（矢势及其微分方程）解读课件

第三章第三章静 磁 场1第三章静 磁 场1主要内容主要内容超导体的电磁性质超导体的电磁性质阿哈罗夫玻姆阿哈罗夫玻姆(Aharonov-Bohm)效应效应磁多极矩磁多极矩磁标势磁标势矢势及其微分方程矢势及其微分方程2主要内容超导体的电磁性质阿哈罗夫玻姆(Aharonov-B本章重点：本章重点：1 1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁 场的能量场的能量场的能量场的能量2 2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程 与静电势方程的比较与静电势方程的比较与静电势方程的比较与静电势方程的比较3 3、了解、了解、了解、了解A-BA-B效应和超导体的电磁性质效应和超导体的电磁性质效应和超导体的电磁性质效应和超导体的电磁性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 本章难点：利用磁标势解决具体问题本章难点：利用磁标势解决具体问题3本章重点：机动 目录 上页 下页 返回 1 1 矢势及其微分方程矢势及其微分方程41 矢势及其微分方程4在给定的传导电流附近可能存在一些磁在给定的传导电流附近可能存在一些磁性物质，在电流的磁场作用下，物质磁性物质，在电流的磁场作用下，物质磁化而出现磁化电流，它反过来又激发附化而出现磁化电流，它反过来又激发附加的磁场。磁化电流和磁场互相约制。加的磁场。磁化电流和磁场互相约制。与解决静电学问题一样，求与解决静电学问题一样，求微分方程边值问题的解。微分方程边值问题的解。5在给定的传导电流附近可能存在一些磁性物质，在电流的磁场作用下恒定电流磁场的基本方程恒定电流磁场的基本方程J是自由电流密度。上两式结合物质的电是自由电流密度。上两式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础磁性质方程是解磁场问题的基础。1 1、矢势、矢势6恒定电流磁场的基本方程J是自由电流密度。上两式结合物质的电磁l静电场是有源无旋场，电场线从正电静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于负电荷，永不闭合，可以荷出发而止于负电荷，永不闭合，可以引入标势来描述。引入标势来描述。l静磁场则是有旋无源场，磁感应线总静磁场则是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线，一般可以引入另一个矢量是闭合曲线，一般可以引入另一个矢量来描述。来描述。由于特性上的显著差异，描述磁场和电由于特性上的显著差异，描述磁场和电场的方法就有所不同。场的方法就有所不同。7静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于负电荷，永不闭合则则B可表为另一矢量的旋度可表为另一矢量的旋度若若根据矢量分析的定理根据矢量分析的定理A称为磁称为磁场的矢势场的矢势8则B可表为另一矢量的旋度若根据矢量分析的定理A称为磁场的矢势矢势矢势A A的意义：的意义：通过曲面通过曲面S的磁通量的磁通量 把把B对任一个以回路对任一个以回路L为边界的曲面为边界的曲面S积分积分9矢势A的意义：通过曲面S的磁通量 把B对任一个以回路L为边界设设S1和和S2是两个是两个有共同边界有共同边界L的的曲面，则曲面，则10设S1和S2是两个有共同边界L的曲面，则10这正是这正是B的无源性的表示。因的无源性的表示。因为是无源的，在为是无源的，在S1和和S2所包围所包围的区域内没有磁感应线发出，的区域内没有磁感应线发出，也没有磁感应线终止，也没有磁感应线终止，B线连线连续的通过该区域，因而通过续的通过该区域，因而通过曲面曲面S1的磁通量必须等于通的磁通量必须等于通过曲面过曲面S2的磁通量。这磁通的磁通量。这磁通量由矢势量由矢势A对对S1或或S2的边界的的边界的环量表示。环量表示。11这正是B的无源性的表示。因为是无源的，在S1和S2所包围的区因此，矢势因此，矢势A A的物理意义是的物理意义是它沿任一闭它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量的任一曲面的磁通量。只有只有A A的环量才的环量才有物理意义，而每点上的值没有直接有物理意义，而每点上的值没有直接的物理意义。的物理意义。12因此，矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回其中其中B0为常量。为常量。例：设有沿例：设有沿 Z 轴方向的均匀磁场轴方向的均匀磁场13其中B0为常量。例：设有沿 Z 轴方向的均匀磁场13由定义式由定义式14由定义式14有解有解另一解另一解15有解另一解15因为任意函数因为任意函数 的梯度的旋度的梯度的旋度恒为零，故有恒为零，故有即即A+与与A对应于同一个磁场对应于同一个磁场B。A的这种的这种任意性是由于只有任意性是由于只有A的环量才有物理意义，的环量才有物理意义，而每点上的而每点上的A本身没有直接的物理意义。本身没有直接的物理意义。16因为任意函数的梯度的旋度恒为零，故有即A+与A对应于同由由A的这种任意性，为了方便，我们的这种任意性，为了方便，我们可以对它加上一定的限制条件即辅可以对它加上一定的限制条件即辅助条件助条件对于上式总可以找到一个对于上式总可以找到一个A适合适合17由A的这种任意性，为了方便，我们可以对它加上一定的限制条件即证明：证明：设有某一解不满足上式设有某一解不满足上式另取一解另取一解18证明：设有某一解不满足上式另取一解18AA的散度为的散度为取取 为泊松方程为泊松方程的一个解，就得的一个解，就得证。对证。对A A所加的所加的辅助条件称为规辅助条件称为规范条件。范条件。19A的散度为取为泊松方程的一个解，就得证。对A所加的辅助条2 2、矢势微分方程、矢势微分方程在均匀线性介质内。把在均匀线性介质内。把B=H和和 B=A代入式代入式H=J，得矢势，得矢势A的微的微分方程分方程202、矢势微分方程在均匀线性介质内。把B=H和 B=A代由矢量分析公式由矢量分析公式若取若取A满足规范条件满足规范条件A=0，得，得矢势的微分方程矢势的微分方程21由矢量分析公式若取A满足规范条件A=0，得矢势的微分方A的每个直角分量的每个直角分量Ai满足泊松方程满足泊松方程形式与静电场形式与静电场 的方程相同的方程相同22A的每个直角分量Ai满足泊松方程形式与静电场的方程相同22对比静电场的解得矢势方程的特解对比静电场的解得矢势方程的特解式中式中x是源点是源点,x为场点，为场点，r为由为由x到到x的距离。上的距离。上式也是第一章中由毕奥式也是第一章中由毕奥萨伐尔定律导出的公萨伐尔定律导出的公式式从毕奥萨伐尔定律从毕奥萨伐尔定律可以证明上式满足可以证明上式满足规范条件，因此，规范条件，因此，该式确实是微分方该式确实是微分方程的解。程的解。23对比静电场的解得矢势方程的特解式中x是源点,x为场点，r把磁场的散度和旋度作为基本规律，从把磁场的散度和旋度作为基本规律，从微分方程出发引入矢势微分方程出发引入矢势A，由，由A的方程获的方程获得特解，即可求得得特解，即可求得B。24把磁场的散度和旋度作为基本规律，从微分方程出发引入矢势A，由过渡到线电流情形，设过渡到线电流情形，设I为导线为导线上的电流强度，作代换上的电流强度，作代换JdVIdl，得，得这就是毕奥萨伐尔定律。这就是毕奥萨伐尔定律。25过渡到线电流情形，设I为导线上的电流强度，作代换JdVId3 3、矢势边值关系、矢势边值关系 当全空间的电流分布当全空间的电流分布J给定时，可给定时，可以计算磁场。对于电流和磁场互以计算磁场。对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解矢势微相制约的问题，则必须解矢势微分方程的边值问题。分方程的边值问题。263、矢势边值关系 当全空间的电流分布J给定时，可以计算磁场。磁场边值关系可以化为矢势磁场边值关系可以化为矢势A A的边值的边值关系，对于非铁磁介质，关系，对于非铁磁介质，矢势的边矢势的边值关系为值关系为在两介质分界在两介质分界面上磁场的边面上磁场的边值关系为值关系为27磁场边值关系可以化为矢势A的边值关系，对于非铁磁介质，矢势在分界面两侧取在分界面两侧取一狭长回路，计一狭长回路，计算算A A对此狭长回路对此狭长回路的积分。回路短的积分。回路短边长度趋于零边长度趋于零 上述边值关系式也可以用较简单的形式代替。上述边值关系式也可以用较简单的形式代替。28在分界面两侧取一狭长回路，计算A对此狭长回路的积分。回路短边由于回路面积趋于零，有由于回路面积趋于零，有 因此因此29由于回路面积趋于零，有 因此29若取规范若取规范A=0，可得，可得即在两介质分即在两介质分界面上，矢势界面上，矢势A是连续的。是连续的。所以所以30若取规范A=0，可得即在两介质分界面上，矢势A是连续的4 4、静磁场的能量、静磁场的能量在静磁场中，可以用矢势和电流表示总在静磁场中，可以用矢势和电流表示总能量。由能量。由B=A磁场的磁场的总能量总能量314、静磁场的能量在静磁场中，可以用矢势和电流表示总能量。由B则则和静电情形一样，此式仅对总能量有意义，和静电情形一样，此式仅对总能量有意义，不能把不能把A J/2看作能量密度，因为我们知道看作能量密度，因为我们知道能量分布于磁场内，而不仅仅存在于电流分能量分布于磁场内，而不仅仅存在于电流分布区域内。布区域内。32则和静电情形一样，此式仅对总能量有意义，不能把A J/2看在上式中，矢势在上式中，矢势A是电流分布是电流分布J本身激本身激发的。如果我们要计算某电流分布发的。如果我们要计算某电流分布J在在给定外磁场中的相互作用能量，以给定外磁场中的相互作用能量，以Ae表表示外磁场的矢势，示外磁场的矢势，Je表示产生该外磁场表示产生该外磁场的电流分布，则总电流分布为的电流分布，则总电流分布为J+Je，总，总磁场矢势为磁场矢势为A+Ae。33在上式中，矢势A是电流分布J本身激发的。如果我们要计算某电流此式减去此式减去J和和Je分别单独存在时的能量之后，分别单独存在时的能量之后，得电流得电流J在外场中的相互作用能在外场中的相互作用能34此式减去J和Je分别单独存在时的能量之后，得电流J在外场中的由于由于因此电流因此电流J在外场在外场Ae中的相互中的相互作用能量为作用能量为35由于因此电流J在外场Ae中的相互作用能量为35例例1 无穷长直导线载无穷长直导线载电流电流I，求磁场的矢势，求磁场的矢势和磁感应强度。和磁感应强度。36例1 无穷长直导线载电流I，求磁场的矢势和磁感应强度。设设P P点到导线的垂直距离点到导线的垂直距离为为R R,电流元电流元I Id dz z到到P P点的点的距离为距离为 积分是发散的。积分是发散的。计算两点的矢计算两点的矢势差值可以免势差值可以免除发散除发散 。解解利用利用得得37设P点到导线的垂直距离为R,电流元Idz到P点的距离为 积分若取若取R0点的矢势为零，计算可得点的矢势为零，计算可得38若取R0点的矢势为零，计算可得38取取A A的旋度得磁感应强度的旋度得磁感应强度39取A的旋度得磁感应强度39例例2 半径为半径为a的导线的导线园环载电流园环载电流I，求矢，求矢势和磁感应强度势和磁感应强度40例2 半径为a的导线园环载电流I，求矢势和磁感应强度解解线圈电流产生的线圈电流产生的矢势为矢势为41解线圈电流产生的矢势为41用球坐标用球坐标(R,)，由对，由对称性可知称性可知A只有只有 分量，分量，A 只依赖于只依赖于R,而与而与 无关。无关。因此我们可以选定在因此我们可以选定在xz面上面上的一点的一点P来计算，在该点上来计算，在该点上A =Ay。取。取y分量。由于分量。由于42用球坐标(R,)，由对称性可知A只有分量，A则得则得上式的积分可用椭园积分表示。当上式的积分可用椭园积分表示。当 时，可以较简单的计算出近似结果。时，可以较简单的计算出近似结果。43则得上式的积分可用椭园积分表示。当 时，可以较简单的计算出近把根式对把根式对若我们要计算若我们要计算B(R,)到二级近似。到二级近似。则则A 需要算到三级项。需要算到三级项。展开。在积分表达式中展开式的偶次项对展开。在积分表达式中展开式的偶次项对 积分为零，因此只需保留奇次项。积分为零，因此只需保留奇次项。44把根式对若我们要计算B(R,)到二级近似。则A需要算到三包括远场包括远场此式的适用范围是此式的适用范围是和近轴场和近轴场45包括远场此式的适用范围是和近轴场45我们计算近轴场。这种情况下用柱坐我们计算近轴场。这种情况下用柱坐标标(,z),z)较为方便。展开式实际较为方便。展开式实际上是对上是对取至取至 3 3项，有项，有取取A A的旋度，得的旋度，得 的展开式。的展开式。46我们计算近轴场。这种情况下用柱坐标(,z)较为方便。上式对任意上式对任意z处的近轴场成立。若求处的近轴场成立。若求近原点处的场近原点处的场,za，可把上式再，可把上式再对对z/a展开，得展开，得 47上式对任意z处的近轴场成立。若求近原点处的场,za，