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1定理的推广定理的推广p123 设设Z=g(X,Y),g(x,y)为二元连续实为二元连续实函数函数,Eg(X,Y)存在存在,(1)若若(X,Y)为离散型为离散型,PX=xi,Y=yj=pij,(i,j=1,2),则则(2)若若(X,Y)为连续型为连续型,概率密度为概率密度为f(x,y),则则1定理的推广p123 设Z=g(X,Y),g(x,y)2例例1.设设(X,Y)的分布律如下，求的分布律如下，求E(X+Y)和和E(XY)?YX12300.10.20.110.30.10.22例1.设(X,Y)的分布律如下，求E(X+Y)和E(XY)3例例2.设设(X,Y)的概率密度如下，求的概率密度如下，求 E(XY)、E(X).3例2.设(X,Y)的概率密度如下，求 E(XY)、E(X)5性质性质1 E(c)=c性质性质3 E(XY)=E(X)E(Y)性质性质4 如果如果X,Y相互独立相互独立，则有，则有 E(XY)=E(X)E(Y)二、数学期望的性质性质性质2 E(cX)=cE(X)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)推广：推广：设设 为为n个个r.v.，则有，则有 推广：推广：若若 为相互独立的为相互独立的r.v.，则，则5性质1 E(c)=c性质3 E(XY)=E(X)E(6证证:设二维连续型设二维连续型r.v.r.v.的联合概率密度为的联合概率密度为其边缘分布密度其边缘分布密度 、性质性质3 E(XY)=E(X)E(Y)6证:设二维连续型r.v.的联合概率密度为其边缘7性质性质4 如果如果X,Y相互独立相互独立，则有，则有 E(XY)=E(X)E(Y)若若X和和Y相互独立，此时相互独立，此时证证:7性质4 如果X,Y相互独立，则有 E(XY)=E(X)E(8例例4.将将r个球放入个球放入N个盒中，个盒中，设每个球落入各盒中是每个球落入各盒中是等可能的，求有球的盒子数等可能的，求有球的盒子数X的数学期望的数学期望.提示：提示：将一个将一个r.v.分解成若干个分解成若干个r.v.的和，这是一的和，这是一个常用的技巧个常用的技巧.8例4.将r个球放入N个盒中，设每个球落入各盒中是等可能的，9例例5.一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有位旅客自机场开出，旅客有10个车个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求 E(X).（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。下车相互独立）。9例5.一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车10推广：推广：设设 是相互独立的是相互独立的r.v.，则，则设设X、Y相互独立，则有相互独立，则有一般情况一般情况下，则有下，则有三、方差的性质10推广：设 11证明：证明：证：证：注：注：11证明：证：注：12解：解：Xb(n,p)，则，则X表示表示n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A出现的次数，出现的次数，引入引入r.v.则则 XX1+Xn,显然显然 XiB(1,p)，其分布律为，其分布律为例例6.设设Xb(n,p)，求，求E(X)、D(X).12解：Xb(n,p)，则X表示n重伯努利试验中事件A出现13例例7.XU(1,3),YN(2,4)且且X、Y独立，独立，求求E(3X-4Y-1)、D(3X-4Y-1)和和 E(Y2).13例7.XU(1,3),YN(2,4)且X、Y独立14正态分布正态分布的的可加性可加性(p119):则则推广：推广：设设 ,且且X1,Xn相互相互独立独立，则，则 设设X和和Y相互独立相互独立，且，且14正态分布的可加性(p119):则推广：设 15例例8.设活塞的直径活塞的直径XN(22.4，0.032)，气缸的直径，气缸的直径YN(22.5,0.042)，X、Y相互独立。任取一只气缸，相互独立。任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。求活塞能装入气缸的概率。15例8.设活塞的直径XN(22.4，0.032)，气缸的161)k阶阶(原点原点)矩矩:2)k阶中心矩阶中心矩:3)k+l 阶混合阶混合(原点原点)矩矩:4)k+l 阶混合中心矩阶混合中心矩:4.7 矩、矩、协方差及相关系数方差及相关系数1.原点矩与中心矩原点矩与中心矩注：注：161)k阶(原点)矩:4.7 矩、协方差及相关系17例例1.设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 X1 2 45 P1/31/61/61/3求：求：17例1.设随机变量X的分布律为 182.定义定义 若若r.v.X的期望的期望E(X)和和Y的期望的期望E(Y)存在存在,则称则称Cov(X,Y)=EX E(X)Y E(Y)为为X与与Y的的协方差协方差,易见易见 Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)称为称为X,Y的的相关系数相关系数。(无量纲无量纲)182.定义 若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y193.协方差性质协方差性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0；(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b为为 常数常数)；(4)Cov(X1X2,Y)=Cov(X1,Y)Cov(X2,Y);(5)D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).例例2.Cov(4X+3Y+1,-2X+4Y)=?193.协方差性质例2.Cov(4X+3Y+1,-2X+4204.相关系数的性质相关系数的性质 (1)|XY|1；(2)|XY|=1存在存在常数常数a,b 使使PY=aX+b=1；XY 的意义：反映的意义：反映X与与Y的的线性线性关系，所以又叫关系，所以又叫线性线性相关系数相关系数.若若 XY 0，则称，则称X、Y不相关不相关，此时，此时Cov(X,Y)=0.例例3.3.(1)(1)若若Y3X-4，则，则 XY1X-1011/31/3 1/3(2)设设X的分布律如下，的分布律如下，YX2,则则XY 0204.相关系数的性质XY 的意义：反映X与Y的线性关系21“独立独立”和和“不相关不相关”的关系的关系若若X、Y独立，则独立，则X、Y不相关。不相关。独立独立不相关不相关但但X、Y不相关，不一定能推出不相关，不一定能推出X、Y独立独立.独立独立指没有任何关系，指没有任何关系，不相关不相关仅指没有线性关系仅指没有线性关系,但可能存在其它形式的密切关系。但可能存在其它形式的密切关系。对下述情形，独立与不相关等价对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关(见见p133、p114)21？“独立”和“不相关”的关系若X、Y独立，则X、Y不相关22例例4.设设X 服从服从(-1/2,1/2)内的均匀分布内的均匀分布,而而 Y=cos X,（请课下自行验证）（请课下自行验证）因而因而 XY=0，即即X和和Y不相关不相关.但但Y与与X有严格的函数关系，有严格的函数关系，所以所以X、Y不独立不独立.不难求得，不难求得，Cov(X,Y)=0，例例5.设设(X,Y)在在G=(X,Y)：x2+y2 1上服从均匀分布，上服从均匀分布，求证：求证：X与与Y不相关，但不是相互独立的。不相关，但不是相互独立的。22例4.设X 服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而 23例例6.设设(X,Y)具有概率密度具有概率密度,求求解：解：23例6.设(X,Y)具有概率密度,求解：245.定义定义（X,Y）的协方差矩阵）的协方差矩阵的协方差矩阵的协方差矩阵245.定义（X,Y）的协方差矩阵的协方差矩阵256.n维正态维正态r.v.的性质的性质p135性质性质1:设设服从服从n维正态分布，维正态分布，都是正态变量；都是正态变量；反之，若反之，若是相互独立的正态变量是相互独立的正态变量,是是n维正态变量维正态变量 则每一个分量则每一个分量则则性质性质2:服从服从n维正态分布的充要条件是维正态分布的充要条件是 服从一维正态分布（其中常数服从一维正态分布（其中常数 的任意线性组合的任意线性组合不全为零）不全为零）256.n维正态r.v.的性质p135性质1:设服从n维26性质性质3:设设服从服从n维正态分布，维正态分布，都是都是的线性函数，的线性函数，服从服从k维正态分布维正态分布。性质性质4:服从服从n维正态分布，则维正态分布，则两两不相关两两不相关 相互独立等价于相互独立等价于 则则 26性质3:设服从n维正态分布，都是的线性函数，服从k维正
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