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第二十四章圆24.3正多边形和圆第二十四章 圆24.3 正多边形和圆1第二十四章圆24.3正多边形和圆考场对接第二十四章 圆24.3 正多边形和圆考场对接 2题型一圆内接正多边形的判断考场对接例例题1 已知：如已知：如图24-3-6,ABC是是 O的内接等腰的内接等腰 三角形三角形,顶角角BAC=36,弦弦BD,CE分分别平分平分ABC,ACB.求求证：五：五边形形AEBCD是是正正 五五边形形 分析分析 要证明五边形要证明五边形AEBCD是正五边形是正五边形,就就 是证是证明这个五边形的五条边所对的劣弧相等明这个五边形的五条边所对的劣弧相等 题型一 圆内接正多边形的判断考场对接 例题1 已知：如3证明证明 AB=AC,ABC=ACB.又又BAC=36,ABC=ACB=72.又又BD,CE分别平分分别平分ABC,ACB,BAC=BCE=ACE=ABD=DBC=36,BC=BE=AE=DA=CD,五边形五边形AEBCD是正五边形是正五边形证明 AB=AC,ABC=ACB.4锦囊妙计证明一个明一个圆内接多内接多边形是正多形是正多边形的两种方法形的两种方法 (1)证明明圆内接多内接多边形的每个内角相等形的每个内角相等,每每 条条边也相等也相等,二者二者缺一不可缺一不可.(2)证明明圆内接多内接多边形的各形的各边所所对的劣弧相等的劣弧相等.技巧：当技巧：当边数数是奇数是奇数时,各个内角相等的各个内角相等的 圆内接多内接多边形是正多形是正多边形形.锦囊妙计5题型二正多边形的有关计算例例题2 有一有一边长为6的正的正n边形形,它的一个内它的一个内 角角为120,则其半径其半径为().A12B6C4 D6B分析分析 因为正多边形的内角是因为正多边形的内角是120,所以该所以该 正多边形是正六边形正多边形是正六边形.又因为该正又因为该正六边形的边长为六边形的边长为 6,正六边形的半径等于边长正六边形的半径等于边长,所以正所以正 六边形的半径为六边形的半径为6.题型二 正多边形的有关计算例题2 有一边长为6的正n边6锦囊妙计正多正多边形的相关形的相关计算技巧算技巧 (1)正正n边形的半径、中心到一形的半径、中心到一边的垂的垂线 段、段、边的一半构成一的一半构成一个直角三角形个直角三角形.有关正有关正n边 形的形的计算算问题都可以都可以转化化为直角三直角三角形的角形的问题,常作半径、常作半径、边心距构造直角三角形心距构造直角三角形.(2)正六正六边 形形的的边长等于它的半径等于它的半径,正三角形的正三角形的边长等于它的半径的等于它的半径的 倍倍,正方形的正方形的边长等于它的半径等于它的半径 的的 倍倍.锦囊妙计7题型三作正多边形例例题3 镇江中考江中考图24-3-7是我是我们常常见 的地的地砖上的上的图案案,其中包其中包含了一种特殊的平面含了一种特殊的平面图 形形正八正八边形形.如如图24-3-7,AE是是O的直径的直径,用直尺和用直尺和 圆规作作O的内接正八的内接正八边形形ABCDEFGH(不写作法不写作法,保留作保留作图痕迹痕迹).题型三 作正多边形例题3 镇江中考图24-3-7是我8分析分析 (1)过点过点O作作GC AE,与与O相交于点相交于点 G,C；(2)连接连接AG,过点过点O作作HD AG,与与O相交于相交于 点点H,D；(3)连接连接GE,过点过点O作作FB GE,与与O相交相交 于点于点F,B；(4)顺次连接点顺次连接点A,B,C,D,E,F,G,H,八八 边形边形ABCDEFGH为所求为所求作的正作的正 八边形八边形.分析(1)过点O作GCAE,与O相交于点 G,C；(29解解 如图如图24-3-8所示所示,八八 边形边形ABCDEFGH为所求作的正为所求作的正 八边形八边形.解 如图24-3-8所示,八 边形ABCDEFGH为所求10锦囊妙计作正多作正多边形的方法形的方法 (1)在在圆中中,用直尺和用直尺和圆规作两条互相垂直作两条互相垂直 的直径的直径,就可以把就可以把圆四等分四等分,从而作出正方形；从而作出正方形；再再继续作与正方形相作与正方形相邻两两边垂直的直垂直的直径径,即可即可 作出正八作出正八边形形,重复上面的作法可作出正十六重复上面的作法可作出正十六 边形等形等边数逐次倍增的正多数逐次倍增的正多边形形.锦囊妙计11(2)因因为正六正六边形的形的边长等于半径等于半径,所以在所以在 半径半径为R的的圆上依次上依次截取截取长度等于度等于R的弦的弦,就可就可 以把以把圆六等分六等分,顺次次连接各分点即可得接各分点即可得到半径到半径 为R的正六的正六边形形.在正六在正六边形的基形的基础上可作出正上可作出正 十二十二边形形和正三角形和正三角形.(2)因为正六边形的边长等于半径,所以在 半径为R的圆上依12题型四正多边形旋转的运用例例题4 如如图24-3-9,将将 正六正六边形形ABCDEF的中心角的中心角(为 60)绕中心中心O旋旋转,记旋旋转后的后的 角角为MON.试证：无：无论中心角旋中心角旋转到到 什么位什么位置置,所形成的阴影部分的面所形成的阴影部分的面积总等于等于这个个正六正六边形面形面积的的 .题型四 正多边形旋转的运用例题4 如图24-3-9,将13分析分析分析14证明证明 如图如图24-3-9,连接连接OA,OB.AOM+AON=60,AON+BON=60,AOM=BON.OAM+OAB=120,OBA+OAB=120,OAM=OBN.又又OA=OB,OAMOBN,S阴影阴影=S OAB=S正六边形正六边形ABCDEF.证明 如图24-3-9,连接OA,OB.15锦囊妙计正多正多边形常形常见的两种的两种辅助助线的作法的作法 (1)添加正多添加正多边形的半径和中心到一形的半径和中心到一边的垂的垂 线段段,通通过构造直构造直角三角形解角三角形解题；(2)添加添加辅助助 圆,利用正多利用正多边形和形和圆的关系解的关系解题.锦囊妙计16题型五借助外接圆解答正多边形问题例例题5 如如图24-3-10,正正 五五边形形ABCDE的的对角角线AC和和BE 相交于点相交于点M.求求证：(1)AC ED；(2)ME=AE 题型五 借助外接圆解答正多边形问题例题5 如图24-3-17分析分析分析18证明证明 (1)如图如图24-3-10,作正五边形作正五边形ABCDE的外接圆的外接圆O,则弧则弧ED 的度数的度数=弧弧DC 的度数的度数=360=72 EAC的度数等于的度数等于弧弧EDC 的度数的一半的度数的一半,EAC=722=72 AED=108,EAC+AED=180,AC ED.(2)五边形五边形ABCDE是正五边形是正五边形,EAB=AED=108,AE=AB,AEB=ABE=36.由由(1)知知EAC=72,EMA=180AEBEAC=72,EAM=EMA,ME=AE 证明 (1)如图24-3-10,作正五边形ABCDE的外19锦囊妙计特殊的特殊的辅助助线圆 辅助助圆是特殊的是特殊的辅助助线,当有共当有共圆条件条件时,可作出可作出辅助助圆,利用利用圆的性的性质解决解决问题.锦囊妙计20题型六正多边形的实际应用例例题6 如如图24-3-11,正六正六边形螺帽的形螺帽的边长 是是2 cm,这个扳手的开个扳手的开口口a的的值应是是_cm题型六 正多边形的实际应用例题6 如图24-3-11,21分析分析 如图如图24-3-12,过正六边形的中心过正六边形的中心O 作一边的垂线作一边的垂线,垂足为垂足为B,连连接接OA,则则O=30,OA=2,AB=1,OB=(cm),a=2OB=cm 分析 如图24-3-12,过正六边形的中心O 作一边的垂22锦囊妙计与正多与正多边形有关的形有关的实际问题的解法的解法 解决与正多解决与正多边形有关的形有关的实际问题,关关键是是 从从实际问题中抽象中抽象出数学模型出数学模型,并画出相并画出相应的的 正多正多边形形,将所要解决的将所要解决的实际问题转化化为正多正多 边形中的形中的计算算问题.锦囊妙计23 谢谢观看！谢 谢 观 看！24九年级数学上册第24章圆2425
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