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二项式定理基础知识基础知识二项式定理基础知识1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 研究(a+b)n的展开式n1.在在n=1,2,3,4时，研究时，研究(a+b)n的展开式的展开式.(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=？n2.规律规律:(1)展开式各项次数有什么特点？展开式各项次数有什么特点？(2)展开式各项系数有什么特点？展开式各项系数有什么特点？n n次齐次式次齐次式次齐次式次齐次式a a降次，降次，降次，降次，b b升次升次升次升次(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 1研究(2 2如何求(a+b)n的展开式(ab)2 (a b)(a b)a22abb2(ab)3(ab)(ab)(ab)a33a2b3ab2b3共有四项a3 :a2b:同理，同理，ab2 有有 个；个；b3 有有 个；个；每个括号都不取每个括号都不取b的情况有一种，即的情况有一种，即 种，种，相当于有一个括号中取相当于有一个括号中取b的情况有的情况有 种，种，所以所以a2b的系数是的系数是 所以所以a3的系数是的系数是共有三项如何求(a+b)n的展开式(ab)2 (a b 3 3)ba)(ba)(ba)(ba()ba(4+=+432234babbabaa（）（）（）（）（）+=44433422243144044bCabCbaCbaCaC)ba(+=+如何求(a+b)n的展开式n4.一般地，一般地，(a+b)n=?n3.二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理(1)每一项的系数每一项的系数(k=0,1,2,n)叫做该项的叫做该项的二项式系数二项式系数二项式系数二项式系数(2)叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项通项通项，表示第表示第k+1项项,记作记作T Tk k+1+1(ab)n的的二项展开式二项展开式二项展开式二项展开式,共有共有n n+1+1项项(3)若取若取a=1,b=x则得一个重要公式：则得一个重要公式：)ba)(ba)(ba)(ba()ba(4+=+4324 41、二项式系数规律、二项式系数规律2、指数规律、指数规律（1）各项的次数均为）各项的次数均为n；（2）字母）字母 a 的次数由的次数由n降到降到0，字母字母 b 的次数由的次数由0升到升到n.3、项数规律、项数规律二项展开式共有二项展开式共有n+1项项4、通项公式、通项公式二项式定理规律1、二项式系数规律2、指数规律（1）各项的次数均为n；3、项5 5二项式定理简单运用1、区别“二项式系数”与“系数”2、第k项不是Cnkan-kbk3、一般解题先研究通项完成课本完成课本31页练习页练习二项式定理简单运用1、区别“二项式系数”与“系数”完成课本36 6二项式定理“杨辉三角形杨辉三角形”与二项式系数的性质与二项式系数的性质二项式定理“杨辉三角形”与二项式系数的性质7 7引例：从排列组合“定序”问题说起n如图某城市中如图某城市中P，Q两地有整两地有整齐的矩形道路网，从齐的矩形道路网，从Q地到地到P地共有多少种最近的走法？地共有多少种最近的走法？QPn可以推出可以推出Q到每一个节点到每一个节点的步数，如图所示，你发的步数，如图所示，你发现了什么规律？现了什么规律？引例：从排列组合“定序”问题说起如图某城市中P，Q两地有整齐8 8杨辉三角形n=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6杨辉三角形n=0n=1n=2n=3n=4n=5n=69 9伟大的数学家n杨辉，字谦光，钱塘杨辉，字谦光，钱塘(今杭州今杭州)人，中国古代数学家和数学人，中国古代数学家和数学教育家。由现存文献可推知，教育家。由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共杭一带，他署名的数学书共五种二十一卷。他是世界上五种二十一卷。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。讨论其构成规律的数学家。与秦九韶、李治、朱世杰并与秦九韶、李治、朱世杰并趁称宋元数学四大家。趁称宋元数学四大家。伟大的数学家杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，中国古代数学家和1010治学品质n杨辉出游，遇童阻道，使人问之，乃知其遇难而不得杨辉出游，遇童阻道，使人问之，乃知其遇难而不得解，辉奇之，细问。小童乃东村破烂王之子，家境贫解，辉奇之，细问。小童乃东村破烂王之子，家境贫寒，无上学之资，虽则聪慧终未能入室听诲，唯偷听寒，无上学之资，虽则聪慧终未能入室听诲，唯偷听于墙角。师每出题，童必求当日解决，不留问题到天于墙角。师每出题，童必求当日解决，不留问题到天明。然此日师出一题，小童深感棘手，于是忘情之处明。然此日师出一题，小童深感棘手，于是忘情之处于道中演练，为防异处而忘，故坚不让道。于道中演练，为防异处而忘，故坚不让道。n辉愈奇，问其题，乃大戴礼书中所载之九宫图：辉愈奇，问其题，乃大戴礼书中所载之九宫图：1-9个数字，放在个数字，放在3*3的表格中，要求横竖斜之和相等。的表格中，要求横竖斜之和相等。辉趣之，与童共演之，时至正午方毕。辉趣之，与童共演之，时至正午方毕。辉感其童向学辉感其童向学之心，亦惑其师。翌日，资童拜其师，与其师共餐一之心，亦惑其师。翌日，资童拜其师，与其师共餐一顿，相谈甚欢。归，虑思良久，终想出一般方法，并顿，相谈甚欢。归，虑思良久，终想出一般方法，并推广至推广至16宫，并宫，并N宫图，易数图、衍数图等。后杨辉把宫图，易数图、衍数图等。后杨辉把这些图总称为纵横图，收于数学著作续古摘奇算法这些图总称为纵横图，收于数学著作续古摘奇算法中，流传于世。在现代组合学，计算机科学中有着中，流传于世。在现代组合学，计算机科学中有着重要应用。重要应用。治学品质杨辉出游，遇童阻道，使人问之，乃知其遇难而不得解，辉1111由杨辉三角形研究二项式系数的性质定义域定义域0,1,2,n 当当n=6时时,其图象是其图象是7个孤立点个孤立点61420O63r f(r)n问题：观察杨辉三角形，你能发问题：观察杨辉三角形，你能发现二项式系数的哪些性质？现二项式系数的哪些性质？由杨辉三角形研究二项式系数的性质定义域0,1,2,1212二项式系数的性质n1.对称性：在二项展开式中，与首末两对称性：在二项展开式中，与首末两端端“等距离等距离”的两项的二项式系数相等的两项的二项式系数相等.图象的对称轴图象的对称轴：n在相邻的两行中，除在相邻的两行中，除1外的每一个外的每一个数都等于它数都等于它“肩上肩上”两个数的和两个数的和.二项式系数的性质1.对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距1313二项式系数的性质n2.增减性与最大值：增减性与最大值：二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大值取得最大值 ；当当n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 ，相等，且相等，且同时取得最大值。同时取得最大值。实质：数列的单调性与数列的最大项问题二项式系数的性质2.增减性与最大值：1414二项式系数的性质n3.各二项式系数的和各二项式系数的和 n4.在奇数项的二项式系数的和等在奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即于偶数项的二项式系数的和，即 这就是说，这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：的展开式的各二项式系数的和等于：重要方法：赋值法二项式系数的性质3.各二项式系数的和 4.在奇数项的二项式系1515更多探究n从杨辉三角中一个确定的数的从杨辉三角中一个确定的数的“左左（右）肩（右）肩”出发，出发，向右（左）上方向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和有何特征？射线上的各数的和有何特征？（第（第r+1条斜线）条斜线）n如图，写出斜线上各行数字的和，发如图，写出斜线上各行数字的和，发现有什么规律？现有什么规律？1，1，2，3，5，8，13，21,著名的斐波那契数列著名的斐波那契数列更多探究从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩”出发，1616二项式定理分类习题研究分类习题研究二项式定理分类习题研究1717二项式定理的逆向使用问题二项式定理的逆向使用问题1818二项展开式指定项的系数问题 区分三个概念：区分三个概念：区分三个概念：区分三个概念：项项项项、项的、项的、项的、项的系数系数系数系数、项的、项的、项的、项的二项式系数二项式系数二项式系数二项式系数；二项展开式指定项的系数问题 区分三个概念：项、项的系数1919二项展开式的特定项问题二项展开式的特定项问题2020三项式、多项式问题 多项式问题的方法多项式问题的方法多项式问题的方法多项式问题的方法:转化为二项式来展开；转化为二项式来展开；转化为二项式来展开；转化为二项式来展开；利用多项式的乘法法则展开；利用多项式的乘法法则展开；利用多项式的乘法法则展开；利用多项式的乘法法则展开；对多项式先变形化简，再展开；对多项式先变形化简，再展开；对多项式先变形化简，再展开；对多项式先变形化简，再展开；利用加法原理和乘法原理来求指定项的系数利用加法原理和乘法原理来求指定项的系数利用加法原理和乘法原理来求指定项的系数利用加法原理和乘法原理来求指定项的系数.三项式、多项式问题 多项式问题的方法:转化为二项式2121探究n对于一个立体网络图路径最佳个数怎么找？如何对于一个立体网络图路径最佳个数怎么找？如何进行抽象？进行抽象？n进一步，进一步，(x+y+z)6展开式中展开式中x3y2z的系数是多少？的系数是多少？n(2x+y+3z)6展开式中展开式中x3y2z的系数是多少？的系数是多少？探究对于一个立体网络图路径最佳个数怎么找？如何进行抽象？进一2222展开式的系数和问题展开式的系数和问题2323展开式的系数和问题展开式的系数和问题2424展开式系数最大项的问题求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，质，质，质，n n为奇数时中间两项，为奇数时中间两项，为奇数时中间两项，为奇数时中间两项，n n为偶数时中间一项为偶数时中间一项为偶数时中间一项为偶数时中间一项.设设设设T Tk k+1+1的系数为的系数为的系数为的系数为A Ak k+1+1，求系数最大的项，可通过，求系数最大的项，可通过，求系数最大的项，可通过，求系数最大的项，可通过解不等式组解不等式组解不等式组解不等式组A Ak k+1+1AAk k且且且且A Ak k+1+1AAk+2k+2求得求得求得求得.展开式系数最大项的问题求二项式系数最大的项，根据二项式系数2525近似计算、整除及余数问题利用二项式定理证明整除问题，关键是将所给利用二项式定理证明整除问题，关键是将所给利用二项式定理证明整除问题，关键是将所给利用二项式定理证明整除问题，关键是将所给多项式通过恒等变形为二项式形式，使其展开后多项式通过恒等变形为二项式形式，使其展开后多项式通过恒等变形为二项式形式，使其展开后多项式通过恒等变形为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式的各项均含有除式的各项均含有除式的各项均含有除式(除数除数除数除数).).利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度.近似计算、整除及余数问题利用二项式定理证明整除问题，关键是2626证明与不等式放缩问题用二项式定理进行放缩证明不等式的常见方法：用二项式定理进行放缩证明不等式的常见方法：用二项式定理进行放缩证明不等式的常见方法：用二项式定理进行放缩证明不等式的常见方法：(1)(1)保留前面若干项或保留前后对称的若干项；保留前面若干项或保留前后对称的若干项；保留前面若干项或保留前后对称的若干项；保留前面若干项或保留前后对称的若干项；(2)(2)对通项进行放缩，再利用数列求和的知识对通项进行放缩，再利用数列求和的知识对通项进行放缩，再利用数列求和的知识对通项进行放缩，再利用数列求和的知识.证明与不等式放缩问题用二项式定理进行放缩证明不等式的常见方2727的基本撒即可都不恐怖方式打发第三方士大夫阿萨德按时风高放火 发给发的格式的广东省都是方式方式方式度过度过发的发的的基本撒即可都不恐怖方式打发第三方士大夫阿萨德按时风高放火 28OK的十分肯定会说不够开放的时间快发红包国剧盛典冠军飞将啊所发生的方便的科级干部看电视吧高科技的设备科技发布十多年开放男可视对讲你疯了放到疯狂，饭，看过你的飞，给你，地方干部，密保卡价格不好看积分班上课的积分把控时代峻峰不看电视OK的十分肯定会说不够开放的时间快发红包国剧盛典冠军飞将啊所29
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