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一、截面的几何特性一、截面的几何特性v静矩OxydAxyCxcycv形心例如，扇形的形心计算如下RR1、静矩和形心v组合图形的形心组合图形的形心101060 40A1A2101060 40A1A2xyxy面积划分为分割法和负面积法。面积划分为分割法和负面积法。示例，图示示例，图示L型图形型图形1、静矩和形心v惯性矩OxydAxyhbxydyyx1例如，矩形截面v极惯性矩2、惯性矩、惯性积v惯性积例如，矩形截面的极惯性矩又如，圆形截面的惯性矩(x,y)(-x,y)若截面有一对称轴，则该截面对于该对称轴和另一与之垂直轴的惯性积为零v组合截面hbxyd例如，图示截面2、惯性矩、惯性积OxyxyCabxCyC坐标转换惯性矩由于hbxx1例如矩形截面3、平行移轴公式、平行移轴公式示例：T型截面。求形心轴惯性矩1503015030A1A21、求形心位置yzyCzCzC145zC2452、求惯性矩3、平行移轴公式、平行移轴公式二、弯曲概念二、弯曲概念v平面弯曲平面弯曲：1、截面具有一个对称轴矩形T型花篮型2、荷载作用在对称面内y对称面弯曲后梁轴线仍在对称面内。弯曲受力特点:作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线 变形特点:使原为直线的轴线变为曲线Fv工程应用吊车火车轴车刀v单跨静定梁支座反力和位移条件BA简支梁yA=0,yB=0BA外伸梁yA=0,yB=0BA悬臂梁yA=0,A=0v思路弯曲内力弯曲应力弯曲变形弯曲强度弯曲刚度截面的几何特性三、剪力和弯矩三、剪力和弯矩Q称为剪力，M称为弯矩。剪力符号：使脱离体有顺时针方向的趋势为正。弯矩符号：使脱离体的弯曲变形凹向上为正+-+-一般情况下，须先计算梁的支座反力，在从待求内力截面出切开，取脱离体，利用平衡关系求解内力。BAPRBRAQ QMMPRAQ QMMRB左上右下左下右上左顺右逆左逆右顺用内力截面法求梁的剪力和弯矩。aY=0,-Q+RA=0Q=RAm1=0,M-RAa=0M=RAa1-1示例：简支梁。求截面1-1的剪力和弯矩。1)支反力mA=0,RB6-20 2-40 4=0RB=33.3kNY=0,RA+RB-20-40=0RA=26.7kN2)截面内力Y=0,-Q+26.7-20=0Q1=6.7kNm1=0,M-26.73+20 1=0M1=60kNmQ QMM20kN20kN40kN40kN2m2m2m2m 2m2mR RA AR RB B1m1m20kN20kN26.7kN26.7kNP PaaPaCABv示例：悬臂梁。求截面1-1、2-2的剪力和弯矩。v1)截面1-1vm1=0,M1+Pa=0vM1=-PavY=0,-Q1-P=0vQ1=-Pv2)截面2-2vY=0,-Q2-P=0vQ2=-Pv m2=0,M2+Pa-Pa=0vM2=01122P PQ Q1 1MM1 1P PQ Q2 2MM2 2Pa截面1-1：Y=0 Q1=4-24=-4kNm1=0 M1=44-242=0截面2-2：Y=0 Q2=4kNm2=0 M2=-44=-16kNmq=2kN/mq=2kN/m4m4m4m4m4m4mq=2kN/mq=2kN/mP=4kNP=4kNR RA=A=4kN4kNR RB B=8kN=8kNR RA=A=4kN4kNq=2kN/mq=2kN/m1 11 12 2Q Q1 1MM1 12 2P=4kNP=4kNMM2 2Q Q2 2P=4kNP=4kN示例2：外伸梁如右图，求j截面1-1、截面2-2和截面3-3的剪力和弯矩。1、求支反力2、求内力3 33 3MM3 3Q Q3 3P=4kNP=4kNR RB B=8kN=8kNv截面3-3：vY=0 vQ3=-8+4=-4kNvm3=0 vM3=-44=-16kNm剪力剪力:所求截面一侧所有力的所求截面一侧所有力的代数和代数和弯矩弯矩:所求截面一侧所有力对所求截面一侧所有力对所求截面形心力矩的代数和所求截面形心力矩的代数和四、剪力图、弯矩图四、剪力图、弯矩图v剪力方程、弯矩方程 Q=Q(x)、M=M(x)v剪力图：正号剪力画在上侧v弯矩图：正号弯矩画在下侧P Px xl lP P-Q Q图图PlPl-MM图图Q(x)Q(x)M(x)M(x)P P剪力方程：Q(x)=-P (0 xl)示例1：悬臂梁受集中力注意：弯矩图画在凸侧、受拉侧，该侧配纵向受力钢筋。弯矩方程：M(x)=-Px (0 xl)示例2：悬臂梁受均布荷载q qx xl lQ(x)Q(x)M(x)M(x)剪力方程：Q(x)=-qx (0 xl)弯矩方程：M(x)=-qx2/2 (0 xl)Q Q图图qlql-MM图图-示例3：简支梁受均布荷载作剪力图和弯矩图支反力：RA=ql/2,RB=ql/2剪力方程：Q(x)=ql/2-qx (0 xl)弯矩方程：M(x)=qxl/2-qx2/2(0 xl)注意：分布荷载为均布荷载的区段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；跨中剪力为零，弯矩达到极大。q ql lx xR RA AR RB BQ(x)Q(x)M(x)M(x)R RA AQ Q图图ql/2ql/2ql/2ql/2MM图图qlql2 2/8/8支反力：RA=Pb/l,RB=Pa/l剪力方程和弯矩方程AC段：Q(x)=Pb/l (0 xa)M(x)=Pbx/l (0 xa)CB段：Q(x)=Pb/l-P (axl)M(x)=Pbx/l-P(x-a)(axl)a aP Pl lx xR RA AR RB BQ(x)Q(x)M(x)M(x)R RA Ab bQ(x)Q(x)M(x)M(x)R RA AP P示例4：简支梁受集中力Q Q图图-+Pb/lPb/lPa/lPa/lMM图图Pab/lPab/l支反力：RA=-m/l,RB=m/l剪力方程和弯矩方程AC段：Q(x)=-m/l (0 xa)M(x)=-mx/l (0 xa)CB段：Q(x)=-m/l (axl)M(x)=-mx/l+m(axl)a amml lx xR RA AR RB BQ(x)Q(x)M(x)M(x)R RA Ab bQ(x)Q(x)M(x)M(x)R RA A示例4：简支梁受集中力偶Q Q图图-m/lm/lMM图图mb/lmb/lma/lma/lmm 例例 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：解：1.求支座约束力 可利用平衡方程 对所求约束力进行校核。(a)xBAl/2l/2CqFAFB2.建立剪力方程和弯矩方程 AC段：CB段：(a)xBAl/2l/2CqFAFB3求控制截面内力，绘FS,M图 FS图：AC段内 剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值即可CB段内 剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值连一水平线即为该段剪力图。(a)xBAl/2l/2Cq(b)FSx38 l18 ql38 qlM图：AC段内 弯矩方程是x的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，需求出两个端截面的弯矩。需判断顶点位置，该处弯矩取得极值。(a)xBAl/2l/2Cq(b)FSx38 l18 ql38 ql(c)Mx9128ql2116ql2五、荷载、剪力和弯矩之间的关系五、荷载、剪力和弯矩之间的关系v荷载、剪力和弯矩之间的关系BAq(x)QMQ+dQM+dMdx1.剪力图上某点的切线斜率等于梁上相应点的荷载集度；2.弯矩图上某点的切线斜率等于剪力图上相应点的剪力值。dxxv剪力图、弯矩图规律1、q(x)=0,Q为常数，M为一次函数+-Q0Q0q0Q递增Q递减M下凹M上凸3、集中力P，Q突变，突变值为P，M转折QMPP4、集中力偶m，M突变，突变值为m，Q 不变MQmmv简易法1.求支座反力2.求控制截面的内力3.利用荷载、剪力和弯矩之间的关系作图2kN/m2kN/m3kN3kN示例4-1：悬臂梁CAB2m2m求支座反力MCRC求控制截面的内力3kN3kNMBQBQ3kN-7kN-M6kNm16kNm示例4-2：简支梁BAq qCa2aqa2求支座反力RARB求控制截面的内力C右截面MC右QC右RBMC左QC左RBqa2C左截面Q(qa)1/35/3-+5/3aM(qa2)25/184/31/3示例4-3：外伸梁BAq qCa2aqa求支座反力RARB求控制截面的内力B右截面MB右QB右MB左QB左RBC左截面Q(qa)3/21/2-+1/2aM(qa2)1/81qaqa1已知：图中梁的约束力为思考：思考：试指出图示梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。正确答案：(a)图中梁的约束力为正确答案：(c)
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