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1Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 5.1 基本概念基本概念5.2 常用统计分布常用统计分布5.3 抽样分布抽样分布教学内容教学内容 Chapter 5 Statistics and its Distribution 第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布Content 5.1 基本概念教学内容 Chapter 5 Stati12Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 抽抽 样样 分分 布布有时总体分布的类型虽然已知，有时总体分布的类型虽然已知，但含有未知参数但含有未知参数此时需要对总体的未知参数或数字特征如期望方差此时需要对总体的未知参数或数字特征如期望方差进行统计推断，进行统计推断，此类问题称为此类问题称为参数统计推断参数统计推断.在参数统计推断问题中，常需利用总体的样本在参数统计推断问题中，常需利用总体的样本构造出合适的统计量构造出合适的统计量，并使其服从或渐近服从已知，并使其服从或渐近服从已知的分布的分布.统计学中泛称统计量的分布为统计学中泛称统计量的分布为抽样分布抽样分布.讨论抽样分布的途径有两个讨论抽样分布的途径有两个.一是精确地求出抽样一是精确地求出抽样分布，分布，并称相应的统计推断为并称相应的统计推断为小样本统计推断小样本统计推断;抽 样 分 布有时总体分布的类型虽然已知，但含有未知参数此时23Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 抽抽 样样 分分 布布另一种方式是让样本容量趋于另一种方式是让样本容量趋于无穷无穷，并求出抽样，并求出抽样分布的分布的极限分布极限分布.然后在样本容量充分大时然后在样本容量充分大时,再利再利用该极限分布作为抽样分布的用该极限分布作为抽样分布的近似分布近似分布，进而对，进而对未知参数进行统计推断，称此为未知参数进行统计推断，称此为大样本统计推断大样本统计推断.下面重点讨论的下面重点讨论的正态总体的抽样分布正态总体的抽样分布属属小样本统计小样本统计.此外此外,也简要介绍一般总体的某些抽样分布的也简要介绍一般总体的某些抽样分布的极限极限分布分布,这就属于这就属于大样本统计范畴大样本统计范畴.抽 样 分 布另一种方式是让样本容量趋于无穷，并求出抽样分布34Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 单正态总体的抽样分布单正态总体的抽样分布设总体设总体的均值为的均值为方差为方差为取自取自的一个样本，的一个样本，与与分别为该样的样本均分别为该样的样本均值与样本方差，值与样本方差，则有则有而而是是单正态总体的抽样分布设总体的均值为方差为取自的一个样本，与分45Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 定理定理1定理定理2二、正态总体的样本均值二、正态总体的样本均值设设 是来自总体是来自总体 的样本的样本分别是分别是样本均值样本均值和和样本方差样本方差，则则与与 独立独立.与样本方差的分布与样本方差的分布掌握掌握适用适用总体总体 已知已知 定理1二、正态总体的样本均值设 是来自总体 56Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 定理定理3设设 是来自总体是来自总体 的样本的样本分别是样本均值和样本方差，分别是样本均值和样本方差，则则掌握掌握适用适用总体总体 未知未知注注记号而已记号而已记号而已记号而已对比定理对比定理对比定理对比定理2 2样本减不同量样本减不同量样本减不同量样本减不同量自由度的变化自由度的变化自由度的变化自由度的变化 定理3设 是来自总体 67Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 两者独立两者独立设设总体总体,样本为样本为t分布定义分布定义证证结论结论(1)是是分布定义的直接推论分布定义的直接推论.定理定理定理定理2(2)2(2)两者独立设总体,样本为t分布定义证结论(1)是分布定义的直接78Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 例例1 设设为为的一的一个样本个样本,求求:样本均值样本均值的数学期望与方差的数学期望与方差;解解由于由于样本容量样本容量所以所以于是于是由由得得故故例1设为的一个样本,求:样本均值的数学期望与方差;解由于样本89Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 例例2 假设某物体的实际重量为假设某物体的实际重量为但它是未知的但它是未知的.现在用一架天平去称它现在用一架天平去称它,共称了共称了次次,得到得到假设每次称量过程彼此独立且没有系假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差统误差,则可以认为这些测量值都服从正态分布则可以认为这些测量值都服从正态分布方差方差反映了天平及测量过程的总反映了天平及测量过程的总精度精度,通常我们用样本均值通常我们用样本均值去估计去估计根据定根据定理理1,再从正态分布的再从正态分布的性质知性质知这就是说这就是说,我们的估计值我们的估计值与真值与真值的偏差不超的偏差不超过过的概率为的概率为并且随着称量次数并且随着称量次数例2假设某物体的实际重量为但它是未知的.现在用一架天平去称它910Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 的增加的增加,这个偏差界限这个偏差界限愈来愈小愈来愈小.例如例如,若若则则于是我们以于是我们以的概率断言的概率断言,与物体真正重与物体真正重量量的偏差不超过的偏差不超过 0.09.如果将称量次数如果将称量次数增加增加到到 100,则则这时这时,我们以同样的概率断言我们以同样的概率断言,与物体真正重量与物体真正重量的偏差不超过的偏差不超过 0.03.的增加,这个偏差界限愈来愈小.例如,若则于是我们以的概率断言1011Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 例例3 在设计导弹发射装置时在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类对于一类导弹发射装置导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布正态分布这里这里现在进现在进行了行了 25 次发射试验次发射试验,用用记这记这 25 次试验中弹次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差着点偏离目标中心的距离的样本方差,试求试求超过超过 50 米米 的概率的概率.解解根据定理根据定理 2,有有例3在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研究弹着点偏离目标中1112Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 例例3解解 根据定理根据定理 2,有有于是于是(查表查表)于是我们可以以超过于是我们可以以超过的概率断言的概率断言,超过超过50 米米24例3解根据定理 2,有于是(查表)于是我们可以以超过的概率断1213Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 定理定理 4(1)则则分别是这两个样本的样本均值分别是这两个样本的样本均值,且且X与与Y 独立独立,X1,X2,是取自是取自X的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,Y1,Y2,是取自是取自Y的样本的样本,设设和和和和掌握掌握适用适用总体总体 已知已知注注(两总体两总体样本均值差样本均值差的分布的分布)定理 4(1)则分别是这两个样本的样本均值,且X与Y 独立1314Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution (两总体两总体样本方差比样本方差比的分布的分布)定理定理 4(2)则则分别是这两个样本的样本均值分别是这两个样本的样本均值,且且X与与Y 独立独立,X1,X2,是取自是取自X的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,Y1,Y2,是取自是取自Y的样本的样本,设设和和和和掌握掌握适用适用总体总体 已知已知注注 (两总体样本方差比的分布)定理 4(2)则分别是这两1415Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 因为因为由相互独立性及由相互独立性及F分布的定义可知：分布的定义可知：证证注注若若则则理解理解 因为由相互独立性及F分布的定义可知：证注若则理解1516Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution (两总体两总体样本均值差样本均值差的分布的分布)分别是这两个样本的样本均值分别是这两个样本的样本均值,且且X与与Y 独立独立,X1,X2,是取自是取自X的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,则则Y1,Y2,是取自是取自Y的样本的样本,定理定理4(3)设设和和和和掌握掌握适用适用总体总体 未知未知注注加权平均加权平均加权平均加权平均(1)(1)与与(3)(3)应用场合的差别应用场合的差别 (两总体样本均值差的分布)分别是这两个样本的样本均值1617Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 由定理条件有由定理条件有所以所以又因又因证证理解理解由定理条件有所以又因证理解1718Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 并且它们是相互独立的，并且它们是相互独立的，故由故由 分布的可加性可知分布的可加性可知从而由独立性条件及从而由独立性条件及 t 分布的定义有分布的定义有 即即理解理解并且它们是相互独立的，从而由独立性条件及 t 分布的定义有 1819Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 例例4 设两个总体设两个总体与与都服从正态分布都服从正态分布今从总体今从总体与与中分别抽得容量中分别抽得容量的两个相互独立的样本的两个相互独立的样本,求求解解 由题设及定理由题设及定理 4,知知于是于是例4设两个总体与都服从正态分布今从总体与中分别抽得容量的两个1920Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 例例5设总体设总体和和相互独立且都服从正态分布相互独立且都服从正态分布和和是分别来自是分别来自总体总体和和的样本的样本,和和分别是这分别是这两个样本均值和方差两个样本均值和方差,求求解解 因因由定理由定理 4(2),即即因因分布表中没有分布表中没有但由但由分布的性质分布的性质,知知(P301-307)例5设总体和相互独立且都服从正态分布和是分别来自总体和的样本2021Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 例例5设总体设总体和和相互独立且都服从正态分布相互独立且都服从正态分布和和是分别来自是分别来自总体总体和和的样本的样本,和和分别是这分别是这两个样本均值和方差两个样本均值和方差,求求解解 于是于是查表有查表有即即故故例5设总体和相互独立且都服从正态分布和是分别来自总体和的样本2122Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 四一般总体抽样分布的极限分布四一般总体抽样分布的极限分布极限分布，极限分布，其中其中为总体的均值，为总体的均值，为总体的方差为总体的方差,为样本的均值，为样本的均值，为样本的方差为样本的方差.定义定义 设设为随机变量为随机变量的分布函数，的分布函数，随机变量随机变量的分布函数，的分布函数，体连续点组成的集合，体连续点组成的集合，本节要讨论统计量本节要讨论统计量和和的的为为并记并记为为由由的全的全若若则称随机变量则称随机变量依分布收敛依分布收敛于于简记为简记为四一般总体抽样分布的极限分布极限分布，其中为总体的均值，为2223Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 定理定理5设设为总体为总体的样本，的样本，并设总并设总记记则则以上以上与与分别表示分别表示的数学期望与方差均存在，的数学期望与方差均存在，体体与标准正态分布的分布函数与标准正态分布的分布函数.（证略证略）.注注：定理定理5的结论表明，的结论表明，当样本的容量当样本的容量充分大时，充分大时，和和都近似在服从标准正态分布，都近似在服从标准正态分布，故当故当已知时，已知时，可用可用对对进行统计推断；进行统计推断；当当未知时，未知时，则可用则可用对对来推断来推断.定理5设为总体的样本，并设总记则以上与分别表示的数学期望与方2324Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution (已知已知)正态总体的常用分布总结正态总体的常用分布总结单正态总体单正态总体是来自总体是来自总体 的样本的样本(已知已知)(未知未知)常考常考(已知)正态总体的常用分布总结单正态总体是2425Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 正态总体的常用分布总结正态总体的常用分布总结双正态总体双正态总体且且X与与Y 独立独立,X1,X2,是取自是取自X的样本的样本,Y1,Y2,是取自是取自Y的样本的样本,设设已知已知(已知已知)(4)正态总体的常用分布总结双正态总体且X与Y 独立,X1,2526Probability and Statistics Chapter 5 Statistics and its Distribution 正态总体的常用分布总结正态总体的常用分布总结双正态总体双正态总体且且X与与Y 独立独立,X1,X2,是取自是取自X的样本的样本,Y1,Y2,是取自是取自Y的样本的样本,设设未知未知 正态总体的常用分布总结双正态总体且X与Y 独立,X1,26
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