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离散型随机变量及其分布列1 如果随机如果随机试验的的结果可以用一个果可以用一个变量来表示，量来表示，那么那么这样的的变量叫做量叫做随机随机变量量随机随机变量常用量常用希腊字母希腊字母、等表示等表示、随机、随机变量：量：随机随机变量将随机事件的量将随机事件的结果果数量化数量化问题问题:某人射击一次，可能出现哪些结果？某人射击一次，可能出现哪些结果？若设射击命中的环数为若设射击命中的环数为，表示命中环，表示命中环；1，表示命中环表示命中环；10，表示命中表示命中10环环；可取，可取，1，2，10.则则是一个随机变量是一个随机变量.的值可一一列举出的值可一一列举出来。来。一，离散型随机一，离散型随机变量量 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这2对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做出，这样的随机变量叫做离散型随机变量离散型随机变量 、离散型随机变量：、离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随33、若若是随机变量，则是随机变量，则=a+b（其中（其中a、b是常是常数）也是随机变量数）也是随机变量、随机变量分为离散型随机变量和连随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。续型随机变量。1、随机变量将随机事件的结果、随机变量将随机事件的结果数量化数量化注意：注意：3、若是随机变量，则=a+b（其中a、b是常数）也是随4二、离散型随机二、离散型随机变量的分布列量的分布列x1x2xnpp1p2pn称为随机变量称为随机变量的概率分布，简称的概率分布，简称的分布列。的分布列。则表则表取每一个值取每一个值 的概率的概率 设离散型随机变量设离散型随机变量可能取的值为可能取的值为1、概率分布（分布列）、概率分布（分布列）二、离散型随机变量的分布列x1x2xnpp1p2pn称5离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：一般地，离散型随机变量在某一范围内的概一般地，离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。率等于它取这个范围内各个值的概率之和。例例1、某一射手射击所得环数的分布列如下：、某一射手射击所得环数的分布列如下：45678910p0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22求此射手求此射手“射击一次命中环数射击一次命中环数7 7”的概的概率率离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：一般地，离6练习练习1 1、随机变量、随机变量的分布列为的分布列为求常数求常数a。解：由解：由离散型随机变量的分布列的性质有离散型随机变量的分布列的性质有解得：解得：（舍）或（舍）或-10123p0.16a/10a2a/50.3练习1、随机变量的分布列为求常数a。解：由离散型随机变量的7练习练习2 2：一个口袋里有：一个口袋里有5 5只球只球,编号为编号为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,在袋中在袋中同时取出同时取出3 3只只,以以表示取出的表示取出的3 3个球中的最小号码个球中的最小号码,试试写出写出的分布列的分布列.解解:随机变量随机变量的可取值为的可取值为 1,2,3.1,2,3.当当=1=1时时,即取出的三只球中的最小号码为即取出的三只球中的最小号码为1,1,则其它则其它两只球只能在编号为两只球只能在编号为2,3,4,52,3,4,5的四只球中任取两只的四只球中任取两只,故故有有P(P(=1)=3/5;=1)=3/5;同理可得同理可得P(P(=2)=3/10;P(=2)=3/10;P(=3)=1/10.=3)=1/10.因此因此,的分布列如下表所示的分布列如下表所示 1 2 3 p 3/5 3/10 1/10检验检验p1+p2+=1练习2：一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中801knp我们称这样的随机变量我们称这样的随机变量服从二项分布，记服从二项分布，记作作 ,其中其中n，p为参数为参数 如果在一次试验中某事件发生的概率是如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是多少次的概率是多少？在这个试验中，随机变量是什么？在这个试验中，随机变量是什么？2、二项分布、二项分布其中其中k=0,1,n.p=1-q.于是得到随机变量于是得到随机变量的概率分布如下：的概率分布如下：01knp我们称这样的随机变量服从二项分布，记作9三，数学期望的定义三，数学期望的定义1)一般地，随机变量一般地，随机变量 的概率分布为的概率分布为则称则称为为 的的数学期望数学期望或平均数、均值，简称为或平均数、均值，简称为期望期望。注：注：数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平三，数学期望的定义1)一般地，随机变量 的概率分布为则称102)随机变量随机变量 （a、b为常数）为常数）的期望的期望2)随机变量 （a、b为常数）的期望11若离散型随机变量的分布列为若离散型随机变量的分布列为Px1P1P2x2x nPnD =（x1-E)2P1+（x2-E)2P2 +（xn-E)2Pn=E2-(E)2叫随机变量叫随机变量的的方差方差。、标准差与随机变量的、标准差与随机变量的单位相同单位相同；、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动稳定与波动，集中与分散集中与分散的程度。的程度。、D 的算术平方根的算术平方根D随机变量随机变量的的标准差标准差注注四，离散型随机变量的方差四，离散型随机变量的方差若离散型随机变量的分布列为Px1P1P2x2x nPn12满足线性关系的离散型随机变量的方差满足线性关系的离散型随机变量的方差D（a+b）=a2D服从二项分布的随机变量的期望、方差服从二项分布的随机变量的期望、方差设设 B（n,p），则），则E=np,D=npq，q=1-p满足线性关系的离散型随机变量的方差D（a+b）=a2130120121415例例3.某突发事件，在不采取任何预防措施的情况某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成，一旦发生，将造成400万万元损失。现有甲，乙两种相互独立的预防措施可元损失。现有甲，乙两种相互独立的预防措施可供使用。单独采用甲，乙预防措施所需的费用分供使用。单独采用甲，乙预防措施所需的费用分别为别为45万元和万元和30万元，采用的相应预防措施后万元，采用的相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为此突发事件不发生的概率分别为0.9和和0.85.若预若预防方案允许甲，乙两种预防措施单独采用、联合防方案允许甲，乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少。采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少。（总费用（总费用=采取预防措施的费用采取预防措施的费用+发生突发事件发生突发事件损失的期望值）损失的期望值）例3.某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为016
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