一元函数微分学课件

2.1 导数的概念导数的概念2.2 导数的运算导数的运算2.3 微分微分2.4 导数的应用导数的应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学 第二章 微分学发展史2.1 导数的概念2.2 导数的运算2.3 微分2.412.1.1 引例引例2.1.2 导数的定义导数的定义2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义2.1.4 函数的连续性与可导性的关系函数的连续性与可导性的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.1 2.1 导数的概念导数的概念 第二章 2.1.1 引例2.1.2 导数的定义2.1.3 导数22.1.1 引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度描述物体下落位置的函数为改变量之比的极限称为导数，路路 程程 对对 时时 间间 的的 导导 数数 就就 是是 速速 度度。有增量则物体在 内的平均速度为即可得物体在 时刻的瞬时速度令即给 以增量 ,(),2.1.1 引例1.变速直线运动的速度描述物体下落位置的函32.1.2 导数的定义导数的定义即定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.2 导数的定义即定义1.设函数在点存在,并称此极4否则，就说在点处不可导或说可导或说 在点的导数不存在导数不存在.由导数定义可知，导数是函数 对自变量的变化率.导数的等价定义：右可导与左可导：否则，就说在点处不可导或说 在点的导数不存在.由导数定义可知5若函数在开区间 内处处可导,则称它在 上可导.若函数与则称在开区间 内可导,在闭区间 上可导.且都存在，对应于内的每一点都有一个确定的导数值，于是和其对应点的导数值之间便构成了一个新的函数，称此函数为的记为导函数，简称导数，若函数在开区间 内处处可导,则称它在 6求导的步骤2.算比值算比值3.取极限取极限1.求增量求增量对于内的每一点 有而在处的导数即为在处的函数值，即求导的步骤2.算比值3.取极限1.求增量对于内的每一点有而在7例1.求函数在处的导数解：所以，例1.求函数在处的导数解：所以，8例2.求函数为常数)解：所以，的导数.例2.求函数为常数)解：所以，的导数.9例3.处的导数.求函数解：例3.处的导数.求函数解：10导数的几何意义导数的几何意义导数是曲线上过点x0处切线的斜率当时,亦即N无限靠近M时,如果存在,那么割线就将趋向于曲线上过点的曲线的切线,即有时,于是1.有切线可导切线存在为无穷大2.切线不存在不可导注意:曲线割线 M N 的斜率导数的几何意义导数是曲线当时,亦即N无限靠近M时,如果存在,11例例4 求过点求过点(0，-1)且与且与相切的直线方程相切的直线方程.解：由例1知设切点为则该直线的斜率为又知从而有解得从而知过点(0，-1)可作两条直线与可作两条直线与相切，相切，其斜率分别为二直线方程分别为例4 求过点(0，-1)且与相切的直线方程.解：由例1122.1.4 函数的连续性与可导性的关系函数的连续性与可导性的关系注意注意:函数在点 x 连续不一定可导连续不一定可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.2.1.4 函数的连续性与可导性的关系注意:函数在点 x 132.2.1 几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数2.2.2 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 2.2.3 复合函数和隐函数求导法则复合函数和隐函数求导法则2.2.4 对数求导法对数求导法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2 2.2 导数的运算导数的运算 第二章 2.2.5 反函数求导法反函数求导法 2.2.6 高阶导数高阶导数 2.2.1 几个基本初等函数的导数2.2.2 导数的四则142.22.2导数的运算导数的运算 2.2.12.2.1几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数 二、幂函数的导数二、幂函数的导数一、常数的导数一、常数的导数常数的导数是常数的导数是0 0三、正弦函数与余弦函数的导数三、正弦函数与余弦函数的导数四、对数函数的导数四、对数函数的导数2.2导数的运算 2.2.1几个基本初等函数的导数 二、幂函152.2.2 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 法则法则的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且下面对（3）加以证明,并同时给出相应的推论和例题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.2 导数的四则运算法则 法则的和、差、积、商(除分16(3)证证:设则有故结论成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)证:设则有故结论成立.机动 目录 上页 17推论推论1:(C为常数)推论推论2:例5.已知解：推论1:(C为常数)推论2:例5.已知解：18例6.已知解：例7.解：例8.解：例6.已知解：例7.解：例8.解：192.2.3复合函数和隐函数求导法则复合函数和隐函数求导法则一、复合函数求导法在点 x 处也可导,且定理1.设函数 在 处有导数 ,函数 在 的对应点 处可导,则或或 复合函数上述复合函数求导法则可推广到多层复合函数上述复合函数求导法则可推广到多层复合函数在 处可导,在 的对应点 处可导处可导,而而 在 的对应点 处也可导,则 在 处也可导,且2.2.3复合函数和隐函数求导法则一、复合函数求导法在点 x20例9.已知,求例10.已知,求解：令解：令例11.已知求解：令例9.已知,求例10.已知,求解：令解：令例11.已知21例12.已知,求例13.设为可导函数,且解：解：设注意：注意：复合函数的求导关键是搞清符合关系，从外层复合函数的求导关键是搞清符合关系，从外层到里层一层一层地求导，不要漏层到里层一层一层地求导，不要漏层。例12.已知,求例13.设为可导函数,且解：解：设注意：22y与x的函数关系隐含在 中，这种形式的例如如果我们把y看成中间变量，则可运用复合函数求导函数称为隐函数。等等。法则求出y对x的导数。例14.y是由 所确定的关于x的函数，求y解：设两边同时对x求导，则即最后得二、隐函数求导法y与x的函数关系隐含在 中，这种形式的例如如果我们把y看成中23例15.求函数y是由 所确定的函数的导数 所确定的x 的函数，例16.已知 y是由解：等式两边同时对x求导，得解得试求解：方程两边同时对x求导，得从而又由函数方程知所以当时，故例15.求函数y是由 所确定的函数的导数 所确定的x 的函242.2.4对数求导法对数求导法 对数求导法适用于幂指数函数或连乘函数例17.已知下列各函数，分别求其导数y为任意实数为任意实数)解:(1)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得因而2.2.4对数求导法 对数求导法适用于幂指数函数或连乘函数例25(2)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得因而即对任意实数，有(3)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得所以即特别地，当时，(2)两边同时取对数，得两边同时对x求导，得因而即对任意实262.2.5 反函数求导法反函数求导法在在处可导，且处可导，且则则 在对应点在对应点 处也可导，处也可导，证略证略定理定理2 对于函数对于函数它在某个开区间严格单它在某个开区间严格单调、连续，它的反函数调、连续，它的反函数且且2.2.5 反函数求导法在处可导，且则 在对应点 处也可导，27例18.已知 解：内严格单调、连续，且由定理2知在x所对应的区间(-1,1)内,有即类似可得例18.已知 解：内严格单调、连续，且由定理2知在x所对应28例19.已知 解：内严格单调、连续，且即类似可得由定理2知在x所对应的区间 内,例19.已知 解：内严格单调、连续，且即类似可得由定理2知292.2.6 高阶导数高阶导数函数的二阶及二阶以上的导数统称为y 的高阶导数。如果的导数也存在，则称其为的二阶导数，记为三阶导数或三阶以上导数可类似定义。例20.已知 解：2.2.6 高阶导数函数的二阶及二阶以上的导数统称为y 的高30例21.y是由 所确定的x的函数，求解：两边同时对x求导，得所以对上述等式两边再对x求导，得整理并将 代入得例21.y是由 所确定的x的函数，求解：两边同时对x求导312.3.1 微分的定义微分的定义2.3.2 微分的几何意义微分的几何意义 2.3.3 微分的计算微分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.3 2.3 微微 分分 第二章 2.3.1 微分的定义2.3.2 微分的几何意义 2.3322.3 微微 分分问题提出：面积增量为的高阶无穷小正方形边长为给边长增量 ，面积为2.3 微 分问题提出：面积增量为的高阶无332.3.1微分的定义微分的定义定义定义2.设函数设函数 在在x 的某个临域内有定义，的某个临域内有定义，可以表示为可以表示为其中其中 A是不依赖于是不依赖于 的的x 的函数，的函数，是当是当 时比时比高阶的无穷小，则称函数高阶的无穷小，则称函数 在点在点 x处可微，并称处可微，并称 为函数为函数 在在x 处的微分，记作处的微分，记作如果函数的增量如果函数的增量即如果如果 在点在点 x处可微，在处可微，在 两端同除以两端同除以，得，得两边同时求极限得即有2.3.1微分的定义定义2.设函数 在x 的某个临域内342.3.22.3.2微分的几何意义微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,记作记机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.3.2微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也352.3.2微分的计算微分的计算一、微分的四则运算法则2.3.2微分的计算一、微分的四则运算法则36二、一阶微分的形式不变性设函数和可导，即则复合函数在点的微分为二、一阶微分的形式不变性设函数和可导，即则复合函数在点的微分37例22 求在时的微分.解：例23 已知解：例22 求在时的微分.解：例23 已知解：382.3.4*微分在误差估计及近似计算中的应用一、函数值的误差估计设是的函数，的测量值为且测量误差为计算时将产生误差把与分别称为和 的绝对误差，而把与分别称为和的相对误差。当很小时，有如下近似公式2.3.4*微分在误差估计及近似计算中的应用一、函数值的误差39利用以上两式可以计算实际应用中常遇到的两类误差估计问题。的误差(1)已知测量所产生的误差，估计由所引起的的误差。(2)根据所允许的误差，近似地确定测量时所允许的误差。例24 设已测得一圆的半径为21.5厘米，且测量的绝对误差不超过0.1厘米，求计算圆面积时所产生的绝对误差。解：已知 的测量值为厘米，绝对误差厘米，因此S的绝对误差为利用以上两式可以计算实际应用中常遇到的两类的误差(1)已知测40例25 从一批密度均匀的药丸中，把所有直径等于0.1厘米的胶丸挑出来，如果挑出来的胶丸在半径上允许有3%的相对误差，并且选择的方法以重量为依据，试问在挑选时称量重量的相对误差应不超过多少？解：设胶丸的密度为半径为r(单位为厘米)，重量为W，则有由于因而从而要使只要因而例25 从一批密度均匀的药丸中，把所有直径等于0.1厘米的胶41二、函数值的近似计算当很小时，由式(2-33)可得上式可用于计算在附近的近似值。例26 计算sin44o的近似值。解：设所以二、函数值的近似计算当很小时，由式(2-33)可得上式可用于42例27 求的近似值。解：设则取有所以例27 求的近似值。解：设则取有所以432.4.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理2.4.2 洛必达法则洛必达法则2.4.3 函数增减性和函数的极值函数增减性和函数的极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.4 2.4 导数的应用导数的应用 第二章 2.4.4 函数凹凸性及拐点函数凹凸性及拐点2.4.1 拉格朗日中值定理2.4.2 洛必达法则2.4442.4.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理定理定理3 如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 a,b上连续，在上连续，在 使得使得 开区间开区间(a,b)内可导，则在开区间内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点内至少存在一点拉格朗日简介2.4.1 拉格朗日中值定理定理3 如果函数 在闭区间 45推论推论3 如果函数如果函数 在区间（在区间（a,b）上每一点的上每一点的，则函数，则函数（a,b）上恒等于一个常数。）上恒等于一个常数。与与点点的导数都相等，则的导数都相等，则 与与上仅相差一个常数。上仅相差一个常数。导数都为零，即导数都为零，即在区间在区间推论推论4 如果两个函数如果两个函数在在（a,b）上每一）上每一在区间在区间（a,b）例例28 证明证明对一切对一切都成立。都成立。证：证：设设区间区间应用定理则应用定理则等号成立，因而对于一切等号成立，因而对于一切 命题成立命题成立推论3 如果函数 在区间（a,b）上每一点的，则函数（46例例28 试证试证证：设则由推论3知y在(-1,1)内恒为常数，即又由于y在-1,1上连续，因而上式在-1,1内成立，令即得从而结论成立。例28 试证证：设则由推论3知y在(-1,1)内恒为常数472.4.2洛必达法则洛必达法则 洛必达是法国数学家洛必达是法国数学家.1661年生于巴黎；年生于巴黎；1704年年2月月2日卒于巴黎日卒于巴黎.洛必达出洛必达出生于法国贵族家庭，青年时生于法国贵族家庭，青年时期一度任骑兵军官，因眼睛期一度任骑兵军官，因眼睛近视而自行告退，转向从事近视而自行告退，转向从事学术研究学术研究.15岁时解决了帕斯卡所提出的一个摆线岁时解决了帕斯卡所提出的一个摆线难题难题.他是莱布尼茨微积分的忠实信徒，并且他是莱布尼茨微积分的忠实信徒，并且是约伯努利的高徒，法国科学院院士是约伯努利的高徒，法国科学院院士.2.4.2洛必达法则 洛必达是法国数学家.16648函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限 转化转化(或或 型型)本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则2.4.2洛必达法则洛必达法则函数之商的极限导数之商的极限 转化(或 492.4.2洛必达法则洛必达法则2.4.2洛必达法则502.4.2洛必达法则洛必达法则2.4.2洛必达法则51洛毕达法则可以多次使用直到不再是不洛毕达法则可以多次使用直到不再是不定式时为止定式时为止洛毕达法则可以多次使用直到不再是不定式时为止52一元函数微分学课件53一元函数微分学课件54例例题题30 求求解解:原试原试注意:不是不定式不能用洛必达法则!例题30 求解:原试注意:不是不定式不能用洛必达法则!55例例题题31求求解解:例题31求解:56例例题题32求求解解:例题32求解:57其他不定式其他不定式:解决方法解决方法:通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化取对数取对数转化转化其他不定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化58例例题题33 求求将上试通分后即可化为将上试通分后即可化为 型型例题33 求将上试通分后即可化为 型59例例34.求求解解:原式原式例34.求解:原式60例例题题35求求例题35求61例例题题36求求 注意：注意：在应用洛毕达法则时，如果两个函数在应用洛毕达法则时，如果两个函数之比的极限不存在且不为无穷大，则之比的极限不存在且不为无穷大，则不能应用该法则不能应用该法则例题36求 注意：62一元函数微分学课件632.4.3函数增减性和函数的极值函数增减性和函数的极值一、函数单调性的判定法二二、函数的极值及其判定方法2.4.3函数增减性和函数的极值一、函数单调性的判定法二、64一、一、函数单调性的判定法函数单调性的判定法若若定理定理 1.设函数设函数则则 在在 I 内单调递增内单调递增(递减递减).证证:无妨设无妨设任取任取由拉格朗日中值定理得由拉格朗日中值定理得故故这说明这说明 在在 I 内单调递增内单调递增.在开区间在开区间 I 内可导内可导,证毕证毕注意：定理注意：定理6只是判断函数增减性的充分条件，只是判断函数增减性的充分条件，而非必要条件而非必要条件一、函数单调性的判定法若定理 1.设函数则 65例例题题38 试证试证当当证：设证：设例题38 试证当证：设66例例题题38 试证试证当当证：证：证毕证毕例题38 试证当证：证毕67例例39.确定函数确定函数的单调区间的单调区间.解解:令得故的单调增单调增区间为的单调减单调减区间为例39.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调68说明说明:例例401)单调区间的分界点除单调区间的分界点除 外外,也也可是导数不存在的点可是导数不存在的点.驻点驻点说明:例40单调区间的分界点除 外,也可69驻点：使导数为零的点叫做驻点驻点：使导数为零的点叫做驻点返回返回驻点：使导数为零的点叫做驻点返回70二、二、函数的极值及其判定方法函数的极值及其判定方法定义定义3:在其中当在其中当时时,(1)则称则称 为为 的极大点的极大点,称称 为函数的极大值为函数的极大值;(2)则称则称 为为 的极小点的极小点,称称 为函数的极小值为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点极大点与极小点统称为极值点.二、函数的极值及其判定方法定义3:在其中当时,(1)则称 71注意注意:为极大点为极大点为极小点为极小点不是极值点不是极值点1)函数的极值是函数的局部性质函数的极值是函数的局部性质.例如例如 例例39为极大点为极大点,是极大值是极大值 是极小值是极小值 为极小点为极小点,注意:为极大点为极小点不是极值点1)函数的极值是函数的局72定理定理7（必要条件）如果函数（必要条件）如果函数 在点在点 可可导导，且取极，且取极值值，则则 使导数为零的点叫做函数的使导数为零的点叫做函数的驻点，可导函数的极值必定是它的驻点，反之可导函数的极值必定是它的驻点，反之则不一定。则不一定。判断驻点是否为极值点要判断该点判断驻点是否为极值点要判断该点左右的倒数符号是否发生变化，此外导左右的倒数符号是否发生变化，此外导数不存在的点也可能是极值点。数不存在的点也可能是极值点。定理7（必要条件）如果函数 在点 可导，且取极值，则 73证：仅就 取极大值做出证明，取极小值 时仿此证明当 时，所以当 时所以因此 ，证毕证：仅就 取极大值做出证74定理定理 8(极值第一判别法极值第一判别法)(1)“左正右负左正右负”,(2)“左负右正左负右正”,(3)若若不不变变号，号，则则函数函数 在在 处处无极无极值值定理 8(极值第一判别法)(1)“左正右负”,(2)75证：若 是 邻域内的一点，由拉格朗日中值定理，可知必在 与 之间存在一点 ，使对于条件(2)，当 时，有 ；当 时，有 ，所以当 由负变正时，为极小值对于条件(1)，当 时，有 ；当 时，有 ，所以当 由正变负时，为极大值如果满足条件(3)，则在的某个邻域内是单调函数，所以不是极值，也不是极值点证：若 是 邻域内的一点，由拉格朗日中值定理，可知必76由定理由定理7和定理和定理8给出求函数极值的步骤如下：给出求函数极值的步骤如下：1、求导数、求导数2、找出驻点和导数不存在的点、找出驻点和导数不存在的点3、用定理、用定理8判定这些点是否为极值点判定这些点是否为极值点由定理7和定理8给出求函数极值的步骤如下：1、求导数2、找出77例题例题41 求函数求函数 的极值的极值解：解：x-10.21y+0+0-0+y增增无无增增极大极大减减极小极小增增由表可知极值由表可知极值图象例题41 求函数 的极值解：x-10.21y+0+0-0+78返回返回79例例42 已知直线方程已知直线方程 ,是直线外的一点是直线外的一点,试求试求A到直线到直线 的距离的距离解解:设设 为直线方程为直线方程 上的上的任一点任一点,设设A到到B的距离为的距离为 z,则则令 得到唯一驻点例42 已知直线方程 80例例42 已知直线方程已知直线方程 ,是直线外的一点是直线外的一点,试求试求A到直线到直线 的距离的距离当当 时时,而当而当 时时,从从而而 为为 的极小值点的极小值点,此时的此时的 就就是是到直线到直线 的距离的距离 ,将驻点值代将驻点值代入入 中的中的 ,化简得化简得例42 已知直线方程 813、若、若，则不能确定，则不能确定 是否为是否为定理定理9(第二充分条件第二充分条件)设设 在点在点 处具有二阶导数，且处具有二阶导数，且，则：，则：1、若、若，则，则 是是 的极大值的极大值2、若、若，则，则 是是的极小值的极小值的极值，仍需判断一阶导数在的极值，仍需判断一阶导数在左右的符号变化情况，然后再得出结论。左右的符号变化情况，然后再得出结论。3、若，则不能确定 是否为定理9(第二充分条件)设 在点 82例题例题43 应用第二充分条件求函数应用第二充分条件求函数 的极值的极值解解:例题43 应用第二充分条件求函数 的极值解:83例例44 求求 的极值的极值解解:则则因此因此,由定理由定理9 9判定判定,函数在函数在x=0 x=0时有时有极小值极小值0,0,在在x=1,-1x=1,-1时由定理时由定理8 8判定判定例44 求 84例例45 血液由细胞和血浆构成，血细胞的比重高于血液由细胞和血浆构成，血细胞的比重高于血浆构成，血液在血管中迅速流动时，血细胞有集血浆构成，血液在血管中迅速流动时，血细胞有集中于血管中轴附近的倾向，而在靠近血管内膜的边中于血管中轴附近的倾向，而在靠近血管内膜的边缘部位则主要是一层血浆。边缘部位由于血管壁的缘部位则主要是一层血浆。边缘部位由于血管壁的摩擦力而流速较慢，愈近中轴，流动越快，此现象摩擦力而流速较慢，愈近中轴，流动越快，此现象在流速相当高的洗血管中最为显著，称为轴流问题。在流速相当高的洗血管中最为显著，称为轴流问题。轴流理论认为：血细胞速度与血浆速度的相对值轴流理论认为：血细胞速度与血浆速度的相对值 依赖于血细胞的直径与它通过小血管直径依赖于血细胞的直径与它通过小血管直径 之比，其关系式为之比，其关系式为其中其中（血细胞直径（血细胞直径/小血管直径）小血管直径）1,（血细胞速度（血细胞速度/血浆速度）血浆速度）试求试求 关于关于 的一阶导数的极值的一阶导数的极值例45 血液由细胞和血浆构成，血细胞的比重高于血浆构成，85解：解：令 ，得 因为所以 时 取极小值。由于 ，所以他的绝对值 在 处达到极大值解：令 ，得 因86例例46 求求 当当 时得最大值与最小值时得最大值与最小值解解:该函数是一个分段函数该函数是一个分段函数,可写成如下形式可写成如下形式该函数在该函数在-5,5内连续内连续,但在但在x=3处不可导处不可导 因为因为当当 时函数可导时函数可导例46 求 当 87例例46 求求 当当 时得最大值与最小值时得最大值与最小值的导数为的导数为在讨论的区间内无驻点在讨论的区间内无驻点,因此最大值和最小值因此最大值和最小值只可能在只可能在 及导数不存在的点及导数不存在的点x=3处取处取得得,在这些点处的函数值分别为在这些点处的函数值分别为:由此知函数由此知函数 在在-5,5的最大值为的最大值为最小值为最小值为 .例46 求 当 88最大值与最小值最大值与最小值定义定义4 设设 在闭区间在闭区间 a,b上连续，上连续，与与 比较，其数值最大与最比较，其数值最大与最在闭区间在闭区间 a,b上的最大与最小值。上的最大与最小值。将区间内所有极值和端点处的函数值将区间内所有极值和端点处的函数值小者分别称为函数小者分别称为函数最大值与最小值定义4 设 在闭区间 a,b上连续，与 比89例例47 47 在给定容积在给定容积V V的条件下，做一个有盖的条件下，做一个有盖圆柱形罐头，问当高和底半径取多少时用圆柱形罐头，问当高和底半径取多少时用料最省料最省解解:设底面半径为设底面半径为r,r,高高h,h,表面积为表面积为S,S,则则例47 在给定容积V的条件下，做一个有盖圆柱形罐头，问当高和90所以所以S S的最小值的最小值将将S对对r求导得求导得所以S的最小值将S对r求导得912.4.4函数的凹凸性及拐点函数的凹凸性及拐点一、函数曲线的凹凸性一、函数曲线的凹凸性二、曲线的拐点二、曲线的拐点三、曲线的渐近线三、曲线的渐近线2.4.4函数的凹凸性及拐点一、函数曲线的凹凸性二、曲线的拐92定义定义5 5 如果一段曲线位于它上面任如果一段曲线位于它上面任意一点的切线上方，我们就称这段意一点的切线上方，我们就称这段曲线是向上凹的，如果一段曲线位曲线是向上凹的，如果一段曲线位于其上任意一点的切线的下方，则于其上任意一点的切线的下方，则称这段曲线是向上凸的称这段曲线是向上凸的一、函数曲线的凹凸性一、函数曲线的凹凸性定义5 如果一段曲线位于它上面任意一点的切线上方，我们就称这93如果函数如果函数定理定理1010在区间在区间(a,b)(a,b)内具有二阶导数内具有二阶导数则在该区间上，当则在该区间上，当时，曲线向上凸，称时，曲线向上凸，称 为凸函数为凸函数时，曲线向上凹，并称时，曲线向上凹，并称 为凹函数；为凹函数；当当如果函数定理10在区间(a,b)内具有二阶导数则在该区间上94二、函数的拐点二、函数的拐点如果函数如果函数 在某点的凹凸性发生了在某点的凹凸性发生了变化，那么该点就称为曲线的拐点。变化，那么该点就称为曲线的拐点。需要注意的是：拐点可能是二阶导数为需要注意的是：拐点可能是二阶导数为0的点，也可能是二阶导数不存在的点；的点，也可能是二阶导数不存在的点；反之二阶导数为反之二阶导数为0或者二阶导数不存在的或者二阶导数不存在的点却不一定是拐点。点却不一定是拐点。返回返回二、函数的拐点如果函数 95判断函数曲线的凹凸性及拐点的步骤如下：判断函数曲线的凹凸性及拐点的步骤如下：2、令令求出其在定义域的根，同时找到在函数求出其在定义域的根，同时找到在函数定义域内部存在的二阶导数定义域内部存在的二阶导数；1 1、求、求3、对每个实根（或二阶导数不存在的点），如、对每个实根（或二阶导数不存在的点），如判断判断在在 左右的符号，如果变号，则左右的符号，如果变号，则是拐点，否则不是拐点；使是拐点，否则不是拐点；使的那段区间为上凹区间，使的那段区间为上凹区间，使的那段区间为上凸区间。的那段区间为上凸区间。判断函数曲线的凹凸性及拐点的步骤如下：2、令求出其在定义域的96例例48 48 讨论曲线讨论曲线的凹凸性及拐点的凹凸性及拐点解解:在定义域内无零点在定义域内无零点x1y-不存在不存在+y上凸上凸拐点拐点上凹上凹例48 讨论曲线的凹凸性及拐点解:在定义域内无零点x1y97例例49 讨论函数讨论函数 的单调性极值及拐的单调性极值及拐点点x-11y-0+0-y减函数减函数极小极小值值增函数增函数极大极大值值减函数减函数解解:令令y=0,得得x=-1,1,列表如下列表如下例49 讨论函数 98例例49 讨论函数讨论函数 的单调性极值及拐的单调性极值及拐点点解解:x0y”-0+0-0+y上凸上凸拐拐点点上凹上凹拐拐点点上凸上凸拐拐点点上凹上凹例49 讨论函数 99三、曲线的渐近线三、曲线的渐近线定义定义6 如果动点沿某一条曲线无限远离原点时，如果动点沿某一条曲线无限远离原点时，动点到一定直线的距离趋于零，这条直线就动点到一定直线的距离趋于零，这条直线就称为该曲线的渐近线称为该曲线的渐近线 则曲线则曲线 有水平渐近线有水平渐近线如果如果，则曲线，则曲线有垂直渐近线有垂直渐近线如果如果返回返回三、曲线的渐近线定义6 如果动点沿某一条曲线无限远离原点时，100例例50 50 讨论讨论 的渐近线的渐近线解解:知知x=0 x=0是垂直渐近线是垂直渐近线所以所以,y=x+3,y=x+3是一条斜渐近线是一条斜渐近线例50 讨论 的渐近线解:知x=0是垂101习题习题确定函数确定函数 的单调的单调性性解解:令令y=0得得x=-1或或x=2x-1(-1,2)2y+0-0+y增函数增函数减函数减函数增函数增函数习题确定函数 102习题习题 求函数求函数 的极值的极值解解:令令y=0,解得解得xy-0+y极小值极小值习题 求函数 103习题习题 求函数求函数 的最大和最小的最大和最小值值解解:习题 求函数 104第二章微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)一元函数微分学一元函数微分学导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton第二章微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学1052.4.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日，法国数学家、物理学家。拉格朗日，法国数学家、物理学家。1736年年1月月25日日生于意大利西北部的都灵，生于意大利西北部的都灵，1813年年4月月10日卒于巴黎。日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等周问题等周问题”的过程中，他用纯分析的方法发展了欧拉的过程中，他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。1766年年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲欧洲最大的王最大的王”的宫廷中应有的宫廷中应有“欧洲最大的数学家欧洲最大的数学家”。于。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了成了分析力学分析力学一书，建立起完整和谐的力学体系。一书，建立起完整和谐的力学体系。1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。2.4.1 拉格朗日中值定理拉格朗日，法国数学家、物理学家1062.4.5*几个医学常用图形的描绘几个医学常用图形的描绘描绘函数图形的一般步骤描绘函数图形的一般步骤 1 确定函数定义域及不连续点确定函数定义域及不连续点,求出函数在求出函数在x轴和轴和y轴上的截距轴上的截距 2 求出函数的一阶二阶导数及他们为零的根；找出使一阶二阶求出函数的一阶二阶导数及他们为零的根；找出使一阶二阶导数不存在的点；计算上述根与点的函数值导数不存在的点；计算上述根与点的函数值 3 根据根据2中的根与点把定义域分为几个区间，列成一表中的根与点把定义域分为几个区间，列成一表 4 判断判断 及及 的符号，由此确定函数图形的升的符号，由此确定函数图形的升降、凹凸、极值及拐点降、凹凸、极值及拐点 5 确定函数渐近线确定函数渐近线 6 根据表中所列函数的特殊点、升降、凹凸等有关特性，适当根据表中所列函数的特殊点、升降、凹凸等有关特性，适当补充一些点，然后用描点法把这些点连接成光滑曲线补充一些点，然后用描点法把这些点连接成光滑曲线2.4.5*几个医学常用图形的描绘描绘函数图形的一般步骤107一、正态分布曲线一、正态分布曲线一、正态分布曲线108一、正态分布曲线一、正态分布曲线(4)列表列表减减上凹上凹拐点拐点减减上凸上凸极大极大值值增增上凸上凸拐点拐点增增 上凹上凹+0-0+-0+一、正态分布曲线(4)列表减拐点减极大值增拐点增+0-109一、正态分布曲线一、正态分布曲线(5)根究列表画出图象根究列表画出图象一、正态分布曲线(5)根究列表画出图象110二、逻辑斯谛曲线二、逻辑斯谛曲线以下画出它的大致图形以下画出它的大致图形二、逻辑斯谛曲线以下画出它的大致图形111二、逻辑斯谛曲线二、逻辑斯谛曲线二、逻辑斯谛曲线112(5)根据根据(1)(4)画图画图 二、逻辑斯谛曲线二、逻辑斯谛曲线(5)根据(1)(4)画图 二、逻辑斯谛曲线113三、贡柏茨曲线三、贡柏茨曲线贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为其表达式为三、贡柏茨曲线贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为114三、贡柏茨曲线三、贡柏茨曲线贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为其表达式为正函数正函数 上凸上凸拐点拐点正函数正函数 上凹上凹-0+三、贡柏茨曲线贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为正函115三、贡柏茨曲线三、贡柏茨曲线贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为其表达式为(5)画图画图 三、贡柏茨曲线贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为(5116