弹性力学第二章习题课教材课件

例题2例题3例题4例题7例题5例题6第二章第二章 习题课习题课例题1例1 试列出图中的边界条件。MFyxl h/2 h/2q(a)第二章第二章 习题课习题课解解:(a)在主要边界在主要边界 应精确满足下列应精确满足下列边界条件：边界条件：第二章第二章 习题课习题课在小边界在小边界x=0应用圣维南原理，列出三个积应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚分的近似边界条件，当板厚 时，时，第二章第二章 习题课习题课在小边界在小边界x=l，当平衡微分方程和其它各边，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，三个积分的边界界条件都已满足的条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。条件必然满足，可以不必校核。第二章第二章 习题课习题课(b)在主要边界x=0,b，应精确满足下列边界条件：FOxyqh(b)b/2 b/2第二章第二章 习题课习题课 在小边界在小边界y=0，列出三个积分的边界条列出三个积分的边界条件，当板厚件，当板厚 时，时，第二章第二章 习题课习题课 注意在列力矩的条件时两边均是对原点注意在列力矩的条件时两边均是对原点o 的力矩来计算的。的力矩来计算的。对于对于y=h的小边界可以不必校核。的小边界可以不必校核。第二章第二章 习题课习题课例例2 2 厚度厚度 的悬臂梁，受一端的集中力的悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是的作用。已求得其位移的解答是 试检查此组位移是否是图示问题的解答。试检查此组位移是否是图示问题的解答。第二章第二章 习题课习题课 h/2 h/2AxylFO第二章第二章 习题课习题课解：解：此组位移解答若为图示问题的解答，此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件则应满足下列条件:(1)(1)区域内用位移表示的平衡微分方程区域内用位移表示的平衡微分方程 (书中式书中式2 21818）;第二章第二章 习题课习题课（2 2）应力边界条件（书中式）应力边界条件（书中式2 21919），在），在 所有受面力的边界所有受面力的边界 上。其中在小边上。其中在小边 界上可以应用圣维南原理，用三个积界上可以应用圣维南原理，用三个积 分的边界条件来代替。分的边界条件来代替。（3 3）位移边界条件（书中式）位移边界条件（书中式2 21414）。本）。本 题在题在x=l的小边界上，已考虑利用圣的小边界上，已考虑利用圣 维南原理，使三个积分的应力边界条维南原理，使三个积分的应力边界条 件已经满足。件已经满足。第二章第二章 习题课习题课 因此，只需校核下列三个刚体的因此，只需校核下列三个刚体的约束条件：约束条件：A A点（点（x=l及及y=0），），读者可校核这组位移是否满足上述条读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。件，如满足，则是该问题之解。第二章第二章 习题课习题课例例3 3 试考虑下列平面问题的应变分量是否可试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在能存在第二章第二章 习题课习题课解：解：应变分量存在的必要条件是满足形变应变分量存在的必要条件是满足形变 相容条件，即相容条件，即 （a a）相容；相容；（b b）须满足须满足B=0,2A=C ；（c c）不相容。只有不相容。只有C=0，则则第二章第二章 习题课习题课例例4 4 在无体力情况下，试考虑下列应力分在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：量是否可能在弹性体中存在：第二章第二章 习题课习题课解解：弹性体中的应力，在单连体中必须：弹性体中的应力，在单连体中必须 满足：满足：（1 1）平衡微分方程；）平衡微分方程；（2 2）相容方程；）相容方程；（3 3）应力边界条件（当）应力边界条件（当 ）。）。第二章第二章 习题课习题课（a a）此组应力满足相容方程。为了满足此组应力满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须平衡微分方程，必须A=-F,D=-EA=-F,D=-E 此外，还应满足应力边界条件。此外，还应满足应力边界条件。（b b）为了满足相容方程，其系数必须满为了满足相容方程，其系数必须满足足 A A+B B=0=0。为了满足平衡微分方程，其系数必须满为了满足平衡微分方程，其系数必须满足足 A A=B B=-=-C C/2/2。上两式是矛盾的，因此此组应力分量不可上两式是矛盾的，因此此组应力分量不可能存在。能存在。第二章第二章 习题课习题课例例5 5 若若 是平面调和函数，即满足拉是平面调和函数，即满足拉普普 拉斯方程拉斯方程 试证明函数试证明函数 都满足重调和方程，因都满足重调和方程，因 而都可以作为而都可以作为应力函数使用。应力函数使用。第二章第二章 习题课习题课解：解：上述函数作为应力函数，均能满足相上述函数作为应力函数，均能满足相 容方程（重调和方程），容方程（重调和方程），第二章第二章 习题课习题课例例6 6 图中的梁，受到如图所示的荷载的作图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，用，试用下列应力表达式求解其应力，(a)第二章第二章 习题课习题课xyloqql h/2 h/2第二章第二章 习题课习题课解：解：本题是按应力求解的，在应力法中，本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足应力分量在单连体中必须满足（1）平衡微分方程；）平衡微分方程；（2）相容方程）相容方程 ;（3）应力边界条件（在）应力边界条件（在 上）。上）。将应力分量（将应力分量（a）代入平衡微分方程和代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。相容方程，两者都能满足。第二章第二章 习题课习题课再校核边界条件，在主要边界上，再校核边界条件，在主要边界上，第二章第二章 习题课习题课第二章第二章 习题课习题课再将式（再将式（b）表达式代入次要边界条件，表达式代入次要边界条件，第二章第二章 习题课习题课第二章第二章 习题课习题课 由此可见，在次要边界上的积分边界由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（条件均能满足。因此，式（b）是图示是图示问题之解。问题之解。第二章第二章 习题课习题课 q(x)xylo h/2 h/2例例7 7 在材料力学中，当矩形截面梁（度在材料力学中，当矩形截面梁（度 ）受任意的横向受任意的横向荷载荷载q(x)作用作用而弯曲时，弯而弯曲时，弯曲应力公式为曲应力公式为第二章第二章 习题课习题课（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出试由平衡微分方程（不计体力）导出切应力切应力 和挤压应力和挤压应力 的公式。的公式。（提示：注意关系式（提示：注意关系式积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。）条件来确定。）第二章第二章 习题课习题课（b）当当q为常数时，试检验应力分量是否为常数时，试检验应力分量是否 满足相容方程，试在满足相容方程，试在 中加上一项对平衡中加上一项对平衡没有影响的函数没有影响的函数f(y)，再由相容方程确定再由相容方程确定f(y),并校核梁的左右边界条件。并校核梁的左右边界条件。第二章第二章 习题课习题课解：本题引用材料力学的弯应力解：本题引用材料力学的弯应力 的解，的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足解。应力分量必须满足 （1 1）平衡微分方程；）平衡微分方程；（2 2）相容方程；）相容方程；（3 3）应力边界条件（在）应力边界条件（在 上）。上）。第二章第二章 习题课习题课（a）不计体力，将不计体力，将 代入平衡微代入平衡微 分方程第一式，分方程第一式，得得:两边对两边对y积分，得积分，得第二章第二章 习题课习题课再由上下的边界条件再由上下的边界条件将将 代入平衡微分方程的第二式代入平衡微分方程的第二式,第二章第二章 习题课习题课对对y积分，得积分，得 得得由上下的边界条件，由上下的边界条件，第二章第二章 习题课习题课由此得由此得 上述解答上述解答 及式及式(c),(),(d)已经满足平衡已经满足平衡微分方程及微分方程及 的边界条件；但一般不的边界条件；但一般不满足相容方程，且尚未校核左右端的小边界满足相容方程，且尚未校核左右端的小边界条件。条件。第二章第二章 习题课习题课（b）若若q为为常数，则常数，则 ，得，得 代入相容方程，代入相容方程，为了满足相容方程，为了满足相容方程，第二章第二章 习题课习题课 此式此式 和式（和式（c）、（）、（d）的一组应力的一组应力分分量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方程，得程，得积分得积分得第二章第二章 习题课习题课由次要边界条件由次要边界条件由此得由此得第二章第二章 习题课习题课 可检测，式（可检测，式（c）、（）、（d）、（）、（e）的的一组应力已满足无体力，且一组应力已满足无体力，且q为常数情况为常数情况下的平衡微分方程，相容方程，和应力边下的平衡微分方程，相容方程，和应力边界条件（在界条件（在x=0,l小边界上的剪力即为小边界上的剪力即为 的主矢量的主矢量 ），因而是该问题之解。），因而是该问题之解。第二章第二章 习题课习题课