B是O上的两个点，连接OA,OB，点D，点E分别是半径OA,OB的中点，连接CD,CE,BH，且AOC=2CHB(1)如图1，求证：ODC=OEC；(2)如图2，延长CE交BH于点F，若CDOA，求证：FC=FH；(3)如图3，在（2）的条件下，点G是BH上一点，连接AG,BG,HG,OF，若AG:BG=5:3，HG=2，求OF的长【例4】（2022黑龙江绥化中考真题）如图所示，在O的内接AMN中，MAN=90，AM=2AN，作ABMN于点P，交O于另一点B，C是AM上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E(1)求证：CMACBD(2)若MN=10，MC=NC，求BC的长(3)在点C运动过程中，当tanMDB=34时，求MENE的值一、解答题【共20题】1（2022内蒙古内蒙古中考真题）如图，O是ABC的外接圆，EF与O相切于点D，EFBC分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，ABC的平分线BM交AD于点M(1)求证：AD平分BAC；(2)若AB:BE=5:2，AD=14，求线段DM的长2（2022湖北黄石中考真题）如图CD是O直径，A是O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且BAC=ADB(1)求证：直线AB是O的切线；(2)若BC=2OC，求tanADB的值；(3)在（2）的条件下，作CAD的平分线AP交O于P，交CD于E，连接PC、PD，若AB=26，求AEAP的值3（2022湖北襄阳中考真题）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为BC的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DEBC，交AC的延长线于点E(1)求证：DE是O的切线；(2)若AC=BD，CG23，求阴影部分的面积4（2022辽宁鞍山中考真题）如图，O是ABC的外接圆，AB为O的直径，点E为O上一点，EFAC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若BCE=12ABC(1)求证：EF是O的切线(2)若BF=2，sinBEC=35，求O的半径5（2022辽宁朝阳中考真题）如图，AC是O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，DAFB(1)求证：AF是O的切线；(2)若O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD6，求AE的长6（2022山东菏泽中考真题）如图，在ABC中，以AB为直径作O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DGBC于点G，交BA的延长线于点H(1)求证：直线HG是O的切线；(2)若HA=3,cosB=25，求CG的长7（2022贵州黔西中考真题）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，分别交BC于点D，交AC于点E，DHAC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F(1)求证：DH是O的切线；(2)若E为AH的中点，求EFFD的值8（2022贵州安顺中考真题）如图，AB是O的直径，点E是劣弧BD上一点，PAD=AED，且DE=2，AE平分BAD，AE与BD交于点F(1)求证：PA是O的切线；(2)若tanDAE=22，求EF的长；(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求O的半径9（2022山东枣庄中考真题）如图，在半径为10cm的O中，AB是O的直径，CD是过O上一点C的直线，且ADDC于点D，AC平分BAD，点E是BC的中点，OE6cm(1)求证：CD是O的切线；(2)求AD的长10（2022山东济宁中考真题）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE上取点F，使AE=EF，连接BF，DF(1)求证：DF与半圆相切；(2)如果AB10，BF6，求矩形ABCD的面积11（2022青海西宁中考真题）如图，在RtABC中，C=90，点D在AB上，以BD为直径的O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M(1)求证：四边形EMFC是矩形；(2)若AE=5，O的半径为2，求FM的长12（2022辽宁大连中考真题）AB是O的直径，C是O上一点，ODBC，垂足为D，过点A作O的切线，与DO的延长线相交于点E(1)如图1，求证B=E；(2)如图2，连接AD，若O的半径为2，OE=3，求AD的长13（2022青海中考真题）如图，AB是O的直径，AC是O的弦，AD平分CAB交O于点D，过点D作O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F(1)求证：AFEF；(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长14（2022广西柳州中考真题）如图，已知AB是O的直径，点E是O上异于A，B的点，点F是EB的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FCAE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H(1)求证：CD是O的切线；(2)求sinFHG的值；(3)若GH42，HB2，求O的直径15（2022广西河池中考真题）如图，AB是O的直径，E为O上的一点，ABE的平分线交O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D且PCACBD(1)求证：PC为O的切线；(2)若PC22BO，PB12，求O的半径及BE的长16（2022山东聊城中考真题）如图，点O是ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，AOD=EOD(1)连接AF，求证：AF是O的切线；(2)若FC=10，AC=6，求FD的长17（2022湖南湘西中考真题）如图，在RtABC中，B90，AE平分BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M(1)求证：BC是O的切线(2)若CF2，sinC35，求AE的长18（2022甘肃兰州中考真题）如图，O是ABC的外接圆，AB是直径，ODOC，连接AD，ADO=BOC，AC与OD相交于点E(1)求证：AD是O的切线；(2)若tanOAC=12，AD=32，求O的半径19（2022广东广州中考真题）如图，AB是O的直径，点C在O上，且AC=8，BC=6(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sinACD 的值20（2022山东淄博中考真题）已知ABC是O的内接三角形，BAC的平分线与O相交于点D，连接DB(1)如图1，设ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI；图1(2)如图2，过点D作直线DEBC，求证：DE是O的切线；图2(3)如图3，设弦BD，AC延长后交O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作O的切线GH（切点为H），求证：GF=GH图3【例1】（2022四川巴中市教育科学研究所中考真题）四边形ABCD内接于O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与O相切于点B(1)如图1，若PBA=30，且EO=EA，求证：BA平分PBD；(2)如图2，连接OB，若DBA=2PBA，求证：OABCDE【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得PBA+ABO=90，再由PBA=30，可得ABO=60，从而得到AOB为等边三角形，再跟等边三角形的性质可得BE平分ABO，即可求证；（2）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得PBA=OBC=OCB，从而得到AOB=2OCB=2PBA，进而得到AOB=ACD，再由BAO=BDC，即可求证（1）证明：连接OB，直线PB与O相切于点B，PBO=90，PBA+ABO=90，PBA=30，ABO=60，又OA=OB，AOB为等边三角形，又OE=AE，BE平分ABO，ABE=12ABO=30，BA平分PBD；（2）证明：直线PB与O相切于点B，PBO=90，PBA+ABO=90，AC为直径，ABC=90，OBC+ABO=90，OBC=PBA，OB=OC，PBA=OBC=OCB，AOB=2OCB=2PBA，ACD=ABD=2PBA，AOB=ACD，又BAO=BDC，OABCDE【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键【例2】（2022广东深圳中考真题）一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF, EF/AB, COAB,EF的中点为D,OA=4. (1)如图，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度(2)如图，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，OHM=OHN=45,tanCOH=34,求ON的长度(3)如图，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，HOM=50,HN为反射光线交圆O于点N,在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长【答案】(1)2(2)ON=207(3)4+169【分析】（1）由DF=0.8,OM=1.6,DFOB，可得出DF为COM的中位线，可得出D为CO中点，即可得出CD的长度；（2）过N点作NDOH，交OH于点D，可得出NHD为等腰直角三角形，根据tanCOH=34,可得出tanNOD=NDOD=34，设ND=3x=DH，则OD=4x，根据OD+DH=OH，即可求得x=47，再根据勾股定理即可得出答案；（3）依题意得出点N路径长为：OB+ lBT，推导得出BOT=80，即可计算给出lBT，即可得出答案（1）DF=0.8,OM=1.6,DFOBDF为COM的中位线D为CO的中点CO=AO=4CD=2（2）过N点作NDOH，交OH于点D，OHN=45，NHD为等腰直角三角形，即ND=DH，又tanCOH=34，tanNOD=34，tanNOD=NDOD=34，ND:OD=3:4，设ND=3x=DH，则OD=4x，OD+DH=OH，3x+4x=4，解得x=47，ND=127，OD=167，在RtNOD中，ON=ND2+OD2=(127)2+(167)2=207；（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合 当点M运动至点A时，点N运动至点T，故点N路径长为：OB+ lBT NHO=MHO,THO=MHO,HOM=50OHA=OAH=65THO=65,TOH=50BOT=80，lBT =2480360=169，N点的运动路径长为：OB+ lBT=4+169，故答案为：4+169【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以上知识，并能灵活运用是解题的关键【例3】（2022黑龙江哈尔滨中考真题）已知CH是O的直径，点A，点B是O上的两个点，连接OA,OB，点D，点E分别是半径OA,OB的中点，连接CD,CE,BH，且AOC=2CHB(1)如图1，求证：ODC=OEC；(2)如图2，延长CE交BH于点F，若CDOA，求证：FC=FH；(3)如图3，在（2）的条件下，点G是BH上一点，连接AG,BG,HG,OF，若AG:BG=5:3，HG=2，求OF的长【答案】(1)见解析(2)见解析(3)OF=193【分析】（1）根据SAS证明CODCOE即可得到结论；（2）证明H=ECO即可得出结论；（3）先证明OFCH，连接AH，证明AH=BH，设AG=5x，BG=3x，在AG上取点M，使得AM=BG，连接MH，证明MHG为等边三角形，得MG=HG=2，根据AG=AM+MG可求出x=1，得AG=5，BG=3，过点H作HNMG于点N，求出HB=19，再证HF=2OF，根据HB=3OF=19可得结论（1）如图1点D，点E分别是半径OA,OB的中点OD=12OA，OE=12OBOA=OB，OD=OEBOC=2CHB，AOC=2CHBAOC=BOCOC=OCCODCOE，CDO=CEO；（2）如图2CDOA，CDO=90由（1）得CEO=CDO=90，sinOCE=OEOC=12OCE=30，COE=90-OCE=60H=12BOC=1260=30H=ECO，FC=FH（3）如图3CO=OH，FC=FHOFCH FOH=90连接AHAOC=BOC=60AOH=BOH=120，AH=BH，AGH=60AG:BG=5:3设AG=5x，BG=3x在AG上取点M，使得AM=BG，连接MHHAM=HBG，HAMHBGMH=GH，MHG为等边三角形MG=HG=2AG=AM+MG，5x=3x+2x=1，AG=5BG=AM=3，过点H作HNMG于点NMN=12GM=122=1，HN=HGsin60=3AN=MN+AM=4，HB=HA=NA2+HN2=19FOH=90，OHF=30，OFH=60OB=OH，BHO=OBH=30，FOB=OBF=30OF=BF，在RtOFH中，OHF=30，HF=2OFHB=BF+HF=3OF=19，OF=193【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键【例4】（2022黑龙江绥化中考真题）如图所示，在O的内接AMN中，MAN=90，AM=2AN，作ABMN于点P，交O于另一点B，C是AM上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E(1)求证：CMACBD(2)若MN=10，MC=NC，求BC的长(3)在点C运动过程中，当tanMDB=34时，求MENE的值【答案】(1)证明见解析(2)310(3)32【分析】（1）利用圆周角定理得到CMA=ABC，再利用两角分别相等即可证明相似；（2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明COEBPE，利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可；（3）先过C点作CGMN，垂足为G，连接CN，设出GM=3x，CG=4x，再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可（1）解：ABMN，APM=90，D+DMP=90，又DMP+NAC=180，MAN=90，DMP+CAM=90，CAM=D，CMA=ABC，CMACBD（2）连接OC，MAN=90，MN是直径，MN=10，OM=ON=OC=5，AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，AN=25，AM=45，SAMN=12AMAN=12MNAP，AP=4，BP=AP=4，NP=AN2-AP2=2，OP=5-2=3，MC=NC，OCMN，COE=90，ABMN，BPE=90，BPE=COE，又BEP=CEO，COEBPECOBP=OEPE=CEBE，即54=OEPE=CEBE由OE+PE=OP=3，OE=53，PE=43，CE=OC2+OE2=52+532=5310，BE=BP2+PE2=42+432=4310，BC=5310+4310=310（3）过C点作CGMN，垂足为G，连接CN，则CGM=90，CMG+GCM=90，MN是直径，MCN=90，CNM+DMP=90，D+DMP=90，D=CNM=GCM，tanMDB=34，tanCNM=tanGCM=34，tanGCM=GMCG设GM=3x，CG=4x，CM=5x，CN=20x3， NG=16x3，NM=25x3，OM=ON=25x6，AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，AN=553x，AM=1053x，SAMN=12AMAN=12MNAP，AP=103x=PB，NP=53x，PG=163x-53x=113x，CGE=BPE=90，CEG =BEP，CGEBPE，CGBP=GEPE=CEBE，即4x103x=GEPE=CEBEGE=2x，PE=53xME=5x，NE=10x3，ME:NE=3:2，MENE的值为32【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题一、解答题【共20题】1（2022内蒙古内蒙古中考真题）如图，O是ABC的外接圆，EF与O相切于点D，EFBC分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，ABC的平分线BM交AD于点M(1)求证：AD平分BAC；(2)若AB:BE=5:2，AD=14，求线段DM的长【答案】(1)见解析(2)DM=2【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得ODEF，由EFBC 得ODBC，由垂径定理得BD=CD，进而即可得出结论；（2）由平行线分线段定理得DN=2147，再证明BDNADB，可得BD=2 ，最后证明BMD=DBM,进而即可求解（1）证明：连接OD交BC于点H.EF与O相切于点DODEF，ODF=90，BCEF，OHC=ODF=90，ODBC，BD=CD，BAD=CAD即AD平分BAC；（2）解：BCEF，BEAE=NDAD，AB:BE=5:2，AD=14，DN=2147，BAD=CAD，CAD=CBD，BAD=CBD，BM平分ABC，ABM=CBM，BAD+ABM=CBD+CBM，BMD=MBD，BD=DM，NBD=BAD，BDM=ADB，BDNADB，NDBD=DBADBD2=NDAD=214714=4 ，BD=2（负值舍去），DM=BD=2【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键2（2022湖北黄石中考真题）如图CD是O直径，A是O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且BAC=ADB(1)求证：直线AB是O的切线；(2)若BC=2OC，求tanADB的值；(3)在（2）的条件下，作CAD的平分线AP交O于P，交CD于E，连接PC、PD，若AB=26，求AEAP的值【答案】(1)见解析(2)22(3)42【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到OAC+OAD=90，再证明OAD=BAC即可证明结论；（2）先证明BCABAD，得到ACAD=BCBA，令半径OC=OA=r，则BC=2r，OB=3r，利用勾股定理求出AB=22r，解直角三角形即可答案；（3）先求出CD=23，在RtCAD中，ACAD=22，AC2+AD2=CD2，解得AC=2，AD=22，证明CAPEAD，得到ACAE=APAD，则AEAP=ACAD=42（1）解：如图所示，连接OA，CD是O直径，CAD=90，OAC+OAD=90，又OA=OD，OAD=ODA，BAC=ADB，OAD=BAC，BAC+OAC=90，即BAO=90，ABOA，又OA为半径，直线AB是O的切线；（2）解：BAC=ADB，B=B，BCABAD，ACAD=BCBA，由BC=2OC知，令半径OC=OA=r，则BC=2r，OB=3r，在RtBAO中，AB=OB2-OA2=22r，在RtCAD中，tanADC=ACAD=BCBA=2r22r=22，即tanADB=22；（3）解：在（2）的条件下，AB=22r=26，r=3，CD=23，在RtCAD中，ACAD=22，AC2+AD2=CD2，解得AC=2，AD=22，AP平分CAD，CAP=EAD，又APC=ADE，CAPEAD，ACAE=APAD，AEAP=ACAD=222=42【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键3（2022湖北襄阳中考真题）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为BC的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DEBC，交AC的延长线于点E(1)求证：DE是O的切线；(2)若AC=BD，CG23，求阴影部分的面积【答案】(1)见解析(2)1532【分析】（1）连接OD，根据已知条件，由ODBC ，DEBC，证明ODDE即可；（2）根据AC=BD相等，再由（1）中CD=BD可得，AC=CD=BD，从而得到CAD=BAD=ABC=30，在RtACG中，利用锐角三角函数求出AC、AG的长，从而求出CAG的面积，在RtABD中利用锐角三角函数求出AD的长，根据DEBC可得ACGAED，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出SEAD=2732，进而即可阴影部分的面积（1）证明：连接OD，如图所示，点D为BC的中点，ODBCDEBC，ODDEDE是O的切线（2）连接BD，如图所示，AC=BDBD=AC点D为BC的中点，CD=BD，AC=CD=BD，CAD=BAD=30AB是半圆O的直径，ACB=ADB=90，在RtACG中，tanCAD=CGCA,sinCAD=CGAG，CA=CGtan30,AG=CGsin30，CG=23，CA=233=6，AG=43，BD=CA=6，SACG=12CGAC=63，在RtABD中，tanBAD=BDAD,AD=BDtan30=633=63.DEBC，CAGEAD，SCAGSEAD=(AGAD)2，即63SEAD=49，SEAD=2732.S阴影部分=SEAD-SACG=1532【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键4（2022辽宁鞍山中考真题）如图，O是ABC的外接圆，AB为O的直径，点E为O上一点，EFAC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若BCE=12ABC(1)求证：EF是O的切线(2)若BF=2，sinBEC=35，求O的半径【答案】(1)过程见解析(2)3【分析】（1）连接OE，先根据圆周角定理及已知条件得出ABC=BOE，进而得出OEBC，再由EFCA，根据平行线的性质得出FEO=ACB，然后根据直径所对的是直角，即可得出答案；（2）先说明FEOACB，再设O的半径为r，并表示FO，AB，BC，然后根据对应边成比例得出EOBC=FOAB，根据比例式求出半径即可（1）证明：连接OEBCE=12ABC，BCE=12BOE，ABC=BOE，OEBC，OED=BCDEFCA，FEC=ACE，OED+FEC=BCD+ACE，即FEO=ACBAB是直径，ACB=90，FEO=90，FEEOEO是O的半径，EF是O的切线（2）EFAC，FEOACBBF=2，sinBEC=35设O的半径为r，FO=2+r，AB=2r，BC=65rEOBC=FOAB，r65r=2+r2r，解得r=3，O的半径是3【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键5（2022辽宁朝阳中考真题）如图，AC是O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，DAFB(1)求证：AF是O的切线；(2)若O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD6，求AE的长【答案】(1)见解析(2)365【分析】（1）由圆周角定理得ADC=90，则ACD+DAC=90，从而说明OAAF，即可证明结论；（2）作DHAC于点H，利用ADHACD，ADAC=AHAD，求出AH的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质得出AD=DE，利用等腰三角形的性质可得答案（1）证明：AC是直径，ADC=90，ACD+DAC=90，ACD=B，B=DAF，DAF=ACD，DAF+DAC=90，OAAF，AC是直径，AF是O的切线；（2）解：作DHAC于点H，O的半径为5，AC=10，AHD=ADC=90，DAH=CAD，ADHACD，ADAC=AHAD，AD2=AHAC，AD6，AH=3610=185，AD是AEF的中线，EAF=90，AD=ED，AE=2AH=365【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键6（2022山东菏泽中考真题）如图，在ABC中，以AB为直径作O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DGBC于点G，交BA的延长线于点H(1)求证：直线HG是O的切线；(2)若HA=3,cosB=25，求CG的长【答案】(1)见解析(2)65【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得ODBC，再利用平行线的性质即可证明；（2）先通过平行线的性质得出HBG=HOD，设OD=OA=OB=r，再通过解直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，BG的长度，即可求解（1）连接OD，DGBC，BGH=90，D是AC的中点，AB为直径，ODBC，BGH=ODH=90，直线HG是O的切线；（2）由（1）得ODBC，HBG=HOD， cosHBG=25，cosHOD=25，设OD=OA=OB=r，HA=3，OH=3+r，在RtHOD中，HDO=90，cosHOD=ODOH=r3+r=25，解得r=2，OD=OA=OB=2,OH=5,BH=7，D是AC的中点，AB为直径，BC=2OD=4，BGH=ODH=90，ODHBGH，OHBH=ODBG，即57=2BG，BG=145，CG=BC-BG=4-145=65【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键7（2022贵州黔西中考真题）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，分别交BC于点D，交AC于点E，DHAC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F(1)求证：DH是O的切线；(2)若E为AH的中点，求EFFD的值【答案】(1)见解析(2)23【分析】（1）连接OD，证明ODAC，由DHAC，可得DHOD，即可证明结论；（2）连接AD和BE，由圆周角定理可以得出ADB=AEB=90，可以得出DHBE，ODAC，进而根据平行线分线段成比例推出BD=CD，CH=HE，根据E为AH的中点，可得出AE=EH=CH，AE=13AC，根据OD/AC且OD=12AC，可以得出FAEFOD，根据相似三角形的性质得到FEFD=AEOD，将AE，OD代入即可求出答案（1）连接OD，则OD=OBODB=ABCAB=AC，ABC=CODB=CODACDHC=HDODHAC，DHC=HDO=90DHODDH是O的切线（2）连接AD和BEAB是O的直径，OA=OB，ADB=AEB=90ODACOBOA=BDCD=1CD=BDOD/AC且OD=12ACODAE，AEF=ODFF=F，FAEFODFEFD=AEODDHA=BEA=90DHBECHHE=CDBD=1CH=HEE为AH的中点，AE=EH=CHAE=13ACFEFD=AEOD=13AC12AC=23【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定律，平行线分线段成比例，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是本题解题的关键8（2022贵州安顺中考真题）如图，AB是O的直径，点E是劣弧BD上一点，PAD=AED，且DE=2，AE平分BAD，AE与BD交于点F(1)求证：PA是O的切线；(2)若tanDAE=22，求EF的长；(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求O的半径【答案】(1)见解析(2)1(3)2【分析】（1）根据AB是O的直径，可得ADB=90，即DAB+DBA=90，根据同弧所对的圆周角相等，以及已知条件可得PAD=ABD，等量代换后即可得PAB=90，进而得证；（2）连接OE,EB，根据角平分线的定义，以及等边对等角可得ADOE，根据同弧所对的圆周角相等可得DAE=DBE，由垂径定理可得DE=EB=2，进而可得tanEBF=22，即可求解（3）过点B作BGAD，根据平行线分线段成比例，求得DG=22，设O的半径为x，则GB=12OE=12x，证明CGBCDA，可得AD=32x，在RtADB中，AD2+DB2=AB2，勾股定理建立方程，解方程即可求解（1）证明：AB是O的直径，ADB=90，DAB+DBA=90，AD=AD，AED=ABD， PAD=AED，PAD=ABD，BAD+PAD=BAD+ABD=90，即PAB=90，PA是O的切线，（2）如图，连接OE,EB， AE平分BAD，DAE=BAE，DE=BE=2OEBDOA=OE，OEA=OAE，DAE=AEO，ADOE，AB是O的直径，ADDB，AEEB，即ADF=BEF=90，DE=DEDAE=DBE，tanEBF=tanDAE=22，EFEB=22，EF=22EB=1 ；（3）如图，过点B作BGAD，由（2）可知ADOE，OEBG，AO=OB=BC，DE=EG=GC，设O的半径为x，则GB=12OE=12x，ADBG，CGBCDA，CGCD=GBAD，AD=3GB=32x，OEDB，DBGB， DE=2，DG=2DE=22，在RtDBG中，DB2=DG2-GB2=8-12x2，在RtADB中，AD2+DB2=AB2，即32x2+8-12x2=2x2，解得：x=2（负值舍去），O的半径为2【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键9（2022山东枣庄中考真题）如图，在半径为10cm的O中，AB是O的直径，CD是过O上一点C的直线，且ADDC于点D，AC平分BAD，点E是BC的中点，OE6cm(1)求证：CD是O的切线；(2)求AD的长【答案】(1)见解析(2)AD=365【分析】（1）连接OC，由AC平分BAD，OAOC，可得DACOCA，ADOC，根据ADDC，即可证明CD是O的切线；（2）由OE是ABC的中位线，得AC12，再证明DACCAB，ADAC=ACAB，即AD12=1220，从而得到AD=365（1）证明：连接OC，如图：AC平分BAD，DACCAO，OAOC，CAOOCA，DACOCA，ADOC，ADDC，CODC，OC是O的半径，CD是O的切线；（2）解：E是BC的中点，且OAOB，OE是ABC的中位线，AC2OE，OE6，AC12，AB是O的直径，ACB90ADC，又DACCAB，DACCAB，ADAC=ACAB，即AD12=1220，AD=365【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段10（2022山东济宁中考真题）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE上取点F，使AE=EF，连接BF，DF(1)求证：DF与半圆相切；(2)如果AB10，BF6，求矩形ABCD的面积【答案】(1)见解析(2)2003【分析】（1）连接OF，证明DAODFO(SAS)，可得DAO=DFO，根据矩形的性质可得DAO=90，进而即可得证；（2）连接AF，根据题意证明AODFBA，根据相似三角形的性质求得DO，进而勾股定理AD，根据矩形的面积公式即可求解（1）证明：连接OF AE=EF，DOA=FOD.AO=FO,DO=DO，DAODFO(SAS)DAO=DFO.四边形ABCD是矩形，DAO=90DFO=90.DF与半圆相切.（2）解：连接AF，AO=FO，DOA=DOF，DOAF，AB为半圆的直径，AFB=90，BFAF，DOBF.AOD=ABF.OAD=AFB=90，AODFBAAOBF=DOAB，56=DO10，DO=253，在RtAOD中，AD=DO2-AO2=2532-52=203.矩形ABCD的面积为20310=2003.【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键11（2022青海西宁中考真题）如图，在RtABC中，C=90，点D在AB上，以BD为直径的O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M(1)求证：四边形EMFC是矩形；(2)若AE=5，O的半径为2，求FM的长【答案】(1)详见解析(2)253【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角及邻补角互补，可求出CFD=90，由O与AC相切于点E，利用圆的切线垂直于过切点的半径可得出 OEAC ，进而可得出 OEC=AEO=90，结合再利用三个角都是直角的四边形是矩形，即可证出四边形 EMFC 是矩形（2）在RtAOE 中，利用勾股定理可求出 OA 的长，进而可得出 AB 的长，由AEO=C=90，利用“同位角相等，两直线平行”可得出OE/BC，进而可得出AEOACB利用相似三角形的性质可求出 AC 的长，结合 CE=AC-AE， 可求出 CE 的长，再利用矩形的对边相等，即可求出 FM 的长（1）BD是O的直径，BFD=90，CFD=90，O与AC相切于点E，OEAC，OEC=AEO=90，又C=90，C=CFD=OEC=90，四边形EMFC是矩形（2）解：在RtAOE中AEO=90 AE=5 OE=OB=2，OA2=AE2+OE2，OA=AE2+OE2=52+22=3，AB=OA+OB=3+2=5，AEO=C=90，OE/BC，AEOACB，AEAC=AOAB，即5AC=35，AC=553，CE=AC-AE=553-5=253，四边形EMFC是矩形，FM=CE=253【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1）根据各角之间的关系，找出四边形EMFC 的三个角均为直角（2）利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC的长度12（2022辽宁大连中考真题）AB是O的直径，C是O上一点，ODBC，垂足为D，过点A作O的切线，与DO的延长线相交于点E(1)如图1，求证B=E；(2)如图2，连接AD，若O的半径为2，OE=3，求AD的长【答案】(1)见解析(2)2213【分析】（1）证明ODB=OAE=90，DOB=AOE，即可得出B=E；（2）证明ODB OAE，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂径定理求出BC，进而利用勾股定理求出AC，AD（1）解： ODBC，ODB=90， AE是O的切线，OAE=90，在ODB和OAE中，ODB=OAE=90，DOB=AOE，B=E；（2）解：如图，连接AC O的半径为2，OA=OB=2，AB=4， 在ODB和OAE中，ODB=OAE=90，DOB=AOE，ODB OAE，ODOA=OBOE，即OD2=23，OD=43，在RtODB中，由勾股定理得：OD2+DB2=OB2，DB=OB2-OD2=22-432=253 ODBC，OD经过O的圆心，CD=DB=253，BC=2DB=453AB是O的直径，C是O上一点，ACB=90，在RtACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，AC=AB2-BC2=42-4532=83在RtACD中，由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，AD=AC2+CD2=832+2532=2213【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明ODB OAE求出OD的长度是解题的关键13（2022青海中考真题）如图，AB是O的直径，AC是O的弦，AD平分CAB交O于点D，过点D作O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F(1)求证：AFEF；(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）连接OD，根据AD平分CAB，可得CAD=OAD，从而得到CAD=ODA，可得ODAF，再由切线的性质，即可求解；（2）由ODEAFE，可得OE:AE=OD:AF，设BE为x，可得OE=OB+BE=2+x，即可求解（1）证明：连接OD，AD平分CAB，CAD=OAD，OA=OD，OAD=ODA，CAD=ODA，ODAF，EF为O的切线，ODEF，AFEF（2）解：由（1）得：ODAF，ODEAFE，AC=2，CF=1，AF=3，AB=4，OD=2，OB=2，OE:AE=OD:AF，设BE为x，OE=OB+BE=2+x，2+x4+x=23，解得：x=2，即BE的长为2【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键14（2022广西柳州中考真题）如图，已知AB是O的直径，点E是O上异于A，B的点，点F是EB的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FCAE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H(1)求证：CD是O的切线；(2)求sinFHG的值；(3)若GH42，HB2，求O的直径【答案】(1)见解析(2)22(3)O的直径为65【分析】（1）连接OF，先证明OFAC，则OFDC90，根据切线的判定定理可得出结论（2）先证DFBOAF，ADGFDG，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得出FGHFHG45，从而可求出sinFHG的值（3）先在GFH中求出FH的值为4，根据等积法可得DFDB=FHHB=2，再证DFBDAF，根据对应边成比例可得DADF=DFDB=2，又由角平分线的性质可得DADF=AGGF，从而可求出AG、AF在RtAF中根据勾股定理可求出AB的长，即O的直径（1）证明：连接OFOAOF，OAFOFA，EF=FB,CAFFAB，CAFAFO，OFAC，ACCD，OFCD，OF是半径，CD是O的切线（2）AB是直径，AFB90，OFCD，OFDAFB90，AFODFB，OAFOFA，DFBOAF，GD平分ADF，ADGFDG，FGHOAF+ADG，FHGDFB+FDG，FGHFHG45，sinFHG=sin45=22（3）解：过点H作HMDF于点M，HNAD于点N