正交试验结果的统计分析方法课件

第第二二章章 实实验验结结果果的的统计分析方法统计分析方法方差分析法方差分析法2024/6/18实验设计与第二章 实验结果的统计分析方法2023/8/101第四章第四章 方差分析方差分析方差分析方差分析所要解决的问题所要解决的问题：各影响因素对结果影响程度的相对大小；各影响因素对结果影响程度的相对大小；各影响因素间是否存在相互作用；各影响因素间是否存在相互作用；实验条件如何优化。实验条件如何优化。通通常常称称多多次次实实验验结结果果之之间间的的差差异异为为变变差差，变变差差一一般般用用偏偏差差平平方方和和表表示示。各各因因素素形形成成的的偏偏差差平平方方和和恰恰好好等等于于总总偏偏差差平平方方和和，即偏差平方和具有即偏差平方和具有加和性加和性，这是建立方差分析的基础。，这是建立方差分析的基础。2024/6/18方差分析所要解决的问题：2023/8/102第四章第四章 方差分析方差分析本章内容本章内容：2.1 概述概述2.2 单因素方差分析单因素方差分析2.3 无重复两因素方差分析无重复两因素方差分析2024/6/18本章内容：2023/8/103第四章第四章 方差分析方差分析2.1 概述概述2.1.1 基本概念基本概念（1）因因素素：表表示示对对结结果果产产生生影影响响的的各各种种条条件件、方方式式、方方法法等等，如如温温度度、时间、酸度等。时间、酸度等。（2）水平水平：一种因素的各种不同取值状态，如温度、压力等的不同取值。：一种因素的各种不同取值状态，如温度、压力等的不同取值。（3）指标指标：结果的标志，可体现为收率、产量等。：结果的标志，可体现为收率、产量等。（4）偶偶然然误误差差：因因未未能能控控制制的的“偶偶然然因因素素”所所引引起起的的误误差差叫叫“实实验验误误差差”，即随机误差。，即随机误差。（5）系系统统误误差差：由由于于实实验验因因素素的的变变异异引引起起实实验验结结果果的的数数量量差差异异，也也称称为为“条件误差条件误差”。2.1.2 方法方法 把把全全部部数数据据关关于于总总体体平平均均值值的的方方差差分分解解成成几几个个部部分分，每每一一部部分分表表示示方方差差的的一一种种来来源源，将将各各种种来来源源的的方方差差进进行行比比较较，判判断断实实验验各各有有关关因因素素对对实实验验结果的影响大小。结果的影响大小。2024/6/182.1 概述2023/8/104第四章第四章 方差分析方差分析【例例21】考考察察催催化化剂剂对对收收率率的的影影响响，分分别别用用5种种催催化化剂剂独独立立进进行行实实验验，每种催化剂测试每种催化剂测试4次，得收率如下表：次，得收率如下表：因素因素：催化剂；：催化剂；水平水平：5种种指标指标：收率：收率偶然误差偶然误差：每种催化剂下所得结果的标准差：每种催化剂下所得结果的标准差s系统误差系统误差：各催化剂下所得平均值的差异：各催化剂下所得平均值的差异催化剂催化剂12345收率收率/0.860.800.830.760.960.890.830.900.810.950.910.880.940.840.930.900.840.850.820.94平均值平均值/0.89000.83750.88000.80750.94502024/6/18【例21】考察催化剂对收率的影响，分别用5种催化剂独立进行5第四章第四章 方差分析方差分析2.2 单因素方差分析单因素方差分析 研研究究单单一一因因素素对对试试验验结结果果的的影影响响。此此时时，方方差差分分析析的的目目的的是考察一个因素的是考察一个因素的m个水平对实验结果是否存在显著影响。个水平对实验结果是否存在显著影响。数学模型数学模型：xij=+ai+rij式中，式中，：总体平均体平均值；ai：i水水平平（i=1,2,ni,ni为水水平平重重复复数数）对结果果的的影影响响，即即i水平下的水平下的系系统误差差；rij：随即：随即误差（差（j=1,2,m,m为水重复平数）。水重复平数）。该数学模型表示：数学模型表示：实验结果果总体平均体平均值因素作用随即因素作用随即误差差2024/6/182.2 单因素方差分析2023/8/106第四章第四章 方差分析方差分析2.2.1 单因素方差分析基本公式单因素方差分析基本公式 设有设有m 个相互独立的正态总体个相互独立的正态总体:各个总体的方差相等：各个总体的方差相等：现从总体中抽取容量为现从总体中抽取容量为ni的随机样本：的随机样本：设设 为为从从第第i个个总总体体抽抽取取的的样样本本平平均均值值（组组平平均均值值），为为总平均值总平均值，n为从为从m个总体中抽取的样本总容量，则：个总体中抽取的样本总容量，则：2024/6/182.2.1 单因素方差分析基本公式2023/8/107第四章第四章 方差分析方差分析样本对照表样本对照表2024/6/18样本对照表2023/8/108第四章第四章 方差分析方差分析2.2.2 偏差平方和偏差平方和 设设Q为为偏偏差差平平方方和和，即即所所有有样样本本测测定定值值与与总总体体平平均均值值之之差差的的平方和平方和，则：，则：式中最后一项为协方差，由于：式中最后一项为协方差，由于：所以所以2024/6/182.2.2 偏差平方和2023/8/109第四章第四章 方差分析方差分析令：令：则：则：Q=Qe+U1单单因因素素方方差差分分析析的的基基本本关关系系式式，说说明明偏偏差差平平方方和和具具有有加加和和性性，即即总总偏差平方和可以分解为具有不同来源的若干项。偏差平方和可以分解为具有不同来源的若干项。Qe为为组组内内偏偏差差平平方方和和：表表示示各各水水平平下下多多次次实实验验结结果果间间的的差差异异。由由于于因因素素影影响响完完全全相相同同，所所以以为为随随机机波波动动所所致致，属属于于随随机机误误差差。U1为为组组间间偏偏差差平平方方和和：反反映映各各样样本本平平均均值值间间的的差差异异，即即在在因因素素不不同同的的水水平平下下实实验验结结果果相相互互间间的的差差异异，它它说说明明了了因因素素的的不不同水平对结果的影响同水平对结果的影响。2024/6/18令：单因素方差分析的基本关系式，说明偏差平方和具有加和性，即10第四章第四章 方差分析方差分析2.2.3 方差分析统计量方差分析统计量（1）自由度）自由度令令f、fe及及 f1分分别别为为总总自自由由度度、组组内内（随随即即误误差差）自自由由度度和和组组间间自由度，则：自由度，则：表明自由度具有加和性表明自由度具有加和性2024/6/182.2.3 方差分析统计量表明自由度具有加和性2023/8/11第四章第四章 方差分析方差分析（2）方差）方差令令 分别为总方差、组内方差和组间方差，则有：分别为总方差、组内方差和组间方差，则有：（3）统计量）统计量为构造统计量，先求出为构造统计量，先求出Qe、U1的期望值：的期望值：表表明明，不不论论各各总总体体平平均均值值1，2，i，m是是否否相相等等，为为2的无偏估的无偏估计量量2024/6/18（2）方差表明，不论各总体平均值1，2，i，m12第四章第四章 方差分析方差分析令令则可以推得：则可以推得：可可见见，只只有有当当1=2=i=m时，才才是是2的的无无偏估偏估计量，否量，否则它的期望它的期望值将大于将大于22024/6/18令可见，只有当1=2=i=m 时，才是13第四章第四章 方差分析方差分析式式中中，第第二二项项表表达达了了因因素素不不同同水水平平的的影影响响，为为判判断断因因素素的的 m个个水水平平对对实实验验结结果果的的影影响响是是否否存存在在显显著著性性差差异异，只只需需判判断断该该项是否存在即可。为此，可进行项是否存在即可。为此，可进行F-检验，用如下统计量：检验，用如下统计量：若若因因素素的的m个个水水平平对对实实验验结结果果的的影影响响不不存存在在显显著著性性差差异异，则则相相当当于于各各总总体体均均值值相相等等。则则第第二二项项为为0，有有相相同同的的期期望望值，皆为值，皆为2。此此时，统计量量应趋于于1。若若因因素素的的不不同同水水平平对结果果存存在在显著著性性影影响响，则 的的期期望望值不等，不等，此此时，统计量将明量将明显大于大于1。因因此此，可可以以根根据据F的的大大小小（与与临界界值比比较）判判断断有有关关因因素素的的不同水平不同水平对实验结果是否存在果是否存在显著性影响。著性影响。2024/6/18式中，第二项表达了因素不同水平的影响，为判断因素的 m个水平14第四章第四章 方差分析方差分析单因素方差分析的程序：单因素方差分析的程序：提出原假设和备择假设：提出原假设和备择假设：原假设为原假设为H H0 0:1=2=i=m备择假假设H1：各：各总体均体均值不等不等设原假设的前提成立：设原假设的前提成立：由已知条件计算统计量：计算偏差平方和、自由度及由已知条件计算统计量：计算偏差平方和、自由度及F F值值根根据据显显著著性性水水平平，查出出 ，若若 ，原原假假设成立；若成立；若 ，原假，原假设不成立，而不成立，而备择假假设成立成立最后，将计算结果及结论整理成方差分析表。最后，将计算结果及结论整理成方差分析表。2024/6/18单因素方差分析的程序：2023/8/1015第四章第四章 方差分析方差分析单因素方差分析表单因素方差分析表2024/6/18单因素方差分析表2023/8/1016第四章第四章 方差分析方差分析【例例22】考考察察催催化化剂剂对对收收率率的的影影响响，分分别别用用5种种催催化化剂剂独独立立进进行行实实验，每种催化剂测试验，每种催化剂测试4次，得收率如下表：次，得收率如下表：请对实验结果进行方差分析。请对实验结果进行方差分析。解：解：n=20，m=5，ni=4催化剂催化剂12345收率收率/0.860.800.830.760.960.890.830.900.810.950.910.880.940.840.930.900.840.850.820.94平均值平均值/0.89000.83750.88000.80750.94502024/6/18【例22】考察催化剂对收率的影响，分别用5种催化剂独立进行17第四章第四章 方差分析方差分析催化剂催化剂12345总和总和收率收率/0.860.800.830.760.960.890.830.900.810.950.910.880.940.840.930.900.840.850.820.94平均值平均值/0.89000.83750.88000.80750.94503.653.353.523.233.7817.443.16982.80893.10502.61173.572615.26802024/6/18催化剂12345总和0.860.800.830.760.9618第四章第四章 方差分析方差分析（1 1）偏差平方和）偏差平方和所以：所以：Q=Qe+U1=0.06027（2 2）自由度：）自由度：f fe e=n-mn-m=20-5=15=20-5=15 f f1 1=m=m-1=5-1=4-1=5-1=4 f=n-f=n-1=20-1=191=20-1=19（3）方差）方差2024/6/18（1）偏差平方和所以：Q=Qe+U1=0.06027（2）自19第四章第四章 方差分析方差分析（4）F-检验检验查查F-分布表得：分布表得：F0.05,(4,15)=3.06F（5）结论：催化剂间有差别，且对结果影响较大。）结论：催化剂间有差别，且对结果影响较大。（6）方差分析如下表所示）方差分析如下表所示误差来源误差来源偏差平方和偏差平方和自由度自由度均方差均方差F值值F临界值临界值结论结论*组间组间0.0442740.0110610.063.06*组内组内0.01605150.0011总和总和0.06032190.003175注：用注：用*表示有影响；表示有影响；*表示影响显著；表示影响显著；*表示影响高度显著；下同表示影响高度显著；下同2024/6/18（4）F-检验查F-分布表得：F0.05,(4,15)=320第四章第四章 方差分析方差分析【例例23】某某4个个实实验验室室用用典典法法测测定定一一种种铜铜合合金金（HPb60-1）试试样样中中铜铜的的含量，均测定含量，均测定5次，结果如下表所示：次，结果如下表所示：实验室实验室测定结果测定结果/Cu%A66.3760.8560.5660.9260.22B60.8660.9861.0460.5360.71C60.6360.4760.8260.3960.77D61.4461.2461.6761.0461.15试分析各实验室的测定结果之间是否存在显著性差异。试分析各实验室的测定结果之间是否存在显著性差异。2024/6/18【例23】某4个实验室用典法测定一种铜合金（HPb60-121第四章第四章 方差分析方差分析2.3 无重复两因素方差分析无重复两因素方差分析 单单因因素素方方差差分分析析只只研研究究一一种种因因素素对对实实验验结结果果的的影影响响，当当可可能能存存在在多多个个因因素素对对结结果果产产生生影影响响时时，虽虽然然可可以以采采用用“固固定定其其他他因因素素，研研究究变变化化因因素素”的的方方法法，对对所所有有影影响响因因素素分分别别研研究，但这种方法不仅效率低，而且往往会遗漏最好的组合。究，但这种方法不仅效率低，而且往往会遗漏最好的组合。2.3.1 无重复两因素方差分析的数学模型无重复两因素方差分析的数学模型 设因素设因素A有有a个水平，即：个水平，即：A1,A2,Ai,Aa 因素因素B有有b个水平，即：个水平，即：B1,B2,Bj,BbAi，Bj作用下的实验指标为作用下的实验指标为xijk，则有：，则有：xijk=+i+j+ij+rijk 式式中中，k为为重重复复测测定定次次数数；ij为Ai、Bj的的交交互互作作用用；rijk为随随机机误差。差。有重复两因素方差有重复两因素方差分析的数学模型分析的数学模型2024/6/182.3 无重复两因素方差分析有重复两因素方差分析的数学模型222第四章第四章 方差分析方差分析对对于于无无重重复复两两因因素素方方差差分分析析，ij、rijk无无法法分分辨辨，可可合合为一一项，用用rij表示，相当于随机表示，相当于随机误差，差，则：xij=+i+j+rij在在A、B两因素的共同作用下，得到两因素的共同作用下，得到ab个个实验结果，如下表：果，如下表：无重复两因素方差分无重复两因素方差分析的数学模型析的数学模型平均值平均值平均值平均值2024/6/18对于无重复两因素方差分析，ij、rijk无法分辨，可合为一23第四章第四章 方差分析方差分析无重复两因素方差分析的简化计算公式为：无重复两因素方差分析的简化计算公式为：总偏差平方和：总偏差平方和：反映随机误差的反映随机误差的偏差平方和：偏差平方和：反映因素反映因素A各水各水平之间的偏差：平之间的偏差：反映因素反映因素B 各水各水平间的偏差：平间的偏差：2024/6/18无重复两因素方差分析的简化计算公式为：总偏差平方和：反映随机24第四章第四章 方差分析方差分析无重复两因素方差分析表无重复两因素方差分析表偏差来源偏差来源偏差平偏差平方和方和自由度自由度方差方差F值值F临界值临界值显显著著性性A的影响的影响U1B的影响的影响U2随机误差随机误差Qe总和总和Q显著性判断准则显著性判断准则:如如FA大于临界值，大于临界值，HA不成立，即因素不成立，即因素A影响显著；影响显著；如如FB大于临界值，大于临界值，HB不成立，即因素不成立，即因素B影响显著；影响显著；2024/6/18无重复两因素方差分析表偏差来源偏差平方和自由度方差F值F临界25第四章第四章 方差分析方差分析【例例24】为为了了研研究究酵酵解解作作用用，分分别别从从8位位健健康康人人体体中中抽抽取取血血液液制制成成血血滤滤液液，再再将将每每个个受受试试者者的的血血滤滤液液分分成成4份份，分分别别放放置置0 min、45 min、90 min、135 min，测定其中血糖浓度，得到下表的数据：，测定其中血糖浓度，得到下表的数据：受试者受试者放置时间放置时间t0 min45 min 90 min 135 min1151593215148432625710418171510522181786323221147252317881512100试问试问（1）不同受试者的血糖浓度是否存在显著性差异？）不同受试者的血糖浓度是否存在显著性差异？（2）放置不同时间的血糖浓度的差异是否明显？）放置不同时间的血糖浓度的差异是否明显？2024/6/18【例24】为了研究酵解作用，分别从8位健康人体中抽取血液制26第四章第四章 方差分析方差分析受试者受试者放置时间放置时间t0 min45 min 90 min 135 min115159342540215148441501326257106814504181715106093852218178651161632322114992685725231787315078151210037469解：将数据简化，经初步计算得下表：解：将数据简化，经初步计算得下表：2024/6/18受试者放置时间t0 min45 min 90 min 13527第四章第四章 方差分析方差分析偏差来源偏差来源偏差平方和偏差平方和自由度自由度方差方差F值值F临界值临界值显著性显著性受试者受试者747.477106.7812.79F0.05,(7,21)=2.49F0.05,(3,21)=3.07*放置时间放置时间977.343325.7839.01*随机误差随机误差175.41218.35综合综合1900.223161.30结论：不同受试者血糖浓度得差异是显著的；放置时间对血糖浓度的影响更为显著。结论：不同受试者血糖浓度得差异是显著的；放置时间对血糖浓度的影响更为显著。2024/6/18偏差来源偏差平方和自由度方差F值F临界值显著性受试者747.28